Şiruri de umere reale Lect. dr. Alia-Ramoa Baias Prof. dr. Doria Popa March 8, 202 Noţiui teoretice Defiiţie Se umeşte şir de umere reale o fucţie f : N R. Puâd a := f), N, şirul se otează pri a ) sau a ). U şir de umere reale a ), se umeşte : - mărgiit dacă există M 0 astfel îcât a M petru orice N ; - crescător descrescător) dacă a a + a a + ) petru orice N ; - mooto dacă este crescător sau descrescător.. Criterii utile î calculul itelor de şiruri Reamitim aici câteva criterii importate î calculul itelor de şiruri. Teoremă Criteriul cleştelui) Fie a ), b ), c ) şiruri de umere reale cu proprietatea a b c, 0. Dacă a = c = l, l R, atuci b = l. Teoremă 2 Stolz-Cesaro I) Fie a ), b ) şiruri de umere reale cu proprietăţile: ) b ) este strict mooto şi emărgiit; 2) există ita a Atuci b = l. a + a b + b = l, l R;
Teoremă 3 Stolz-Cesaro II) Fie a ), b ) şiruri de umere reale cu proprietăţile: ) a = b = 0; 2) b ) este strict mooto; 3) există ita a Atuci b = l. a + a b + b = l, l R; Teoremă 4 Coseciţa Teoremei lui Stolz-Cesaro) Fie a ), u a şir de umere strict pozitive cu proprietatea că există + a = l, l R. Atuci a = l. Teoremă 5 Criteriul raportului) Fie a ) u şir de umere strict a pozitive cu proprietatea că există + a = l, l R. Atuci: ) dacă l < = 0; 2) dacă l > = + ; 3) dacă l =, criteriul u este eficiet. Următorul rezultat poate fi util petru rezolvarea uor probleme î care criteriul raportului u este eficiet. Teoremă 6 Pr. 537) Fie x ), x > 0, N, astfel ca Atuci x = 0. x+ x ) <. Următorul rezultat se poate folosi î studiul mootoiei şirurilor defiite pri relaţii de recureţă. Teoremă 7 Fie f : I I, I R şi x ) 0 u şir defiit pri relaţia Atuci: x + = fx ), 0, x o I. i) Dacă f este crescătoare = x ) 0 este mooto; 2
ii) Dacă f este descrescătoare = x 2 ) 0, x 2+ ) 0 sut mootoe şi au mootoie diferită. Demostraţie. fcresc. fcresc. i) Presupuem x 0 x = fx 0 ) fx ) x x 2 = fx ) fx 2 ) x 2 x 3,.... Deci x x 2 x 3, pri urmare şirul este crescător. Dacă x 0 x, aalog rezultă că şirul x ) este descrescător. ii) Avem x 2 = fx 2 ) = ffx 2 2 )) = f f) x 2 2 ),, x 2+ = fx 2 ) = ffx 2 )) = f f) x 2 ),. Cum g = f f este crescătoare, cocluzia rezultă di i). Să presupuem că x 2 ) 0 este crescător = x 2 x 2+2, 0 = fx 2 ) fx 2+2 ) = x 2+ ) x 2+3, 0 = x 2+ ) 0 este descrescător. Aalog petru x 2 ) 0 descrescător. Următorul rezultat este util î studiul ecuaţiilor. Propoziţie. Fie I R u iterval şi f : I R o fucţie strict covexă. Atuci ecuaţia fx) = 0 are cel mult două rădăcii reale. Demostraţie. Presupuem că ecuaţia fx) = 0 are trei rădăcii reale x, x 2, x 3 I, x < x 2 < x 3. Atuci t 0, ) astfel îcât x 2 = t)x + tx 3. Deci: 0 = fx 2 ) = f t)x + tx 3 ) < t)fx ) + tfx 3 ) = 0, cotradicţie. 3
.2 Şiruri remarcabile ) Şirul e ), e = + ) este strict crescător şi are ita e e 2, 7828...). 2) Şirul E ), E = +! + 2! + +! este strict crescător şi are ita e. 3) Şirul γ ), γ = + 2 + 3 + + l este strict descrescător şi mărgiit iferior. Limita sa otată cu γ se umeşte costata lui Euler γ 0, 577...). Are loc dubla iegalitate: + ) < e < + ) +, N. 2 Exerciţii şi probleme Ex. Calculaţi: 5 a)! b) 2 ; 2 3 + + 22 3 +2 + + c) l a + a 2 + + a d) k= ) 2 ; 3 + arcsi k ; pr. 30 Culegere) 2 ), a > pr. 304 Culegere) 4
e) l 2 f) a+ a+ + a l, a > 0; pr. 293 Culegere) 2 + l 3 3 l 2 g) + h) + + l ) e ) ; 2; pr. 265 Culegere) ; pr. 306 Culegere) i) 2 2) ; pr. 266 Culegere) j) 2 2)2 3 2) 2 2). pr. 267 Culegere) Ex. 2 Pr. 252-253 Culegere) Se cosideră şirul x ) 0 defiit pri relaţia de recureţă x + = x + 2 x,, x 0 =. Să se calculeze: a) x ; b) x. Ex. 3 Pr. 254-258 Culegere) Se cosideră şirul x ) 0 defiit pri relaţia de recureţă x + = e x, x 0 R. a) Determiaţi x 0 R astfel îcât şirul x ) să fie costat. b) Determiaţi x 0 R astfel îcât şirul x ) să fie crescător. c) Dacă x 0 > 0 calculaţi x. d) Determiaţi x 0 R astfel îcât şirul x ) să fie coverget. e) Dacă x 0 = calculaţi x. Ex. 4 Pr. 250 Culegere) Se cosideră şirul x ) 0 defiit pri relaţia de recureţă x + ax + 2 = 0, x 0 = a. Să se determie a astfel îcât şirul x ) să fie strict descrescător. 5
Ex. 5 Pr. 263 Culegere) Se cosideră şirul x ) 0 defiit pri relaţia de recureţă x + = 2 x 2 x 0 R. Să se determie x 0 astfel îcât x = 2. Ex. 6 Pr. 32 Culegere) Se cosideră şirul x ) 0 defiit pri relaţia de recureţă x + = x 2 4x + 6 x 0 = a, a R. Să se determie a astfel îcât şirul x ) să fie coverget. Ex. 7 Admitere 209) Se cosideră şirul x ) 0 defiit pri relaţia de recureţă a) Dacă x 00 = determiaţi x 0. x + = x x 2 x 0 R. b) Să se determie x 0 astfel îcât şirul x ) să fie coverget. c) Dacă x 0 = 2 calculaţi x. 3 Idicaţii şi răspusuri Solutie Ex. a) Notăm a = 5! 2. Aplicâd criteriul raportului obţiem a + = a 5 + + )! 2 + + ) + 2 5! = 5 ) 2 = 5 + 2 = 5 2e < Deci i baza criteriului raportului a = 0. 6 [ ) ] +) + +
b) Notăm x = 2 3 + + 22 3 +2 + + 2 3 +. Avem 2 + 2 2 + + 2 3 + + )2 + ) 6 3 + ) x 2 + 2 2 + + 2 3 + + )2 + ) x 6 3,. + ) Aplicâd criteriul cleştelui obţiem x = 3. ) c) Notăm x = a l + a 2 + + a. Avem a a + a 2 + + a a l a la + a 2 + + a ) l + l a l a x l + l a,. Aplicâd criteriul cleştelui obţiem x = l a, a >. d) Notăm Avem x = arcsi k mi 2 k k 2 arcsi k 2 = k= k= arcsi k 2 k k 2,. 2 + 2 + + arcsi k 2 x max 2 k k 2 arcsi k mi 2 + ) k k 2 2 x max 2 k + 2 + + 2 arcsi k 2 + ) k 2 2. 2 Aplicâd criteriul cleştelui obţiem x = 2. e) Fie a = a + a + + a şi b = l. Cum l = + b ) crescător şi emărgiit ), studiem existeţa itei a + a a + a + + + a a a a = b + b l + ) l = + a l + a + = 7 + l + = l a. )+
a+ a+ + Deci coform teoremei Stolz-Cesaro obţiem a l = l a. f) Fie a = l 2 2 + l 3 3 + + l şi b = l 2. Cum l = + b ) crescător şi emărgiit ), studiem existeţa itei a + a = b + b l+) + l 2 + ) l 2 = + l l+) == l + )+ = 2. l + ) l + ) + l + ) l + ) l 2 Deci coform teoremei Stolz-Cesaro obţiem g) Avem 2 + l 3 3 l 2 + + l + ) e, deci vom calcula cu ite de fucţii: = 2. + x) x e x 0 x e x l+x) e = = x 0 x = e x 0 l + x) x x 2 = e 2. e e l+x) x 0 x l+x) x l+x) x x h) 2 = 2 =. i) 2 2) = + 2)) = e 2 = e l 2 = 2. j) Notăm x = 2 2)2 3 2) 2 2). Deoarece calculăm ita x+ x ) = 2 + 2) 2 + 2) + = 2 + 2 Deci coform Teoremei 6, avem x = 0. Solutie Ex. 2 a) x 0 = > 0 = x > 0, N. x + x =, i) = 2 <. Avem x + x = 2 x > 0 = x ) 0 este strict crescător, pri urmare există x = x, x R. 8
Dacă presupuem x R atuci trecâd la ita î relaţia de recureţă obţiem x + = x + 2 ) x = x + 2 x x 0 = 2 x fals), deci x = +. b) Fie y = x = x 2 x 2. Avem Stolz = = x 2 + x2 + = 4 + 4 ) x x + 2 ) ) 2 x 2 x = 4 = y = 2. Solutie Ex. 3 a) Di x 0 = x = x 0 = e x 0, cu soluţia x 0 = 0. Dacă x 0 = 0 = x = 0, N. b) x + x = e x x 0, N. Se arată că e x x 0, x R cu egalitate dacă şi umai dacă x = 0. Deci x ) crescător x 0 R. c) Di x ) crescător rezultă că există x = x R. Dacă presupuem x R atuci trecâd la ita î relaţia de recureţă obţiem x = e x = x = 0, cotradicţie cu x 0 > 0. Deci x = +. d) Dacă x 0 = 0 = x = 0, N, deci x ) coverget. Dacă x 0 < 0 = x = e x 0 < 0 şi pri iducţie rezultă x < 0. Şirul x ) este crescător şi mărgiit iferior de 0 deci x = 0. Deci şirul este coverget x 0 0. e) Avem x = = = x Stolz + = x + x = e x )x x e x + = e x x 2 x e x + 9 x e x x x 2? x 2 = x 0 x e x + = x 0 x e x + 2x e x = 2.
Solutie Ex. 4 Dacă a = 0 = x + = 2, 0, u covie. cotiuare a 0, fx) = ax 2, x R. Atuci Fie i x + = fx ), 0, x 0 = a. Dacă a > 0 = f strict crescătoare T 7 = Şirul este strict descrescător x 0 > x a > a 2 2 a 2 a 2 < 0 a, 2) dar a > 0 deci a 0, 2). Cazul a < 0 u covie petru că x 2 ), x 2+ ) au mootoii diferite coform teoremei 7. Solutie Ex. 5 f : R R, fx) = 2 x 2 este strict crescătoare = T 7 x ) 0 este mooto, deci x = x R. Avem: x x 0 = 2 x 0 2 x 0. Studiem semul gx) = 2 x 2 x, x R. Ecuaţia gx) = 0 are 2 rădăcii x = 2, x = 4. Acestea sut sigurele rădăcii ale lui g deoarece g este strict covexă. Dacă x 0 2 = x ) 0 crescător şi x 2, 0 = x ) 0 coverget şi x = 2. Dacă x 0 2, 4) = x ) 0 descrescător şi x < 4, 0 = x ) 0 coverget şi x = 2. Dacă x 0 = 4 = x = 4, 0 = x = 4. Dacă x 0 > 4 = x ) 0 crescător şi x = +. Deci x 0, 4). Solutie Ex. 6 Obţiem x + = x 2) 2 + 0. x = a 2) 2 + 2; x 2 = x 2) 2 + 2 = a 2) 22 + 2 x = a 2) 2 + 2, 0. Şirul este coverget dacă şi umai dacă a 2 a [, 3]. Solutie Ex. 7 a) Di relaţia de recureţă x 00 = x 99 x 2 99 x 2 99 x 99 + = 0, deci x 99 / R. Pri urmare u există x 0 R astfel îcât x 00 =. 0
b) x + x = x 2 0 = x ) descrescător = x R. Dacă x ) este coverget = x = 0. Dacă x 0 < 0, îtrucât x < x 0, = x =. Dacă x 0 > 0 = x < 0 = x = = Şirul este coverget petru x 0 [0, ]. c) Petru a calcula şi avem x + x x aplicăm coseciţa teoremei lui Stolz-Cesaro = x ) =, deci x =.