CORNEL MARIN VIBRAŢIILE STRUCTURILOR MECANICE

Transcriere

1 CORNE MARIN VIBRAŢIIE STRUCTURIOR MECANICE

2 MECHANICA STRUCTURES VIBRATIONS Rely o the echnic syste ro the vrious eternl ecittion deterined or letory deends both on its intrinsic chrcteristics inerti, elsticity nd hysteresis nd on the chrcteristics o lins with i ediu nd/or with the vibrtions source. By using o soe dynic odels o study the suitble schetic deictions enble certin theticl roch nd solution o equtions which chrcterize the henoenon o vibrtions hving ossibility to lot the vrition digrs o dierent chrcteristic unctions o vibrtions the liiction ctor o the orced vibrtions, the trnsission ctor, the dynic ctor, the ctive nd rective ower, etc, these results could be veriied on the tests benches nd on the bsis o checs the theticl odel ight be vlidted. Only jor diiculty to solve o n liction reins the introduction the wor ssutions, which ight llow the obtining theticl odel hving behviour s close s ossible o the rel odel. This wor is engged in the study o discrete liner elstic nd continuous systes, o ree nd orced vibrtions o these systes without nd with ding using dierent ssutions on duing.

3 Con. dr. ing. CORNE MARIN VIBRAŢIIE STRUCTURIOR MECANICE EDITURA IMPUS Bucureşti

4 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle Roâniei MARIN, CORNE Vibrţiile structurilor ecnice / Cornel Mrin - Bucueşti : Editur IMPUS, 9 ; 5c - Universitri Bibliogrie ISBN Recenzi ştiinţiică: Pro. dr. ing. Polidor BRATU Pro. dr. ing. Nicole ENESCU

5 CUVÂNT ÎNAINTE Studiul dinic l roceselor cu retri vribili, în regi deterinist su letor, se constituie c o necesitte ernentă în bordre, elucidre, ăsurre şi reciere cât i justă consecinţelor sur ediului tehnologic, ediului construit şi ediului nturl. Din cestă cuză nliz şi sintez structurilor ecnice cţionte din eterior de orţe erturbtore rerezintă un citol undentl în teori sisteelor dinice cu ict direct în ctivitte de roiectre, evlure, eertizre şi entennţă, tât entru enţinere erornţelor uncţionle şi tehnologice, cât şi entru rotecţi oului şi ediului. Probletic coleă vibrţiilor structurilor ecnice ost nliztă în odlităţi vrite de diverşi cercetători din ţră şi străinătte, ără i euiztă sub sect ştiinţiic şi tehnic. De cee, consider că deersul lăudbil l donului con. univ. dr. ing. Cornel Mrin se înscrie c o contribuţie ertinentă şi esenţilă în sistetizre şi odelre vibrţiilor structurilor ecnice. În cest contet, enţionez că utorul bordt nliz vibrţiilor linire deteriniste şi letore olosind odele izice de interes rctic stel încât l inlul iecărui citol să otă reliz sintez rezulttelor sub or răsunsului sisteului l vrite cţiuni eteriore. Acestă odlitte de rezentre, unei nlize dinice bogte în rerezentări grice trste cu rogre utote de clcul, constituie unctul orte l concetului de bordre siultnă odelului izic cu odelul nueric. Din cestă ersectivă, enţionez că în riul citol sunt elborte odelele izice şi u ost obţinute răsunsurile dinice cu retrii de interes olosind rerezentări couse le odelului reologic Voigt-Kelvin şi Hooe Mwell. Vibrţiile cu două şi i ulte grde de libertte sunt bordte într-o nieră ştiinţiică uşor de trnsus în rogre inortice secilizte stel încât răsunsul structurii ecnice să ibă o rerezentre convenbilă entru utiliztorul inl.

6 Vibrţiile letore sunt nlizte într-un citol dedict roceselor dinice tehnologice şi nturte cu rerezentre sttistică şi robbilistică retrilor seciici. În ultiul citol utorul reuşit, în od cu totul deosebit, să bordeze roble colictă sintezei teorie-rctică din doeniul şinilor cu cţiune vibrntă. Astel, ot ir că rezulttele obţinute sunt orte iortnte entru inginerii din roiectre, cercetre şi ngeentul roducţiei. În inl enţionez tul că e lângă crcterul ştiinţiic şi originl l cărţii, utorul relizt o lucrre redcttă clr şi cursiv, iind ccesibilă cititorilor cre osedă cunoştinţe de nliză tetică, ecnică şi rezistenţ terilelor. De rerct, în od deosebit, tât odul riguros şi sintetic de rezentre iecărei deonstrţii, cât şi interretre enoenologică şi inginerescă e bz unui lgorit coerent. Fţă de cele de i sus, consider că rezent lucrre se constituie c o contribuţie vlorosă în doeniul dinicii sisteelor ecnice cu ict deosebit sur dezvoltării ştiinţelor inginereşti. Bucureşti, Decebrie Pro. Univ. Dr. ing. Dr. h.c. Polidor Brtu Mebru l Acdeiei de Ştiinţe Tehnice din Roâni Preşedinte l Societăţii Roâne de Acustică

7 PREFAŢA Dinic structurilor ecnice elstice este l or ctulă un dintre discilinele de bză din rogr de regătire inginerului ecnic cre roiecteză, relizeză su eloteză şini unelte, utovehicule, echiente, utilje entru construcţii, roboţi industrili su lte tiuri de sistee ecnice clsice su ectronice icroşini, icrocţionări, icroroboţi, etc. Prezenţ vibrţiilor în tote structurile ecnice este un t binecunoscut cu ilicţii orte seriose în uncţionre lor tunci când se une roble reciziei, durtei de uncţionre şi stbilităţii iuse rin te de roiectre. Acest este otivul entru cre răsunsul dinic şi ictul cestui sur erornţelor structurii ecnice trebuie să rerezinte un unct iortnt l eoriului tehnic de rezentre l oricărui rodus. Eectul vibrţiilor sur structurii interne terilelor este în generl un enoen legt de îbătrânire şi rezistenţ l oboselă cre se niestă în inl rin scădere ccităţii de rezistenţă în ti chir entru ecitţii vând recvenţe i îndeărtte de rezonnţă. Răsunsul sisteului ecnic l diverse ecitţii eteriore deteriniste su letore este uncţie tât de crcteristicile intrinseci le lui inerţie, elsticitte şi histerezis cât şi de crcteristicile legăturilor cu ediul i şi/su cu surs de vibrţii. Folosire unor odele dinice de studiu şi schetizărilor coresunzătore erite o bordre şi rezolvre tetică recisă ecuţiilor cre crcterizeză enoenul vibrţiilor şi osibilitte trsării digrelor de vriţie dieritelor ării crcteristice le vibrţiilor ctorul de liicre l vibrţiilor orţte, ctorul de trnsitere, ctorul dinic, utere ctivă şi rectivă, etc., ceste rezultte cntittive şi clittive utând i veriicte e stndurile de încercări, ir e bz cestor veriicări, odelul tetic ote i vlidt. Singur diicultte joră în rezolvre unei licţii răâne însă introducere corectă iotezelor de lucru, ioteze cre să erită obţinere unui odel tetic cu o coortre cât i roită de ce odelului rel. Prezent lucrre este dedictă studiului dinic l sisteelor elstice linire discrete şi continue, vibrţiilor libere şi orţte le cestor sistee cu şi ără ortizre, olosind dierite ioteze sur ortizării. Astel, în riul citol sunt rezentte vibrţiile sisteelor elstice linire cu un grd de libertte libere şi orţte, cu şi ără ortizre, rezolvre relă şi în cole ecuţiilor tetice le vibrţiilor, iednţ ecnică şi trnsisibilitte vibrţiilor, eresiile energetice le vibrţiilor linire. În l doile citol sunt rezentte vibrţiile sisteelor elstice linire cu două grde de libertte libere şi orţte, cu şi ără ortizre, rezolvre în cole ecuţiilor tetice, erire tricelă ecuţiilor, deonstrre ortogonlităţii odurilor rorii de vibrţie şi rezentre coordontelor rincile. Probleele rezolvte rezintă rezulttele ulsţiilor rorii şi iginile grice le odurilor rorii de vibrţie, igini deosebit de utile în interretre şi înţelegere cestor enoene.

8 În cel de l treile citol sunt bordte vibrţiile sisteelor discrete cu N grde de libertte din unctul de vedere l nlizei odle. Vectorii rorii i tricei odle erit generlizre rezulttelor obţinute în citolul nterior şi etindere lor în studiul vibrţiilor sisteelor linire nu N grde de libertte. Tot în cest citol sunt rezentte etode ecte şi roitive olosite entru deterinre ulsţiilor şi odurilor rorii de vibrţie. În citolul l trule sunt rezentte bzele tetice le deterinării ecuţiilor vibrţiilor sisteelor continue cele i sile de ti ir oogen şi bră dretă. Sunt trtte vibrţiile longitudinle şi trnsversle le irelor, vibrţiile longitudinle, de răsucire şi trnsversle le brelor de secţiune constntă oogene şi cu se concentrte l cete. Sunt rezentte rezultte nuerice le ecuţiilor trnscendente obţinute olosind etode grice şi nuerice de rezolvre. În citolul l cincile sunt rezentte e scurt bzele tetice le vibrţiile letore, tiurile de vibrţii sttistice şi robbilistice, răsunsul sisteelor linire l ecitţii letore de ti şoc dretunghiulr, triunghiulr, seisinusoidl, răsunsul sisteelor linire l cţiuni seisice, răsunsul seisic Fourier şi sectrl l unui siste ecnic cu un grd de libertte. Ultiul citol l şsele este dedict unor licţii clsice din dinic şinilor vibrtore onosice cu cţionre cinetică cu dierite tiuri de lşegături suorţi de srijin şi dierite tiuri de culje între otorul de cţionre şi orgnul de lucru s vibrtore. Sunt rezentte odelele tetice utilizte în iecre cz, soluţiile nlitice le ecuţiilor dierenţile le işcării, rerezentre grică cestor soluţii şi concluziile ce rezultă din nliz clittivă cestor digre de vriţie. Ser c cestă lucrre să ie utilă tât studenţilor de l secilizările tehnice cât şi inginerilor cre lucreză în doeniul roiectării şi elotării structurilor ecnice suuse vibrţiilor deteriniste su letore. În inl doresc să ulţuesc în od deosebit d-lui ro. Dr. ing. Polidor BRATU, ebru coresondent l Acdeiei de Ştiinţe Tehnice Roâniei şi d- lui ro. Dr. ing. Nicole ENESCU, entru răbdre cu cre u rcurs nuscrisul şi entru observţiile d-lor deosebit de utile cre u eris riţi lucrării sub cestă oră. Con. dr. ing. Cornel MARIN UNIVERSITATEA VAAHIA TARGOVIŞTE Târgovişte, noiebrie

9 CUPRINS INTRODUCERE Deiniţii CAPITOU I - VIBRAŢIIE SISTEMEOR MECANICE CU UN GRAD DE IBERTATE.. Vibrţii libere 7... Ecuţiile generle 7... Problee rezolvte 9.. Vibrţii libere cu ortizre vâscosă 6... Ecuţiile generle 6... Alicţie.. Vibrţii libere cu ortizre usctă 5.. Vibrţii orţte ără ortizre sub cţiune unei orţe ronice 8... Fenoenul de rezonnţă... Fenoenul bătăilor... Fenoenul de nterezonnţă... Fenoenul de ostrezonnţă.5. Vibrţii orţte cu ortizre vâscosă sub cţiune unei orţe ronice 5.6. Vibrţii orţte cu ortizre vâscosă sub cţiune unor orţe de inerţie rotitore 5.7. Vibrţii orţte retrice cu ortizre vâscosă cu ecitţie cinetică ronică Vibrţii orţte cu ortizre histeretică sub cţiune unor orţe ronice58.9. Vibrţii orţte cu ortizre histeretică sub cţiune unor orţe ronice de inerţie rotitore 69.. Vibrţii orţte cu ortizre usctă 6.. Trnsisibilitte vibrţiilor Trnsisibilitte vibrţiilor în czul izolării ctive cu eleente elstice entru izolre ctivă Trnsisibilitte vibrţiilor în czul izolării sive cu eleente elstice entru izolre sivă 68.. Izolre ntivibrtorie ctivă Izolre ntivibrtorie ctivă în czul utilizării odelului vâsco-elstic Voight-Kelvin Izolre ntivibrtorie ctivă în czul utilizării odelului histeretic Voight-Kelvin 7... Izolre ntivibrtorie ctivă în czul utilizării odelului vâsco-elstic Hooe-Mwell 7... Izolre ntivibrtorie ctivă în czul utilizării odelului histeretic Hooe-Mwell 78.. Izolre ntivibrtorie sivă 8... Izolre ntivibrtorie sivă în czul utilizării odelului vâsco-elstic Voight-Kelvin 8... Izolre ntivibrtorie sivă în czul utilizării odelului histeretic Voight-Kelvin 8... Izolre ntivibrtorie sivă în czul utilizării odelului vâsco-elstic Hooe-Mwell Izolre ntivibrtorie sivă în czul utilizării odelului histeretic Hooe-Mwell 88

10 .. Relţii energetice entru studiul vibrţiilor 9... Czul vibrţiilor libere neortizte 9... Czul vibrţiilor libere cu ortizre vâscosă 9... Czul vibrţiilor libere cu ortizre usctă 9... Czul vibrţiilor orţte cu ortizre vâscosă Putere edie, instntnee, ctivă şi rectivă czul vibrţiilor orţte cu ortizre vâscosă..6. Relţii energetice entru czul vibrţiilor orţte cu ortizre histeretică 5.5. Modele reologice le eleentelor vâscoelstice olosite în izolre nitivibrtorie Modelul elstic linir Hooe Modelul vâscos linir Newton Modelul vâscoelstic Voigt Kelvin Modelul vâscoelstic Mwell.5.5. Modelul vâscoelstic Hooe Mwell.5.6. Modelul vâscoelstic linir generlizt Voigt Kelvin Hooe.5.7. Modelul vâscoelstic Voigt Kelvin generlizt.5.8. Modelul vâscoelstic Mwell generlizt.6. Iednţ ecnică 5.7. Alicţii.7.. Turţi critică rborilor dreţi.7.. Aortizorul hidrulic linir cu iston Aortizorul hidrulic unghiulr 9.8. Problee rouse CAPITOU II - VIBRAŢIIE SISTEMEOR CU DOUA GRADE DE IBERTATE.. Ecuţiile dierenţile le vibrţiilor libere 7... Teore iulsului 7... Princiiul lui d Alebert 8... Metod coeicienţilor de inluenţă Ecuţiile lui grnge.. Pulsţii şi oduri rorii de vibrţii.. Ortogonlitte odurilor rorii de vibrţie 5.. Coordonte rincile su odle 8.5. Problee rezolvte Pendulul dublu Siste ort din se şi discuri oogene Vibrţii trnsversle le brelor Vibrţii torsionle le rborilor 58 Alicţie 6.6. Vibrţii libere ortizte 6.7. Vibrţii orţte ortizte Absorbitorul dinic silu Absorbitorul dinic cu ortizre 7.. Absorbitorul dinic l răsucire HOUDAIE 7.. Problee rouse 78

11 CAPITOU III - VIBRAŢIIE SISTEMEOR CU N GRADE DE IBERTATE.. Vibrţii libere le sisteelor discrete. Abordre odlă 8.. Vibrţii orţte neortizte le sisteelor conservtive 86.. Vibrţiile sisteelor ortizte 89.. Moduri clsice de vibrţii orţte 9... Vibrţii orţte cu ortizre vâscosă 9... Vibrţii orţte cu ortizre histeretică 9.5. Problee rezolvte Pendulul trilu Vibrţii trnsversle le brelor.5.. Vibrţiile de răsucire le rborilor Vibrţiile de răsucire le ngrenjelor.6. Moduri colee de vibrţie.6.. Vibrţii orţte cu ortizre vâscosă.6.. Vibrţii orţte cu ortizre histeretică 8.7. Metode de deterintre ulsţiilor şi odurilor rorii de vibrţie.7.. Metode ecte. Metod Krâlov b. Metod everrier Metode roitive 7. Metod iterţiei tricele 7 b. Metod Ryleigh.8. Problee rouse 6 CAPITOU IV - VIBRAŢIIE SISTEMEOR CONTINUE Introducere 9.. Vibrţiile trnsversle le irelor 9... Vibrţiile trnsversle libere... Vibrţiile trnsversle orţte.. Vibrţiile longitudinle le irelor 7.. Vibrţiile longitudinle le brelor 9... Vibrţii longitudinle libere 5... Vibrţii longitudinle orţte 57.. Vibrţiile torsionle le brelor de secţiune circulră su inelră Vibrţii torsionle libere Vibrţii torsionle orţte Vibrţiile trnsversle le brelor drete Vibrţiile trnsversle libere Vibrţiile trnsversle orţte 8.6. Problee rouse 9 CAPITOU V - VIBRAŢII AEATOARE 5.. Vribile letore şi ării crcteristice Procese letore şi ării crcteristice Evoluţi în ti roceselor letore 5.. Estiările roceselor letorii 5.5. Procese de bndă îngustă şi de bndă lrgă Răsunsul dinic l orţe de ecitţie neronice Răsunsul dinic l orţe de ecitţie letore în czul sisteelor cu un grd de libertte 9

12 5.6.. Răsunsul dinic l orţe de ecitţie eriodice neronice 5.7. Răsunsul dinic l sisteelor ecnice l şocuri ecnice Tiuri de şocuri ecnice Răsunsul dinic l un şoc dretunghiulr Răsunsul dinic l un şoc sub oră seisinusoidlă Răsunsul dinic l sisteelor l cţiuni seisice Unde seisice şi odlităţi de rogre Răsunsul dinic l cţiuni seisice Răsunsul seisic Fourier şi răsunsul seisic sectrl l unui siste l cţiuni seisice 7 CAPITOU VI - MAŞINI VIBRATOARE MONOMASICE CU ACŢIONARE CINEMATICĂ 6.. Dinic şinilor vibrtore srijinte e eleente elstice linire 6.. Modelul tetic entru şini vibrtore cu culj nerigid 6.. Fctorul de liicre l litudinii vibrţiilor şi dezjul 5 Dezjul dintre răsuns şi ecitţie Fctorul de liicre l ccelerţiilor 6... Fctorul de liicre l litudinii işcării cetelor culjului Fctorul de trnsisibilitte l culjului Fctorul dinic l culjului Deterinre ulsţiei otie Fctorul dinic ini Culjul rigid Culjul elstic silu Culjul ortizor silu Mşini vibrtore srijinte e suorţi rigizi rticulţi Fctorul de liicre liicre l delsării şi dezjul Fctorul de liicre liicre l ccelerţiilor Fctorul de liicre liicre litudinii işcării reltive cetelor culjului Fctorul de trnsisibilitte l culjului Fctorul dinic l culjului Dezjul Concluzii Culjul rigid Culjul elstic silu Culjul ortizor silu 85 BIBIOGRAFIE 89

13 Vibrţiile structurilor ecnice - Introducere INTRODUCERE Deiniţii În cele i ulte din licţiile inginereşti vibrţiile u un eect negtiv sur uncţionării sisteelor ecnice, de cee roiectnţii trebuie să identiice sursele de vibrţii şi olosind dierite etode să iniizeze su eliine eectul cestor sur sisteelor ecnice su oului cre le eloteză. Eistă însă şi licţii în cre vibrţiile u un eect ozitiv, ceste stând l bz uncţionării sisteelor ecnice resective, cu r i în czul sitelor vibrtore, rtelor ercutnte de erort betone, benzilor trnsortore inerţile, instlţiilor de orj, etc. Un siste dinic este un siste ort dintr-o ulţie de eleente ecnice căror stre ote i reciztă în ti cu jutorul unor uncţii rele de ti nuite coordonte generlizte sub cţiune unor ctori eterni. Un siste dinic oscilnt este cel siste dinic în cre cel uţin un din coordontele generlizte vriză în jurul unei vlori de reerinţă. Vibrţi este oscilţi sisteului dinic ce ilică rezenţ unor orţe elstice, unde retrii cinetici cre deterină işcre l un oent dt delsre, viteză, ccelerţie vriză ţă de o nuită vlore de reerinţă. Vibrţi eriodică este işcre descrisă de o uncţie eriodică în cre retrii se reetă identic duă un intervl ini de ti nuit eriodă. În cest cz retrii cinetici delsre r, vitez v şi ccelerţi coresunzători unui su i ultor uncte le sisteului entru două oente de ti lte l o distnţă de o eriodă T su i ulte eriode, trebuie să ie identici. O vibrţie eriodică ote i erită cu jutorul relţiei tetice: t t T Vibrţi ronică este o vibrţie eriodică erită rintr-o sinusoidă de or: A sin ωt su : A sin ωt ϕ Aceste uncţii u digrele de vriţie rezentte în igurile. şi b A sinωtϕ o A cosωt-ϕ o t t ϕ t ω π t T A sinωt ϕ t ω π t T. Fig. b.

14 Vibrţiile structurilor ecnice - Introducere Vibrţi ronică ote i işcre unui unct teril cţiont de o orţă elstică dezvolttă de un rc vând o crcteristică elstică liniră. Punctul teril scos din oziţi de echilibru cu cntitte b v ve o işcre linir-lterntivă în jurul oziţiei sle de echilibru M ig. şi se i nueşte şi osciltor ronic linir. M M i -b M o b M e Fig.! v! F e M o M M et b Fig. Cu jutorul osciltorului linir se deinesc ăriile crcteristice le unei vibrţii ronice ig. şi nue:!"elongţi este distnţ l un oent dt dintre centrul vibrţiilor şi oziţi delstă unctului;!"litudine A - elongţi iă su delsre iă tinsă de unct în işcre ronică;!"eriod işcării ronice - tiul cel i scurt duă cre lege delsării se reetă identic. Punând condiţi: sin ωt ϕ sin ω t T [ ϕ ] su ω ϕ ωt ω ϕ π t t rezultă eriod: T π, cre se ăsoră în secunde 5 ω!"recvenţ este inversul eriodei şi rerezintă nuărul de vibrţii colete eectute în unitte de ti o secundă: ω T π şi se ăsoră în hertzi: Hz s 6

15 Vibrţiile structurilor ecnice - Introducere 5!"ulsţi işcării su recvenţ circulră ω rerezintă nuărul de vibrţii sinusoidle eectute într-un intervl de π secunde: ω π su vitez unghiulră vectorului rottiv în rerezentre zorilă uncţiei ronice işcării ig. : Asin ωt ϕ 7 ω A sin t ϕ y RA M ϕωt ϕ O Fig. egătur dintre ulsţie şi recvenţă este: ω π. 8 Pulsţi se ăsoră în rd /s.!"z ϕ ωtϕ este rguentul uncţiei trigonoetrice cre crcterizeză vibrţi ronică şi se ăsoră în rdini.!"dierenţ de ză su z iniţilă ϕ rerezintă dierenţ dintre zele işcărilor vibrtorii ronice dte de ecuţiile ig..: A sinωt, resectiv 9 A sin ωt ϕ Dierenţ de ză rerezintă decljul - l oentul iniţil t - dintre vibrţiile două işcări izocrone dte de relţiile 9.!"orţ elstică F e - este orţ dezvolttă în rcul eleentul elstic cre roduce vibrţi ronică ig. : F e Dându-se lege de işcre l unui osciltor ronic linir sub or: Acos ωt ϕ. se deinesc retrii işcării de vibrţie: - vitez este ri derivtă delsării:! Aω sin ωt ϕ - ccelerţi - dou derivtă delsării: ωt ϕ ω.! Aω cos Vibrţiile se ot clsiic duă i ulte criterii, dintre cre :. duă nuărul grdelor de libertte, vibrţiile ot i:!"entru sistee discrete cu unul su i ulte grde de libertte, duă cu conigurţi sisteului l un oent dt ote i deterintă de unul su i ulţi retri sclri indeendenţi. În igur 5 sunt rezentte trei eele de sistee cu un grd de libertte, ir în igur 6 tru sistee cu două grde de libertte.

16 Vibrţiile structurilor ecnice - Introducere 6!"entru sistee continue cu o ininitte de grde de libertte θ M θ M θ M M θ θ M J θ Fig. 5 Fig. 6. duă orţele eteriore ctive-erturbtore su sive-rezistente cre intervin în işcările vibrtorii :!"vibrţii libere su rorii - u loc într-un siste izolt în ur unei erturbţii eteriore de scurtă durtă; vibrţiile rorii deind de orţele elstice interne le sisteului şi structur lui izică ;!"vibrţii orţte întreţinute su ecitte - când intervin orţe eteriore eriodice ctive-erturbtore indeendente de vibrţiile din siste; energi vibrţiilor este sigurtă de ceste orţe;!"vibrţii retrice rovocte de vriţi eriodică din eterior unui retru cinetic delsre, vitez su izic s, constnt elstică!"utovibrţiile r într-un siste în lis unei cţiuni eriodice eteriore, crcterul vibrţiilor este deterint eclusiv de structur internă sisteului. duă ntur energetică sisteului vibrtor!"vibrţii neortizte entru sistee nedisitive su conservtive când orţele eteriore sive-rezistente sunt nule;!"vibrţii ortizte - entru sistee disitive când orţele eteriore siverezistente nu sunt nule.. în uncţie de ecuţiile e descriu işcre:!"vibrţii linire şi vibrţii nelinire

17 Citolul I.. Vibrtii libere 7 CAPITOU I VIBRAŢIIE SISTEMEOR CU UN GRAD DE IBERTATE.. Vibrţii libere.. Ecuţiile generle Pentru deduce lege vibrţiilor libere le unui osciltor ronic linir se consideră unctul teril M de să legt de ediul i cu un eleent elstic linir de constntă ig... şi urătorele condiţii iniţile: ;! v.. O M o v Fig... Se scrie lege undentlă dinicii duă O:! Fe!!!.. Notând: se obţine:!!.. cre este o ecuţie dierenţilă de ordinul II oogenă, vând ecuţi crcteristică: r.. cu două rădăcini colee: r, ± i..5 Soluţi ecuţiei dierenţile.. re or: it it C e C e..6 Ţinând se de eresi derivtei:! i C e Ce şi înlocuind condiţiile iniţile.. se obţine: it it

18 Citolul I.. Vibrtii libere 8 C C v C C i C C ± v i v i..7 Ţinând se de orul: e it cos t ± i sin t şi înlocuind..7 în relţi..6 se obţine soluţi sub or: v cos t sin t..8 Dcă se noteză: v v tg ϕ si A..9 cos ϕ unde ϕ rerezintă z iniţilă şi A litudine işcării, se obţine soluţi sub or: Acos t ϕ... Period işcării ronice este: π T π.. Observţii:. eriod su recvenţ vibrţiilor libere nu deinde de condiţiile iniţile nici de litudine işcării ci nui de s corului şi constnt elstică resortului, deci tote vibrţiile libere le unui siste cu un grd de libertte sunt izocrone u ceeşi eriodă; b. litudine işcării A şi z iniţilă ϕ deind de condiţiile iniţile, v ; c. nu eistă disire de energie, sisteul se nueşte conservtiv şi vibrţiile libere se roduc cu ceeşi litudine un ti neliitt; cest este un siste idel. d. eriod şi recvenţ işcării nu deind de stre de tensiune rcului în oziţi de echilibru ig... Astel, din ecuţi de echilibru sttic se deterină săget sttică: g Fe g st g st.. şi lege undentlă dinicii se scrie: g!! g F e; unde: Fe st g..!! g g!! dică s- obţinut ecuţi işcării.. entru rcul netensiont.

19 Citolul I.. Vibrtii libere 9 st Fe M o Fig... G e. vibrţii ot ăre nu nui în sistee în cre orţ cre roduce vibrţiile este o orţă elstică ci şi sub cţiune orţelor resturtore de tiul grvitţionle, electrognetice, electrosttice, gnetice, etc.... Problee rezolvte. Pendulul tetic şi endulul izic izocron Pendulul tetic este un cor unctior de să legt de ediul i în O cu un ir inetensibil de lungie l ig.... Pendulul izic este un cor rigid legt de ediul i rintr-o rticulţie cilindrică O vând centrul de greutte în unctul C situt sub rticulţie ig...b. Pretrul işcării în bele czuri este unghiul θ e cre îl ce verticl cu lini cre uneşte unctul O cu unctul C. G F e O O l d l θ C θ C P d g g Fig.... b. Ecuţi dierenţilă işcării endului tetic se scrie olosind teore oentului cinetic: l! θ gl sin θ..! O

20 Citolul I.. Vibrtii libere su:! θ g sinθ..5 l Din dezvoltre în serie uncţiei sinus: sin θ θ θ θ θ...! 5! 7!..6 entru icile oscilţii θ <...5 se ote roi: sin θ θ..7 Ecuţi..5 devine :! θ g θ..8 l Deci ulsţi rorie icilor oscilţii este: g..9 l π l ir eriod: T π.. g Ecuţi dierenţilă işcării endulului izic se scrie olosind teore oentului cinetic: J! θ O gd sinθ.. su:! θ gd sinθ.. JO entru icile oscilţii θ <...5 ecuţi dierenţilă.. se scrie:! θ gd θ.. J O Deci ulsţi icilor oscilţii le endulului izic este: gd.. JO ungie endului tetic izocron cu endulul izic se obţine din g gd condiţi:..5 l JO Se obţine lungie endului tetic izocron cu cel izic în uncţie de distnţ d, s şi oentul de inerţie J C : JO JC d l d d d JC l..6 d Dcă se schibă centrul de oscilţie din unctul O în unctul P, lt e lini O C l distnţ O P l ig....b se obţine un endul izocron cu cel iniţil, întrucât sunt vlbile relţiile: g l J P d J C g l l d d J C 5 gd 7 d..7

21 Citolul I.. Vibrtii libere Folosind cestă roriette se ote deterin eerientl oziţi centrului de greutte şi oentul de inerţie ecnic ţă de ce trece rin centrul de greutte J C cu jutorul eriodelor icilor oscilţii le celor două endule izice vând centrele de oscilţie O şi O situte e ceeşi linie cu centrul de greutte C, igur...b. Sunt vlbile relţiile: J J d T π ; gd gd T O C J O JC d π d d d..8 gd gd Relţiile..8 oreză un siste de trei ecuţii cu trei necunoscute: d, d şi J G. Rezolvând cest siste se obţine: gl gl d T d T d π π ; d g g d T T d T T..9 π π g g J C d T d su J d T d C π π b. Pendulul torsionl cu un ir În igur.. este rezentt un endul torsionl cu un ir de lungie l cătul cărui se lă un cor il sietric vând oentul de inerţie ecnic il J. Se cere să se deterine eriod oscilţiilor torsionle le discului. Dcă se scote corul din oziţi de echilibru cu un unghi ϕ, în ir i nştere un culu de răsucire M t vând sensul ous şi roorţionl cu unghiul ϕ. Ecuţi dierenţilă işcării se scrie sub or teoreei oentului cinetic: Jϕ!! M t.. Dcă se scrie unghiul ϕ în uncţie de culul de torsiune M t se obţine: M t M t ϕ M t tϕ.. GI t unde s- nott cu t constnt elstică l GI răsucire irului t. M t Ecuţi.. devine: J ϕ! ϕ ϕ! ϕ.. J J S- obţinut stel o ecuţie dierenţilă de ϕ ordinul II de or... Deci usţi Fig... rorie vibrţiilor în cest cz se scrie:

22 Citolul I.. Vibrtii libere GI.. J J Period vibrţiilor este: π J J T π π.. GI Moentul de inerţie J l discului se ote deterin eerientl dcă se GI cunoşte constnt elstică l răsucire irului şi eriod vibrţiilor torsionle T. Acest se deterină din.. cu jutorul relţiei: GI J T..5 π c. Pendulul torsionl cu trei ire În igur..5. este rezentt endulul torsionl ort din trei ire rlele de lungie, l cătul căror se rinde un disc vând oentul de inerţie J; rindere se ce în trei uncte echidistnte situte e un cerc de rză R. Se cee să se deterine eriod oscilţiilor discului. Dcă se scote discul din oziţi de echilibru rotindu-l în jurul ei verticle cu unghiul ϕ, din cuz înclinării irelor cest urcă cu cntitte δ, ir orţ de tensiune cre revine unui ir se descoune duă direcţii ig...5.b:!"duă direcţi irului: G T..6 cos θ!"duă direcţi orizontlă: G H tgθ..7 M t J Fig...5. R c. H ϕ H δ T H G tgθ G b. θ Forţ de reducere în oziţi de echilibru este deci H şi roduce un culu de reducere ous unghiului ϕ ig...c vând ărie: M HR..8 Teore oentului cinetic entru işcre discului în jurul ei se scrie: J ϕ! M..9 unde J este oentul de inerţie ecnic l coronei circulre în rort cu. M - oentul orţelor de reducere în rort cu de rotţie.

23 Citolul I.. Vibrtii libere Pentru unghiuri ici orţ orizontlă H se i ote scrie: G G Rϕ H tgθ.. Ecuţi dierenţilă işcării..9 devine: GR GR J ϕ! ϕ su ϕ! ϕ.. J Pusţi şi eriod vibrţiilor rorii în cest cz se scrie: GR π J, T π.. J GR Se ote deterin eerientl oentul de inerţie J l discului dcă se cunosc: lungie irului greutte s discului şi eriod vibrţiilor torsionle T cu jutorul relţiei: GR J T.. π d. Siste elstic ort din coruri şi discuri oogene Se consideră sisteul elstic cu un grd de, R libertte ort dintr-o rotă oogenă de să cre este legtă de ediul i rin interediul unei rticulţii este cre este înăşurt un ir cre re l un căt s M ir celăllt căt este înăşurt e o dou, R rotă oogenă de să şi legt de ediul i c în igur..6; ul celei de- dou roţi este legt de ediul i rin interediul unui rc de rigiditte. Să se deterine ulsţi, vibrţiilor libere le cestui siste. Dte nuerice: ; ; Fig...6 g; N/. Pentru scriere ecuţiilor de işcre se olosesc ecuţiile lui grnge: q! / R q! d.. dt q! q q! d Ec V q! /..5 dt q! q q! Pentru nliz cinetică işcării din igur..7 s- nott: q! / R q! q, q! delsre resectiv vitez generliztă corului de să ; q / R, q! / R rotire, resectiv vitez Fig...7 unghiulră corului de să

24 Citolul I.. Vibrtii libere R q q /, /! delsre centrului de să resectiv vitez unghiulră roţii de să. Energi cinetică totlă sisteului E c se scrie: R q R q R q R q E c!!!! 8 q E c!..6 Energi otenţilă sisteului V este: q V..7 Derivtele rţile se clculeză iedit: q q V q; q E dt d q; q E c c 8 8!!!!!..8 Ecuţi grnge..5 se scrie: 8 q q!!..9 Pulsţi rorie se deterină iedit:..5 e. Siste elstic orizontl cu o rotă oogenă Se consideră sisteul elstic cu un grd de libertte ort dintr-o rotă oogenă de să şi rză R cre este legtă de ediul i rin interediul unui rc de constntă c în igur..8. Rot se rostogoleşte ără lunecre e o surţă orizontlă Să se deterine ulsţi, vibrţiilor libere le cestui siste şi vlore iniă coeicientului de recre entru c vibrţiile să se roducă ără lunecre - Dte nuerice: ; ; g; N/, gs - Energi cinetică şi otenţilă sisteului se scriu: c q V q R q R q E ;!!!..5 q, R Fig...8

25 Citolul I.. Vibrtii libere 5 Înlocuind în relţi..5 se obţine: q! q q! q..5 Pulsţi rorie sisteului este:..5 Dcă se izoleză corul şi se introduc orţele de q legătură se ote scrie rinciiul l II le l, R dinicii obţinându-se: q! q q T..5 T q!! q q..55 T N Forţ de recre iă este: T Fig...9 T µ N..56 Rezultă vlore iniă coeicientului de recre entru cre se roduce rostogolire ără lunecre: µ g..57. Vibrţiile libere le unui cor it e o bră cu suorţi elstici Se consideră sisteul elstic ort dintr-un cor de să it e o bră dretă de lungie l distnţ de cătul ei, de rigiditte l încovoiere constntă EI şi să neglijbilă, sitută e două rezee elstice de constnte elstice ig...7. Să se deterine ulsţi rorie vibrţiilor corului. EI Fig...7 Fig...8 Sisteul elstic este echivlent cu cel din igur..8 cărui constntă echivlentă se clculeză cu jutorul relţiei:..58 e b unde b este constnt elstică l încovoiere brei şi re eresi:..59 b EI Pulsţi rorie sisteului este: e EI..6

26 Citolul I.. Vibrţiile libere cu ortizre vâscosă 6.. Vibrţii libere cu ortizre vâscosă... Ecuţiile generle Acest ti de vibrţii r în czul işcărilor în er l unui cor cu vitez v < /s su în czul işcărilor într-un ediu rezistent cu vâzcozitte ică, când orţ rezistentă vâscosă se consider roorţionlă cu vitez R cv, unde c este coeicientul de ortizre vâscosă. F e c R c! Fig... O! Modelului ecnic olosit este dt în igur.., iind ort dintr-un cor de să, un rc de constntă elstică şi un eleent de ortizre ce roduce o orţă rezistentă roorţionlă cu vitez şi de sens ous R c!, c este coeicientul de ortizre. Ecuţi dierenţilă işcării se scrie:! c!! c!.. su: c!!!... Dcă se noteză: c n unde n re diensiune unei ulsţii;.. tunci ecuţi dierenţilă.. se i scrie sub or :! n!.. Ecuţi crcteristică coresunzătore este: r nr..5 vând rădăcinile: r, n ± n..6 Se doesebesc urătorele czuri de rădăcini le ecuţiei crcteristice: n - < rădăcini cole - conjugte; b n - > rădăcini rele şi distincte; c n - rădăcini rele şi conundte. În czul c coeicientul de ortizre c vâscosă re o vlore liită nuită coeicient de ortizre critic c cr : ccr n c cr..7

27 Citolul I.. Vibrţiile libere cu ortizre vâscosă 7 Se deineşte ctorul de ortizre c rortul dintre coeicientul de ortizre c şi coeicientul de ortizre critic c cr : c n ζ..8 c cr Czul. Rădăcini colee conjugte Acest cz coresunde doeniului subcritic n < resectiv c < c cr şi se noteză: n Rădăcinile ecuţiei crcteristice..5 devin: r, n ± i.. Soluţi ecuţiei dierenţile.. este de or: nt e C cos t C sin t.. unde C şi C sunt constntele de integrre cre se deterină cu jutorul condiţiilor iniţile: t,! v... Derivând în rort cu tiul eresi.. se obţine: nt nt C cos t C sin t e C sin t C cos t! ne.. Introducând.. în.. şi.. rezultă: v n C ; C.. Deci soluţi ecuţiei dierenţile.. re or: nt v n e cos t sin t..5 Soluţi..5 se i scrie sub or: nt t Ae cos ϕ..6 unde A este litudine ir ϕ z iniţilă işcării osciltorului, cre obţin rin identiicre celor două relţii..5 şi..6: v n cos t sin t A cos t cos ϕ sin t sinϕ v n v n A ; tgϕ..7 Derivând eresi..6 se obţine vitez osciltorului: nt! Ae [ n cos t ϕ sin t ϕ ] su :..8! B e nt sin t ϕ θ unde B este litudine ir θ dierenţ de ză dintre viteză şi delsre, cre obţin rin identiicre celor două relţii:

28 Citolul I.. Vibrţiile libere cu ortizre vâscosă 8 [ t ϕ sin t ϕ ] B[ sin t ϕ cosθ cos t ϕ sinθ] A ncos B A n ; tgθ ege de vriţie delsării şi vitezei se scriu sub or: Ae nt nt cos t ϕ n t ϕ θ..9! Ae n sin.. Aceste eriă o işcre vibrtorie ortiztă, cu un dezj între viteză şi delsre de π/θ. Alitudine işcării delsre şi viteză scde în ti duă o lege eonenţilă, deci se obţine o işcre odultă în litudine. Mărie se nueşte seudoulsţie şi se eriă în uncţie de ctorul de ortizre ζ stel : c n c cr ζ.. Se observă că seudoulsţi este i ică decât ulsţi rorie coresunzătore vibrţiilor libere neortizte. Pseudoeriod T işcării ortizte este: π π T,.. n Pseudoeriod T se ote eri în uncţie de eriod vibrţiilor rorii T şi ctorul de ortizre ζ cu jutorul relţiei: π π π T T.. n ζ ζ Pentru urătorele vlori rticulre l retrilor: g; c Ns / ; 65N / ;, v / s ; n 7; β 5; A, 68; ϕ, 5 rd nt nt legile delsării şi vitezei: Ae cos t,! Be cos t ϕ θ ϕ se scriu sub or nlitică stel:, 68e 7t cos 5t, 75..! 75, 9e 7t sin 5t, 75, 5 / s Folosind rogrul MATHCAD delsre şi vitez s-u rerezentt în igurile.. şi... Vlorile ie le delsării elongţi iă A se obţin din condiţi de nulre vitezei! de unde rezultă tiii coresunzători: t ϕ θ π.. A Ae n ϕθ π cos π θ

29 Citolul I.. Vibrţiile libere cu ortizre vâscosă e 7 t cos 5 t.5.68 e 7 t.68 e 7 t t 5 Fig... ege de vriţie delsării t! t 75.9 e 7 t sin 5 t e 7 t 75.9 e 7 t Fig... ege de vriţie vitezei t.8 Pentru studi odul de ortizre işcării, se clculeză rortul două elongţii ie situte l un intervl de ti de o seudoeriodă: A A n ϕθ π πn Ae cos π θ e..5 n ϕθ π π Ae cos π π θ Relţi..5 indică tul că elongţiile ie ăsurte l un intervl de ti egl cu o seudoeriodă scd în rogresie geoetrică rortul este indeendent de ti. Pentru crcteriz cestă rogresie se deineşte decreentul logritic c logrit nturl l cestui rort:

30 Citolul I.. Vibrţiile libere cu ortizre vâscosă πn A πn πn ln e π n ζ δ ln..6 A ζ Folosind rogrul MATHCAD şi relţi..6 s- rerezentt în igur T.. şi..5 vriţi decreentului logritic şi vriţi rortului în uncţie T de ctorul de ortizre ζ conor relţiei Fig... Vriţi decreentului logritic cu ctorul de ortizre ζ ζ Fig...5. Vriţi rortului T cu ctorul de ortizre ζ ζ T

31 Citolul I.. Vibrţiile libere cu ortizre vâscosă Czul b. Rădăcini rele şi distincte n > Acest cz coresunde doeniului surcritic n > resectiv c > c cr. Rădăcinile ecuţiei crcteristice.55 sunt rele şi u vlorile: r, n " n n " λ..7 Soluţi ecuţiei dierenţile.. entru cest cz se scrie: nλ t nλ t t t C e Ce e B shλt B chλt..8 Derivt lui t se scrie: nt nb shλt nb chλt B λ chλt B λ shλt! t e..9 Constntele de integrre B şi B se deterină din condiţiile iniţile: t,! v... v n Înlocuind rezultă: B ; B.. λ Deci soluţi este o uncţie eriodică, hirebolică tinzând sitotic către oziţi de reus: nt v n e shλt chλt.. λ Dcă se consideră tru condiţii iniţile crcterizte de urătorele vlorile nuericeolosind rogrul MATHCAD şi relţi.. s-u obţinut cele grice din igur ; 6; 6; 6; ; ; ; ; λ ; λ ; λ ; λ ; ; v ; v ; v 8 ; v t ; ; v t ; ; v e t 5 sinh t cosh t e t sinh t cosh t e t 5 sinh t cosh t e t 5 sinh t cosh t t ; ; v 8 t.... t Fig...6. Vriţi delsării entru cele tru condiţii iniţile ; ; v.5

32 Citolul I.. Vibrţiile libere cu ortizre vâscosă Czul c. Rădăcini rele conundte n, n, c ccr Acest cz coresunde ortizării critice şi rădăcinile ecuţiei crcteristice..5 sunt rele şi egle: r r n Soluţi ecuţiei dierenţile entru cest cz este: nt C t e C.. Pentru liit t licând regul l Hositl se obţine: C t C C li li,.. t nt t e t ne dică işcre este eriodică tinzând sitotic l zero c şi în czul recedent. nt Derivt cestei soluţii se scrie: e nc t nc! C..5 Constntele de integrre C şi C se deterină din condiţiile iniţile: t,! v...6 rezultă: C v n ; C..7 nt e v n t..8 [ ] Sre eeliicre se consideră urătorele vlori:.; şi trei czuri entru condiţiile iniţile: v ; b v şi c v -. Înlocuind în..8 şi olosind rogrul MATHCAD s-u obţinut gricele din ig e.. 5. ege de vriţie delsării t entru condiţiile iniţile, v b. ege de vriţie delsării t entru condiţiile iniţile, v e e..9 5 c. ege de vriţie delsării t entru condiţiile iniţile, v Fig...7

33 Citolul I.. Vibrţiile libere cu ortizre vâscosă... Alicţie Se consideră sisteul ort din două coruri de se şi ig...8 legte între ele rintr-un rc vând constnt elstică şi un ortizor hidrulic vând coeicientul de ortizre c. Se cere să se deterine lege işcării reltive dintre cele două coruri ştiind că rezistenţ vâscosă este roorţionlă cu vitez reltivă: R c!! şi condiţiile iniţile sunt:!! vitez reltivă celor două coruri este nulă şi -. c Fig...8 Dcă se noteză cu şi delsările bsolute le celor două coruri, ăsurte dintr-o oziţie când rcul este nedeort, delsre reltivă celor două coruri!!! este eglă cu deorţi rcului. Ecuţiile dierenţile le işcării corurilor sunt ig...:!! c!,..9!! c!. Fe - Înulţind ri ecuţie cu şi dou cu, rin scădere se obţine: R c!!!! c! Fe -! R c! Înlocuind în eresi soluţiei..5 condiţi iniţilă v se obţine: Notând: Fig...9! c!... Dcă se noteză: se obţine ecuţi dierenţilă.. işcării reltive:! c!... nt v n e cos t sin t nt n e cos t sin t.. n n A, tgθ,..

34 Citolul I.. Vibrţiile libere cu ortizre vâscosă rezultă: nt A e cos t θ.. Pseudoulsţi işcării reltive este: unde: c n...5 c cr..6 c c r..7 Pentru eeliicre se consideră urătorele vlori nuerice le retrilor: ; v ; c,6; ;,5;. Înlocuind se obţine: c, ; n ; ccr ; ; 99, 9 ege de işcre se scrie: t 99, 9t,, 8 e cos..8 Folosind rogrul MATHCAD se obţine gricul delsării reltive din igur... t 5.8 e t cos 99.9 t. 5 Fig t.5

35 Citolul I -.. Vibrţii libere cu ortizre usctă 5.. Vibrţii libere cu ortizre usctă Acest ti de vibrţii r în czul işcărilor unui cor e o surţă usctă când orţ rezistentă de recre usctă este constntă şi re sens ous vitezei R T sign,! unde T µ g este orţ de ecre usctă iă, ir sign! ± duă cu vitez este ozitivă su negtivă ig.... Condiţiile l oentul iniţil sunt:,!. F e Fig... O! T µg Pentru ri ză işcării corul se delseză sre oziţi de echilibru şi cuţi dierenţilă işcării se scrie:! µ g! µ g.. Se noteză:, unde este ulsţi rorie... Soluţi ecuţiei dierenţile.. este ortă din su dintre soluţi ecuţiei dierenţile oogene şi o soluţie rticulră: µ g Acos t B sin t..! A sin t Bcos t π!"pentru ri seieriodă t,, introducând condiţiile iniţile t,!.. µ g µ g A A se obţine: Bcos t B..5 µ g π Dcă se noteză soluţi entru subintervlul t, este: cos t! sin t..6 Duă ri seieriodă delsre şi vitez rezultă din..6 înlocuind : π t ;!..7

36 Citolul I -.. Vibrţii libere cu ortizre usctă 6 Soluţi entru urătorul subintervl eistă dcă orţ elstică este i re decât orţ de recre: > µ g..8 > π π!"pentru dou seieriodă: t,..9 se schibă nui sensul orţei de recre T şi ecuţi dierenţilă se scrie:! µ g! µ g.. soluţi ecuţiei dierenţile este de or: µ g A* cos t B* sin t! A* sin t B* cos t.. Înlocuind în condiţiile iniţile..9: ;!, se obţine: µ g A* A* B* B*.. π π Soluţi entru subintervlul : t, se scrie: cos t..! sin t Duă dou seieriodă delsre şi vitez rezultă din.. înlocuind : π t ;!.. Eistenţ soluţiei rezultă din condiţi c l oentul t π / orţ elstică să ie i re decât orţ iă de recre: µ g > µ g > > 5..5 Pentru celellte seieriode odul de rezolvre este siilr dr condiţiile iniţle sunt ltele litudine scde cu iecre seieriodă cu. π π Pentru seieriod t,, N..6 ţinând se de relţiile..7 şi.., soluţi generlă se scrie: cos t..7! sin t Eistenţ soluţiei rezultă din condiţi c l oentul t π / orţ elstică să ie i re decât orţ de recre iă: µ g > µ g > >..8

37 Citolul I -.. Vibrţii libere cu ortizre usctă 7 π Dcă se consideră schibre de vribilă: t, R soluţi..7 se scrie nlitic sub or: int cos π..9! int sin π Pentru rerezent sub oră grică soluţi nlitică obţinută..9 se consideră urătorele vlori nuerice le retrilor:, g; N / ; µ, ; g / s ;.. ; Soluţi nlitică..9 entru ceste vlori se scrie: ceil ceil cos π..!. ceil sin π / s unde s- olosit uncţi Mthcd: ceil [].. Rerezentările grice le uncţiilor delsre şi viteză entru cest cz rticulr sunt dte în igur... Mişcre se oreşte tunci când orţ elstică este i ică decât orţ de recre: F e < µ g < µ g >.. Pentru eelul considert nuărul de seieriode duă cre işcre înceteză este dt de condiţi: < µ g > 5.. Acest lucru se observă şi din digrele işcării din igur... t 5! t ceil cos[.] ceil. ceil sin[.] 5 5 Fig.... Rerezentre delsării şi vitezei in czul vibrţiilor cu ortizre usctă 5

38 Citolul I -.. Vibrţii orţte ără ortizre 8.. Vibrţii orţte ără ortizre sub cţiune unei orţe ronice Se consideră czul rticulr l vibrţiilor orţte ără ortizre sub cţiune unei orţe erturbtore ronice: F F cosω t. Modelul tetic este un siste ecnic ort dintr-un eleent elstic de constntă şi un cor de să cţiont de orţ erturbtore F ig.... Condiţiile l oentul,! v.. iniţil sunt: F e F F cos ωt Fig... O Ecuţi undentlă dinicii se scrie:! F cos ωt.. F Dcă se c notţiile:, q.. relţi..se i ote une sub or:!! qcos ωt.. Ecuţi dierenţilă.. este liniră, neoogenă, cu coeicienţi constnţi. Soluţi generlă se coune din soluţi ecuţiei oogene coresunzătore l cre se dugă o soluţie rticulră ecuţiei neoogene: Acos t B sin t..5 unde soluţi rticulră ecuţiei dierenţile neoogene este de or: C cos ωt..6 Constnt C se deterină rin etod indentiicării în iotez că ω. Dcă se deriveză..6 de două ori şi se introduce în.. se obţine: Cω cos ωt Ccos ωt qcos ωt..7 de unde rezultă: q C ω q C..8 ω Constntele de integrre A şi B se deterină introducând condiţiile iniţile.. în eresiile soluţiei şi derivtei coresunzătore: q Acos t B sin t cos ωt ω..9 qω! A sin t Bcos t sinωt ω

39 Citolul I -.. Vibrţii orţte ără ortizre 9 Înlocuind rezultă: q q A A ω ω.. v v B B Deci lege de işcre..5 se scrie: v q q cos t sin t cos t cosωt.. ω ω Eresi legii de işcre rtă o vibrţie neronică deorece se surun două işcări ronice de ulsţii dierite: o vibrţie rorie de ulsţie riii trei tereni din relţi.. şi o vibrţie orţtă cărei ulsţie este eglă cu ce orţei erturbtore ω ultiul teren din relţi... În eresiile vibrţiilor de ulsţie sunt incluse tât condiţiile iniţile şi v cât şi litudine resectiv ulsţi orţei erturbtore qf /, ω. Ultiul teren coresunzător vibrţiei de ulsţie ω este indeendent de condiţiile iniţile. În czul rticulr şi v relţi.9 devine: q q cos t cosωt.. ω ω Alitudine vibrţiei orţte conor legii de işcre.. este: F F F q A ω ω ω ω.. F A ω Se noteză cu F A deorţi sttică sisteului elstic sub cţiune unei orţe vând vlore litudinii orţei erturbtore F. Se deineşte ctorul de liicre ξ stel: A ω ξ ; unde : η st η.. Rerezentre grică cestei uncţii de η rerezintă curb de rezonnţă su curbă răsuns în recvenţe sisteului şi este rerezenttă în ig...

40 Citolul I -.. Vibrţii orţte ără ortizre 8 signu 6 ξ η Fig.... Vriţi ctorului de liicre ξ cu ulsţi reltivă η η... Fenoenul de rezonnţă Se observă că entru ω re loc enoenul de rezonnţă cre roduce litudini ininite le vibrţiilor. Prctic însă litudinile nu ting vlori ininite, ci se roduc deorţii orte ri cre ot duce l deteriorre ieselor lte în rezonnţă. Dcă în eresi.. se trece l liită ω re o nedeterinre de or. Pentru rdic nedeterinre lică regul lui l Hositl, stel: cos t cos t t sin t qt li ω ω R q li q sin t..7 ω ω ω ω Se obţine stel o litudine odultă de o uncţie liniră de ti. În czul rezonnţei işcre ronică odultă în litudine este deztă în ur orţei erturbtore cu π / în cudrtur cu cest. Întrdevăr eresi..7 se i scrie: qt qt π R sin t cos t..8 În ig... s- rerezentt cu jutorul rogrului Mthcd uncţi qt R t sin t entru vlorile rticulre le retrilor şi q8.

41 Citolul I -.. Vibrţii orţte ără ortizre t R 5 sin 5 Fig.... Vriţi litudinii în ti entru rezonnţă t... Fenoenul bătăilor Acest enoen re în czul vibrţiilor orţte neortizte su ortizre ică stel încât se ote neglij, nui tunci când ulsţi orţei erturbtore este orte roită de ulsţi rorie, în roiere unctului de rezonnţă. Se noteză ω ε ε <<. Dcă în relţi.. se roieză / ω si ω ω se obţine: q q ω ω t ω ω cos ωt cos t sin t sin..9 q sinεt sinωt.. ωε Se obţine stel o vibrţie de ulsţie ω odultă în litudine cu uncţi ronică de ulsţie: q A t sinεt.. ωε Fenoenul bătăilor rerezintă o vriţie eriodică litudinii vibrţiei tunci când recvenţ orţei erturbtore re vlori în jurul recvenţei de rezonnţă: ω ε.

42 Citolul I -.. Vibrţii orţte ără ortizre În igur.. s- rerezentt cu jutorul rogrului Mthcd uncţi q t sinεt sinωt entru vlorile q, ε.5 şi ω. ωε t 5 sin.5 sin Fig.... Vriţi litudinii vibrţiilor în tiul enoenlui de bătăti t... Fenoenul de nterezonnţă Acest enoen re în czul vibrţiilor orţte neortizte când ω << dică îninte de enoenul de rezonnţă. În czul rticulr şi v relţi. se scrie: q q ω ω cos t cos ωt sin t sin t ω ω.. ω S- obţinut stel o işcre de ulsţie odultă în litudine de o uncţie ronică de ulsţie i ică ω /. Pentru urătorele vlori q, 5, ω se obţine cu jutorul rogrului MATHCAD gricul din igur..5. Pentru urătorele vlori le retrilor coresunzători condiţiilor iniţile: q ; v.. ω relţi.. devine ecuţi vibrţiilor stţionre: q cos ωt..5 ω Se observă în cest cz că işcre este în ză cu orţ erturbtore F q cos ωt..6

43 Citolul I -.. Vibrţii orţte ără ortizre În igur..5 s- rerezentt cu jutorul rogrului Mthcd uncţi.. entru vlorile rticulre q, 5 şi ω t.5 sin 7 sin Fig...5. Vriţi litudinii l nterezonnţă t.... Fenoenul de ostrezonnţă Acest enoen re când ω >> în czul vibrţiilor orţte neortizte dică îninte de enoenul de rezonnţă. În czul rticulr şi v relţi.. se scrie: q q ω ω cos ωt cos t sin t sin t..7 ω ω S- obţinut stel o işcre de ulsţie ω / odultă în litudine de o uncţie ronică de ulsţie ω /. Pentru urătorele vlori le retrilor coresunzători condiţiilor iniţile: q ; v..8 ω relţi.. devine ecuţi vibrţiilor stţionre: q q cos ωt cos ωt π..9 ω ω Se observă în cest cz că işcre este în ooziţie de ză cu orţ erturbtore: F q cos ωt.. În igur..6 s- rerezentt cu jutorul rogrului MATHCAD uncţi.. entru vlorile rticulre q, şi ω

44 Citolul I -.. Vibrţii orţte ără ortizre t.5 sin 7 sin Fig...6. Vriţi litudinii l ostrezonnţă t.

45 Citolul I -.5. Vibrţii orţte cu ortizre vâscosă 5.5. Vibrţii orţte cu ortizre vâscosă sub cţiune unei orţe ronice Se consideră czul vibrţiilor orţte ortizte roduse de o orţă erturbtore ronică: F F cos ω t. Modelul tetic este rezentt în igur.5., şi este ort dintr-un cor de să cţiont de o orţă erturbtore ronică F F cos ω t, un eleent elstic de constntă, un eleent de ortizre vâscosă ce roduce o orţ rezistentă roorţionlă cu vitez R cv, c este coeicientul de ortizre vâscosă. Condiţiile l oentul iniţil sunt: t,! v.5. c Fig..5. F e R c! F F cos ωt Ecuţi undentlă dinicii se scrie:! c! F cos ωt.5. c F Dcă se c notţiile:, n, q.5. ecuţi dierenţilă.5. se i ote une sub or:! n! qcos ωt.5. Ecuţi dierenţilă.5. este liniră, neoogenă, cu coeicienţi constnţi.. Soluţi ecuţiei oogene o coresunzătore entru doeniul subcritic c < c cr este o vibrţie ortiztă seudoeriodică de or: o nt Acos t B sin t ; e.5.5 n b. Soluţi ecuţiei oogene o coresunzătore doeniului surcritic c > c cr este o işcre eriodică de or: nt o e A shλt B chλt, λ n.5.6 În riul cz soluţi generlă se coune din soluţi ecuţiei oogene coresunzătore l cre se dugă o soluţie rticulră ecuţiei neoogene: t Acosβt B sinβt e.5.7 Soluţi rticulră ecuţiei dierenţile neoogene este de or: D sin ωt E cos ωt.5.8 Constntele D şi E se deterină rin etod indentiicării. Se deriveză de două ori soluţi rticulră.5.8 şi se obţine:

46 Citolul I -.5. Vibrţii orţte cu ortizre vâscosă 6!!! ω ω D cosωt E sinωt D sinωt E cosωt cre introduse în.5. conduce l: ω D sinωt E cosωt nω D cosωt E sinωt Dsinωt Ecosωt q cosωt Prin identiicre celor doi ebrii i relţiei.5. rezultă: D ω Enω Dnω E ω q de unde se obţin constntele D şi E: nωq D ω ω n E ω q ω ω n Soluţi rticulră este indeendentă de condiţiile iniţile şi re eresi: nωq ω n ω ω ω sin ωt q cos ωt.5. n ω C cos ωt θ.5. cre i ote i scrisă sub or: q C D E n ω D nω tgθ E ω Eresi soluţiei generle.5.7 şi derivtei ei se scrie: ω unde: e nt nt Acos t Bsin t ω nacos t nbsin t A sin t B cos t ω nωq sinω t ω n ω ω ω ω ω q cosω t ω n nω q q cosω t sinωt ω n ω n Introducând condiţiile iniţile.5. în.5.6 se obţine: q ω A ω ω n nω q v na B ω ω n.5.5! e

47 Citolul I -.5. Vibrţii orţte cu ortizre vâscosă 7 rezultă constntele de integrre A şi B: q ω A ω ω n v n n ω q B ω ω n Prin urre, işcre sisteului este crcteriztă de lege: nt v n e cos t sin t ω ω qe nω q nt ω n ω n ω cos t ω cosωt ω ω n q ω n ω sinωt sin t Ecuţi.5.9 rtă tul că lege de işcre corului se obţine rin însure urătorelor trei legi de işcre:!"o vibrţie de seudoulsţie dtortă condiţiilor iniţile!"o vibrţie de seudoulsţie dtortă orţei erturbtore!"o vibrţie stţionră vând ceeşi ulsţie ω cu orţei erturbtore Se consttă că într-o riă ză işcării vibrţi rorie şi vibrţi întreţinută coeistă. Acestă ză se nueşte regi trnzitoriu. În dou ză nt işcării, vibrţi rorie se ortizeză dtorită ctorului e şi sisteul vibreză nui cu ulsţi orţei erturbtore ω. Acestă ză se nueşte regi ernent su stţionr. Proble deterinării soluţiei vibrţiei stţionre în czul de i sus se i ote rezolv utilizând clculul cole. Ecuţi coleă socită işcării cu ortizre vâscosă se scrie sociind o ecuţie siilră ecuţiei.5.:!! n! qcos ωt.5.!! y ny! y qsinωt i Însuând rezultă: iωt! z nz! z qe ; iωt unde : z iy si e cos ωt i sinωt.5. unde şi y rerezintă soluţiile ecuţiilor dierenţile conjugte: Soluţi stţionră ecuţiei.5. si derivtele ei sunt de or: zst i ωtϕ iϕ iωt Ae Ae e A ~ iωt e ; z! st i A ~ iωt ω e ;.5.!! zst A ~ iωt ω e. Introducând în ecuţi.5. se obţine litudine coleă işcării stţionre A ~ :

48 Citolul I -.5. Vibrţii orţte cu ortizre vâscosă 8 ω Ae A ~ iωt n iωae ω nωi q iωt qe q A ~ ω nωi rezultă soluţi stţionră coleă: i t q i t st A ~ ω ω z e e.5. ω nωi Soluţi stţionră relă se scrie: q [ ω cosωt nω sinωt] ω nω.5.5 ωt θ ; Ae iωt iωt.5. su : A cos unde: A q nω ; tgθ ω ω ω n.5.6 este litudine resective z işcării stţionre este: Se obţine stel ceeşi ecuţie işcării.5.. Pentru eeliicre se consideră o vibrţie orţtă cu urătorele vlori rticulre le retrilor: ; v ; ; ω 6; 9; q 9. Introducând în relţi.5.9 se obţine ecuţi işcării: 9t e cos t. 68 sint cos6t 5. sin6t Rerezentre grică cu jutorul rogrului MATHCAD soluţiei generle.5.5 cât şi soluţiei stţionre coresunzătore: st cos6 t 5. sin6t este dtă în igur.5.. Se observă din ceste grice că soluţi generlă se obţine rin surunere soluţiei stţionre cu soluţi vibrţiilor rorii. t e 9.5 cos.6 sin cos 6 5. sin 6 e 9.5 cos.6 sin cos 6 5. sin 6.5 Fig..5.. Vriţi litudinii virţiilor orţte cu ortizre vâscosă t.