ARTICOLE METODICO-ŞTIINŢIFICE O APLICAŢIE A CERCULUI LUI EULER Prof Ileaa Stoica, Liceul Adrei Mureşau Braşov La cocursul iterjudeţea Laureţiu Duica de la Braşov, ediţia 3 a fost propusă la clasa a VII-a următoarea problemă: Î iteriorul uui triughi ABC se cosideră u puct oarecare M Notăm cu G, G, G 3 cetrele de greutate ale triughiurilor BMC, AMC şi respectiv AMB Se cere: a) Să se demostreze că dreptele AG, BG, CG 3 sut cocurete îtr-u puct P; b) Să se determie poziţia puctului M astfel îcât puctul P să fie egal depărtat de mijloacele laturilor triughiului ABC Prof Romeo Ilie, Braşov Vom da o demostraţie a acestei probleme folosid ueler ezultate remarcabile atribuite matematiciaului elveţia Leohard Euler (77- ) Teorema (cercul lui Euler) Fie ABC u triughi cu ortocetrul H Dacă D, E, F sut mijloacele laturilor [ AB],[ AC ], respectiv [ BC ], R, S, T puctele de itersecţie ale îălţimilor di A, BCcu, laturile opuse şi X, Y, Z mijloacele segmetelor [ AH],[ BH],[ CH ], atuci puctele DEFRST,,,,,, XYZsut,, cociclice Cercul pe care sut situate se umeşte cercul lui Euler sau cercul celor 9 pucte Teorema (dreapta lui Euler) Dacă P este cetrul cercului lui Euler, G cetrul de greutate al triughiului ABC, iar H ortocetrul triughiului ABC, atuci: a) puctele P, G, H sut coliiare (dreapta lui Euler) b) HP = 3PG Demostraţia se face î mai multe etape: Etapa I Se arată că patrulaterele DRFE, DTFE, FESD sut iscriptibile Cum trei pucte ecoliiare determiă u cerc, rezultă că puctele DEFR,,,, STsut, cociclice De exemplu, să arătăm că patrulaterul DRFE este iscriptibil Î ABC, DE este liie mijlocie, deci DE BC, şi astfel DRFE trapez Î ABC, FE este liie mijlocie deci FE = AB Î ABR, avem că m( ARB ) = 9, RD este mediaă, deci RD = AB Aşadar RD = FE şi DRFE este trapez isoscel, 6
deci patrulater iscriptibiletapa II Se arată că patrulaterele DTXR, YRFS, ZEST sut iscriptibile Cum fiecare patrulater coţie trei pucte deja situate pe u acelaşi cerc (etapa I) rezultă că toate cele 9 pucte sut cociclice Arătăm că DTXR este patrulater iscriptibil Î ABH, DX este liie mijlocie Rezultă că DX BH şi m( ADX) = m( ABH), () Î patrulaterul THRB avem m( BTH) + m( HRB) = 9 + 9 = 8, deci THRB este patrulater icriptibil şi m( TRH) = m( TBH), () Di () şi () rezultă că m( ADX) = m( TRX), deci patrulaterul DTXR este iscriptibil Etapa III Notăm cu N mijlocul segmetului [ BG ], G cetrul de greutate al triughiului ABC Se obţie că BN = NG = GE Î cercul lui Euler, m( YSE ) = 9,deci YE este diametru, iar P este mijlocul segmetului [ YE ] Î YEN, PG este liie mijlocie, deci PG YN şi YN = PG Î BHG, YN este liie mijlocie, deci YN HG şi HG = YN Folosid axioma lui Euclid se obţie că P, G, H sut pucte coliiare, şi, î plus, HG = 4PG şi HP = 3 PG Rezolvarea problemei di cocurs a) Fie Q mijlocul segmetului MC, (figura ) Î BMC, BQ este mediaă, iar G QG cetrul de greutate Rezultă că = Î AMC QB 3, AQ este mediaă şi avem că QG QA = 3 şi QG QG = Di reciproca teoremei lui Tales se obţie că GG ABşi QB QA GG AB = 3 Fie { P } =AG BG Di GG ABcu teorema fudametală a asemăării se obţie GG PG PG = =, deci AB AP BP PG AP =,(3) Fie V mijlocul 3 segmetului [ MB ] Î ABM, VG3 AV este mediaă şi AV = 3 Î VG BMC, CV este mediaă Rezultă că CV = 3 şi VG3 VG =, iar di reciproca teoremei AV CV GG 3 lui Tales avem că GG 3 AC şi AC = 3 Fie { P } = AG CG3 Di GG 3 AC cu GG 3 PG PG 3 PG teorema fudametală a asemăării se obţie = =, deci AC AP CP AP = 3,(4) Di (3) şi (4), P, P [ AG] rezultă că P, P coicid deci AG BG CG3 = { P} 7
b) Puctul P fiid egal depărtat de mijloacele laturilor rezultă că este cetrul cercului lui Euler Fie G cetrul de greutate al triughiului ABC şi F mijlocul segmetului [ BC ] Î AG FM GP 3 triughiul AAPavem = = Di reciproca teoremei lui Meelau GF G M PA 3 puctele M, GPsut, coliiare Î triughiul MGF, puctele A, PG, sut coliiare AG FG MP Cu teorema lui Meelaus se obţie = deci MP = de ude AF G M PG 3 PG MP 3 PG = şi MP = 3PG Avâd î vedere proprietatea cetrului cercului lui Euler, HP = 3PG, rezultă că M = H Aşadar dacă M este ortocetrul triughiului, puctul P este egal depărtat de mijloacele laturilor Asupra uei probleme cu ceviee izogoale Prof Silvia şi Ioel Brabeceau, Plopei, Prahova Problema pusă î discuţie poate fi tratată separat folosid teorema fudametală a asemăării, teorema bisectoarei, teorema lui Steier, formule trigoometrice Defiitii Ceviaa îtr-u triughi este dreapta determiată de u vârf al triughiului şi u puct de pe latura opusă Ceviee izogoale sut cevieele egal îcliate faţă de laturile care pleacă di acelaşi vârf cu ele Teorema lui STEINER Dacă AM şi AN sut ceviee izogoale î triughiul ABC atuci are loc egalitatea AB BM BN = AC CM CN Demostratie: Pri vârfurile B, respectiv C ale triughiului ABC costruim paralele la laturile opuse Se obţie astfel paralelo- E = AM BD gramul ABDC Notăm { } şi { F} = AN CD, (figura ) Cu Figura teorema fudametală a asemăării găsim se obţie că BE = BM AB BN şi = Relaţia AC CM CF CN de demostrat devie BE = AB, adevărată di asemăarea ABE ~ ACF CF AC Problemă Î triughiul îălţimea şi mediaa di vârful A împart ughiul BAC î trei ughiuri cogruete Să se afle măsurile ughiurilor triughiului dat Prelimiarii Notăm cu x măsura comuă a ughiurilor BAD, DAM, MAC, ude 8
AD BC şi BM = MC, (figura ) Î codiţiile problemei triughiul ABM este isoscel Îtr-adevăr AB = AM, deoarece AD este îalţime şi bisectoare î triughiul ABM BC Rezultă că BD = DM =, (*) 4 Soluţia Îtru-cât AD şi AM sut ceviee izogoale, aplicăm teorema lui Steier şi avem di (*), b = 3c Dar cum m a b + c a = şi 4 b + c a c = m a obţiem c =, 4 rezultat care coroborat cu cel precedet e dă a triughiul este dreptughic î A Atuci x = 3 Soluţia 9 = 4c Pri urmare a = b + c şi m B ˆ = 6 mc ˆ = 3 şi ( ) Coform teoremei bisectoarei aplicată î triughiul ADC avem AC deci x = 3, iar ( ) AD DM = =, deci AC MC AD = şi atuci î triughiul dreptughic ADC, m( E) = 3, iar m( DAC) = 6 Pri urmare m ( A ) = 9, iar m( B) = 6 Soluţia 3 Presupuem ca ughiul A al triughiului dat este ascuţitughic Deoarece AD şi AM sut izogoale rezultă că AM trece pri cetrul O al cercului circumscris triughiului ABC şi deci această dreaptă este chiar mediatoarea laturii[ BC ], iar triughiul ABC este isoscel Î acest caz puctele D şi M coicid, deci x = Absurd! U raţioamet aalog exclude şi ipoteza că ughiul A este obtuz şi atuci cochidem că triughiul ABC este dreptughic î A Rezultă că x = 3 şi atuci m ( B ) = 6, iar m( C) = 3 Soluţia 4 Deoarece [ AM ] este mediaă, atuci AABM = AACM şi astfel AB AM si x = AC si x = AM AC si x, deci AB si x = AC si x Se obţie că = = AB si x si x cosx = = cosx Dar î triughiul si x Figura 3 AD dreptughic ABD avem că cos x = se AB AC AD AC obţie relaţia =, deci AD = AB AB Di triughiul dreptughic ADC rezultă că m ( C) = 3 şi m( DAC) = 6 Aşadar = 9, = 6 x = 3,deci m( A) m( B) Figura,
Soluţia 5 Fie ME AC, E AC (figura 3) Dar (AM este bisectoarea ughiului DAC Se obţie că ME = MD = şi m( DAC) 6 = Aşadar x = 3 ( B) = 6 MC = Di triughiul MEC dreptughic rezultă că m( C) = 3 de ude m ( A ) 9 =, m Soluţia 6 Fie E simetricul lui A faţă de BC Triughiul ACE este isoscel cu AC = CE şi CM ( CD ) mediaă Cum DM = rezultă că puctul M este cetrul de greutate al Figura 4 triughiului AEC şi AM coţie mediaa şi, deci AE = AC = CE Rezultă că triughiul ACE este bisectoarea ughiului ( CAE) echilateral, deci m( CAE) = 6 ( ) mc ˆ = 3 şi x = 3 m A ˆ = 9 Aşadar ( ) Pledoarie petru studiul surselor origiale () m B ˆ = 6, ( ) Prof Paul Eache, Colegiul Naţioal Aastasescu, Roşiorii de Vede Vom prezeta î cotiuare o parte di rezultatele lui Euler, di capitolul 5 umit Asupra aflării sumelor seriilor porid de la termeul geeral Cosiderăm o serie al cărei terme geeral, idexat după x este y, şi al cărei terme precedet, cu idicele x este v Deoarece v se obţie di y, îlocuid pe x cu x, 3 4 5 dy ddy d y d y dy vom avea relaţia: v = y + + + () dx 3 4 5 dx 6dx 4dx 9dx Euler exprima valoarea fucţiei v î x î fucţie de valoarea sa y î x şi de valorile derivatelor sale, evaluate implicit tot î x Practic, formula de mai sus este formula lui Taylor (desigur, se presupue tacit că ea poate fi aplicată, adică fucţiile sut idefiit derivabile, iar seria Taylor coverge) Să mai observăm că simbolurile x şi y sut folosite petru a desema valoarea uui idice atural şi valoarea uei fucţii evaluată aici Î zilele oastre o astfel de scriere ar produce multe cofuzii Iată de ce vom formula de aici îcolo cu otaţiile modere Astfel, relaţia () devie: f '( x ) f ''( x) f '''( x ) f( x ) = f( x) + +!! 3! f '( k ) f ''( k) f '''( k ) Petru x = k, obţiem f( k ) = f( k) + + ()!! 3!,
Să otăm S ( ) = f( k), T ( ) = fk ( ) Atuci T ( ) = S ( )- f ( ) + f() ( ) k = Îsumâd relaţiile () petru valorile lui k de la la, obţiem: f '( k) f ''( k) f '''( k) f( k ) = f( k) + +,(3)!! 3! f '( k) f ''( k) f '''( k) Deci, T ( ) = S ( ) + - +!! 3! f '( k) f ''( k) f '''( k) Di ( ) rezultă f()-f()= - + -, sau echivalet!! 3! f '( k) f ''( k) f '''( k) =f()-f()+ - + (4)!! 3! Deci, dacă ştim sumele ai căror termei geerali sut f (k), f (k),,putem calcula suma al cărei terme geeral este f (k) Î particular, metoda se poate aplica petru fucţiile de tip putere, petru care derivatele de la u aumit ordi se aulează Exemplul : Dacă f(x)=x 4 Atuci f (x)=4x 3, f (x)=x, f (x)=4x, f (IV) (x)=4 3 4k Îlocuid î formula (4), rezultă: = 4 k 4k 4 -+ - + k =! k = 6 4 3 Se obţie 4 k = 4 + 3 + 3 ( + ) Deci, k = 4 Exemplul : f(x)=x 5 Atuci f (x)=5x 4, f (x)=x 3,f (x)=6x, f (IV) (x)=x, f (V) (x)= 4 Formula (4) devie : 5k = 5 3 k 6k k + - + - 6 4 4 ( + )(+ )(3 + 3 ) Rezultă k = 3 Dacă î formula (4) avem f() = şi otăm f (k) = g(k), atuci vom avea: g '( k) g ''( k) g '''( k) =G()+ - + - (5), ude G este o primitivă a lui g! 3! 4! Derivâd relaţia (5), obţiem : g ''( k) g '''( k) ( iv) g '( k) =g()+ - + - (6)! 3! 4! Puâd î relaţia (6), î rolul lui g pe g, avem : g '''( k) ( iv) g ''( k) =g ()+ - + (7) Puâd di ou î rolul lui g pe g,! 3! ( iv) ( v) obţiem: g '''( k) =g ()+ - + (8)! 3! Îlocuid î (5), rezultă =G()+! ( g()+ g ''( k) g '''( k) ( iv) - + -)-! 3! 4!
- 3! ( g ()+ g '''( k) ( iv) - +)+ ( )! 3! 4! ( g ()+ iv ( v) - +)-! 3! şamd (8) Dar, pe de altă parte putem exprima: =G()+α g()+ β g ()+ γ g ()+δ g ()+ (*) Rezultă imediat că α = Di (8), obţiem: =G()+ g()- 3! g ()+ g ''( k) - - 4!! 3! ( iv) +( + ) + = G()+ 6 66 g()- 6 g ()+ 4 (g ()+ g '''( k) - ( iv) +) + g ''( k) - g '''( k) + ( iv) 3! 4 6 9 Rezultă că β = 4-6 = Cotiuâd calculele, vom obţie γ =, δ =, ε = 7,(pri alteraţă, câte uul di termei se aulează) g '''( k) Aplicaţii ) Dacă g(x)=x se obţie că: 3 k =G()+α g()+ β g ()+ γ g ()= + 3 + ( + )(+ ) = 6 ) Dacă g(x)=x 4 se obţie că: 4 k = G()+α g()+ β g ()+ γ g ()+δ g ()+ ε g (iv) 5 () = 5 + 4 + 43-7 4 5 4 3 6 + 5 + = 3 Euler a rescris formula (*), redeumid coeficieţii, aume: =G()+ g()+ α β γ g ()+ g ()+ g (v) δ ()+ g (7) ε ()+ g (9) ()- 3! 5! 7! 9!! (ţiâd cot că termeii se aulează pri altraţă ) Putem observa că dacă împărţim aceste umere la umerele impare, vom obţie : α = 3 6 = B β, =- 5 3 = B γ 4, δ = 7 4 = B 6, =- 9 3 =B ε 5 8, = 66 = B şamd ude (B ) sut umerele lui Beroulli, cu otaţia moderă Ulterior, Euler, dar şi alţi matematiciei au descoperit o sumedeie de proprieţăţi iteresate ale umerelor Beroulli, iar formula de calcul petru sumele de puteri a putut fi r r Bk r! r k+ rescrisă sub forma k = k!( r k + )! (se spue că ştiid primii termei ai şirului (B ), Beroulli a calculat î câteva miute + +3 ++ =94994444434449445 ) Iată î cotiuare câteva proprietăţi ale umerelor Beroulli:
k r r ) Formula de calcul este: B = ( ) Cr k Euler a calculat umerele lui k + r= Beroulli pâa la B 3 U secol mai târziu, JC Adams a calculat aceste umere pâă la B 4 Î, caadieii Simo Plouffe şi Greg J Fee au calculat B 75, u umăr cu 339993 de cifre, folosid calculatorul persoal, î de ore Metoda de calcul se bazează pe legătura ditre umerele Beroulli şi fucţia zeta, permiţâd calculul uui aumit umăr di şir fără a fi evoie să se calculeze termeii ateriori ai şirului ) DH Lehmer şi L Carlitz au stabilit şi alte proprietăţi Astfel: k 6k 6k + CBk =, C6+ 3B6k = +, C6+ 5B6+ = (6 + 5) 3 3) Karl vo Staudt (798-867) şi Thomas Clause (8-885) au descoperit idepedet o teoremă ce afirmă că suma ditre B k şi suma iverselor umerelor prime p cu proprietatea că p- divide k este u umăr îtreg, adică -B k (mod p) 3 ( p )k p (Teorema Clause-vo Staudt) De exemplu, petru k = 6, B + + + + 34 (mod ) ( p ) p 3 5 7 3 73 O coseciţă imediată a acestei teoreme este că petru orice umăr prim k de forma 3+ avem B k 6(mod ), deoarece p- k = (3+ ) umai dacă p - este uul ditre umerele,, 3+, 6+, deci p este uul ditre umerele, 3, 3+, 6+3 Dar 6+3 este divizibil cu 3, iar 3+ este par deoarece 3+ este prim Deci sigurele umere prime cadidate sut şi 3 Primele umere prime de forma 3+ sut 7, 3, 9, 3, 37, 43, 6, 67, 73, 97,, deci avem egalităţile: B 4 B 6 B 38 B 6 B 74 B 86 B B 34 B 46 B 58 B 94 6(mod ) Teorema lui Staudt este foarte importată petru că permite calcularea exactă a acelor umere ale lui Beroulli petru care se cuoaşte o aproximare suficiet de buă Î afară de teoria seriilor, umerele Beroulli au multe aplicaţii î topologia difereţială, aaliza matematică şi teoria umerelor Sut legate chiar de Marea Teoremă a lui Fermat, care afirmă că petru 3, îtreg, ecuaţia x + y =z u are soluţii umere îtregi, eule Îcă de câd Fermat a formulat-o, pe la 63, geeraţii de matematiciei au îcercat să demostreze acest euţ Primul rezultat remarcabil l-a obţiut Erst Kummer (8-893) care a demostrat că teorema este adevărată petru umerele prime regulate, obţiâd u criteriu de regularitate foarte frumos: u umăr prim p este regulat p u divide umărătorii umerelor B,B 4,,B p-3 El a arătat că toate umerele prime mai mici decât 37 sut regulate, deci Marea Teoremă a lui Fermat este adevărată petru aceste umere Numărul 37 este primul umăr 779347 37 83684 prim eregulat, deoarece B 3 = = 5 5 Bibliografie ) Carlitz, L Beroulli Numbers, FibQuart, vol6 7-85 (968) ) Cog Li, O Beroulli Numbers ad Its Proprieties 3) Euler, Leohard, Istitutioes Calculi Differetialis, St Petersburg, 755, retip Opera Omia Seria I, vol 4)Pegelley D, The bridge betwwe the cotiuos ad discrete via origial sources, The Abel-Fauvel Coferece 5)Pegelley D, Daces betwee cotiuos ad discrete :Euler s summatio formula 6) Weil A, Number theory :A approach through history, Birkhauser, Bosto,983