D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observţi 11.50 Cum m văzut în Teorem 11.46, orice funcţie integrbilă Riemnn e un intervl mărginit [, b] este continuă µ-..t.. Prin urmre, funcţiile cre nu sunt continue µ-..t. e [, b] nu ot fi integrbile Riemnn e cest intervl. Vom răt în continure că cestă roriette crcterizeză integrbilitte Riemnn. În concluzie, continuitte µ-..t. stbileşte grniţ integrbilităţii Riemnn. Teorem 11.51 (Teorem lui Lebesgue de crcterizre integrbilităţii Riemnn) Fie f : [, b] R, o funcţie mărginită. Atunci f R([, b]) dcă şi numi dcă f este continuă µ-..t. Demonstrţie. = : A fost demonstrtă în teorem recedentă. = : Presuunem că funcţi f este continuă µ-..t.. Fie un şir de divizări ( k ) D[, b] stfel încât k k+1, k N şi k 0. Pentru fiecre k N, fie n k = crd( k ) şi {Ei k i 1, n k}, intervlele divizării k. De semene, entru orice i 1, n k, fie m k i = inf f(x) x Ei k şi Mi k = su f(x). x Ei k Fie f şi f, funcţiile socite şirului ( k ). Vom demonstr în continure că entru orice x [, b] în cre f este continuă, vem f(x) = f(x). Fie x [, b] ş încât f este continuă în x. Atunci, entru un ε > 0, există δ > 0 stfel încât De ici, y, z (x δ, x + δ) [, b], obţinem de unde rezultă y (x δ, x + δ) [, b], f(x) f(y) < ε 4. f (y) f (z) f (y) f (x) + f (x) f (z) < ε 4 + ε 4 = ε 2, su y (x δ,x+δ) [,b] f (y) inf f (y) ε y (x δ,x+δ) [,b] 2. Cum k 0, k 0 N stfel încât k k 0, i 1, n k ş încât x E k i (x δ, x + δ), de unde rezultă Deci, f k (x) f k (x) = Mi k m k i su f (y) y (x δ,x+δ) [,b] inf f (y) ε y (x δ,x+δ) [,b] 2. f k (x) f k (x) ε 2, k k 0, de unde, trecând l limită cu k, obţinem f (x) f (x) ε < ε. Cum ε > 0 fost lut rbitrr, rezultă { } 2 f (x) = f (x). Prin urmre vem: x [, b] f (x) f (x) {x [, b] f este discontinuă în x}. Deorece f este continuă µ-..t., µ({x [, b] f este discontinuă în x}) = 0 şi tunci µ( { x [, b] f (x) f (x) } ) = 0, dică f = f µ-..t.. Deorece f şi f sunt măsurbile Lebesgue, din Teorem 11.31 obţinem fdµ = fdµ. Cum k 0, din Prooziţi 11.45(4), [,b] [,b] Atunci, din Teorem 11.42 rezultă că f R([, b]). fdµ = I şi [,b] [,b] fdµ = I şi deci vem I = I. Observţi 11.52 Ţinând sem de teorem de mi sus, funcţii cu o definiţie comlictă, dr cre sunt continue µ-..t., vor fi integrbile Riemnn. În cest cz, integrl lor Riemnn (cre este dificil de clcult direct) v fi determintă clculând integrl Lebesgue. 86
D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Exerciţiul 11.53 Fie funcţi (lui Riemnn) f : [0, 1] R, definită rin { 0, dcă x = 0 su x [0, 1] \ Q f(x) = 1 n, dcă x [0, 1] Q, x = m n, unde m, n N cu (m, n) = 1. Să se rte că f este continuă µ-..t. şi să se clculeze 1 0 f(x)dx. În continure vom renunţ l condiţi de mărginire intervlului de definiţie l funcţiei. Definiţi 11.54 Fie R şi fie o funcţie f : [, ) R ş încât f R([, b]), b (, ). 1. Vom not cu f(x)dx limit lim f(x)dx. Dcă există numărul b integrl Riemnn funcţiei f e intervlul [, ). 2. Funcţi f se numeşte integrbilă Riemnn e [, ) dcă b f(x)dx R. Mulţime funcţiilor integrbile Riemnn e [, ) se noteză cu R([, )). Observţi 11.55 Dcă f R([, )), tunci f R([, )). f(x)dx R, cest se numeşte Observţi 11.56 Dcă f R([, b]), b (, ), tunci f este măsurbilă Lebesgue e [, ). Într-devăr, cum entru orice n N cu n >, f R([, n]), rezultă că f este continuă µ-..t. e [, n] şi deci este măsurbilă Lebesgue e [, n]. Atunci, entru orice D τ 0, f 1 (D) [, n] M [,n] M. În consecinţă, n>(f 1 (D) [, n]) M şi cum [, ) = n>[, n], rezultă f 1 (D) = (f 1 (D) [, n]) M [, ). n> Teorem 11.57 Fie R şi fie o funcţie f : [, ) [0, ) ş încât f R([, b]), b (, ). Atunci f (x) dx = fdµ. Demonstrţie. Cum m văzut mi sus, f este măsurbilă Lebesgue e [, ) şi deci, din Corolrul 11.20, funcţi ν : M [, ) [0, ], ν (A) = fdµ, este o măsură. A Deorece ν este continuă e şiruri scendente, ir şirul ([, n]) n> este scendent cu lim n [, n] = [, ), obţinem fdµ = ν([, )) = ν(lim[, n]) = lim ν([, n]) = lim fdµ. [, ) n n n [,n] n Dr f R([, n]), n > şi tunci, din Teorem 11.46 rezultă că fdµ = f(x)dx, n >. Deci [, ) fdµ = lim n Pe de ltă rte, întrucât f este nenegtivă, funcţi b lim b b f(x)dx [0, ]. Deci n [, ) n [,n] f(x)dx. b f(x)dx = lim f(x)dx. Prin urmre, n f (x) dx = fdµ. [, ) f(x)dx este crescătore e (, ) şi tunci Corolr 11.58 Fie R şi fie o funcţie f : [, ) [0, ) ş încât f R([, b]), b (, ). Atunci f L([, )) f R([, )). Teorem 11.59 Fie R şi fie o funcţie f : [, ) R ş încât f R([, b]), b (, ). Dcă funcţi f re integrlă Lebesgue e [, ), tunci f (x) dx = fdµ. În lus, f L([, )) f R([, )). [, ) 87
D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 12 SPAŢII L P Demonstrţie. Fie f + şi f, rte ozitivă şi rte negtivă funcţiei f. Deorece f + = 1 2 ( f + f), f = 1 2 ( f f) şi f R([, b]), b (, ), rezultă că f, f +, f b (, ). Atunci, din Teorem 11.57 obţinem: f + (x) dx = f + dµ şi [, ) Întrucât f re integrlă Lebesgue e [, ), rezultă: fdµ = f + dµ f dµ = [, ) [, ) [, ) f (x) dx = f + (x) dx [, ) f dµ. f (x) dx = f (x) dx. R([, b]), Pe de ltă rte, f L([, )) f L([, )) (vezi Teorem 11.26(2)), ir din Corolrul 11.58 obţinem că f L([, )) f R([, )). Prin urmre, f L([, )) f R([, )). Observţi 11.60 Fie R şi fie o funcţie f : [, ) R ş încât f R([, b]), b (, ). Din teorem nterioră şi Observţi 11.55 rezultă că f L([, )) f R([, )). Reciroc cestei firmţii nu este însă devărtă, cum reiese şi din exemlul următor: Exerciţiul 11.61 Fie funcţi f : [0, ) R, definită rin f(x) = Să se rte că f R([0, )), dr f L([0, )). { sin(x) x, dcă x > 0 1, dcă x = 0. 12 Sţii L În cele ce urmeză (, A, µ) este un sţiu cu măsură comletă. Fie [1, ). Definiţi 12.1 O funcţie f : R se numeşte -integrbilă dcă este A-măsurbilă şi f L(). Mulţime funcţiilor -integrbile e o vom not rin L (, A, µ), su rescurtt cu L (). Observţi 12.2 L 1 () = L(). Exemlul 12.3 Considerăm sţiul cu măsură (N, P(N), µ), unde µ : P(N) [0, ] este definită rin { n, entru crd(a) = n µ(a) =, A P(N)., entru crd(a) = ℵ 0 Cum m văzut în Exemlul 11.27, L(N, P(N), µ) = {( n ) R Fie f : N R şi notăm f(n) = n, n N. Atunci N f dµ = şi deci f L (N) {n} n N f dµ = f dµ < {n} f(n) dµ = n < }. n {n} n <. Prin urmre vem: L (N, P(N), µ) = {( n ) R dµ = n µ ({n}) = n n < }. Mulţime L (N, P(N), µ) se numeşte sţiul şirurilor -sumbile şi se notez cu l. Teorem 12.4 L () este un sţiu linir rel. 88
D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 12 SPAŢII L P Demonstrţie. Fie f, g L (). Cum f şi g sunt A-măsurbile, f + g este A-măsurbilă. Deorece f + g ( f + g ) [2 mx ( f, g )] = 2 mx ( f, g ) 2 ( f + g ) şi f, g L(), rezultă 2 ( f + g ) L() şi deci f + g L(). Prin urmre f + g L (). De semene, dcă α R, αf este A-măsurbilă şi cum αf = α f L(), rezultă αf L (). Deci L () este un sţiu linir rel. În continure vom înzestr cest sţiu cu o seminormă. Pentru cest vom demonstr mi întâi câtev ineglităţi, cu scoul finl de demonstr ineglitte triunghiulră. Definiţi 12.5 Două numere, q > 1 se numesc conjugte lgebric dcă 1 + 1 q conjugtul lgebric l lui q, ir q se numeşte conjugtul lgebric l lui. = 1. În cest cz, se numeşte Lem 12.6 (ineglitte lui Young) Fie, q > 1, două numere conjugte lgebric., b [0, ], re loc ineglitte: b + bq q. Atunci, oricre r fi Demonstrţie. Fie, b [0, ]. Dcă b = 0, ineglitte este evidentă. Presuunem deci că > 0 şi b > 0. Dcă + bq =, ineglitte este evidentă. Presuunem că q + bq <. Atunci < şi b <. q Definim funcţiile f : [0, ) [0, ), f(x) = x 1, x [0, ), g : [0, ) [0, ), g(y) = y 1 1, y [0, ). Întrucât g este invers funcţiei f, cest, rorttă l x Oy, v ve celşi grfic cu f (fie cest G f ). Considerăm unctele A(, 0), B(0, b), M(, b) şi P (, f()). Ari domeniului delimitt de x Ox, dretele x = 0 şi x = şi de grficul G f este A 1 = y = b şi de grficul G f este A 2 = 0 b 0 f(x)dx =, ir ri domeniului delimitt de x Oy, dretele y = 0 şi g(y)dy = bq q. Cum observăm din desenul de mi jos, sum celor dou rii este mi mre su eglă cu ri dretunghiului OAMB, dică b. Eglitte re loc când M = P, dică b = f(). Prin urmre vem: + bq q = A 1 + A 2 b. Teorem 12.7 (ineglitte lui Hölder) Fie, q > 1 conjugte lgebric şi fie funcţiile f, g M(, A). Atunci re loc ineglitte ( ( fg dµ f dµ g q q dµ. Dcă în lus f L () şi g L q (), tunci fg L(). 89
D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 12 SPAŢII L P Demonstrţie. Dcă f dµ = 0, tunci f = 0 µ-..t., de unde rezultă că f = 0 µ-..t.. Deci fg = 0 µ-..t. şi deci fg dµ = 0. Prin urmre ineglitte este devărtă. În mod nlog, dcă g q dµ = 0, ineglitte este devărtă. Presuunem în continure că f dµ > 0 şi g q dµ > 0. ( ( Dcă f dµ = su g q dµ =, tunci f dµ g q q dµ = şi deci ineglitte este evidentă. Presuunem că f dµ < şi g q dµ <. Atunci, în ineglitte lui Young considerăm = ( f f dµ şi b = ( g, g q q dµ de unde obţinem ( fg ( f g q +. f dµ g q q dµ f dµ q g q dµ Integrând e cestă ineglitte, rezultă: 1 ( ( 1 fg dµ f dµ g q q dµ f dµ f 1 dµ + q g q dµ g q dµ = 1 + 1 q = 1. În consecinţă, ( fg dµ ( f dµ g q q dµ. ( ( L() şi deci f dµ g q q dµ Dcă f L () şi g L q (), tunci f, g q ineglitte lui Hölder obţinem fg dµ <, de unde deducem că fg L(). <. Din Exemlul 12.8 Fie, q > 1 conjugte lgebric şi fie două şiruri de numere rele ( n ) şi (b n ). Considerăm funcţiile socite f : N R, f(n) = n, n N şi g : N R, g(n) = b n, n N. Folosind observţiile din Exemlul 12.3, ineglitte lui Hölder devine n b n = N ( fg dµ f dµ N ( N g q q dµ Pentru = q = 2 obţinem ineglitte lui Cuchy-Bunikovski-Schwrz: ( ( = n ( ( 2 2 n b n n 2 b n 2. Pentru n = b n = 0, n > m, se obţin vrintele cestor ineglităţi în czul finit. b n q q. Teorem 12.9 (ineglitte lui Minkowski) Fie 1 şi fie funcţiile f, g M(, A) ş încât f + g este bine definită. Atunci re loc ineglitte ( ( ( f + g dµ f dµ + g dµ. Demonstrţie. Dcă = 1, tunci f + g f + g, de unde rezultă f + g dµ f dµ + g dµ. 90
D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 12 SPAŢII L P Deci ineglitte este devărtă. Presuunem în continure că > 1. Dcă f + g dµ = 0, ineglitte este evidentă. Presuunem că f + g dµ > 0. ( ( ( Dcă f dµ + g dµ =, ineglitte este evidentă. Presuunem tunci că f dµ + ( g dµ <, dică f dµ < şi g dµ <. Prin urmre f, g L () şi tunci, din Teorem 12.4, f + g L (). Deci f + g dµ <. Are loc ineglitte: f + g dµ = Fie q = f + g f + g 1 dµ f f + g 1 dµ + g f + g 1 dµ. (117) 1, conjugtul lgebric l lui. Alicând ineglitte lui Hölder funcţiilor f şi f + g 1, obţinem: ( f f + g 1 dµ ( ( ( f dµ f + g ( 1)q q dµ = f dµ f + g q dµ. (118) Alicând ineglitte lui Hölder funcţiilor g şi f + g 1, obţinem: ( g f + g 1 dµ ( ( ( g dµ f + g ( 1)q q dµ = g dµ f + g q dµ. (119) Folosind în (117) ineglităţile (118) şi (119), rezultă [ ( ( ] f + g dµ f dµ + g ( dµ f + g q dµ, ( e cre o înmulţim cu ( f + g dµ ) 1 f + g q dµ (0, ) şi obţinem = ( 1 ( ( f + g q dµ f dµ + g dµ. ( Teorem 12.10 Fie 1 şi fie funcţi : L () [0, ), f = f dµ, f L (). este o seminormă e L (), dică re următorele rorietăţi: 1. αf = α f, α R, f L (), 2. f + g f + g, f, g L () (numită ineglitte triunghiulră). Demonstrţie. Pentru orice f L (), f dµ [0, ) şi deci funcţi este bine definită. ( ( 1. Fie α R şi f L (). Atunci αf = αf dµ = α f dµ = α f. 2. Fie f, g L (). Din ineglitte lui Minkowski obţinem ( f + g = ( ( f + g dµ f dµ + g dµ = f + g. Observţi 12.11 f = 0 f dµ = 0 f = 0 µ-..t. Din observţi de mi sus deducem că în generl nu este o normă. Există însă situţii în cre cest este normă, dică, e lângă rorietăţile seminormei mi re şi roriette f = 0 f = 0. 91
D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 12 SPAŢII L P Exemlul 12.12 Fie (N, P(N), µ), sţiul cu măsură considert în Exemlul 12.3 şi fie l = L (N, P(N), µ). Cum µ(a) = 0 A =, rezultă că o funcţie f : N R este nulă µ-roe este tot dcă şi numi dcă f este nulă este tot. Prin urmre, funcţi este o normă e l. Din observţiile făcute în Exemlul 12.3, entru orice şir ( n ) l, vem ( ( n ) = n. Observţi 12.13 Seminorm ote fi rivită c o normă dcă identificăm funcţiile egle µ-..t.. sens, entru orice f, g L () definim relţi În cest f g f = g µ-..t. este o relţie de echivlenţă e L (). Astfel, entru orice f L () considerăm f = {g L () g f}, cls de echivlenţă funcţiei f în rort cu. Fie L (, A, µ) mulţime fctor socită relţiei, dică { } L (, A, µ) = f f L (). Când nu există ericol de confuzie, vom not cest sţiu cu L (). Exerciţiul 12.14 1. Definim oerţiile + : L () L () L (), f + ĝ = f + g, f, ĝ L (), : R L () L (), α f = α f, α R, f L (). Funcţiile + şi sunt bine definite şi (L (), +, ) este un sţiu linir rel. 2. Fie funcţi : L () [0, ), definită rin f = f, f L (). este bine definită şi este o normă e L (). Observţi 12.15 Din exerciţiul de mi sus deducem că (L (), ) este un sţiu linir normt. Definiţi 12.16 Fie un şir (f n ) L () şi fie f L (). 1. Sunem că şirul (f n ) converge în medie de ordinul l funcţi f, şi notăm cu f n f, dcă fn f 0. 2. Sunem că şirul (f n ) converge în medie de ordinul dcă există o funcţie f L () stfel încât f n f. 3. Sunem că şirul (f n ) este fundmentl în medie de ordinul dcă ε > 0, n ε N stfel încât m, n n ε, f m f n < ε. Observţi 12.17 Deorece în generl nu este o normă, şirurile convergente în medie de ordinul nu u limită unică. Fie un şir (f n ) L () şi fie f, g L () stfel încât f n f şi fn g. Atunci vem Prin urmre f g = 0 şi deci f = g µ-..t.. f g f f n + f n g 0. Teorem 12.18 Un şir (f n ) L () este convergent în medie de ordinul dcă şi numi dcă (f n ) este fundmentl în medie de ordinul. Demonstrţie. Fie un şir (f n ) L (). : Dcă (f n ) converge în medie de ordinul, tunci există o funcţie f L () stfel încât f n f şi deci, entru un ε > 0, există n ε ş încât n n ε, f n f < ε 2. Atunci, m, n n ε vem f m f < ε 2 şi f n f < ε 2 şi ţinând sem că stisfce ineglitte triunghiulră, obţinem f m f n f m f + f f n < ε 2 + ε 2 = ε. Deci, ε > 0, n ε N ş încât m, n n ε, f m f n < ε, dică şirul este fundmentl în medie de ordinul. 92
D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 12 SPAŢII L P : Presuunem că şirul (f n ) este fundmentl în medie de ordinul. Atunci ε > 0, n ε N stfel încât m, n n ε, f m f n < ε. (120) Fie n 0 = 0. Pentru fiecre k N, luând în (120) ε = 1 2 k, există n k > n k 1 stfel încât Cum şirul (n k ) k N este crescător, din (121) rezultă Pentru fiecre j N, considerăm funcţi m, n n k, f m f n < 1 2 k. (121) f nk+1 f nk < 1 2 k, k N. (122) g j = j f nk+1 f nk. Întrucât şirul (g j ) j N este crescător, este bine definită funcţi g = lim j g j = fnk+1 f nk. Atunci g este A-măsurbilă, ir din (122) obţinem g j j fnk+1 f nk < Alicând Teorem Lebesgue-Beo-Levi (Teorem 11.15) şirului ( g j ), rezultă g dµ = j 1 2 k = 1 1 < 1. Deci 2j g j < 1, j N. (123) lim j g j dµ = lim g j dµ = lim g j (123) j j 1. Atunci g L() şi deci g este finită µ-..t.. Prin urmre, seri f n0 + µ-..t.. Fie mulţime A = { x f n0 (x) + (f nk+1 f nk ) este bsolut convergentă } (f nk+1 (x) f nk (x)) este convergentă şi fie funcţi f : R, definită rin f n0 (x) + (f nk+1 (x) f nk (x)), dcă x A f(x) =. 0, dcă x A Rezultă că f n0 + (f nk+1 f nk ) = f µ-..t. şi cum seri f n0 + (f nk+1 f nk ) este telescoică, deducem că f nk µ..t. f. Arătăm în continure că şirul (f n ) converge în medie de ordinul l funcţi f. Deorece (f n ) este fundmentl în medie de ordinul, entru un ε > 0, există n ε N stfel încât Fie un m n ε. Cum f f m = lim f n k f m µ-..t., vem f f m = lim inf k k Ftou şirului ( f nk f m ) k N, obţinem: f f m dµ = lim inf k n, m n ε, f n f m < ε 2. (124) f n k f m dµ lim inf k 93 f n k f m µ-..t., şi licând Lem lui f nk f m dµ = lim inf f n k f m (124) k ε 2.
D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 12 SPAŢII L P Deci f f m dµ <, dică f f m L () şi cum f m L (), obţinem f = (f f m ) + f m L (). De semene vem f f m ε < ε şi deci 2 ε > 0, n ε N stfel încât m n ε, f f m < ε, dică f n f. Corolr 12.19 indusă de norm ). ) (L (), este un sţiu Bnch (dică este un sţiu metric comlet în rort cu metric Observţi 12.20 Mi mult, sţiul (L 2 (), 2 ) re o structură de sţiu Hilbert, dică este un sţiu Bnch şi există un rodus sclr <, >: L 2 () L 2 () R ş încât f = < f, f >, f L 2 (). 2 Produsul sclr este definit rin < f, ĝ >= fgdµ, f, ĝ L 2 (). Remintim că un rodus sclr, e un sţiu linir rel, este o licţie <, >: R cu următorele rorietăţi: 1. < x, x > 0, x şi < x, x >= 0 x = 0, 2. < x, y >=< y, x >, x, y, 3. < αx + βy, z >= α < x, z > +β < y, z >, x, y, z, α, β R. În continure vom comr convergenţ în medie de ordinul cu celellte tiuri de convergenţă. Exerciţiul 12.21 Fie 1 şi fie intervlul [0, 1] înzestrt cu măsur Lebesgue. Pentru orice n N definim funcţi f n : [0, 1] [0, ), f n (x) = n 3 2 x e n 2 x 2, x [0, 1] şi fie f : [0, 1] [0, ), f(x) = 0, x [0, 1]. Să se rte că f n f, dr f n f. [0,1] Exerciţiul 12.22 Fie 1 şi fie intervlul [0, 1] înzestrt cu măsur Lebesgue. Pentru orice k N şi orice i 1, k, fie mulţime Ei k = [ i 1 k, i k ] şi funcţi f (k 1)k <k,i> = χ E k i, unde < k, i >= + i. De semene, fie 2 funcţi f : [0, 1] [0, ), f(x) = 0, x [0, 1]. Să se rte că f n f, dr fn f. [0,1] Observţi 12.23 Din exemlele de mi sus deducem că între convergenţ unctulă şi convergenţ în medie de ordinul e sţiul L () nu există nici o legătură, chir dcă măsur sţiului este finită. Exerciţiul 12.24 Presuunem µ() < şi fie f, f n L (), n N. Dcă f n u f, tunci f n f. Observţi 12.25 Dcă măsur sţiului este infinită, rezulttul de mi sus nu se mi ăstreză. considerăm următorul exemlu: În cest sens Exerciţiul 12.26 Fie intervlul [1, ) înzestrt cu măsur Lebesgue şi fie un 1. definim funcţi f n : [1, ) R rin { x 2 + n 1, dcă x [1, n] f n (x) = x. 2, dcă x (n, ) Pentru orice n N De semene, definim funcţi f : [1, ) R, f(x) = x 2, x 1. Să se rte că fn Teorem 12.27 Fie f, f n L µ (), n N. Dcă f n f, tunci fn f. u f, dr f n f. [1, ) 94
D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 12 SPAŢII L P Demonstrţie. Fie un ε > 0. Pentru orice n N considerăm mulţime A n,ε = {x f n (x) f(x) ε}. Atunci vem f n f = f n f dµ f n f dµ A n,ε ε dµ = ε µ(a n,ε ) A n,ε şi cum f n f 0, rezultă lim µ(a µ n,ε) = 0. Deci f n f. n Observţi 12.28 Fie (f n ) şirul din Exerciţiul 12.21. Deorece µ([0, 1]) = 1 < şi f n [0,1] 0, din Teorem lui.u. µ Egorov (Teorem 9.17) rezultă că f n 0 şi deci f n 0. Cum f n 0, deducem că, în L (), convergenţ în măsură nu determină convergenţ în medie de ordinul. Cu condiţii sulimentre sur şirului, convergenţ în măsură determină convergenţ în medie de ordinul, cum reiese din exerciţiul următor. Exerciţiul 12.29 Fie f, f n L (), n N. Dcă există g L () ş încât f n g, n N şi f n µ f, tunci f n f. Teorem 12.30 Presuunem µ() < şi fie 1 < q <. Atunci L q () L () şi ) (τ τ q. L q () Demonstrţie. Alicând ineglitte lui Hölder funcţiilor f şi 1, cu numerele conjugte lgebric q şi obţinem: ( ) ( ) q ( ) f dµ ( f ) q q q dµ dµ = f q q q dµ (µ()) q, de unde, rin ridicre l utere 1 rezultă ( Dcă f L q (), tunci ( q q, ( f dµ f q q q dµ (µ()) q. (125) ( f q q dµ < şi cum µ() <, din ineglitte de mi sus obţinem dică f L (). Deci L q () L (). Atunci ineglitte (125) se rescrie stfel: f (µ()) q q f q, f L q (), de unde rezultă că τ q (vezi [7], g. 66). (τ ) f dµ <, L q () Observţi 12.31 În generl, în condiţiile teoremei nteriore, incluziune Lq () L () este strictă. În cest sens, considerăm următorul exemlu: Exerciţiul 12.32 Fie 1 şi fie intervlul (0, 1 2 ] înzestrt cu măsur Lebesgue. Definim funcţi f : (0, 1 2 ] R rin f(x) = x 1 (ln x) 2, x (0, 1 2 ]. Să se rte că f L ((0, 1 2 ]), dr f Lq ((0, 1 2 ]), entru orice q >. Observţi 12.33 De semene, dcă măsur sţiului nu este finită, rezulttul Teoremei 12.30 nu se mi ăstreză. Exerciţiul 12.34 Fie intervlul (0, ) înzestrt cu măsur Lebesgue. Definim funcţi f : (0, ) R rin f(x) = x 1 2 (1 + ln x ) 1, x (0, ). Să se rte că f L 2 ((0, )), dr f L ((0, )), entru orice 1 cu 2. Observţi 12.35 Mi mult, există exemle de sţii cu măsură infinită în cre 1 < q L () L q (). În cest sens, considerăm următorul exemlu: Exerciţiul 12.36 Fie sţiul cu măsură (N, P(N), µ), din Exemlul 12.3. Notăm cu c 0 = {( n ) R n 0} şi fie funcţi u : c 0 [0, ), ( n ) u = su n. Să se rte că n N 1. 1 < q < l l q c 0, 2. c 0 este un sţiu linir rel şi u este o normă e c 0. 3. Pentru orice 1, mulţime l este densă în sţiul normt (c 0, u ). 95
D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 12 SPAŢII L P Observţi 12.37 Să considerăm din nou sţiul (N, P(N), µ) şi fcem următorele notţii: s = {( n ) ( n ) este un şir de numere rele}, m = {( n ) s ( n ) este mărginit}, c = {( n ) s ( n ) este convergent}, R = {( n ) s n N stfel încât m = 0, m > n}, R n = {( n ) s m = 0, m > n}, unde n N. Atunci, entru 1 < < q vem R n R l 1 l l q c 0 c m s şi tote ceste mulţimi u structură de sţiu linir rel. Prin urmre, tât u cât şi normele ot fi considerte şi e R n. În cest cz, 2 se numeşte norm euclidină. Cum R n este un sţiu linir finit dimensionl (de dimensiune eglă cu n), orice două norme e R n sunt echivlente şi deci, tote normele definite e cest sţiu vor gener ceeşi toologie (vezi [7], g. 91). Din unct de vedere geometric, însă, bilele generte de fiecre dintre ceste norme vor ve forme diferite. Exerciţiul 12.38 Pe sţiul R 2, să se rerezinte grfic bil închisă centrtă în origine şi cu rz r > 0, reltiv l normele ( 1) şi u. 96