Snteza generală a lcrăr ID 786 Metode ş algortm de dentfcare a sstemelor nelnare în tmp contn Etapa I: Octombre 7- Decembre 7 Obectvele etape I Conform Anexe IIa ID 786 în etapa I a fost prevăzte obectve:. Docmentare ş snteză prvnd metodele ndrecte ş drecte de dentfcare a sstemelor contne. Std comparatv între metodele ndrecte ş drecte de dentfcare a sstemelor contne S-a obţnt rmătoarele rezltate:. Docmentare ş snteză docmentară prvnd metodele ndrecte ş drecte de dentfcare a sstemelor contne S-a efectat o docmentare sstematcă refertoare la metodele ş algortm de dentfcare ndrectă ş s-a colectat pentr std ş valorfcare 3 artcole dn revste ş lcrărle nor confernţe de prestg precm ş 8 monograf ce se referă la acest sbect. A fost evdenţate dfcltăţle metodelor ndrecte de dentfcare aplcate la sstemele nelnare contne. S-a efectat o docmentare aprofndată prvnd metodele ş algortm de dentfcare drectă, compatble c problema dentfcăr sstemelor nelnare contne. A fost dedse conclz care să drecţoneze întreaga cercetare a proectl. Deş mplcă n efort de calcl ma mare, metodele drecte de dentfcare permt o legătră drectă c propretăţle proceselor fzce, a o mare robsteţe refertoare la peroadele de eşantonare prn care snt achzţonate datele de ntrare ş eşre ş se pot extnde ma şor la ssteme nelnare. S-a efectat o analză comparatvă a metodelor de dentfcare drectă exstente în lteratră. O drecţe mportantă pentr dentfcarea drectă a sstemelor contne se bazează pe transformarea ssteml de ecaţ dferenţale într-n sstem algebrc în raport c parametr necnoscţ ce trebe dentfcaţ. Pentr dentfcarea sstemelor lnare snt propse dferte metode prntre care se amntesc: dentfcarea bazată pe momente ponderate, metodă orgnală dezvoltată ş aplcată de drectorl de proect, Sz7[(Marn, 99, 993, 999)]; tlzarea momentelor fncţonale de tp Posson Sz7[(Bastogne, 997)]; tlzarea transformăr Laplace combnată c fltre de tp Lagerre Sz7[(Hoverkamp,996)]; reprezentarea sstemelor contne în domenl frecvenţă Sz7[(Overschee, 996)]. O noă abordare în dentfcarea sstemelor contne este bazată pe tlzarea fncţonalelor de tp dstrbţ determnste Sz7[(Marn, )], sa dstrbţ aleatoare Sz7[(Ohsm, )]. Având în vedere obectvele dn an rmător, care mpn aplcarea practcă a metodelor ş algortmlor de dentfcare realzate în cadrl aceste cercetăr, în prma etapă s-a preczat modelele matematce ale nor procese botehnologce ş mecance de pozţonare. A fost alese aceste categor deoarece în laboratoarele catedre exstă n boreactor ş ma mlte ssteme mecance de tp Qanser. Pentr sstemele mecance a fost efectate expermente pe o platformă expermentală rotaţonală c braţ flexbl de tp Qanser.. Std comparatv între metodele ndrecte ş drecte de dentfcare a sstemelor contne A fost realzată o analză crtcă a modelelor exstente de dentfcare a sstemelor contne (corecttdne, complettdne, parametr). Se evdenţază tre mar grpe de abordăr ale dentfcăr sstemelor contne nelnare (SCN) ş anme:. Metode ş algortm de dentfcare a SCN parametrzate (polnomale);. Metode ş algortm de dentfcare a SCN strctrate pe blocr (Hammersten, Wener, Uryson); 3. Identfcarea SCN bazate pe dezvoltăr în ser Volterra. O drecţe c rezltate remarcable, Sz7[(Marn )], o constte tlzarea metodelor bazate pe teora dstrbţlor pentr dentfcarea sstemelor contne lnare ş nelnare care condc în fnal la relaţ lnare în raport c parametr necnoscţ. Drectorl de proect a extns tlzarea teore dstrbţlor pentr dentfcarea nor ssteme în care apar nelnartăţ de tp raţonal în raport c componentele vectorl de stare, staţ întâlnte în procesele botehnologce, (Marn, 5). O altă drecţe generată de metodele bazate pe teora dstrbţlor c bne rezltate, Sz7[(Marn, 6; 7)], o constte dentfcarea sstemelor dnamce în care apar reacţ nelnare de tp relaţe. Astfel de ssteme se nmesc ssteme c frecare, pentr a tlza termnologa zvorâtă dn mecancă. A fost obţnte ş mplementate modele ale nor procese botehnologce, procese mecance de pozţonare ş roboţ mobl. Ca std de caz s-a obţnt modell general de stare al n boproces desfăşrat într-n boreactor c amestec omogen. Astfel, modell dnamc general devne acel nstrment prn care se pot exprma într-o sngră formă matematcă compactă ş ntară cele doă fenomene fzce, adcă cnetca reacţlor ş dnamca transportl componentelor care se desfăşoară într-o pterncă nteracţne într-n boreactor. În cazl platforme expermentale rotaţonale c braţ flexbl de tp Qanser, modell matematc a fost obţnt prn evalarea energe cnetce a baze ş a braţl flexbl cărora l s-a aplcat ecaţle Lagrange pentr energe. Se dedc astfel ecaţle dnamce pentr vârfl ş baza braţl flexbl în raport c nghl deflecţlor vârfl braţl flexbl α ş nghl θ de rotaţe a baze. Drectorl de proect ş colaborator să a elaborat n pachet de programe, c performanţe deosebte prvnd vteza de calcl, c rezltate foarte bne prvnd dentfcarea sstemelor contne lnare în condţle tlzăr nor nformaţ contamnate c zgomote aleatoare. Modelele pentr ssteml mecanc de pozţonare obţnte prn modelare matematcă a fost mplementate pentr smlare în medl MATLAB/SIMULINK. Datele expermentale tlzate pentr comparaţ a fost achzţonate folosnd o placă de achzţe de tp MltQ-PCI ş soft-l de tmp real WINCON v5. c care se obţn programe exectable pentr generarea ş achzţa datelor pornnd de la programe scrse în medl SIMULINK.
Etapa II: Ianare 8-Octombre 8 Obectvele etape II Conform Anexe IIa ID 786 în etapa II a fost prevăzte 3 obectve:. Realzarea ne baze nformaţonale prvnd tpr de ssteme nelnare ş algortm de dentfcare exstenţ. Realzarea PSCIN (Platforma pentr Stdl Comparatv al Identfcăr Nelnare) pentr ssteme ş metode de dentfcare exstente 3. Metode ş algortm de dentfcare a sstemelor contne nelnare parametrzate: polnomale ş raţonale S-a obţnt rmătoarele rezltate:. Realzarea ne baze nformaţonale prvnd tpr de ssteme nelnare ş algortm de dentfcare exstenţ Prn obectvl al etape 8 dn prezentl proect de cercetare s-a rmărt realzarea ne nfrastrctr care să permtă dezvoltarea, mplementarea ş verfcarea algortmlor de dentfcare a sstemelor contne nelnare (SCN). O prmă etapă a acest obectv a consttt-o colectarea de modele de ssteme dnamce nelnare dn dverse domen tehnce ş de med. Dntre modelele colectate se prezntă câteva ca de exempl: a. Modell matematc pentr controll pozţe ş vteze n servomotor Sz8([4]) b. Modell matematc pentr expermentl rotatv braţ flexbl c. Modell matematc pentr expermentl rotatv mngea ş axl (ball and beam BB) d. Modell matematc pentr expermentl rotatv pendll nvers e. Modele matematce pentr ssteme dnamce c frecare O strctră generală pentr n sstem c frecare propsă de membr echpe de cercetare Sz8([7]), (Generalsed Dynamc Frcton System (GFDS) este descrsă prn ecaţa, x& = f( x,, r,.., r,.., rp) nde n q x() t X R, t t este vectorl de stare ar t () U R, t t este vectorl de ntrare. Vector n r () t R R, t t, = : p snt vector de de tp frecare dn reacţe r = Ψ {,}, x = : p. A fost abordate doă categor de modele c frecare: modele c frecare statcă (Statc Frcton Models SFM) ş modele c frecare dnamcă (Dynamc Frcton Models DFM). Pentr SFM, operatorl Ψ este o aplcaţe nednamcă r = F ( x, ), = : p c o strctră specfcă alcăttă dn fncţle vtezelor generalzate v = ν ( x, ), = : p, ş vector a = α ( x, ), = : p, ce exprmă componentele actve ale vectorlor vteză v. Strctra generală a a GDFS este lstrată în Sz8(Fg..) r x y s v = r r x& = f( x,, r ) hx (, ) Q ρ ( v, a ) v a ν ( x) α ( x, ) Sz8(Fg..) Strctra GDFS x r = F( x, ), = : p Q Q Q a cv r B c r a. b Q c r Q / β Sz8(Fg..) Componentele scalare ale reacţlor de tp frecare Snt foloste dferte expres pentr componentele vectorlor de frecare, ca de exempl s s c c β v r = ρ ( v, a ) = max{ Q, a } sgn( a ) [ sgn( v )] ; r = ρ ( v, a ) = [ Q + K v + B ( e )] sgn( v ), prn care se modelează caracterstcle de frecare ca în Sz8(Fg.e..). v f. Modell matematc al n proces de bodegradare a apelor rezdale Un model des tlzat pentr verfcarea algortmlor de dentfcare este cel al procesl de bodegradare a apelor rezdale. Este descrs prntr-o ecaţe de stare de ordnl 5 în care parametr necnoscţ θ apar în relaţ raţonale: T T dξ / dt = K φξ ( ) D ξ+ F, ξ = [ X S X S P] = [ ξ ξ ξ3 ξ4 ξ5] T k k S X S X K = k3 k ; φ( ξ ) = µ ; φ( ξ ) = µ, θ = [ k k k3 k4 µ µ K ] T M KM K 4 KM + S KM + S + S / K Semnfcaţa varablelor este descrsă pe larg în refernţele ataşate. Snt consderate ş cazrle în care anmte componente ale vectorl θ snt varable în tmp. S-a realzat o colectare de modele de ssteme dnamce nelnare dn domenl boproceselor ş al depolăr medl. Modelele analtce dezvoltate a fost valdate prn expermente, atât pe strctr benchmark de boreactoare, cât ş pe procese de depolare. O sere de cercetăr s-a axat pe determnarea modelelor de evolţe a concentraţlor nor metale polante în ape crgătoare. A fost dezvoltate procedr de dentfcare ş c r cs r v B cc r
predcţe a evolţe concentraţe polanţlor, rezltatele obţnte fnd pblcate în Sz8([]). S-a efectat mplementarea în medl Matlab Smlnk a modelor de ssteme dnamce nelnare dn domen tehnce ş de med prezentate ma ss. A fost create facltăţ grafce pentr analza comportăr modelelor nelnare. Aceste facltăţ grafce permt în mod atomat etchetarea ş marcarea fecăre componente dntr-o famle de crbe reprezentate smltan. În cadrl ltml sbobectv dn cadrl prml obectv, s-a efectat colectarea de algortm de dentfcare nelnară pentr care s-a făct strctrarea ş adaptarea acestora în vederea mplementăr în medl Matlab. A fost colectaţ dn lteratra algortm de dentfcare a sstemelor nelnare contne (AISNC) cât ş algortm de dentfcare a sstemelor nelnare dscrete (AISND). S-a dezvoltat o procedră orgnală de echvalare a reprezentărlor dn AISND c reprezentăr prn dstrbţ constrte pe baza observaţlor ssteml contn rezltând astfel AISNC. O categore mportantă este aceea a algortmlor de dentfcare pentr ssteme lnare ş nelnare bazate pe sbspaţ. Toate aceste algortme snt însă aplcate pentr ssteme dscrete. Echpa de cercetare a obţnt rezltate în extnderea metodelor de dentfcare bazate pe sbspaţ pentr ssteme contne însă la care descrerle se fac n prn valorle nor semnale c prn valorle nor dstrbţ.. Realzarea PSCIN (Platforma pentr Stdl Comparatv al Identfcăr Nelnare) pentr ssteme ş metode de dentfcare exstente În cadrl cercetăr s-a concept ş mplementat n set de programe în medle Matlab ş LabVew care permt realzarea de std comparatve pentr dferte ssteme ş metode de dentfcare exstente ş propse de ator. Acest pachet de programe, prvt ca n ansambl ntar, constte aşa nmta PSCIN (Platforma pentr Stdl Comparatv al Identfcăr Nelnare). Snt ntegrate în procesele de testare atât algortm ş modele smlate în medle Smlnk ş Labvew cât ş prn cele la care datele măsrate, tlzate pentr dentfcare, provn de la echpamente fzce în prncpal Qanser, exstente în laborator. Strctra ş facltăţle oferte de PSCIN snt prezentate pe larg în Sz8. 3. Metode ş algortm de dentfcare a sstemelor contne nelnare parametrzate: polnomale ş raţonale Identfcarea sstemelor contne nelnare este de departe mlt ma complcată. Procedrle tradţonale se bazează pe serle Volterra exprmate în domenl tmp sa domenl frecvenţă. Identfcarea parametrcă a sstemelor contne nelnare determnste (Nonlnear Contnos-Tme Systems NCTS), modelate prn ecaţ dferenţale de tp polnomal a fost abordată de mlţ ator Sz8([6], [5], [7]). În cadrl cercetărlor dn prezentl proect s-a tlzat metode bazate pe teora dstrbţlor, Sz8([5], [8]), aceasta fnd deea de bază a proectl de cercetare. În pls, membr echpe de cercetare a concept ş dezvoltat Sz8([7], [5], [8]) o metodă de dentfcare a sstemelor nelnare în tmp contn (NCTS) consderând că parametr necnoscţ pot apare prn relaţ raţonale în raport c mărmle măsrate. Astfel de ssteme c parametr în relaţ raţonale se întâlnesc în nmeroase domen, de la sstemele mecance până la cele botehnologce Sz8([], [], [8], [4]). Ideea fndamentală, conceptă ş dezvoltată de membr echpe de cercetare Sz8([7], [3]) pentr dentfcarea sstemelor c parametr în relaţ raţonale se referă la o strctrare erarhzată a dentfcăr. Ideea strctrăr erarhzate a dentfcăr sstemelor nelnare contne a fost extnsă în cadrl aceste cercetăr ş pentr ssteme c parametr varabl în tmp Sz8([7]). Utlzarea dstrbţlor ponderate în probleme de dentfcare a sstemelor nelnare contne constte o altă dee orgnală c mlte posbltăţ de dezvoltare ş aplcare în vtor. O categore mportantă de ssteme nelnare o constte sstemele c modele strctrate Sz8([6], [3]) exprmate ca nterconexn dntre sbssteme dnamce lnare ş nelnartăţ nednamcă. O astfel de strctră o reprezntă modelele Hammersten, reprezentate prn conexnea sere a ne aplcaţ nelnare nednamcă N rmată de n model lnar dnamc. O altă strctră abordată în acestă cercetare este aceea a sstemelor contne c nelnartate în reacţe denmte ssteme CNF (Contnos tme Nonlnear Feedback), Sz8([9], [7]), reprezentate ca o strctră c reacţe ce are pe calea drectă n model dnamc lnar L ar pe reacţe o aplcaţe nelnară nednamcă N. Dpă cnoştnţa atorlor, se propne pentr prma dată n algortm de dentfcare Sz8([9]) pentr o astfel de strctră. Acest lcr este posbl datortă metodelor de dentfcare bazate pe dstrbţ, dezvoltate de membr a colectvl de cercetare în Sz8([3], [9], [], [], [6]). În cadrl cercetăr a fost obţnte ecaţle de dentfcare a sstemelor Hammersten contne bazată pe dstrbţ (Dstrbton based contnos tme Hammersten system dentfcaton eqatons DCHI). Aceste ecaţ a fost comncate de echpa de cercetare în Sz8([6], [9]). Pentr ssteml nelnar contn Hammersten p j= n () m p () p + = γ j j j + γ = = j= j j = ay () t yt () ( b ) g ( t ()) g ( t ()), în care nelnartatea este exprmată prn zt ( ) = N[ t ( )] = γ g ( t ( )) = γ g ( ), ecaţa DCHI este j j T Y ϕ + ϕ = G ϕ γ+ G ϕ γ, pe bza ( ) ( ) ( ) T k a Y k k b ( k) cărea se dezvoltă procedr de dentfcare Sz8([6], [9]). Ecaţle de dentfcare bazate pe dstrbţ a sstemelor c nelnartate în reacţe (Dstrbton based contnos tme nonlnear feedback dentfcaton eqatons DCNFI). Aceste ecaţ obţnte de echpa de cercetare a fost pblcate în Sz8([5], [9]). 3
Etapa III: Noembre 8-Septembre 9 Obectvele etape III Conform Anexe IIa ID 786 în etapa III a fost prevăzte 4 obectve:. Metode ş algortm de dentfcare a sstemelor contne nelnare strctrate pe blocr: Hammersten, Wener, Uryson. Identfcarea sstemelor contne nelnare bazate pe dezvoltăr în ser Volterra ş spaţ Fock 3. Metode ş algortm de dentfcare a sstemelor nelnare bazate pe reprezentăr în sbspaţ Hlbert 4. Metode ş algortm de dentfcare ş condcere a sstemelor dnamce nelnare c frecare S-a obţnt rmătoarele rezltate:. Metode ş algortm de dentfcare a sstemelor contne nelnare strctrate pe blocr: Hammersten, Wener, Uryson Prn obectvl al etape 9 dn prezentl proect de cercetare s-a rmărt dentfcarea sstemelor nelnare contne strctrate pe blocr de tp Hammersten, Wener ş Uryson exprmate prn dferte tpr de baze de reprezentare, elaborarea nor metode de rezolvare a decplăr părţlor lnare ş nelnare, stdl probleme convergenţe ş analza prn smlare a algortmlor de dentfcare obţnţ. În cadrl aceste etape, echpa de cercetare a dezvoltat deea orgnală prezentată de ator în etapa anteroară Sz9([7]) prvnd dentfcarea sstemelor nelnare strctrate bazate pe tlzarea dstrbţlor. Rezltatele anteroare ale atorlor prvnd dentfcarea sstemelor Hammersten Sz9([3]), grpate în abordarea DCHI (Dstrbton based Contnos tme Hammersten Systems) a fost extnse la sstemele Wener c reacţe dnamcă Sz9([9]) ş ssteme de tp Uryson Sz9([6]). A fost obţnte rezltate mportante prvnd reprezentarea în cadrl DCHI a fncţlor de bază lnare pe porţn [5]. Spre deosebre de Sz9([34], [35]), nde bazele snt fncţ nenle nma pe n segment al dvzn ntrăr, astfel că modell nelnartăţ statce este o fncţe nedervablă, în abordarea atorlor acest proect de cercetare Sz9([5]), fncţle de bază snt constrte nţal prn fncţ de tp satraţe în raport c ntrarea de forma, g ( ) = ( w ) [ ( w ) ( w )] + ( w w ) ( w ), j = : p j j j j+ j+ j j+ g( ) = w; gp( ) = ( wp) ( wp), pentr care s-a defnt o dvzne w= { wj} j= : p, wj+ > wj. Prn această reprezentare se poate aplca comod ş în mod compact metoda DCHI de dentfcare. De exempl, nelnartatea tp zonă de nsensbltate dn fgra Sz9(Fg. ), este reprezentată prn fncţle de bază dn Sz9(Fg. )..5.5 -.5 y fnel y fnel Nonlnear map: fnel for tp= hm.5.5 -.5 g j, j=:6 g Bass of the map: fnel for tp= hm g g 3 g 4 g 5 g 6 v + - ε N Sz9(Fg. 3). Sstem Hammersten în crct închs v w L z L y Inpt varable -.5 -.5 -.5.5.5 Sz9(Fg. ). Nelnartate tp zonă de nsensbltate Inpt varable -.5 -.5 -.5.5.5 Sz9(Fg.). Fncţle de bază pentr nelnartatea dnsz9(fg. ) N Sz9(Fg. 4). Strctră echvalentă c reacţe Utlzarea acestor baze propse de ator permte depăşrea nconvenentl de nconsstenţă a dentfcăr întâlnt în abordărle dn lteratră Sz9([5], [5], [35]) atnc când mărmea de ntrare varază într-n domen care n cprnde toate sbdomenle aproxmaţlor lnare. Pentr dentfcarea sstemelor Wener, ator prezentl grant a dezvoltat cercetăr pe doă drecţ. Prma drecţe a constat în extnderea procedrlor de dentfcare a sstemelor contne prn tlzarea tehnclor bazate pe dstrbţ prn care ecaţle dferenţale snt transformate într-n sstem de de ecaţ algebrce având ca varable fncţonalele generate de dferte fncţ test. A doa drecţe abordată în cercetare pentr ssteme Wener constă în descompnerea nelnartăţ statce de la eşre y = N( z) într-o smă ponderată prn parametr necnoscţ γ de fncţ cnoscte f( z ), nde z reprezntă eşrea nemăsrablă dn partea lnară c fncţa pondere necnosctă h( τ ). Un alt model matematc pentr dentfcarea sstemelor nelnare abordat în cadrl cercetăr îl constte modell Uryson. Modell Uryson constte o generalzare a modelelor Hammersten Sz9([]). În cadrl cercetăr a fost dezvoltate modele ş pentr alte tpr de nelnartăţ. Identfcarea se bazează pe măsrarea ntrăr t () ş a eşr măsrate wt () dn procesl sps dentfcăr. Consderând măsrătorle efectate pe n nterval fnt de tmp T prn mnmzarea ntegrale pătratl eror dntre eşrea măsrată wt () ş eşrea modell y() t, se obţne n sstem de ecaţ fncţonale, Sz9([]). Pentr a redce efortl de calcl mplcat de ssteml de ecaţ de ma ss, s-a props în această cercetare n algortm teratv de dentfcare a modelelor Uryson pentr ntervalele de observare fnte Sz9([]). S-a rmărt elaborarea nor no metode de rezolvare a decplăr părţlor lnare ş nelnare în dentfcarea modelelor de tp Hammersten, Wener ş Uryson, abordate anteror. O dee orgnală propsă de ator Sz9([3]) este de a tlza reprezentarea în spaţ Hlbert c ncle reprodctv în care fncţle de bază snt generate de nclel reprodctv, dependente de ntrarea folostă pentr dentfcare. Prn smlare s-a analzat convergenţa algortmlor de dentfcare pentr sstemele contne strctrate în varantele menţonate ma ss. 4
. Identfcarea sstemelor contne nelnare bazate pe dezvoltăr în ser Volterra ş spaţ Fock Obectvl al etape 9 dn prezentl proect de cercetare este dedcat cercetărlor prvnd aplcarea dezvoltărlor în ser Volterra ş spaţ Fock pentr ssteme nelnare contne. Pentr dentfcarea sstemelor dnamce snt necesare reprezentăr de tp ntrare-eşre, deoarece n întotdeana varablele de stare snt măsrable. Reprezentarea prn ser Volterra, larg prezentată în lteratră Sz9([3], [36], [37]), constte o generalzare a dezvoltăr în sere de pter pe spaţl fncţlor de ntrare. S-a rmărt elaborarea nor algortm de dentfcare bazaţ pe ser Volterra a nstalaţlor nelnare contne care fncţonează în crct închs. Reprezentarea prn ser Volterra permte aplcarea nor procedr de dentfcare pentr dferte conexn de ssteme nclsv în crct închs Sz9([3], [36], [43]) prn manplarea operaţlor defnte pe aceste ser. În cadrl aceste cercetăr a fost analzate operaţle care exprmă conexnea sere (compnere a doă ser Volterra) ş conexnea paralel opsă. Determnarea modell n sstem c reacţe prn sere Volterra se bazează pe teorema de exstenţă a nverse ne ser Volterra Sz9([3]). În cadrl cercetăr s-a analzat ssteml nelnar c reacţe dn Sz9(Fg 3.), nde N este nelnartatea ssteml ar L este n sstem dnamc lnar c starea x. Această strctră corespnde n sstem Hammersten c reacţe drectă. Prn tlzarea reprezentăr în spaţ Fock se evtă necestatea calcll explct al ncleelor echvalente în crct închs. În cadrl cercetăr, pornnd de la lcrarea Sz9([7]) s-a dezvoltat o metodă de dentfcare prn care se consderă o strctră c reacţe, pe calea drectă fnd partea cnosctă a modell dnamc, ar pe reacţe partea nelnară necnosctă. Aceasta este reprezentată prn sere Volterra. Ncleele Volterra determnă comportarea dferenţe dntre eşrle măsrată ş prezsă de model Sz9([7]), o strctră ca în Z9(Fg. 4.), nde L este n sbssteml dnamc lnar. De asemenea, a fost elaborate procedr de dentfcare a sstemelor nelnare bazate pe spat Fock. Un spaţ Fock generat de n spaţ Hlbert H este n sstem algebrc alcătt dn sma drectǎ a prodselor tensorale H n n ale spaţl H, [], F(H) n [ S ν = = νh ], nde S v este n operator de smetrzare. Spaţle Fock snt frecvent tlzate în mecanca cantcǎ. În an 8 R J.P. De Fgerdo ş colaborator sǎ Sz9([6], [7], [48]) a ntrods noţnea de spaţ Fock generalzat c aplcaţ în dentfcarea sstemelor (GFS Generalzed Fock Spaces). Snt cnoscte avantajele tlzăr spaţlor Hlbert pentr rezolvarea nor probleme lnare de aproxmare optmǎ prn proecţe sa aproxmare dalǎ Sz9([8]). Avantajl deosebt al tlzăr spaţlor Fock pentr dentfcare este dat de faptl că se transferă o problemă de dentfcare nelnară într-o problemă de optmzare lnară. De asemenea, tlzarea explctă a serlor Volterra este confrntată c dfcltatea calclăr expreslor ncleelor de ordn rdcat. Pentr a evta această dfcltate, descrerle prn ser Volterra snt trnchate la n nmăr fnt de termen, dec se transformă problema reprezentăr într-o problemă polnomală. Trncherea serlor Volterra care prespne o aproxmare locală condce la eror mar în specal dacă ntrărle snt semnale de valor mar. Obectvl prevede ş elaborarea nor pachete software pentr dentfcarea sstemelor contne nelnare bazate pe dezvoltăr n ser Volterra. Se prezntă sccnt câteva rezltate prvnd aplcarea algortmlor de dentfcare bazaţ pe dezvoltăr în ser Volterra Sz9([4]). În această aplcaţe se consderă forma dscretzată a n sstem contn pentr care se măsoară în momentele t = nt ntrarea x( n) = x( nt) ş eşrea yn ( ) = ynt ( ). Pentr exemplfcare se prezntă modell c ncleele, h (k )=[-.78, -.48,.39]; h (k,k )=[.4,.54;3.7;.86; -.76, -.6,.76,.,.4]; k, k =,,3 Folosnd n algortm nstrbl se obţn valorle dentfcate h e (), h e (), h e(k )=[-.763 -.46.4]; h e (k, k )=[.38,.5594, 3.56,.9455, -.996, -.3746,.76,.746,.3843] c evolţle pe parcrsl procesl de nstrre dn fgra Sz9(Fg. 5.)..5..5. Coeffcent he() learnng crve Identfed coeffcents he -.5 Coeffcent he() learnng crve -. Tme -.5 3 4 5 6 7 Sz9(Fg.5). Crba de nstrre a coefcenţlor h(), h() y Kt, y Kop, y Opp, y Ch.6..8.4 y Oppelt y Koppelovth y Kt -proposed y Chen-Reswck Step responses Tme (sec) 4 6 8 Sz9(Fg.7). Răspnsrle la ntrare treaptă ale sstemelor sntetzate Sz9(Fg. 8).Instalaţa fzcă QUANSER HVAC Metodele de dentfcare bazate pe ser a fost aplcate la acordarea optmă a leglor de reglare în sstemele c tmp mort, folosnd tehnca coefcenţlor de formă Sz9([8]). În Sz9(Fg.7.) snt prezentate comparatv răspnsrle la ntrare treaptă ale nor ssteme sntetzate conform metode bazată pe ser Sz9([8]) ş prn alte metode clasce: Oppelt, Kopelovc, Chen-Reswck. 5
3. Metode ş algortm de dentfcare a sstemelor nelnare bazate pe reprezentăr în sbspaţ Hlbert Obectvl 3 al etape 9 dn prezentl proect de cercetare are ca scop stdl efectl aleger bazelor de reprezentare a nelnartăţlor aspra caltăţ modelelor matematce corelate c dedcerea nor metode de aprecere a adecvanţe baze de reprezentare. Ca ş aplcaţ s-a rmărt conceperea ş mplementarea algortmlor de adaptare a bazelor de reprezentare pentr dentfcarea nelnară ş întrevederea nor aplcaţ c baze adaptve. Este cnosct faptl că alegerea bazelor de reprezentare a nelnartăţlor în dentfcarea sstemelor este o problemă deschsă c mlte mplcaţ practce. O sere de metode teoretce dezvoltate de ator pe parcrsl cercetăr a făct obectl nor mplementăr ş verfcăr expermentale pe platforme fzce, cercetăr întreprnse de doctoranz dn echpa de cercetare. Se pot menţona mplementărle pe echpamentl Qanser HVAC achzţonat în cadrl grantl. Pe acest echpament, prezentat în fgra Sz9(Fg. 8), în aceasta etapă n doctorand a realzat o comncare ş n artcol în revstă cotate în baza de date INSPEC, Sz9([8], [9]). În cadrl cercetăr a contnat preocpărle de concepere ş mplementare a nor metode de dentfcareestmare dn domenl botehnologe Sz9([], [], [38]). A fost propse o sere de metode de estmare a cnetclor de reacţe, cm ar f abordarea de tp Kalman, metoda dezvoltată de Bastn ş Dochan pe baza teore sstemelor adaptve etc. Sz9([39]). S-a proectat ş mplementat n no tp de observe, bazat pe calcll amplfcăr folosnd o ecaţe Lyapnov algebrcă. Rezltatele obţnte prn smlare, lstrate în fgrle Sz9(Fg.; Fg.) demonstrează n comportament bn în prezenţa zgomotelor de măsrare..5..5..5 (h - ) ηˆ 5 5 5 η Tme (h) Sz9(Fg. ). Profll vteze de absorbţe ş al estmaţe acestea (c zgomot de măsrare)..5..5 (h - ) 5 5 5 µ µˆ Tme (h) Sz9(Fg. ). Evolţa vteze specfce de creştere ş a estmaţe acestea (c zgomot de măsrare) 4. Metode ş algortm de dentfcare ş condcere a sstemelor dnamce nelnare c frecare Obectvl 4 al etape 9 dn prezentl proect de cercetare reprezntă aplcaţ ale metodelor de dentfcare, ca ş consecnţă de condcere adaptvă a sstemelor c frecare. Problematca reprezntă în mod explct domenl de actvtate a n doctorand, membr în echpa de cercetare, care se află în stadl de fnalzare a teze de doctorat. În prncpal, prn cele patr sbobectve s-a avt în vedere stdl efectl reacţlor de tp relaţe (reacţe de tp frecare) aspra comportăr sstemelor nelnare, conceperea ş mplementarea nor algortm de dentfcare pentr ssteme nelnare c frecare ş mplementarea nor strctr adaptve de condcere a sstemelor nelnare c frecare. În acest domen a fost comncată o lcrare ş pblcat n artcol într-o revstă cotată în baza de date INSPEC, Sz9([44], [45]). Snt dezvoltate modele c frecare ca ş partclarzăr ale GFDS (Generalsed Dynamc Frcton System) Sz9([3], [46], [47]). În cadrl aceste cercetăr a fost aplcaţ algortm de dentfcare pentr ssteme folosnd modell LGre al frecăr. Aceste rezltate sta la baza nor procedr de compensare a efectl forţelor de frecare. Procedrle de dentfcare prezentate în Sz9([45]) condc la rmătoarele rezltate în care s-a consderat o fncţe de transfer, H() s =./(. s s +.s+ ). Parametr fzc real ş ce dentfcaţ snt: m σ F c F s Valor reale. 3..33.3.9 Valor dentfcate.99999947 99.999374876.399673648.3355583.89984846 S-a tlzat fncţ de testare c sport compact. Semnalele măsrate snt reprezentate în fgra Sz9(Fg.5). Evolţa stăr este lstrată în fgra Sz9(Fg.6). Otpt varables Inpt varables..8 y zoom no nose System wth frcton dentfcaton y zoom wth nose Tme (sec.) 5 5.5 6 6.5 7 zoom wth nose zoom no nose Tme (sec.) 5 5.5 6 6.5 7 Sz9(Fg. 5). Semnalele de ntrare ş eşre măsrat 6 6 4 - -4-6 α System states: x=[x x x 3] X 3 acceleraton X speed X poston Tme (sec.) 4 Sz9(Fg. 6). Evolţa a stăr ssteml
Etapa IV: Octombre 9-Noembre Obectvele etape IV Conform Anexe IIa ID 786 în etapa IV a fost prevăzte 4 obectve:. Implementarea în PSCIN a algortmlor de dentfcare nelnară obţnţ în cadrl obectvelor 3, 8 ş,, 3,4 /9. Implementarea algortmlor orgnal de dentfcare nelnară pentr sstemele de pozţonare mecancă tp Qanser 3. Implementarea algortmlor orgnal de dentfcare nelnară pentr sstemele de pozţonare a roboţlor mobl 4. Implementarea algortmlor orgnal de dentfcare nelnară pentr nstalaţ fzce de tratare a apelor rezdale S-a obţnt rmătoarele rezltate:. Implementarea în PSCIN a algortmlor de dentfcare nelnară obţnţ în cadrl obectvelor 3, 8 ş,, 3,4 /9 Platforma pentr Stdl Comparatv al Identfcăr Nelnare (PSCIN), conceptă în etapa 8, a fost extnsă astfel încât să permtă stdl ne game ma larg de ssteme fzce corelate c o dverstate largă de algortm de dentfcare ş condcere. A fost mplementate no ssteme ca de exempl ssteme electrce, în partclar convertoare DC-DC, ssteme c frecare, alte tpr de boprocese. Benefcnd ş de dotărle c echpamente obţnte în această peroadă c sprjnl Facltăţ de Atomatcă, Calclatoare ş Electroncă, PSCIN este reprezentată de o strctră fzcă complexă, aşa cm este lstrat în fgra Sz(Fg.). Strctra mplementărlor în tmp real pentr procese fzce ş o nterfaţă tlzator a PSCIN snt lstrate în fgrle Sz(Fg., Fg.3). Sz(Fg.) Echpamentele fzce componente ale PSCIN. Otpt varables: y=f(); y e =f e ().5.5.5 -.5 Inpt-otpt nonlnear maps no measrement nose Real process y=f() map Fock space smlated map y e =f e () Splne smlated map y e =f e () Inpt varable -.5 - - Sz(Fg.6) Rezltate comparatve obţnte folosnd spaţ Fock ş metoda fncţlor splne. 7 Montor Modll nve rsal de almentare UPM 45 Expermentl Qanser SRV- Placa de achzţe MltQ-PCI Sz(Fg.5). Expermentl fzc de pozţonare c frecare. Pe această platformă ce do doctoranz, membr a echpe de cercetare, ş-a fnalzat tezele de doctorat Sz([4], [7]), pe care le-a ssţnt în lna ne. A fost mplementate metodele de dentfcare bazate pe teora dstrbţlor pentr dentfcarea sstemelor nelnare comncate de membr echpe de cercetare ş referte în Sz8([7], [8], [5]) c no aplcaţ comncate în Sz([3]). A fost mplementaţ algortm bazaţ pe problema momentelor pentr dentfcarea sstemelor nelnare Sz8([], [5]) aplcaţ pentr boprocese Sz8([9], [], []). S-a valorfcat în cadrl PSCIN pachetele software pentr dentfcarea sstemelor contne nelnare parametrzate concepte în etapa 8, Sz8([9], [], []). O actvtate bne contrată în aceasta etapă a reprezentat-o mplementarea ş testarea în PSCIN a algortmlor de dentfcare a sstemelor contne nelnare strctrate pe blocr: Hammersten, Wener, Uryson concepte ş proectate conform Sz9([9], [], [3], [3], [4]) A fost mplementaţ ş testaţ în PSCIN algortm de dentfcare nelnară bazaţ pe dezvoltăr în ser Volterra ş spat Fock Sz9([9], [4]), rezltate recent comncate ş pblcate de membr echpe de cercetare Sz([3], [], []). Rezltatele grafce ale ne aplcaţ de dentfcare nelnară folosnd spaţ Fock snt prezentate în fgrle Sz(Fg.4, Fg.5). Un std comparatv c alte metode clasce de dentfcare este prezentat în fgra Sz(Fg.6). Un sstem dnamc nelnar des întâlnt în aplcaţle ndstrale reprezentat prntr-n model matematc Volterra este dentfcat c rezltate pblcate în Sz([]). Rezltate mportante mplementate în PSCIN a fost obţnte în domenl sstemelor c frecare. Expermentl fzc este lstrat în fgra Sz(Fg.5). A fost mplementat ş testat n sstem adaptv de condcere a sstemelor nelnare c frecare care a făct obectl raportărlor dn Sz9([44], [45], [46], [47]), c rezltate lstrate în fgrle Sz(Fg.6, Fg.7).. Implementarea algortmlor orgnal de dentfcare nelnară pentr sstemele de pozţonare mecancă tp Qanser A fost mplementaţ algortm orgnal de dentfcare nelnară pentr realzarea ne strctr adaptve la ssteml c pendl nvers, folosnd metoda LQG/LTR, pblcate în Sz([], [4]) ş pentr ssteml c braţ flexbl. A fost tlzate metodele ş algortm de dentfcare nelnară bazaţ pe metoda momentelor realzaţ în cadrl obectvelor anteroare (Obectvl 3/Etapa II). PC
3. Implementarea algortmlor orgnal de dentfcare nelnară pentr sstemele de pozţonare a roboţlor mobl În cadrl prml sbobectv dn obectvl 3 a fost concepte, proectate ş mplementate în PSCIN metode ş algortm de dentfcare ş condcere robstă a sstemelor contne neholonome c aplcaţ la roboţ mobl c roţ ş la convertoarele statce de ptere DC-DC, prezentate pe larg în monografa Sz([]). Prelând o sere de rezltate anteroare ale drectorl de proect, Sz([9], [5]), membr echpe de cercetare a elaborat procedr de dentfcare ş condcere robstă pentr aceste doă categor de ssteme care se pot încadra în contextl sstemelor c cazaltate varablă (Varable Casalty Dynamc Systems - VCDS) în abordarea formlată ş dezvoltată de drectorl de proect Sz([6]). Pentr realzarea condcer robotl mobl, folosnd procedra orgnală de dentfcare a traectorlor, a fost conceptă o strctră de condcere fzzy adaptvă reprezentată în fgra Sz(Fg.4), mplementată în platforma PSCIN, prevăztă c nterfaţă o grafcă ce permte smlarea dverselor tpr de comportament. În fgra Sz(Fg.4) se prezntă o astfel de evolţe către traectora dortă dn dferte stăr nţale. Reference followng Proposed strctre ref=v ref - + dev=ε(t) Nonlnear Control Algorthm R(t) v(t) w (k) x (t) DC-DC x d(k) ; x c(k) w (k) Converter x (t) ref=6v Controlled voltage y (Volt) Control parameters Fzzy Logc Adaptor w (k) w (k) x d(k) ; x c(k) Col crent C (ma) Tme(mcrosec.) Sz(Fg.4) Evolţa robotl dntr-n pnct nţal către traectora planfcată Sz(Fg.33). Strctra ssteml adaptv de reglare Sz(Fg.35). Răspnsl la ntrare treaptă realzat c ssteml adaptv props Cea de a doa categore de ssteme neholonome abordată în cadrl cercetăr dn pnct de vedere al dentfcăr ş condcer robste se referă la sstemele dnamce c elemente de comtaţe, în partclar la convertoarele de ptere DC-DC Sz([4]). Echpa de cercetare a dezvoltat ş aplcat flozofa dentfcăr ş condcer heterogene ntrodsă de Knpers ş Astrom Sz([6]), combnată c descrerea prn landmark-r prn tlzarea abordăr fzzy în varanta Takag ş Sgeno Sz([5]), pentr controll convertoarelor DC-DC. Un rezltat major al aceste cercetăr îl constte proectarea ş mplementarea ne no strctr adaptve de reglare lstrată în fgra Sz(Fg.33), c performanţe speroare prvnd stabltatea, rapdtatea de răspns, eroare staţonară nlă ş robsteţe la varaţa parametrlor. În fgra Sz(Fg.35) se prezntă răspnsl la ntrare treaptă realzat c ssteml adaptv props. În cadrl cercetăr snt dezvoltate ş aplcate o sere de rezltate orgnale ale drectorl de proect, prezentate pentr prma oară în Sz([8], [6]), refertoare la aşa nmtele ssteme dnamce c cazaltate varablă, denmte pe scrt VCDS de la forma în lmba engleză, Varable Casalty Dynamcal Systems. Un astfel de sstem modelează n obect fzc a căr ordonare cazală ntrare-eşre se poate modfca pe parcrsl evolţe sale. În cadrl ltml sbobectv al obectvl 3 a fost elaboraţ algortm de dentfcare a evolţlor cnematce ş dnamce a roboţlor mobl c aplcaţe pentr condcerea roboţlor păştor. S-a adoptat abordarea în conceptl de cazaltate varablă prezentat anteror. Colectvl de cercetare a concept ş mplementat o noă abordare a modl de realzare a condcer roboţlor păştor în med ncerte, denmtă Abordarea prn Tranzţa într-o Stare Stablă (SSTA-Stable State Transton Approach), prn care atât forma ş sccesnea paşlor cât ş evolţa în cadrl fecăr pas snt determnate de medl de evolţe ş de obectvl props în cadrl evolţe. Pentr aplcarea SSTA, robotl este nterpretat ca n sstem dnamc c cazaltate varablă (VCDS-Varable Casalty Dynamc Systems). 4. Implementarea algortmlor orgnal de dentfcare nelnară pentr nstalaţ fzce de tratare a apelor rezdale În cadrl cercetărlor dn prezentl proect, pentr dentfcarea parametrlor boproceselor descrse prn modele dnamce nelnare s-a tlzat metode bazate pe teora dstrbţlor, astfel încât fncţle măsrable ş dervatele lor snt reprezentate prn fncţonale pe n spaţ fndamental al fncţlor de testare. În contnare, exemplfcăm modl de lcr în cazl ne nstalaţ de tratare a apelor rezdale Sz([8], [9]). Pentr dentfcarea parametrlor acestor tpr de boprocese a fost dezvoltată o strctră erarhzată de dentfcare ce tlzează algortm de dentfcare nelnară pe baza dstrbţlor (Etapa II/Obectvl 3), strctră care în cazl nostr este compsă dn 5 nvele. Pentr a evdenţa potenţall aceste metode se prezntă în tabell de ma jos n rezltat al dentfcăr pentr o strctră c 5 parametr: Valor reale 5.4. 4.7...6.75.. Valor dentfcate 5.3999.9999 4.7 9.9999..6.75..9999 8
O altă abordare efectată în această cercetare pentr dentfcarea ş condcerea sstemelor botehnologce o reprezntă metoda vbraţonală Sz([], []). Tprle de boreactoare la care se poate aplca n control ş o dentfcare vbraţonală snt cele fed-batch ş contne. A fost obţnte rezltate promţătoare pentr boreactoare contne ş boreactoare contne c recrclare. Un exempl de astfel de proces este boprocesl de tratare a apelor rezdale de tp noro actvat. A fost dezvoltată o stratege de condcere vbraţonală a n boreactor contn c propagare, caracterzat de prezenţa ne întârzer în transportl bomase recrclate. Proectarea ne strctr de condcere vbraţonală se poate efecta fe pentr ssteml nelnar c întârzere fe pentr o aproxmaţe lnară a acesta. O stare de echlbr nţal nstablă a boreactorl poate f stablzată prn condcere vbraţonală, acest pnct de fncţonare fnd în mlte cazr cel preferat dn pnct de vedere tehnologc. Ssteml obţnt are n anmt grad de robsteţe la acţnea nor pertrbaţ. A fost elaborat n pachet de programe pentr dentfcarea în tmp real a sstemelor botehnologce. Algortm de dentfcare a proceselor botehnologce dezvoltaţ la actvtăţle anteroare a fost mplementaţ în doă bblotec de programe (o bblotecă Matlab ş o bblotecă LabVIEW) adaptate pentr dentfcarea în tmp real. Prml sstem de dezvoltare a aplcaţlor de dentfcare ntegrează tre componente: MATLAB, Smlnk ş Real-Tme Workshop. Ca sport hardware a fost tlzate calclatoare performante ş plăc de achzţe a datelor de tp Qanser MltQ-PCI ş Qanser Q4. Cel de-al dolea sstem de dezvoltare s-a bazat pe nclel de tmp real LabVIEW Real-Tme Modle ş pe bbloteca de fncţ LabVIEW pentr achzţ de date NI DAQmx ş a avt ca sport hardware calclatoare performante ş plăc de achzţe a datelor de tp Natonal Instrments sera M. Algortm mplementaţ a fost testaţ pe o sere de nstalaţ de laborator cm ar f: Platformă expermentală de control ş dentfcare NI ELVIS /Qanser HVAC Traner Bndle, Sstem Boreactor Bostat pentr cltr cellare, Sstem de reactoare cplate Qanser - Copled Tank System, Instalaţe FESTO - Compact Workstaton Process Control System, nstalaţ rotatve Qanser bazate pe echpamentl SRV (ball and beam, flexble lnk, flexble jont, rotary nverted pendlm) ş nstalaţ de laborator LabVolt. Menţonăm că o parte dn aceste echpamente a fost achzţonate dn fondrle proectl. Notă bblografcă: Sza([x ],[x ],[x 3 ],...) reprezntă refernţele bblografce [x ],[x ],[x 3 ],... dn Snteza la proectl ID786, raportată în anl: a=7 7; a=8 8; a=9 9; a=. Sza(Fg. n ; Fg. n ;,...) reprezntă ndexl fgrlor Fgra n ; Fgra n ;,.dn Snteza la proectl ID786, raportată în anl: a=7 7; a=8 8; a=9 9; a=. Drector proect ID 786, Prof. dr. ng. Constantn Marn 9