Gabriela Grosu / EDCO SEMINAR NR. 9, REOLV ¼ARI EDCO, AIA :5: Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul înâi şi ecuaţii reducibile la acesea: ecuaţii Bernoulli, ecuaţii Riccai :5:: Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul înâi Forma general¼a a unei ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul înâi : 0 () = a () () + b () sau () d d = a + b (0 ) unde a : I R! R, b : I R! R sun dou¼a funcţii coninue. Rezolvare: Penru I I, variabil¼a independen¼a din domeniul de de niţie al soluţiei, c¼au¼am = () funcţie necunoscu¼a, soluţie penru ecuaţiile () sau ( 0 ). Uilizând eplicaţiile eoreice din curs schiţ¼am dou¼a meode de rezolvare a acesei ecuaţii diferenţiale. Meoda variaţiei consanelor (Lagrange) : Eapa : Deermin¼am soluţia general¼a a ecuaţiei omogene aaşae ecuaţiei (), 0 () = a () () ; () care ese o ecuaţie cu variabile separabile, şi obţinem o (; c) = ce R a()d ; 8 I şi c R: (3) Eapa : Deermin¼am o soluţie paricular¼a a ecuaţiei neomogene (), folosind meoda variaţiei consanelor, de forma p () = u () e R a()d ; 8 I. (4) u : I! R ese o funcţie derivabil¼a care se deermin¼a impunând ca p da¼a de (4) s¼a veri ce (). Se înlocuieşe epresia lui u în (4) şi se obţine p () = b () e R a()d d e R a()d ; 8 I. (5) Eapa 3 : Soluţia general¼a a ecuaţiei neomogene () ese da¼a de (; c) = o (; c) + p () ; 8 I şi c R: (6 0 ) Înlocuind în formula anerioar¼a relaţiile (3) şi (5) se obţine (; c) = e R a()d c + b () e R a()d d ; 8 I şi c R: (6) Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiilor () sau ( 0 ), sub form¼a eplici¼a. Domeniul de de niţie a soluţiei ese chiar I = I. Convenţie : În calculul inegralelor nede nie ce apar în formulele (3), (5) şi (6) se cosider¼a oae consanele 0. În formulele (3) şi (6) apare o singura consan¼a c, deoarece formulele respecive sun penru soluţii generale ale unor ecuaţii diferenţiale de ordin înâi. În formula (4) nu apare nici o consan¼a deoarece formula d¼a o soluţie paricular¼a penru ecuaţia diferenţial¼a (). Meoda facorului inegran : În curs s-a demonsra c¼a ecuaţia () ese reducibil¼a la o ecuaţie cu diferenţial¼a eac¼a, folosind facorul inegran () = e R a()d ; 8 I. (7) Se înmulţeşe ecuaţia () cu (), se rec ermenii ce conţin, 0 în membrul sâng şi se resrâng ca şi derivaa unei funcţii ( () ()) 0, se inegreaz¼a ecuaţia şi se obţine formula (6). La pasul în care se inegreaz¼a ecuaţia se pune în evidenţa consana c R. Penru formula (6) se uilizeaz¼a Convenţia. În calculul inegralei nede nie ce apare în formula (7) se cosider¼a consana 0, deoarece se uilizeaz¼a un singur facor inegran.
Gabriela Grosu / EDCO Eerciţiul : S¼a se deermine soluţiile generale ale urm¼aoarelor ecuaţii diferenţiale liniare a) 0 () = () + 3 ; I; b) 0 () = () + ; I ; c) d d () = () cg + sin ; I; d) () = () + sin ; I ; d d Rezolvare : a) Fie ( LN ) 0 () = () + 3 ; I: Penru I D, variabil¼a independen¼a din domeniul de de niţie al soluţiei, c¼au¼am = () funcţie necunoscu¼a, soluţie penru ecuaţia ( LN ). Se observ¼a c¼a ecuaţia ( LN ) ese ecuaţie diferenţial¼a liniar¼a de ordin înâi neomogen¼a, cu a : R! R; a () = ; b : R! R; b () = 3 : Meoda variaţiei consanelor (Lagrange) : Eapa : Deermin¼am soluţia general¼a a ecuaţiei omogene aaşae ecuaţiei (), ( LO ) 0 () = () ; R, care ese o ecuaţie cu variabile separabile. Se observ¼a c¼a : R! R; () = 0; ese soluţie penru ecuaţia ( LO ), numi¼a soluţie singular¼a. C¼au¼am şi ale soluţii decâ cea singular¼a. ( LO ) ) 0 () () = ; 8 I R a.î. () 6= 0 0 () () d = d ) ln j ()j = + ln k; 8 I a.î. () 6= 0 şi k > 0 ) j ()j = ke ; 8 I a.î. () 6= 0 şi k > 0 ) () = ce ; 8 I a.î. () 6= 0 şi c R : Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiei () sub form¼a eplici¼a, unde I ese domeniul de de niţie a soluţiei. Aunci oae soluţiile ecuaţiei ( LO ) sun dae eplici de o (; c) = ce ; 8 R şi c R: Eapa : Deermin¼am o soluţie paricular¼a a ecuaţiei neomogene ( LN ), folosind meoda variaţiei consanelor, de forma p () = u () e ; 8 R. u : R! R ese o funcţie derivabil¼a care se deermin¼a impunând ca p da¼a anerior s¼a veri ce ( LN ), adic¼a u 0 () e + u () e = u () e + 3 ; 8 R ) u 0 () = 3 e ; 8 R R u 0 () d = 3 e d ) Deermin¼am I (; c) = 3 e d = e 0 d = e e 0 d = e e +c; 8 R şi c R:
Gabriela Grosu / EDCO 3 Aunci u () = e e + 0; 8 R. S-a ales consana 0 deoarece se cau¼a o singur¼a soluţie paricular¼a p. Se înlocuieşe epresia lui u în cea a lui p şi se obţine p () = e e e = ; 8 R. Eapa 3 : Soluţia general¼a a ecuaţiei neomogene ( LN ) ese da¼a de (; c) = o (; c) + p () ; 8 R şi c R; adic¼a (; c) = ce + ; 8 R şi c R: Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiiei ( LN ), sub form¼a eplici¼a. de niţie a soluţiilor ese chiar I = R, penru ecare c R. Domeniul de Meoda variaţiei consanelor -redus¼a la formul¼a : Aplicând direc formula (6) şi convenţia se obţine (; c) = e R ( )d c + 3 e R ( )d d ; 8 R şi c R ) (; c) = e +0 c + 3 e +0 d ; 8 R şi c R ) h i (; c) = e c + e e + 0 ; 8 R şi c R: Meoda facorului inegran : Deermin¼am facorul inegran () = e R d = e +0 = e ; 8 R. În calculul inegralei nede nie ce apare în formula anerioar¼a se cosider¼a consana 0, deoarece se uilizeaz¼a un singur facor inegran. Se înmulţeşe ecuaţia ( LN ) cu () = e ) 0 () e = () e + 3 e ; 8 R: Se rec ermenii ce conţin, 0 în membrul sâng ) 0 () e + () e = 3 e ; 8 R ) d () e = 3 R e ; 8 R d () e = 3 e d; 8 R folosim I(;c) )
Gabriela Grosu / EDCO 4 h i (; c) = e e e + c ; 8 R şi c R: Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiiei ( LN ), sub form¼a eplici¼a. de niţie a soluţiilor ese chiar I = R, penru ecare c R. Domeniul de b) Fie 0 () = () + ; I: Aducem ecuaţia anerioar¼a la forma normal¼a ( LN ) 0 () = () + ; 8 I a.î. 6= 0. Penru I D, variabil¼a independen¼a din domeniul de de niţie al soluţiei, c¼au¼am = () funcţie necunoscu¼a, soluţie penru ecuaţia ( LN ). Se observ¼a c¼a ecuaţia ( LN ) ese ecuaţie diferenţial¼a liniar¼a de ordin înâi neomogen¼a, cu a : I! R; a () = ; b : I! R; b () = : I ese un inerval ce nu conţine = 0, adic¼a I ] ; 0[ sau I ]0; +[. Meoda variaţiei consanelor (Lagrange) : Eapa : Deermin¼am soluţia general¼a a ecuaţiei omogene aaşae ecuaţiei ( LN ), ( LO ) 0 () = () ; I, care ese o ecuaţie cu variabile separabile. Se observ¼a c¼a : I! R; () = 0; ese soluţie penru ecuaţia ( LO ), numi¼a soluţie singular¼a. C¼au¼am şi ale soluţii decâ cea singular¼a. ( LO ) ) 0 () () = ; 8 I R a.î. ( 6= 0 şi () 6= 0) 0 () () d = d ) ln j ()j = ln jj + ln k; 8 I a.î. ( 6= 0 şi () 6= 0) şi k R + ) j ()j = k jj ; 8 I a.î. ( 6= 0 şi () 6= 0) şi k R + ) () = c; 8 I a.î. ( 6= 0 şi () 6= 0) şi c R : Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiei () sub form¼a eplici¼a, unde I ese domeniul de de niţie a soluţiei. Aunci oae soluţiile ecuaţiei ( LO ) sun dae eplici de o (; c) = c; 8 I şi c R: Eapa : Deermin¼am o soluţie paricular¼a a ecuaţiei neomogene ( LN ), folosind meoda variaţiei consanelor, de forma p () = u () ; 8 I. u : R! R ese o funcţie derivabil¼a care se deermin¼a impunând ca p da¼a anerior s¼a veri ce ( LN ), adic¼a u 0 () + u () = u () + ; 8 I ) u0 () = ; 8 Ij R R u 0 () d = R d ) u () = + 0; 8 I. S-a ales consana 0 deoarece se cau¼a o soluţie paricular¼a p. Se înlocuieşe epresia lui u în cea
Gabriela Grosu / EDCO 5 a lui p şi se obţine p () = ; 8 I. Eapa 3 : Soluţia general¼a a ecuaţiei neomogene ( LN ) ese da¼a de (; c) = o (; c) + p () ; 8 I şi c R; adic¼a (; c) = (c + ) ; 8 I şi c R: Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiiei ( LN ), sub form¼a eplici¼a. de niţie a soluţiilor ese chiar I, penru ecare c R. Domeniul de Meoda variaţiei consanelor -redus¼a la formul¼a : Aplicând direc formula (6) şi convenţia se obţine () = e R c d + e R d d ; 8 I şi c R ) () = e c lnjj+0 + e lnjj+0 d ; 8 I şi c R ) () = jj c + jj d ; 8 I şi c R: Aunci, penru I ]0; +[, (; c) = (c + + 0) ; 8 I şi c R şi, penru I ] ; 0[ ; (; c) = (c + 0) = ( c + ) ; 8 I şi c R: Meoda facorului inegran : Deermin¼am facorul inegran () = e R d = e lnjj+0 = ; 8 I. jj În calculul inegralei nede nie ce apare în formula anerioar¼a se cosider¼a consana 0, deoarece se uilizeaz¼a un singur facor inegran. Penru 8 I ]0; +[ se înmulţeşe ecuaţia ( LN ) cu () = ) 0 () = () + ; 8 I: Se rec ermenii ce conţin, 0 în membrul sâng) 0 () + () = ; 8 I ) d () d R = ; 8 I
Gabriela Grosu / EDCO 6 () = + c; 8 I ) (; c) = ( + c) ; 8 I şi c R: Penru 8 I ] ; 0[ se înmulţeşe ecuaţia ( LN ) cu () = (; c) = ( + c) ; 8 I şi c R: Domeniul de de niţie a soluţiilor ese chiar I, penru ecare c R. ) c) Fie ( LN ) d () = () cg + sin ; I: d Penru I D, variabil¼a independen¼a din domeniul de de niţie al soluţiei, c¼au¼am = () funcţie necunoscu¼a, soluţie penru ecuaţia ( LN ). Se observ¼a c¼a ecuaţia ( LN ) ese ecuaţie diferenţial¼a liniar¼a de ordin înâi neomogen¼a, cu a : I! R; a () = cg ; b : I! R; b () = sin : I R ese un inerval ce nu conţine fl; l g, adic¼a I ] ; 0[ sau I ]0; [ ş.a.m.d. Meoda variaţiei consanelor (Lagrange) : Eapa : Deermin¼am soluţia general¼a a ecuaţiei omogene aaşae ecuaţiei (), ( LO ) 0 () = () cg ; 8 I; care ese o ecuaţie cu variabile separabile. Se observ¼a c¼a : I! R; () = 0; ese soluţie penru ecuaţia ( LO ), numi¼a soluţie singular¼a. C¼au¼am şi ale soluţii decâ cea singular¼a. ( LO ) ) 0 () () = cg ; 8 I R a.î. ( = fl; l g şi () 6= 0) 0 () () d = cg d ) ln j ()j = ln jsin j + ln k; 8 I a.î. ( = fl; l g ; () 6= 0) şi k R + ) j ()j = k jsin j ; 8 I a.î. ( = fl; l g ; () 6= 0) şi k R + ) () = c sin ; 8 I a.î. ( = fl; l g ; () 6= 0) şi c R : Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiei () sub form¼a eplici¼a, unde I ese domeniul de de niţie a soluţiei. Aunci oae soluţiile ecuaţiei ( LO ) sun dae eplici de o (; c) = c sin ; 8 I şi c R: Eapa : Deermin¼am o soluţie paricular¼a a ecuaţiei neomogene ( LN ), folosind meoda variaţiei consanelor, de forma p () = u () sin ; 8 I; u : I! R ese o funcţie derivabil¼a care se deermin¼a impunând ca p da¼a anerior s¼a veri ce ( LN ), adic¼a u 0 () sin + u () cos = u () sin cg + + sin ; 8 I ) u 0 () = ; 8 Ij R u () = + 0; 8 I: S-a ales consana 0 deoarece se cau¼a o soluţie paricular¼a p. Se înlocuieşe epresia lui u în cea a lui p şi se obţine
Gabriela Grosu / EDCO 7 p () = sin ; 8 I: Eapa3 : Soluţia general¼a a ecuaţiei neomogene ( LN ) ese da¼a de (; c) = o (; c) + p () ; 8 I şi c R; adic¼a (; c) = (sin ) c + ; 8 I şi c R: Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiiei ( LN ), sub form¼a eplici¼a. de niţie a soluţiilor ese chiar I, penru ecare c R. Domeniul de Meoda variaţiei consanelor -redus¼a la formul¼a : Aplicând direc formula (6) şi convenţia se obţine (; c) = e R cg d c + (sin ) e R cg d d ; 8 I şi c R ) (; c) = e c lnjsin j+0 + (sin ) e lnjsin j+0 d ; 8 I şi c R ) (; c) = jsin j c + sin jsin j d ; 8 I şi c R: Fie I, inerval ales asfel încâ sin > 0; 8 I. Aunci (; c) = (sin ) c + ; 8 I şi c R: Fie I, inerval ales asfel încâ sin < 0; 8 I. Aunci (; c) = sin c + 0 ; 8 I şi c R ) (; c) = (sin ) c + ; 8 I şi c R: Meoda facorului inegran : Deermin¼am facorul inegran () = e R cg d = e lnjsin j+0 = ; 8 I: jsin j În calculul inegralei nede nie ce apare în formula anerioar¼a se cosider¼a consana 0, deoarece se uilizeaz¼a un singur facor inegran. Fie I, inerval ales asfel înc¼a sin > 0; 8 I. Aunci se înmulţeşe ecuaţia ( LN ) cu () = sin ) 0 () sin = () cg + ; 8 I: sin Se rec ermenii ce conţin, 0 în membrul sâng)
Gabriela Grosu / EDCO 8 0 () sin + () cos sin = ; 8 I ) d () d sin R = ; 8 I () sin = + c; 8 I şi c R ) (; c) = (sin ) + c ; 8 I şi c R: Fie I, inerval ales asfel înc¼a sin < 0; 8 I. Aunci se înmulţeşe ecuaţia ( LN ) cu () = (; c) = (sin ) + c ; 8 I şi c R: d) analog cu c). :5:: Ecuaţii diferenţiale Bernoulli-nu se cer în 07-08. :5:3: Ecuaţii diferenţiale Riccai-nu se cer în 07-08. sin ) : PROBLEME CAUCHY ŞI PROBLEME LA LIMIT ¼A Eerciţiul : S¼a se deermine soluţiile penru + e () a) problema Cauchy 0 () = e (0) = ; Rezolvare : eapa : Deermin¼am soluţia general¼a a ecuaţiei () + e () 0 () = e : Penru I I, variabil¼a independen¼a din domeniul de de niţie al soluţiei, c¼au¼am = () funcţie necunoscu¼a, soluţie penru ecuaţia (). Se observ¼a c¼a () ) () 0 () = e + e ; 8 I R () 0 () d = e + e d; 8 I ) () () = ln + e + c; 8 I şi c R: Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiei () sub form¼a implici¼a. Menţion¼am c¼a () nu are soluţii singulare. Deci () reprezin¼a oae soluţiile penru () : Soluţia general¼a a ecuaţiei () ese da¼a sub form¼a eplici¼a, penru ecare c R, de urm¼aoarele dou¼a familii de funcţii : I! R; () = p (ln ( + e ) + c); : I! R; () = p (ln ( + e ) + c); unde domeniul de de niţie a soluţiei, depinde de consana c. Penru ecare c R, I = I = I = R; ln + e + c 0 : eapa : Deermin¼am acea soluţie paricular¼a a ecuaţiei () (dac¼a eis¼a, dac¼a e unic¼a) ce veri c¼a CI : (0) =. Înlocuim CI în () şi obţinem = ln + e0 + c ) c = ln : Înlocuim aceas¼a consan¼a în () şi obţinem () = ln + e + ln ; 8 I: Ulima relaţie reprezin¼a soluţia paricular¼a a ecuaţiei () ce veri c¼a CI : (0) =, sub form¼a implici¼a(acea ramur¼a cu () 0 din (0) = 0). Soluţia paricular¼a a ecuaţiei () ese da¼a sub form¼a eplici¼a de q : I! R; () = ln ( + e ) + ln ; 8 I; unde domeniul de de niţie a soluţiei, I = I se obţine din ln + e + ln 0:
Gabriela Grosu / EDCO 9 + b) problema Cauchy + 0 = 0 () = 0; Rezolvare: eapa : Deermin¼am soluţia general¼a a ecuaţiei () + + 0 = 0: Penru I I, variabil¼a independen¼a din domeniul de de niţie al soluţiei, c¼au¼am () =?, funcţie necunoscu¼a, soluţie penru ecuaţia (). Se observ¼a c¼a () ) () 0 () + () = ; 8 I R, a.î. 6= 0 () 0 () + () d = d; 8 I, a.î. 6= 0 ) ln + () = ln jj + ln k; 8 I ; a.î. 6= 0 şi k > 0: () + () = c ; 8 I ; a.î. 6= 0 şi c R +: Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiei () sub form¼a implici¼a. Menţion¼am c¼a () nu are soluţii singulare. Deci () reprezin¼a oae soluţiile penru () : Soluţia general¼a a ecuaţiei () ese da¼a sub form¼a eplici¼a, r penru ecare c R +, r de urm¼aoarele dou¼a familii de funcţii c c : I! R; () = ; : I! R; () = ; unde domeniul de de niţie a soluţiei, I = I = I, depinde de consana c: Penru ecare c R, I = R; c 0; 6= 0 : eapa : Deermin¼am acea soluţie paricular¼a a ecuaţiei () (dac¼a eis¼a, dac¼a e unic¼a) ce veri c¼a CI : () = 0. Înlocuim CI în () şi obţinem + 0 = c ) c = : Înlocuim aceas¼a consan¼a în () şi obţinem + () = ; 8 I: Ulima relaţie reprezin¼a soluţia paricular¼a a ecuaţiei () ce veri c¼a CI : () = 0, sub form¼a implici¼a. Soluţia paricular¼a r a ecuaţiei () ese da¼a r sub form¼a eplici¼a de : I! R; () = + ; : I! R; () = ; unde domeniul de de niţie a soluţiei, I = I [ ; 0[ [ ]0; ] se obţine din 0:
Gabriela Grosu / EDCO 0 ( 3 0 () sin () = c) problema la limi¼a lim () =!+ : Rezolvare: c) eapa : Deermin¼am soluţia general¼a a ecuaţiei () 3 0 () sin () = : Penru I I, variabil¼a independen¼a din domeniul de de niţie al soluţiei, c¼au¼am () =?, funcţie necunoscu¼a, soluţie penru ecuaţia (). Se observ¼a c¼a () ) (sin ()) 0 () = 3 ; 8 I R, cu 6= 0 (sin ()) 0 () d = 3 d ) () cos () = + c; 8 I, cu 6= 0 şi c R: Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiei () sub form¼a implici¼a. Soluţia general¼a a ecuaţiei () ese da¼a sub form¼a eplici¼a, penru ecare c R, de : I! R; () = arccos c ; 8 I, unde domeniul de de niţie a soluţiei, I, depinde de consana c (penru ecare c se obţine o soluţie cu un anumi domeniu de de niţie şi o anumi¼a lege de asociere) (se impune c [ ; ] şi 6= 0). eapa : Deermin¼am acea soluţie paricular¼a a ecuaţiei () (dac¼a eis¼a, dac¼a ese unic¼a) ce veri c¼a CL : lim () =!. Uiliz¼am CL în () şi obţinem cos = lim + c ) c = 0:!+ Înlocuim aceas¼a consan¼a în () şi obţinem cos () = ; 8 I. Ulima relaţie reprezin¼a soluţia paricular¼a a ecuaţiei () ce veri c¼a CL : lim () =, sub form¼a! implici¼a. Soluţia paricular¼a a ecuaţiei () ese da¼a sub form¼a eplici¼a de : I! R; () = arccos ; 8 I, unde domeniul de de niţie a soluţiei, I = I [ ; 0[ [ ]0; ] se obţine din [ ; ] şi 6= 0: Eerciţiul. S¼a se deermine soluţia problemei Cauchy () e () 4 d + e () d () = 0 () =
Gabriela Grosu / EDCO Rezolvare : Eapa :Deermin¼am soluţia general¼a a ecuaţiei () () e () 4 d + e () d () = 0; I: Penru I I, variabil¼a independen¼a din domeniul de de niţie al soluţiei, c¼au¼am () =?, funcţie necunoscu¼a, soluţie penru ecuaţia (). Folosind Convenţiile şi : () ) e 4 d + e d = 0. No¼am D domeniu simplu cone, D R şi P : D! R; P (; ) = e 4 Q : D! R; Q (; ) = e : Eapa 8 : : Sudiem dac¼a ecuaţia () ese cu diferenţial¼a eac¼a. >< @P (; ) = e 4 + e ; 8 (; ) D @ @Q >: @ (; ) = e + e ; 8 (; ) D. Aunci @P @Q (; ) (; ) = 0; 8 (; ) D ) ecuaţia () poae cu diferenţial¼a eac¼a. Cum D @ @ ese ales domeniu simplu cone) ecuaţia () ese cu diferenţial¼a eac¼a. Eapa : : Deermin¼am acea funcţie (eis¼a conform Eapei :) F : D R! R, de clasa C pe D, din 8 a c¼arei diferenţial¼a s¼a provin¼a ecuaţia, adic¼a >< (:) @F @ (; ) = e 4 ; 8 (; ) D, >: (:) @F @ (; ) = e ; 8 (; ) D: Sisemul anerior ese un sisem de ecuaţii cu derivae parţiale în necunoscua F (; ). Îl rezolv¼am. modul. (:)j R () d ) @F (; ) d = e 4 d ) F (; ) = e + ' () ; 8 (; ) D, @ unde ' () ese o funcţie necunoscu¼a, consan¼a în rapor cu variabila de inegrare. Deermin¼am ' folosind şi (:) din sisem. Deriv¼am ulima relaţie în rapor cu ) @F (; ) = e @ Înlocuim (:) ) (e ) = e + d' d + d' () ; 8 (; ) D. d Înlocuim în epresia lui F ) F (; ) = e + c ; 8 (; ) D şi c R. modul. (:)j R () d ) () ; 8 (; ) D ) d' d () = 0 ) ' () = c ; c R: @F (; ) d = (e )d ) F (; ) = e + () ; 8 (; ) D, @ unde () ese o funcţie necunoscu¼a, consan¼a în rapor cu variabila de inegrare. Deermin¼am folosind şi (:) din sisem. Deriv¼am ulima relaţie în rapor cu ) @F (; ) = e 4 + d d @ Înlocuim (:) ) (e 4) = e 4 + d () ; 8 (; ) D. () ; 8 (; ) D ) d d () = 0 ) () = c ; c R: d Înlocuim în epresia lui F ) F (; ) = e + c ; 8 (; ) D şi c R Eapa :3 : Cu F deermina¼a la Eapa, obţinem c¼a soluţia generala a ecuaţiei () ese daa sub
Gabriela Grosu / EDCO forma implici¼a de F (; ) = c 3 ; c 3 R, adic¼a, noând c = c 3 c sau c = c 3 c ; de () e = c; 8 (; ) D şi c R. Local, s-ar puea eplicia : I! R;unde domeniul de de niţie a soluţiei, I, depinde de consana c (penru ecare c se obţine o soluţie cu un anumi domeniu de de niţie şi o anumi¼a lege de asociere). Eapa : Impunem asupra soluţiei generale g¼asie condiţia iniţial¼a CI : () = şi g¼asim acea soluţie paricular¼a ce veri c¼a CI. Înlocuim în () condiţia iniţial¼a () = ) e = c ) c = e 8: Înlocuim aces c în () ) e = e 8; 8 (; ) D. Ulima relaţie reprezin¼a soluţia paricular¼a a ecuaţiei () ce veri c¼a CI : () =. 8 < Eerciţiul 3: S¼a se deermine soluţia problemei Cauchy 0 = : + ( + ) ; 8 I (0) = 3: Rezolvare: Deermin¼am soluţia general¼a a ecuaţiei ( LN ) 0 () = () + ( + ) ; I: Penru I I, variabil¼a independen¼a din domeniul de de niţie al soluţiei, c¼au¼am = () funcţie necunoscu¼a, soluţie penru ecuaţia ( LN ). Se observ¼a c¼a ecuaţia ( LN ) ese ecuaţie diferenţial¼a 8 liniar¼a de ordin înâi neomogen¼a, cu < a : I! R; a () = : ; b : I! R; b () = ( + ) : I R ese un inerval ce nu conţine f ; g, adic¼a I ] ; [ sau I ] ; [ sau I ]; +[. Meoda variaţiei consanelor dealia-em¼a Meoda variaţiei consanelor redus¼a la formula (6) penru ecuaţia în necunoscua () şi Convenţia. Se obţine : R 3 () = e d 6 4c + ( + ) e d 7 d5 ; 8 I şi c R ) () = e lnj + j+0 c + () = + c + ( + ) ( + ) e lnj +j+0 d ; 8 I şi c R ) + d ; 8 I şi c R: Penru I ] ; [ sau I ]; +[ ) ( ) (; c) = + c + + 0 ; 8 I şi c R:
Gabriela Grosu / EDCO 3 Penru I ] ; [, (; c) = + c + + 0 ; 8 I şi c R ) ( ) (; c) = + c + ; 8 I şi c R: Relaţiile ( ) şi ( ) dau cele dou¼a familii de soluţii generale ale ecuaţiei ( LN ). Meoda facorului inegran : Deermin¼am facorul inegran: R () = e d = e lnj +j+0 = + ; 8 I. () = + = + ; dac¼a I, I ] ; [ sau I ]; +[ + ; dac¼a I, I ] ; [ Deoarece în eapa vom impune CI : (0) = 3; sudiem cazul în care 0 I, adic¼a I ] ; [ : Penru 8 I ] ; [ se înmulţeşe ecuaţia ( LN ) cu () = h i h i h i + ) 0 () + = ( )(+) () + + ( + ) + ; 8 I: Se rec ermenii ce conţin, 0 în membrul sâng) i i + () = ( ) ; 8 I 0 () h + () h + i = = ( ) ; 8 I ) d h () (+) d + h i + c; 8 I ) (; c) = + ( ) (; c) = + + c ; 8 I şi c R: Penru 8 I, I ] ; [ sau I ]; +[ se înmulţeşe ecuaţia ( LN ) cu () = R + c ; 8 I şi c R: + )analog. eapa : Impunem asupra soluţiei generale condiţia iniţial¼a (0) = 3, adic¼a ( 0 ; 0 ) = (0; 3). Cum 0 = 0 I ] ; [ înlocuim ( 0 ; 0 ) = (0; 3) în ( ) ) 3 = 0 + 0 c + 0 0 ) c = 3: Înlocuim c = 3 în ( ) ) (; 3) = + 3 + ; 8 I: Ulima relaţie reprezin¼a soluţia paricular¼a a ecuaţiiei ( LN ), sub form¼a eplici¼a, ce veri c¼a (0) = 3 8 < d b) S¼a se deermine soluţia penru d () sin () cos = sin : lim () = 0:!+ Rezolvare: eapa : Deermin¼am soluţia general¼a a ecuaţiei d d () sin () cos = sin ; I ) ( LN ) 0 sin () = (cg ) () ; I: Penru I I, variabil¼a independen¼a din domeniul de de niţie al soluţiei, c¼au¼am = () funcţie necunoscu¼a, soluţie penru ecuaţia ( LN ). Se observ¼a c¼a ecuaţia ( LN ) ese ecuaţie diferenţial¼a liniar¼a de ordin înâi neomogen¼a, cu
Gabriela Grosu / EDCO 4 ( a : I! R; a () = cg ; b : I! R; b () = sin : I R ese un inerval ce nu conţine nici 0, nici fl; l g, adic¼a I ] ; 0[ sau I ]0; [ ş.a.m.d. La aces eerciţiu vom uiliza direc formula (6) penru ecuaţia în necunoscua () şi Convenţia: (; c) = e R R (cg )d sin c + e (cg )d d ; 8 I şi c R ) (; c) = e c lnjsin j+0 sin + e lnjsin j+0 d ; 8 I şi c R ) (; c) = jsin j c + jsin j d ; 8 I şi c R: sin Penru I asfel încâ sin > 0; 8 I ) ( ) (; c) = (sin ) c + + 0 ; 8 I şi c R: Penru I asfel încâ sin > 0; 8 I ) (; c) = ( sin ) c + 0 ; 8 I şi c R ) ( ) (; c) = (sin ) c + ; 8 I şi c R: Relaţiile ( ) şi ( ) dau cele dou¼a familii de soluţii generale ale ecuaţiei ( LN ). Puem grupa cele doua epresii în () (; c) = (sin ) c + ; 8 I a.î. sin 6= 0 şi c R: eapa : Impunem Condiţia la limi¼a lim () = 0: Cum recerea la limi¼a penru! + în!+ epresia lui () presupune alegerea unui inerval de de niţie a soluţiei de forma I = ]d; +[ iar sin ese funcţie periodic¼a (adic¼a eis¼a inervale ]d ; +[ pe care sin > 0 şi eis¼a inervale ]d ; +[ pe care sin < 0) nu puem şi în care din relaţiile ( ) sau ( ) s¼a recem la limi¼a. Deoarece penru ecuaţii diferenţiale liniare, deci şi la eces eerciţiu, soluţiile po grupae sub (), convenim s¼a impunem asupra soluţiei generale () condiţia la limi¼a lim () = 0, adic¼a!+ lim () = lim (sin ) c +!+!+ Cum limia din membrul drep al relaţiei anerioare nu eis¼a ) nu g¼asim nici un c din relaţia anerioar¼a ) nu eis¼a nici o soluţie paricular¼a a ecuaţiei ( LN ) care s¼a veri ce condiţia la limi¼a () = 0. lim!+ Dac¼a s-ar ceru lim () =, consideram I = ] ; 0[ şi I = ]0; [, impuneam 8!0 8 < lim () = < lim (sin ) c + "0;I "0;I = ) : lim () = : lim (sin ) c + ) c #0;I #0;I = R şi c R adic¼a lim () = 0 e veri ca¼a de oae soluţiile de nie pe I şi lim () = 0 e veri ca¼a de oae "0 #0 soluţiile de nie pe I.