E_c_matematica_M_mate-info_2019_var_06_LRO

Matmatică M_mat-ifo Filira tortică, profilul ral, spcializara matmatică-iformatică Filira vocaţioală, profilul militar, spcializara matmatică-iformatică Toat subictl sut obligatorii. S acordă 0 puct di oficiu. Timpul d lucru fctiv st d 3 or. 5p. Arătați că umărul ( 3 i )( 3 i ) = + st îtrg, ud i =. 5p. Dtrmiați umărul ral a, știid că puctul (, 3) f ( x) = x + a. A a aparți graficului fucții f : R R, 5p 3. Rzolvaţi î mulţima umrlor ral cuaţia 09 + 09 =. 5p 4. Calculați probabilitata ca, algâd u umăr di mulțima umrlor atural d două cifr, acsta să aibă cifra uităților impară. 5p 5. Î rprul cartzia xoy s cosidră puctl ( 3, 3) d car trc pri A și st prpdiculară p AB. x x A și (, ) 5p 6. Arătați că si ( a b) si( a b) ( si a si b)( si a si b). S cosidră matrica A( a) 5p a) Arătați că ( ) B. Dtrmiaţi cuaţia drpti + = +, ptru oric umr ral a și b. a 0 a = 0 0, ud a st umăr ral. a 0 a dt A a = 0, ptru oric umăr ral a. 5p b) Dmostrați că A( a) A( b) A( ab) =, ptru oric umr ral a și b. 5p c) Dmostrați că matrica B = A( log 3) A( log 4) A( log 5) A( log 6) umr îtrgi.. S cosidră poliomul 5p a) Arătați că f f f 3 4 5 ar toat lmtl 3 f = X + X + mx +, ud m și sut umr ral. 0 + =, ptru oric umr ral m și. 5p b) Dtrmiaţi umrl ral m și, știid că poliomul f st divizibil cu poliomul 3 3 3 5p c) Dmostrați că ( x x x x3 x x3 x x x3 ) ( x x x3 ) X. 3 + + + + + =, ptru oric umr ral m și, ud x, x și x 3 sut rădăciil poliomului f.. S cosidră fucţia f : 5p a) Arătați că ' ( ) x R R, f ( x) = x. f x = x x x, x R. 5p b) Dtrmiaţi itrvall d mootoi a fucţii f. 5p c) Dmostrați că, ptru oric a ( 0,4 ), cuația. S cosidră fucţia f :( 0, + ) R, 5p a) Arătați că ( l ) 7 f x x dx =. 3 f x = x + l x. f x = a ar xact tri soluții ral. g : 0,+ R, 5p b) Dmostrați că suprafața plaă dlimitată d graficul fucții g ( x) = x x + f ( x), axa Ox și drptl d cuații x = și x = ar aria gală cu. 5p c) Dmostrați că lim x f x x dx = 0. +

Matmatică M_mat-ifo BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Filira tortică, profilul ral, spcializara matmatică-iformatică Filira vocaţioală, profilul militar, spcializara matmatică-iformatică Ptru oric soluţi corctă, chiar dacă st difrită d ca di barm, s acordă puctajul corspuzător. Nu s acordă fracţiui d puct, dar s pot acorda puctaj itrmdiar ptru rzolvări parţial, î limitl puctajului idicat î barm. S acordă 0 puct di oficiu. Nota fială s calculază pri împărţira la 0 a puctajului total acordat ptru lucrar.. ( i ) = 3 = p = 9 i = Z. f ( a) = 3 a + a = 3 3. a = x x x 09 + 09 = 0 09 = 0 09 =, dci x = 0 p 4. Mulțima umrlor atural d două cifr ar 90 d lmt, dci sut 90 d cazuri posibil p Mulțima umrlor atural d două cifr car au cifra uităților impară ar 45 d lmt, dci sut 45 d cazuri favorabil p r. cazuri favorabil 45 p = = = r. cazuri posibil 90 p 5. m = m = p AB d Ecuația drpti d st y y m ( x x ) =, dci y = x 6 A d A 6. si a b si a + b = si a cos b si b cos a = p = si a si b si b si a = si a si b = si a si b si a + si b, ptru oric umr ral a și b.a) b) ( A( a) ) dt = 0 0 = a a 0 0 a a Probă scrisă la matmatică M_mat-ifo Barm d valuar şi d otar Filira tortică, profilul ral, spcializara matmatică-iformatică Filira vocaţioală, profilul militar, spcializara matmatică-iformatică Pagia di p = a + 0 + 0 a 0 0 = 0, ptru oric umăr ral a ab 0 ab A( a) A( b) = 0 4 0 = ab 0 ab ab 0 ab = 0 0 = A( ab), ptru oric umr ral a și b ab 0 ab p c) B 3 A( log 3 log 4 log 5 log 6) 3 A( log 6) = = = 3 3 4 5 = A 4, car ar toat lmtl umr îtrgi p p

.a) f ( ) = m +, f ( 0) = p f = + m + f f 0 + f = m + + + m + =, ptru oric umr ral m și b) f st divizibil cu X f ( ) = 0 și c) m =, = x + x + x3 =, x x x x3 xx3 m + + =, x xx3 f = 0 =, 3 3 3 3 3 3 ( x x x x x x x x x ) ( x x x ) ( m ) ( m ) 3 3 3 3 p x + x + x3 = + 3m 3 3 + + + + + = 3 + 3 3 = p.a) x x f ' x = x x = ( x ) ( ) x = x x = x x, x R p b) f ( x) = 0 x = 0 sau x = p f '( x) 0, ptru oric x (,0], dci f st dscrscătoar p (,0], f ( x) 0 ptru oric x [ 0,], dci f st crscătoar p [ 0, ] și f '( x) 0, ptru oric x [, + ), dci f st dscrscătoar p [,+ ) c) f ( 0) = 0 < a, f = 4 > a și lim f ( x) 0 a a 0,4.a) b) c) Cum lim f ( x) x x + = <, ptru oric = +, f st cotiuă p R și f st strict mootoă p (,0), p ( 0, ) și p (,+ ), cuaţia f x x dx = x dx = = 3 3 x ( l ) f x = a ar xact tri soluţii ral 8 7 = = 3 3 3 p g ( x) = x + l x A = g ( x) dx = ( x + l x) dx = x + xl x x dx = x = + 0 = p + + x x x ( f ( x) x ) dx = x l x dx = l x = + ( + + ) + + + ( + ) ( + ) + lim x ( f ( x) x ) dx = lim + = 0 + p + ( + ) + ( + ) ( + ) p Probă scrisă la matmatică M_mat-ifo Barm d valuar şi d otar Filira tortică, profilul ral, spcializara matmatică-iformatică Filira vocaţioală, profilul militar, spcializara matmatică-iformatică Pagia di

Matmatică M_şt-at Filira tortică, profilul ral, spcializara ştiiţ al aturii Toat subictl sut obligatorii. S acordă 0 puct di oficiu. Timpul d lucru fctiv st d 3 or. 5p. Dtrmiaţi trmul b 3 al progrsii gomtric ( b ), știid că b = și rația q = 5. R R, 5p. S cosidră fucțiil f : f x = x x + și g : R R, g ( x) = 4x 5. Dtrmiați abscisl puctlor d itrscți a graficlor clor două fucții. 5p 3. Rzolvați î mulțima umrlor ral cuația x + x = 4. 5p 4. Calculaţi probabilitata ca, algâd u umăr di mulțima A = {,, 3,, 49} umăr atural. 5p 5. Î rprul cartzia xoy s cosidră puctl A (,3), B( 3,0) și C ( 3,6) mdiai di A a triughiului ABC. si x 3si x cos x + cos x si x + 3cos x = 3, ptru oric umăr ral x. 5p 6. Arătați că. S cosidră matrica A( a) 5p a) Arătați că ( ) dt A = 7. a 4 =, ud a st umăr ral. 4 a 5p b) Dmostrați că A( 09 a) A( 09 a) A( 09) 5p c) Dtrmiați prchil d umr ral x și y, ptru car A( x) A( y) A( 8) + + =, ptru oric umăr ral a.. P mulţima G = (,) s dfişt lga d compoziţi 5p a) Arătați că 0 st lmtul utru al lgii d compoziţi. 8 5p b) Dtrmiați x G, ptru car x x =. 5 ( x ) 5p c) S cosidră fucția f :( 0, + ) G, f ( x) = x + ptru oric x, y ( 0, + ).. S cosidră fucţia f :(, + ) R, f ( x) x l ( x ) = + +. 4x + 4y x y =. 4 + xy =., acsta să fi. Dtrmiați cuația. Dmostrați că f ( xy) = f ( x) f ( y), x 5p a) Arătaţi că f '( x) =, x (, + ). x + 5p b) Dtrmiați cuaţia tagti la graficul fucţii f î puctul d abscisă x = 0, situat p graficul fucții f. 5p c) Dmostraţi că l ( + cos x) cos x, ptru oric x ( 0, π ). S cosidră fucţia f : 5p a) Arătaţi că f x x dx = 6. x + 3 R R, f ( x) =. x. 5p b) Dmostraţi că oric primitivă a fucții f st crscătoar p itrvalul [ 3, ) +. 5p c) Dtrmiaţi umărul atural ul, știid că suprafaţa plaă dlimitată d graficul fucţii f, axa Ox şi drptl d cuaţii x = 0 și x = ar aria gală cu 4 6. Probă scrisă la matmatică M_şt-at Filira tortică, profilul ral, spcializara ştiiţ al aturii Pagia di

Matmatică M_şt-at BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Filira tortică, profilul ral, spcializara ştiiţ al aturii Ptru oric soluţi corctă, chiar dacă st difrită d ca di barm, s acordă puctajul corspuzător. Nu s acordă fracţiui d puct, dar s pot acorda puctaj itrmdiar ptru rzolvări parţial, î limitl puctajului idicat î barm. S acordă 0 puct di oficiu. Nota fială s calculază pri împărţira la 0 a puctajului total acordat ptru lucrar.. b = b q = 3 = 5 = 5 p. f x = g x x x + = 4x 5 x 5x + 6 = 0 p x =, x = 3 3. x = 4 x x = 6 8x + x x 0x + 6 = 0 x =, car covi, x = 8, car u covi p 4. Mulțima A ar 49 d lmt, dci sut 49 d cazuri posibil p Î mulțima A sut 7 umr atural, dci sut 7 cazuri favorabil p r. cazuri favorabil 7 p = = = r. cazuri posibil 49 7 p 5. Puctul M ( 3,3) st mijlocul laturii BC p Ecuația mdiai di A st y = 3 6. si x 3si x cos x + cos x si x + 3cos x = 3si x si xcos x + cos xsi x + 3cos x = p ( x x) = 3 si + cos = 3, ptru oric umăr ral x.a) 4 4 A( ) = dt ( A( ) ) = = ( ) ( ) ( 4) 4 = 4 4 = + 6 = 7 p b) 09 a 4 09 + a 4 4038 8 A( 09 a) + A( 09 + a) = + = = 4 09 a 4 09 + a 8 4038 09 4 = = A( 09), ptru oric umăr ral a 4 09 p c) x 4 y 4 xy 6 4x + 4y 6 8 A( x) A( y) = =, A( 8) = 4 x 4 y 4x 4y xy 6 8 6 xy = 0 și x + y =, dci x = 0, y = sau x =, y = 0 p.a) 4x + 4 0 4x x 0 = = = x, ptru oric x G 4 + x 0 4 p 4 0 + 4 x 4x 0 x = = = x, ptru oric x G, dci 0 st lmtul utru al lgii d 4 + 0 x 4 compoziţi b) 8x 8 x 5x 4 0 4 + x = 5 x =, car covi, x = 4, car u covi p Probă scrisă la matmatică M_şt-at Barm d valuar şi d otar Filira tortică, profilul ral, spcializara ştiiţ al aturii Pagia di

c) ( x ) ( y ) 4 + 4 4 f ( x) + 4 f ( y) x + y + ( xy + x y + xy x + y ) f ( x) f ( y) = = = = 4 + f ( x) f ( y) 4 xy + x + y + + xy x y + 4 + ( xy ) ( xy ) ( xy ) 4 = = = f + xy + ( xy) ( x )( y ) ( x + )( y + ), ptru oric x, y ( 0, + ) p.a) f '( x) x + x + x = = x + x + x (, + ) p 0 f ' 0 = 0 p b) f =, Ecuația tagti st y f ( 0) = f '( 0)( x 0), adică y = c) f '( x) 0, ptru oric x (,0] f st crscătoar p (,0] și ' 0 x [ 0, + ) f st dscrscătoar p [ 0,+ ), dci f ( x) f x ( x ) dci l ( x + ) x, ptru oric x (, + ) cos x >, ptru oric x ( 0, π ), dci l ( + cos x) cos x, ptru oric x ( 0, π ).a) b) c) x x f ( x) dx = ( x + 3) dx = + 3x = f x, ptru oric 0 + l +, p = + 3 3 = 6 F st o primitivă a fucții f F ( x) f ( x) F x + 3 = =, x R x p 3, 3, + ( x) 0, ptru oric x [ + ), dci fucția F st crscătoar p itrvalul [ ) A x x = f ( x) dx = ( x + 3) dx = ( x + 4) = ( + 4) + 4 0 0 0 + 4 + 4 = 4 6, d ud obțim = p p Probă scrisă la matmatică M_şt-at Barm d valuar şi d otar Filira tortică, profilul ral, spcializara ştiiţ al aturii Pagia di

Matmatică M_thologic Filira thologică: profilul srvicii, toat calificăril profsioal; profilul rsurs, toat calificăril profsioal; profilul thic, toat calificăril profsioal Toat subictl sut obligatorii. S acordă 0 puct di oficiu. Timpul d lucru fctiv st d 3 or. 5p. Arătați că 7 ( 7 + ) 7 = 7. 5p. S cosidră fucția f :, R R itrscți a graficului fucții f cu axa Oy. 5p 3. Rzolvaţi î mulţima umrlor ral cuaţia ( ) 5 f x = x 6x + 8. Dtrmiați coordoatl puctului d log x + 9 =. 5p 4. După o iftiir cu 40%, prţul uui obict st 300 d li. Calculați prțul obictului îait d iftiir. 3, 3, C 0,6. Dtrmiaţi, î 5p 5. Î rprul cartzia xoy s cosidră puctl A, B( ) şi triughiul ABC, lugima mdiai di vârful C. 5p 6. Arătați că 3 si 60 si 45 =. 4 6 0 0. S cosidră matricl A =, I = 3 5 0 5p a) Arătați că dt A = 0. M a M b = M a + b + ab, ptru oric umr ral a și b. și M ( a) = I + aa, ud a st umăr ral. 5p b) Dmostrați că 5p c) Dtrmiați umărul ral a ptru car M + M + + M ( 09) = 09M ( a). S cosidră poliomul 3. f = mx + X mx, ud m st umăr ral ul. 5p a) Arătați că f = 0, ptru oric umăr ral ul m. 5p b) Ptru m = 3, dtrmiaţi rădăciil poliomului f. 5p c) Dtrmiați umărul ral ul m ptru car rădăciil poliomului f.. S cosidră fucţia f : 3 R R, f ( x) = x 3x + 5. 5p a) Arătați că f '( x) = 3( x )( x + ), x R. 5p b) Dmostrați că fucția f st covxă p [ 0,+ ). 5p c) Dmostrați că f ( x) 7, ptru oric x (,].. S cosidră fucția f : 5p a) Arătați că 5p b) Calculați f x dx =. 0 x + dx. f ( x) R R, f ( x) = 3x + 6x + 7. 5p c) Dmostrați că, ptru oric a ( 0, ) + + = 4, ud x x x x, x și x 3 sut 3 +, suprafața plaă dlimitată d graficul fucții f, axa Ox și drptl d cuații x = 0 și x = a ar aria mai mar sau gală cu a 7. Probă scrisă la matmatică M_thologic Filira thologică: profilul srvicii, toat calificăril profsioal; profilul rsurs, toat calificăril profsioal; profilul thic, toat calificăril profsioal Pagia di

Matmatică M_thologic BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Filira thologică: profilul srvicii, toat calificăril profsioal; profilul rsurs, toat calificăril profsioal; profilul thic, toat calificăril profsioal Ptru oric soluţi corctă, chiar dacă st difrită d ca di barm, s acordă puctajul corspuzător. Nu s acordă fracţiui d puct, dar s pot acorda puctaj itrmdiar ptru rzolvări parţial, î limitl puctajului idicat î barm. S acordă 0 puct di oficiu. Nota fială s calculază pri împărţira la 0 a puctajului total acordat ptru lucrar.. 7 ( 7 + ) 7 = 7 7 + 7 7 = p = 7 + 0 = 7. f ( 0) = 8 Coordoatl puctului d itrscți cu axa Oy sut x = 0 și y = 8 p 3. x + 9 = 5 x 6 = 0 p x = 4 sau x = 4, car covi 4. 40 x x = 300, ud x st prțul obictului îait d iftiir 00 x = 500 d li p 5. M ( 0,), ud puctul M st mijlocul laturii AB p CM = 4 6. 3 si 60 =, si 45 = p 3 3 3 3 si 60 si 45 = = = 4 4 4.a) 6 0 dt A = = 6 ( 5) 3 ( 0) = 3 5 = 30 + 30 = 0 p b) A A A M a M b = I + aa I + ba = I + aa + ba + aba A = p = și ( )( ) I aa ba aba I ( a b ab) A M ( a b ab) c) ( ) ( ) ( 09 ) 09 ( 09) = 09( I + 00A) = 09M ( 00), d ud obțim 00.a) 3 = + + + = + + + = + +, ptru oric umr ral a și b I + A + I + A + + I + A = I + + + + A = a = p f = m + m = = m + m = 0, ptru oric umăr ral ul m p b) f 3X 3 X 3X f ( X )( X )( 3X ) c) = + = + + p x =, x =, x 3 = 3 x x + xx3 + xx3 =, x xx3 = m p x x + x x3 + xx3 m = 4 = 4 m = 8 x x x 3 Probă scrisă la matmatică M_thologic Barm d valuar şi d otar Filira thologică: profilul srvicii, toat calificăril profsioal; profilul rsurs, toat calificăril profsioal; profilul thic, toat calificăril profsioal Pagia di

.a) f ' x = 3x 3 = ( x ) ( x )( x ) = 3 = 3 +, x R p b) f ''( x) 6x f ''( x) 0, ptru oric x [ 0, + ), dci fucția f st covxă p [ 0,+ ) c) f ( x) 0, ptru oric x (, ] f st crscătoar p (, ] și f ( x) 0 oric x [,] f st dscrscătoar p [,] f ( x) f ( ), ptru oric x (,] și f ( ) = 7, dci f ( x) 7, ptru oric (,].a) b) =, x R p, ptru p x 3x 6x f x dx = 3x + 6x + 7 dx = + + 7x = 3 0 0 0 = + 3 + 7 0 = p x + x + 3 6 7 ( dx = dx x x ) = + + = 3 + 6 + 7 3 ( 6 4 ) = = p 3 3 c) 3x 6x 7 7 x 0, + p + +, ptru oric [ ) a a a 3 6 7 7 7 A = f ( x) dx = x + x + dx dx = a, ptru oric ( 0, ) 0 0 0 a + Probă scrisă la matmatică M_thologic Barm d valuar şi d otar Filira thologică: profilul srvicii, toat calificăril profsioal; profilul rsurs, toat calificăril profsioal; profilul thic, toat calificăril profsioal Pagia di

Matmatică M_pdagogic Filira vocaţioală, profilul pdagogic, spcializara îvăţător-ducatoar Toat subictl sut obligatorii. S acordă 0 puct di oficiu. Timpul d lucru fctiv st d 3 or. 5p. Calculați suma primilor tri trmi ai progrsii gomtric cu trmi pozitivi ( b ), știid că b = și b 3 = 8. 5p. Dtrmiați umărul ral m, știid că puctul (, ) f ( x) = 5x 6. 5p 3. Rzolvaţi î mulţima umrlor ral cuaţia A m m aparți graficului fucții f : R R, x 0x + 5 = 5. 5p 4. După o iftiir cu 0%, urmată d o scumpir cu 0 li, prțul uui obict st 90 d li. Dtrmiați prțul iițial al obictului. 5p 5. Î rprul cartzia xoy s cosidră puctl ( 4,4) AOB, cuația mdiai di vârful A. 5p 6. Arătați că si 30 si 90 = 0. A și B ( 6,0) P mulțima umrlor ral s dfișt lga d compoziți x y ( xy x y) 5p. Arătați că ( ) =. 5p. Arătați că lga d compoziți st comutativă. 5p 3. Dmostrați că x y ( x )( y ) 5p 4. Dmostrați că. Dtrmiați, î triughiul = + + +. = + +, ptru oric umr ral x și y. = st lmtul utru al lgii d compoziți. 5p 5. Dtrmiați umrl ral x ptru car ( x ) ( x ) 5p 6. Dtrmiați umrl atural ul ptru car + = 5.. S cosidră matricl A = 0 5p. Arătați că dt A =. 5p. Calculați dt ( A B) +. și 3 B =. 5p 3. Arătați că A A = B. 5 3 5p 4. Dtrmiați umrl ral a și b ptru car aa + bb =. 6 5p 5. Arătați că, dacă X ( R) M astfl îcât X + A = B, atuci matrica X st ivrsabilă. 5p 6. Dtrmiați valoril ral al lui a ptru car ( A B ai ) 0 dt + 0, ud I =. 0 Probă scrisă la matmatică M_pdagogic Filira vocaţioală, profilul pdagogic, spcializara îvăţător-ducatoar Pagia di

Matmatică M_pdagogic BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Filira vocaţioală, profilul pdagogic, spcializara îvăţător-ducatoar Ptru oric soluţi corctă, chiar dacă st difrită d ca di barm, s acordă puctajul corspuzător. Nu s acordă fracţiui d puct, dar s pot acorda puctaj itrmdiar ptru rzolvări parţial, î limitl puctajului idicat î barm. S acordă 0 puct di oficiu. Nota fială s calculază pri împărţira la 0 a puctajului total acordat ptru lucrar.. b = 4 p S3 = b + b + b3 = + 4 + 8 = 4. f ( m) = 5m 6 p 5m 6 = m m = 3. x 0x + 5 = 5 x 0x = 0 p x = 0 sau x = 0, car covi 4. 0 x x + 0 = 90, ud x st prțul iițial al obictului 00 x = 00 d li p 5. Puctul M ( 3,0) st mijlocul sgmtului OB p Ecuația mdiai st y = 4x 6. si30 = p si 90 = si 30 si 90 = = 0. ( ) = ( ( ) + ( ) + ) + = = ( ) + = p. x y = ( xy + x + y) + = ( yx + y + x) + = = y x, ptru oric umr ral x și y, dci lga d compoziţi st comutativă p 3. x y = xy + x + y + = p 4. = x y + + y + = x + y +, ptru oric umr ral x și y x = ( x + ) + = x + = x, ptru oric umăr ral x p x = + ( x + ) = x + = x, ptru oric umăr ral x, dci = st lmtul utru al lgii d compoziți 5. x + x + + = 5 x + 3x + = 0 x = sau x = 6. + + + 6 0 p [ 3,] și, cum st umăr atural ul, obțim = sau = p Probă scrisă la matmatică M_pdagogic Barm d valuar şi d otar Filira vocaţioală, profilul pdagogic, spcializara îvăţător-ducatoar Pagia di

. dt A = = 0 = 0 = 0 = p. 4 A + B = 4 4 dt ( A + B) = = 0 4 p 3. + + 0 A A = = + 0 + 0 0 3 = = B p 4. a a 3b b a + 3b a + b aa + bb = + = a 0 b b a + b b p a + 3b a + b 5 3 =, d ud obțim a = și b = a + b b 6 5. 0 X = B A X = 0 0 dt X = = 4 0, dci matrica X st ivrsabilă 0 p 6. 4 a A + B ai = dt ( A + B ai ) = a 6a 4 a [ ] a 6a 0 a 0,6 p Probă scrisă la matmatică M_pdagogic Barm d valuar şi d otar Filira vocaţioală, profilul pdagogic, spcializara îvăţător-ducatoar Pagia di