Prefaţă Reaizarea progresuui tehic î toate ramurie idustriae î care itervi structuri de rezisteţă ecesită atât cuoştiţe mutipe şi aprofudate di domeiu Rezisteţei materiaeor cât şi deprideri avasate de cacu. Reducerea cosumuui de materiae, ceea ce echivaează cu dimesiui mai reduse petru piese, este posibiă umai pe baza uor studii detaiate privid rezisteţa, deformabiitatea,stabiitatea şi durabiitatea eemeteor astfe îcât odată cu creşterea performaţeor tehoogice, siguraţa î epoatare, pe toată durata de fucţioare să fie depiă. Petru acest ucru, voumu II prezită oţiuie ştiiţifice, metodee şi procedeee cocrete de cacu şi dimesioare ae structurior sub o formă adecvată atât îţeegerii aspecteor fizice cât şi apicării or î cazuri specifice reae di domeiu costrucţiei de maşii şi utiaje. Î acest voum s-a cotiuat iia matematizării totae a tuturor feomeeor şi epicarea fiecărui detaiu î parte. Acest mod de ucru, ia o buă parte di timp şi di spaţiu,dar fără acest sti u se poate îţeege î mod ştiiţific Rezisteţa materiaeor. Î acest voum, capitoee au o egătura mare ître ee, capitou VII ( Fambaju ) î demostrarea tuturor feomeeor se poreşte de e ecuaţia fibrei medii deformate, cu codiţiie de rigoare ae fiecărui caz î parte. Î capitou VIII ( Soicitări diamice pri şoc ) se observă egăturie cu soicitărie statice şi mai itervi uee codiţii specifice acestui capito. La trasarea diagrameor de eforturi petru baree cotite s-au foosit toate metodee de cacu, îcărcărie au fost reative simpe. --
Petru muca depusă şi sugestiie făcute cu ocazia citirii mauscrisuui aduc muţumiri deosebite referetuui ştiiţific prof.dr.igmarce Nǎforiţǎ. Autoru --
Cupris voumu II Capitou VI Soictarea a îcovoiere Deformarea bareor drepte soicitate a îcovoiere 6..Itegrarea aaitică a ecuatiei difereţiae a fibrei medii deformate î cazu grizior de secţiue costată şi eecutate di aceaşi materia adică [ E E E E] cu mai mute câmpuri de variaţie a mometuui îcovoietor. Procedeu Cebsch sau a idetificării costateor de itegrare.. 6.. Teoremee ui Castigiao. 6.5. Metoda grafo-aaitică de itegrare a ecuaţiei difereţiae de ordia a II-ea a fibrei medii deformate... 6.6. Studiu depasărior pri metode eergetice. Lucru mecaic a forţeor eterioare 6.6.. Bara supusă a îtidere sau compresiue.. 6.6.. Bara supusă a soicitarea de îcovoiere pură...5 6.6.. Bara supusă a soicitarea de îcovoiere simpă..7 6.6.. Bara supusă a soicitarea de răsucire a uui arbore 7 6.7. Teoremee reciprocităţii ucruui mecaic şi a depasărior Teorema ui Betti. 9 6.8. Studiu depasărior pri metoda Mohr-Mawe. Metoda de itegrare Vereşceaghi 5 6.9. Grizi drepte static edetermiate..67 6.9.. Itroducere..67 6.. Ecuaţia ceor trei momete ( ecuatia ui Capeyro )...95 6.. Teorema reciprocităţii depasărior sau teorema ui Mawe. Capitou VII Stabiitatea eastică ( Fambaju ) 7..Defiiţia fambajuui --
7.. Formua ui Euer petru cacuu forţei critice de fambaj a baree drepte 7 7... Bara articuată a ambee capete...8 7... Bara îcastrată a u capăt şi iberă a ceăat capăt.. 7... Bara îcastrată a u capăt şi articuată a ceăat capăt...... 7... Bara îcastrată a ambee capete 6 7.. Limita de vaabiitate a formuei ui Euer. Fambaju î zoa eastică şi î zoa pastică.9 7.. Cacuu de rezisteţă a fambaj.. 7... Cacuu de rezisteţă a fambaj petru piesee de maşii... 7... Cacuu de rezisteţă a fambaj î costrucţiie metaice...9 Capitou VIII Soicitări diamice pri şoc 8.. Soicitarea de îtidere sau compresiue pri şoc 55 8.. Soicitarea a îcovoiere pri şoc...65 8.. Soicitarea a răsucire pri şoc...77 Capitou IX Echiibru sistemeor pae acătuite di bare rigide egate ître ee pri articuaţii Grizi cu zăbree 9.. Defiiţii...8 9... Cacuu grizii cu zăbree..8 9.. Cacuu eforturior 86 9... Metoda izoării odurior metoda aaitică.86 9... Metoda izoării odurior metoda grafică...9 9... Costrucţia epurei Cremoa pri otarea bareor...96 9... Costrucţia epurei Cremoa pri otarea regiuior...99 9..5. Metoda aaitică a secţiuior. Metoda Ritter 9.. Deformaţia grizior cu zăbree...5 --
Capitou X Trasarea diagrameor de eforturi petru baree cotite.. Geeraităţi... Trasarea diagrameor de eforturi petru baree cotite.. -5-
Cupris voumu I Capitou I. Itroducere.. Noţiui itroductive..7.. Obiectu şi probemee rezisteţei materiaeor.7.. Casificarea corpurior..8.. Cosiderete ecoomice....5. Puctee de apicatie ae forţeor..6. Casificarea forţeor..6.. Forţee eterioare..6..forţee iterioare...5.7.eforturi uitare.....7.8.eforturi sau eemete de reducţie 9.9.Ecuaţiie de echivaeţă.....statica apicată a rezovarea probemeor de rezisteţa materiaeor.....casificarea reazemeor..... Reazem simpu...... Reazem cu articuaţie fiă...... Reazem îţepeit ( îcastrat )..... Deformaţii şi depasări..5... Deformaţii iiare...6... Deformaţii ughiuare...7 Capitou II Ipotezee de bază di rezisteţa materiaeor.. Geeraităţi..... Ipoteza cotiuităţii materiei..... Ipoteza omogeităţii materiei..... Ipoteza mediuui izotrop....5. Ipoteza easticităţii materiauui...6. Ipoteza deformaţiior mici....7. Ipoteza proporţioaităţii ître tesiui şi deformaţii.. -6-
.8. Pricipiu ui Sait Veat....9. Ipoteza stării ormae.... Ipoteza ui Beroui ( ipoteza secţiuior pae ).5.. Diagramee caracteristice ae materiaeor 6... Diagrama caracteristică..7... Curba caracteristică a îtidere petru u oţe.8... Curba caracteristică a oţeuui a compresiue...... Curba caracteristică a torsiue....5. Curbee caracteristice petru materiaee care u ascută de egea ui Hooke.... Factorii care ifuieţează caracteristicie mecaice şi eastice ae materiaeor.... Teoreme şi metode eergetice. Eergia poteţiaă de deformaţie...5 Capitou III Soicitarea a îtidere sau compresiue..soicitări aiae 7... Reaţiie difereţiae ître sarcii şi eforturi a soicitarea aiaă...5.. Cacuu tesiuii ormae petru soicitarea aiaă...56.. Deformaţii şi depasări î bare soicitate aia...58.. Eergia poteţiaǎ de deformaţie...59... Teoremee ui Castigiao...6... Teorema a I-a a ui Castigiao apicată a soicitarea aiaă 6.5. Cacuu bareor de greutate mare soicitate aia...65.6. Bara de egaă rezisteţă a soicitări aiae..67.7. Reaizarea practică a barei de egaă rezisteţă a soicitarea aiaǎ..69.8. Probeme static edetermiate a soicitarea aiaă..7.9. Tesiui cauzate de variaţii de temperatură 88.. Tesiui pe o secţiue îciată... -7-
Capitou IV Soicitarea a forfecare.. Noţiui geerae.. Cacuu tesiuii tageţiae.. Lucru mecaic specific de deformaţie a soicitarea de forfecare..... Tesiui îtr-o secţiue îciată....5. Cacuu a presiue de cotact ( strivire ).8 Capitou V Soicitarea a răsucire 5.. Răsucirea arborior de secţiue circuară şi respectiv ieară... 5.. Cacuu mometuui de răsucire a arbori de trasmisie.. 5.. Tesiui şi deformaţii a rǎsucire...5 5.. Caracteristicie geometrice ae secţiuior trasversae...8 5... Secţiuea traversaă circuară...8 5... Secţiuea traversaă circuară ieară...9 5.5. Eergia de deformaţie a răsucire... 5.6. Cacuu arcurior eicoidae cu spire strâse 5.6.. Cacuu săgeţii arcuui... 5.7. Reaţiie difereţiae ître sarcii şi eforturi a soicitarea de răsucire... 5.8. Arbori static edetermiaţi.58 Capitou VI 6.. Caracteristicie geometrice ae suprafeţeor pae..67 6... Momete statice...67 6... Momete de ierţie geometrice..69 6... Variaţia mometeor de ierţie faţă de ae paraee. Teoremee ui Steier.7 6... Variaţia mometeor de ierţie faţă de ae cocurete..7 6..5. Secţiuea trasversaă dreptughiuară..77-8-
6..6. Secţiuea trasversaă triughiuară..78 6..7.Secţiuea trasversaă sector de cerc..8 6..8. Secţiuea trasversaă circuară. 8 6..9. Secţiuea trasversaă circuară ieară. 8 6.. Soicitarea a îcovoiere. Noţiui geerae...9 6.. Cacuu tesiuii ormae...9 6.. Studiu eperimeta a deformaţiei grizii soicitată a îcovoiere pură...96 6.5. Cacuu tesiuii ormae σ. Reaţia ui Navier...97 6.6. Reaţiie difereţiae ître sarcii şi eforturi..9 6.7. Duaitatea tesiuior tageţiae.. 6.8. Cacuu tesiuii tageţiae. Reaţia ui Juravschi.. 6.9. Variaţia tesiuior tageţiae petru diferite forme ae secţiuii trasversae ae bareor.7 6.9.. Secţiuea dreptughiuară...7 6.9.. Secţiuea dreptughiuară cu go...9 6.9... Secţiuea circuară... 6.. Eergia poteţiaă de deformaţie îmagaziată îtr-o bară supusă a soicitarea de îcovoiere...5 6.. Bare de egaă rezisteţă a îcovoiere 6 6... Grida î cosoă, cu secţiue dreptughiuară a care îăţimea secţiuii trasversae este variabiă.7 6... Grida î cosoă, cu secţiue dreptughiuară cu ăţime variabiă...8 6... Grida î cosoă cu secţiue circuară..9 6... Bare de egaă rezisteţă de secţiue circuară îcǎrcate ca î figurie 5 şi 5 5 6.. Deformarea bareor drepte soicitate a îcovoiere.5 6... Metoda itegrării aaitice a ecuaţiei difereţiae a fibrei medii deformate...5 6... Grida simpu rezemată cu sarciă uiform repartizată...59-9-
--
Capitou VI Soicitarea a îcovoiere Deformarea bareor drepte soicitate a îcovoiere 6.. Itegrarea aaitică a ecuaţiei difereţiae a fibrei medii deformate î cazu grizior de secţiue costată şi eecutate di aceaş materia adică ( E E E E ) cu mai mute câmpuri de variaţie a mometuui îcovoietor. Procedeu ui Cebsch sau a idetificării costateor de itegrare. Acest procedeu reduce umăru costateor de itegrare a două C şi D, pe câd a metoda aaitică se itroducea petru fiecare regiue câte două costate de itegrare, ca atare petru o bară cu trei sau mai mute regiui, metoda aaitică devie destu de compicată. Procedeu Cebsch impue aumite restricţii : ) origiea de măsură a absciseor se fiează îtotdeaua a uu di capetee barei, idiferet dacă este reazem sau capăt de cosoă. ) origiea odată aeasă rămâe eschimbată pe tot timpu rezovării probemei, poziţioarea forţeor ( sarciior) şi a secţiuior curete se face umai faţă de această origie. ) toţi termeii epresiei mometuui îcovoietor di regiuea ( câmpu ) precedetă trebuie ăsaţi eschimbaţi ca formă î fucţia mometuui îcovoietor a regiuii următoare a grizii. ) toţi termeii epresiei mometuui îcovoietor care apar î regiuea următoare, îcepâd cu regiuea a doua, trebuie să coţiă biomu ( i aj ). 5) itegrarea ecuaţiei difereţiae, trebuie făcută fără a se desface paratezee biomuui ( i aj ). 6) trosoaee barei să fie di aceaşi materia şi secţiuea trasversaă să fie costată pe toată ugimea barei. De aici reiese particuaritatea acestui procedeu. --
i j se t se difereţiază Câd eistă de rezovat itegraa de forma: ( a ) d face schimbarea de variabiă ( i a j ) d( ) i a j ' i j dt ( a ) d dt d dt t ( i a j ) d t dt C ude t ( i a j ), şi deci ( ) ( ) i a j i a j d C. Să demostrăm eisteţa a umai două costate de itegrare C şi D, petru o gridă îcărcată ca î figură, acest caz particuar duce pri iducţia matematică a rezovarea oricărui tip de îcărcare. Apicăm metoda aaitică de cacu a săgeţior şi a rotirior secţiuior trasversae, petru fiecare regiue î parte şi e foosim de faptu că fucţia aei de simetrie deformată trebuie să fie cotiuă şi derivabiă pe tot domeiu maim de defiiţie. Figura --
Regiuea îtâi ( a ) M ( ) VA iz ecuaţia fibrei medii d y deformate va fi : EI z M ( iz ) V A, d Figura pri itegrări succesive se obţi, următoaree epresii dv VA EI z C d VA EI zv( ) C D 6 Petru regiuea a II-a [ ) ( ) ( ) a a M iz VA F a ecuaţia fibrei d y EI z M iz ( ) VA F a d pri itegrări succesive se obţi, următoaree epresii: -- medii deformate va fi : ( )
-- ( ) ( ) 6 6 ) ( D C a F V v EI C a F V d dv EI A z A z ( ) Puem codiţiie de cotiuitate şi derivabiitate ae fucţiior ce eprimă săgeţie şi rotirie secţiuior trasversae, î secţiuea ( ) [fucţia y() v() să fie cotiuă şi derivabiă]. Deci ) ( ) ( ) ( ) ( d dv a d dv a v a v a a fe şi ) ( ) ( ) ( ) ( d dv a EI d dv a EI v a EI v a EI z z z z De ude rezută :. 6 6. C a V C a V D a C a V D a C a V A A A A de aici impică C C şi D D. S-a precizat că acest procedeu este itat a baree eecutate di aceaş materia şi u variază dimesiuie secţiuior trasversae. Regiuea a III-a [ ) a a ( ) ( ) ( ) a F a F V M A iz ecuaţia fibrei medii deformate va fi : ( ) ( ) ) ( a F a F V M d y d EI A iz z
-5- Figura ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 6 ) ( D C a F a F V v EI C a F a F V d dv EI A z A z Puem codiţiie de cotiuitate şi derivabiitate ae fucţiior ce eprimă săgeţie şi rotirie secţiuior trasversae, î secţiuea ( ) [fucţia y() v() trebuie să fie cotiuă şi derivabiă]. ) ( ) ( ) ( ) ( d dv a d dv a v a v a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 6 6 6 6. C a a F a a F a V C a a F a a F a V D a C a a F a V D a C a a F a V A A A A
Figura de aici impică C C C şi D D D. Pri iducţie matematică rezută că : C C C C C şi D D D. D D, ude C EI z * ϕ v este săgeata î origie, iar φ rotirea î origie a D EI z * v secţiuii trasversae. Probema r.5 Să se cacueze săgeţie şi rotirie secţiuior trasversae Q şi S petru bara di figura 5, ştiid că : E,. 5 N/mm q 6 N / m, m, secţiuea trasversaă fiid dreptughiuară cu b 6 mm şi h 8 mm. Rezovare: Cacuăm săgeţie şi rotirie secţiuior trasversae Q şi S cu ajutoru procedeuui Cebsch petru grida di figura 5, aegem ca origie, articuaţia di (A). Se scrie ecuaţia mometuui geeraizator di utima regiue (B-S), apoi se cacuează epresia fucţiior petru săgeţi şi rotiri tot cu -6-
eemete geeraizatoare. q ( ) ( ) M iz ( ) 5q q 9q( ) cu q( ) q( ) 8 q R ( ) q ( 9 ) îcărcarea trapezoidaă s-a desfăcut îtru triughi şi îtr-u dreptughi. Forţa rezutată petru triughi q. R ( ) ( ), forţa rezutată petru dreptughi 6 Rdreptughi()q()(-), petru trapezu dreptughic variabi di figura 6, s-a apicat pricipiu suprapuerii efecteor. Deasemeea petru a avea î epresia mometuui îcovoietor termeii biomiai ( i - aj ) s- a pus a mometu îcovoietor cocetrat Miz ( Q ) q braţu ( ) [ orice umăr a puterea zero este ega cu uu ], apoi s-a preugit fucţia de îcărcare q() q di regiuea a II-a [ sus şi jos pe aceeaşi ugime ( - )] ca urmare a apicării pricipiuui suprapuerii efecteor. Fucţia de îcărcare petru regiuea a III-a ( fiid triughiuară ) se afă di teorema ui Thaes : q( ) 9 q 6 9 q( ) ( 9 ) q 6 6 q( 9 ) q [ q q( ) ] ( ) q R ( ( ) ( ) ) 6 q Rdreptughi R ( ) q( [ ] ( 9 )( ) câd se eprimă mometee îcovoietoare ae sarciii distribuite dată de îcărcarea trapezoidaă faţă de secţiuea ( ), se obţi defacat mometu îcovoietor petru îcărcarea triughiuară şi respectiv mometu îcovoietor petru îcărcarea dreptughiuară. -7-
Figura 6 Figura 5-8-
q q M izdreptughi ( ) ( 9 )( ) ( 6)( ) 6 6 q ( ) q( ) 6 q M ( ) ( ) q( ) iz, mometu îcovoietor petru 6 îcărcarea dreptughiuară di regiuea a III-a, q ( )( ) q M ( ) ( ) iz mometu 6 9 îcovoietor petru îcărcarea triughiuară di regiuea a III-a. Mometuui geeraizator di utima regiue: Figura 7 q ( ) ( ) q ( ) ( ) q( ) M iz ( ) 5q q 9q 8 Apicăm ecuaţia fibrei medii deformate: d y d y EI z M ( ) iz EI z d d [ 5q q ( ) q ( ) 9q ( ) q ( ) q( ) ] pri itegrări succesive se obţi, următoaree epresii -9-8
dv 5q q 9q EI z q ( ) ( ) ( ) d 6 q q ( ) ( ) C 7 5q q ( ) q( ) q( ) q( ) EI zv( ) 6 8 5 q( ) C D 6 S-au obţiut epresiie săgeţior şi a rotirior secţiuior trasversae î forme geeraizatoare, se afă costatee C şi D di codiţiie de spriji ( de reazem ) ae barei. O primă codiţie este : v( ) a fe şi EI z v( ) î regiuea îtâi, [ ) ( ) 5q Figura 8 M iz petru epresia mometuui îcovoietor di regiuea îtâi, se ia di epresia mometuui îcovoietor geeraizator umai primu terme, a fe se ţie cot şi î epresiie săgeţior sau rotirior. --
dv q EI 5 z C d 5q EI zv ( ) C D 6 5q EI z v( ) C. D 6 D. A doua codiţie de reazem va fi: v ( ).Codiţiie de reazem ( de spriji ) sut cuprise î codiţiie de cotiuitate şi derivabiitate ae fucţiei fibrei medii deformate. Î regiuea a II-a, [ ) Figura 9 ( ) q M iz ( ) 5q q ( ) petru epresia mometuui îcovoietor di regiuea a II-a, se ia di mometuui îcovoietor geeraizator umai termeii care dau momet îcovoietor petru regiuea a II-a, î mod aaog se procedează a epresiie --
săgeţior şi a rotirior secţiuior traversae, se iau umai primii trei termei a care se adaugă cotribuţia ui C şi D. EI z v ( ) 5q q ( ) q( ) EI z v ( ) EI z C D 6 5q() q ( ) q( ) C. D 6 C - 9,8 q. Avâd determiate costatee de itegrare C şi D, s-au obţiut fucţiie săgeţior şi rotirior secţiuior trasversae peru orice puct de pe bară. dv 5q q 9q EI z q ( ) ( ) ( ) d 6 q q ( ) ( ) 9,8q 7 5q q ( ) q( ) q( ) q( ) EI zv( ) 6 8 5 q( ) 9,8q. 6 Acum se cacuează săgeata şi rotirea î puctu Q, care se afă î regiuea îtâi deci se ia umai primu terme a care se adaugă cotribuţia C şi D : v ( ) vq EI z 5q 6 5q 6 8,996. q 9,8q EI z 9,8q EI z --
v Q 8,996. q EI,mm dv d 7,. q EI z z ϕ z Q 7,. q ϕq EI (.) 6N 8,996. m 5 N,. mm 5q 6N 7,. m 5 N,. mm 6 7,.6.. mm 5,..56mm (,) m 6.8 mm 9,8q EI (,) 6.8 mm,79[ rad] m (.) 9 8,996.6.. mm 5,..56mm z EI z 5q 9,8q vq -, mm. Petru secţiuea di puctu S se iau epresiie geeraizatoare, deoarece (S ) cade î utima regiue petru care s-a făcut mometu îcovoietor geeraizator. 5q q EI zϕ S [ q 9 6 q q ( ) ( ) 9,8q ] 7 5q q EI zvs [ 9 6 5 q( ) q( ) 9,8q. ] 8 6 ( ) ( ) ( ) ( ) q( ) q( ) 9q --
( 9) 5q EI zϕ S [ q q q 7 5q EI zvs [ 6 5 q( 9 ) 9,8q.9] 6 q vs,77 EI q ϕ S 7, EI ( 9 ) ( 9 ) ( 9 ) ( 9 ) ( 9 ) ( 9) q ( 9 ) q( 9 ) q( 9 ) q( 9 ) z q 6 9,8q ] z 6N,77 (,) m 9,77. q m,77.6. (.). mm v 9, mm S EI z N 6.8 mm,..56mm 8 5 5,. mm 6N 7,. (,) m 6 7,. q 7,.6. (.). mm ϕ m S 5 EI z 5 N 6.8 mm,..56mm,. mm,789[ rad]. 9q 6.. Teoremee ui Castigiao Dacă eistǎ o bară îcărcată ca î figura : 8 Figura --
L L v S săgeata î puctu S, iar P M izq ϕq rotirea secţiuii trasversae di puctu Q. M iz ( ) M iz ( ) M iz ( ) M iz ( ) vs d ϕ Q d EI P z EI M z izq M iz ( ) L d L fiid ucru mecaic eastic de deformaţie EI z îmagaziat îtr-o bară supusă a îcovoiere. Î cazu î care se cere să cacuăm î (S) şi rotirea secţiuii trasvesae, trebuie să itroducem î S u momet îcovoietor cocetrat fictiv Miz (S) kn.m, apoi se cacuează VA şi Miz (A) fucţie de Miz( S), a sfârşitu rezovării probemei se face Miz (S) kn.m. Figura Î mod aaog dacă se cere săgeata î Q, se itroduce î secţiuea trasversaă di puctu Q, se itroduce o forţă cocetrată fictivă PQ [ kn ] şi se procedează î aceaşi mod, adică cacuăm forţa de reacţiue VA, respectiv mometu de reacţiue Miz(A) şi î fucţie de PQ, apoi a sfârşitu rezovării probemei se îocuieşte PQ [ kn ]. -5-
Probema r. 6 Să se cacueze săgeata şi rotirea secţiuii trasversae di Q, petru bara di figura, ştiid că : E,. 5 N/mm q,5 N/m, m, secţiuea trasversaă fiid circuară cu diametru 6 mm. Figura Deoarece î puctu Q u avem momet îcovoietor cocetrat, se itroduce u momet îcovoietor cocetrat fictiv Miz(Q) [ kn.m ] a urmă se itroduce vaoarea ui umerică. Se cacuează VA şi Miz (A) fucţie de Miz( Q) şi de forţa cocetrată PQ cu meţiuea că a sfîrşitu rezovării probemei se îocuiesc Miz( Q ) [ kn.m ] şi PQ q. F y VA q PQ VA q PQ M iz ( A) M iz ( A) q. q M izq PQ.9 M iz ( A) q M izq PQ. 9. La apicarea teoremeor ui Castigiao petru îceput trebuie să se ucreze cu tabeee, fiid mai uşor de cacuat, după o aumită perioadă de acomodare cu aceste metode atuci se poate trece peste aumite etape de cacu. q Regiuea îtâi ( ). ( ) M iz VA M iz A q M iz ( ) ( q PQ ) 9PQ M izq q -6-
Observaţie Petru regiuea a II-a este bie să se ia origiea î puctu S petru că se uşurează cacuu itegraeor, de eempu dacă avem : b b ( b a ) cazu( I ) d a cazu ( II ) a c c c d î cazu a doiea este mai avatajos de cacuat. Regiuea îtâi Miz() ( q P ) Q 9P Q M iz ( ) PQ M iz ( ) M izq (...) q 9 - () M izq q.. P M q Q izq - () PQ. M izq - () a II-a ( ) a III-a Figura -7-
Regiuea a II-a ( ] ( ) M ( ) P M q iz Q izq Regiuea a III-a ( ] M iz ( ) PQ M izq tabeu este idicat să se facă, deoarece ajută a cacu. M iz ( ) M iz ( ) L vq d EI z PQ PQ M iz ( ) M iz ( ) L ϕ Q d EI z M izq M izq q ( ) 9 ( ) q P Q PQ M izq q d ϕq EI z [( ) ]( ) PQ M izq q d EI z ( P. M )( ) d Q izq Figura -8-
-9- Figura 5 acum se fac îocuirie cu vaorie or : PQ q MizQ [ kn.m ] ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) z z Q d q EI d q q d q q q q q EI ) (. 9 ϕ [ ] ( ) z z Q d q EI d q q d q q q EI ) (. 6 ϕ z z Q EI q q q q q q q EI,6 6 6 ϕ Q Q iz z iz Q P L d P M EI M v ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) [ ]( ) [ ]( ) 9 9 d M P EI d q M P EI d q q M P P q EI v izq Q z izq Q z izq Q Q z Q Acum se îocuiesc PQ şi MizQ cu vaorie or şi aume : PQ q MizQ [ kn.m ]
v Q EI v Q EI EI z ( q ) q 9. q q ( 9 ) [( ) q q ]( ) d [ q ]( ) d z EI EI ( 9 ) [ q q ]( ) d [ q ]( ) d z q 6q q z z,6q de ude vq.după ce s-a făcut primu tabe se poate EI z face şi u a doiea tabe cu vaorie îocuite petru PQ şi MizQ:,5 N,6..(,m) ϕ m Q 5 N,..6,585. mm mm,57. [ rad] Regiuea barei Miz() EI q z d (,),6.,5.. 5,..6,585. M iz ( ) PQ 6 d M iz ( ) M izq (...) îtâi q q 6q 9 - () a II-a q q - () a III-a q - () --
,5 N,6..(,m) 9,6.,5. (,). v m Q,695mm. 5 5 N,..6,585.,..6,585. mm mm 6.5. Metoda grafo-aaitică de itegrare a ecuaţiei difereţiae de ordiu a II-ea a fibrei medii deformate Fie bara di figura 6, îcărcată cu o sarciă distribuită oarecare, d v ecuaţia fibrei medii deformate este : EI z M iz ( ) pri d dv itegrare se va obţie, EI z M iz ( ) d C d M iz ( )d Ao, reprezită aria diagramei de momete îcovoietoare pe porţiuea o- care se otează cu Ao. Impică reaţia, dv EI z Ao C costata C se cacuează d Figura 6 --
di codiţia iiţiaă a ui Cauchy, dv C tgϕ ϕ [ Ao C] ϕ d EI z EI z C EI z ϕ dv A EI z Ao EI zϕ se itegreză îcă o d dată şi vom obţie: EI z v( ) EI z. Aod D Acum se itegrează pri părţi Aod f ( ) Ao df d da o dg d d dg d g ( ) formua de itegrare pri părţi este: f ( ) g ( ) d f ( ). g( ) f ( ) g( )d Aod. Ao. dao cum di figura 6, reiese că a a, iar. da o reprezită mometu static a suprafeţei diagramei de momete îcovoietoare de pe porţiuea o- faţă de origie, deci. da o a Ao ude a a A od. Ao Ao. a Ao ( a a a ) a. Ao So. So a A o reprezită mometu static a suprafeţei diagramei de momete îcovoietoare de pe porţiuea o- faţă de secţiuea ( ). EI z v( ) EI zϕ So D costata( D ) se afă di codiţia iiţiaă a ui Cauchy : So D D v( ) v ϕ v EI z EI z EI z --
EI v EI ϕ S vei. D v. E Iz z ( ) z o z Figura 7 Această metodă este o combiaţie ître metoda grafică şi cea aaitică, dar petru epresii mai dificie ae sarciii distribuite de îcărcare q() f(), devie mai greu de apicat, metoda aceasta ajută a demostrarea ecuaţiei ceor trei momete ( ecuaţia ui Capeyro ), care este foosită a rezovarea grizior cotiuie. Probema r. 7 Să se cacueze săgeata şi rotirea secţiuii trasversae di puctu Q,petru bara di figura, ştiid că : E,. 5 N/mm, m avâd secţiuea trasversaă circuară ieară cu d mm şi D 5 mm. Rezovare: ( 5 ) 8,6. mm I z π 6 Afăm forţee de reacţiue VA şi VB di codiţiie de echiibru: --
F y VA - kn VB ecuaţia de verificare. M iz ( A) kn.,m kn. m VB.,6m,9kN V B, 85kN M iz ( B),6,5kN kn.,5m kn. m VA.,6m V A, 85kN,6 VA - kn VB ecuaţia de verificare,,85 kn kn,85 kn este îdepiită ecuaţia de verificare, deci s-au cacuat corect forţee de reacţiue. Deoarece VB -,85 kn, se schimbă sesu, acest ucru u este obigatoriu. Regiuea îtâi [, m) ( ) M iz,85kn. M iz ( ) M iz ( ),85kN.,m,85kN. m,m Figura 8 Regiuea a II-a [,m, 7m) M iz ( ),85kN. kn(, m) M iz ( ),85kN.,m,85kN. m,m --
M iz.,7m ( ),85kN.,7m kn.,6m,6875kn m Figura 9 Figura Regiuea a III-a (, 9m] M iz ( ),85kN. M iz,85kn.,9m,65kn.,9m ( ) m -5-
M iz ( ). Se ia ca origie uu di capetee barei A - O, această origie trebuie să rămâă eschimbată pe tot timpu rezovării probemei. dv EI z EI zϕ Ao EI zv( ) EI zϕ S vei z dar d v î cazu ostru, EI zv( ) EI zϕ So petru a afa pe φ ( rotirea secţiuii trasversae î origie ) foosim a II-a codiţie de reazem, aume săgeata î B este egaă cu zero ( vb ). v,6m ( ) S ϕ.,6m EI v OB z B EI z,6m z ( EI ϕ S z o ) Figura ϕ SOB EI z,6m. S-a desfăcut trapezu dreptughic îtr-u triughi şi u dreptughi, coform pricipiuui suprapuerii efecteor. -6-
,85kN. m.,m,m S OB,5m,65kN. m.,9m,85kn. m.,6m,875knm.,6m (,m,9m),5. kn. m 9,5. N. mm (,m,9m) (,6m) 9 SOB,5. N. mm ϕ,6m. EI 5 N z,..8,6. mm.,6. mm. mm,68. [ rad] Petru a afa săgeata şi rotirea secţiuii trasversae di puctu Q, trebuie să ţiem cot de origiea care se afă î A O. dv EI z EI zϕ Ao d petru Q avem : EI zv( ) EI zϕ So Ao dv EI zϕ Ao Q m EI ϕ ϕ,7 z,7m d,7m EI z AOQ ϕ Q ϕ EI z,85kn. m.,m,875kn. m.,6m A OQ,85kN. m.,6m 9,596kN. m,596. N. mm ϕ,68. Q, [ rad] 9,596. N. mm [ rad] 5 N,. 8,6. mm mm -7-
v Q,7m S ϕ.,7m EI EI ϕ S OQ z z EI z o,7 S m ϕ EI o z,85knm.,m,m S OQ,6m,85kNm.,6m.,m,875kNm.,6m,m,78kNm S OQ,78. N. mm v Q,68. [ rad],78. N. mm 5 N,..8,6. mm.,7. mm mm,67mm. Probema r.8 Să se cacueze săgeata şi rotirea secţiuii trasversae di puctu Q, petru bara di figura, ştiid că : E,. 5 N/mm P kn,6 m cu secţiuea trasversaă di figura. Rezovare: Afăm forţee de raecţiue VA şi VB di codiţiie de echiibru: F y VA VB P ecuaţia de verificare. P M iz ( A) P. VB. V B. P M iz ( B) -. P. VA. V A P P VA VB P ecuaţia de verificare P P P, este îdepiită ecuaţia de verificare, deci s-au cacuat corect forţee de reacţiue. -8-
Figura Se cacuează mai îtâi caracteristicie secţiuii trasversae, apoi se cacuează şi ceeate date ae probemei. Figura -9-
I z I z I II I z I z I. I z I II. 9. I z I z II 9. I z Figura Figura 5 Iz 9,9. 6 mm za z A mm.8. mm 95mm.9mm z G A A 8mm 9mm 89,mm cu z mm A.mm A 8 mm z 5 mm A 9. mm 9 mm petru cacuu săgeţior şi a rotirior, vom apica metoda grafo-aaitică. --
dv EI z EI zϕ Ao d dar cum săgeata î articuaţia A EI zv( ) EI zϕ vei z So este egaă cu zero, v, dv EI z EI zϕ Ao d ( ) şi φ ( rotirea di origie ) se afă cu EI zv EI zϕ So ajutoru ceei de a II-a codiţie de reazem. v ( ) S ϕ. EI v OB z B EI z,6m z ( EI ϕ S z o ) ϕ SOB EI P 9P SOB AOQ. AQB.,5P să 8 8 cacuăm şi cu ajutoru cacuuui itegra. Regiuea îtâi z Figura 6 M iz P VA ( ) ( ) --
Figura 7 P iz B Regiuea a-ii-a ( ) M ( ) V Figura 8 S OB Figura 9 ( ) M ( ) d M ( ) d ( ) P d iz S OB,5P -- iz P d
SOB,5P,5.kN. (,6m) ϕ EI 5 N z EI z 6.,. 9,9. mm mm 6,5.. N. (,6) mm 5 N 6.,. 9,9. mm mm φ,. - [ rad ]. Săgeata şi rotirea î Q : Ao dv EI zϕ Ao Q EI ϕ ϕ z d EI z AOQ ϕ Q ϕ EI z AOQ ϕ Q,. [ rad] EI z 6 P.kN. (,6m). N(,6) mm A OQ 8 8 9,97675. Nmm 9,97675. Nmm ϕq,. [ rad] 5 N 6,. 9,9. mm mm,59. [ rad] Săgeata di puctu Q : EI zϕ So So SOQ vq EI z ϕ EI ϕ. z EI z P P SOQ AOQ 8 8 sau cacuăm cu itegraa: P ( ) ( ) ( ) P SOQ M iz d d 8 --
9 (,6m) N(,6) mm kn. S OQ,65. Nmm 8,65. N. mm v Q,. [ rad],6. mm 5 N 6,. 9,9. mm mm,55mm Figura 6.6. Studiu depasărior pri metode eergetice Lucru mecaic a forţeor eterioare 6.6.. Bara supusă a îtidere sau compresiue Figura Barei di figura se apică o forţă de îtidere, a cărei vaoare creşte progresiv de a zero a P. P δ kp EA Lucru mecaic eemetar a uei forţe P, corespuzător depasării d a puctuui de apicaţie este coform defiiţiei di mecaică: --
dl P. d P. d. cos α, ude ughiu α fiid ughiu ître direcţia forţei şi cea a depasării. Figura Î cazu ostru, bara fiid soicitată a îtidere, α cos α cos şi d dδ, iar ucru mecaic eemetar dl P. dδ P k dp dl k P dp P P δp dl kpdp k PdP k kp. face şi petru ate soicitări simpe. această reaţie se poate 6.6.. Bara supusă a îcovoiere pură Di figura, rezută : (,) M iz ( ) M Lucru mecaic de deformaţie îmagaziat î această bară va fi : M iz ( ) L d M iz ( ) M costat EI z -5-
( ) ( M ) M iz L d EI z M M d EI z EI z EI z L M M Dar ughiuu î capătu iber a barei este: ϕ M EI z EI z M deci ucru mecaic a cupuui eterior M, fiid ϕ L. Figura Figura -6-
6.6.. Bara supusă a soicitarea de îcovoiere simpă (,) M iz ( ) P M iz ( ) ( P) M iz ( ) ( P) P M iz L EI v D Figura 5 ( ) ( P) P P d d EI EI 6EI z z z L P P P. v Pf f D L D f fd. P 6EI z EI z 6.6.. Bara supusă a soicitarea de răsucire a uui arbore z ( ) M t ( ) M t M ( ) t M t ( ) d, M t L d d GI p GI p GI p M t GI p M t GI p -7-
L M t M t. M ϕ B t ϕ L B. Î toate cazurie M t GI p GI p î care reaţia ître forţă sau cupu eterior şi deformaţia corespuzătoare este iiară, iar apicarea sarciii se face static, ucru mecaic a forţeor eterioare este ega cu eergia de deformaţie Figura 6 acumuată avâd o epresie dată de formuee arătate mai sus. Aceste epresii pe grafic reprezită aria triughiuui OAB. Figura 7-8-
6.7.Teoremee reciprocităţii ucruui mecaic şi a depasărior. Teorema ui Betti Asupra uui corp oarecare se apică două stări succesive de soicitare, produse de două grupe succesive de sarcii, apicâd asupra corpuui prima stare de soicitare, puctee de apicaţie ae forţeor suferă depasări, deci forţee produc ucru mecaic, iar corpu acumuează eergia L. Primu idice ( ) idică faptu că ucru mecaic este produs de forţee di prima stare de soicitare, a doiea idice ( ) idică depasărie di prima stare. Apoi pe corpu deformat se apică o a doua grupă de forţe, deci o a doua stare de soicitare, care cauzează o a doua grupă de depasări, î acest momet, forţee di a doua stare produse, corespuzător depasărior produse de ee, ucru mecaic L. Î aceaşi timp îsă, forţee di prima stare, care se afau apicate pe corp, produc, datorită depasărior, produse di a doua stare, ucru mecaic L, î fia eergia acumuată de corp, egaă cu ucru mecaic a forţeor eterioare, este L L L. Schimbâd ordiea de apicare a sarciior, deci îcepâd cu a doua şi apicâd aceaşi raţioamet, rezută ucru mecaic tota L L L, ude L este ucru mecaic datorită forţeor di a doua stare şi depasărie produse de prima, î fod eergia totaă fiid aceeaşi deci : L L L L L L. Impică L L aceasta fiid teorema reciprocităţii ucruui mecaic sau teorema ui Betti care este : dacă asupra uui corp deformabi se apică două stări de îcărcare succesive, ucru mecaic efectuat de forţee ( şi cupurie ) di prima stare cu depasărie ( săgeţi şi ughiuri ) di a doua este ega cu ucru mecaic efectuat di a doua stare cu depasărie di prima stare de îcărcare. Probema r.9 Să se cacueze săgeata di puctu D, petru bara di figura 8 a), ştiid că : E,. 5 N/mm F kn,7 m, secţiuea trasversaă fiid circuară cu diametru d 6 mm. -9-
Figura 8.6 I z π 6585mm prima stare de îcărcare, se ia 6 îcărcarea reaă a barei, iar drept a doua stare se apică o forţă egaă cu uitatea ( forţa versor a forţei P ) î secţiuea ude urmează a se afa săgeata [ figura 8 cazu b)]. Deci bara este supusă succesiv a forţee P P u P P, este forţa versor ( uitate) şi se apică î secţiuea trasversaă D. Lucru mecaic a forţeor di prima stare de îcărcare, adică a forţei P, cu depasarea corespuzătoare de a a doua stare este L - Pv v vq ( s-a uat cu mius petru că v este î ses ivers cu forţa P ). -5-
Aaog, forţa versor ( uitară) de a a doua stare cu depasarea di dreptu ei de a prima stare dă L -.f ( semu mius petru că forţa uitară s-a uat de ses cotrar săgeţii f ) deci : L L -Pv -.f rezută că Pv.f, [Pv] [.f ] [P] [v] [].[f ] [kn]. [m ] [kn]. [m] ( forţa uitate poate fi : kn N etc. ). Petru bara di figura 8 cazu b) : F y V A V B ecauţia de verificare. M iz ( A). VB. 6 V B M ( B) iz -. VA. 6 V A. Figura 9 V A V B ecauţia de verificare, este îdepiită ecauţia de verificare. Apicăm procedeu Cebsch, petru cacuu săgeţior şi a rotirior, î cazu ostru trebuie să determiăm rotirea î puctu A ( rotirea î origie ), am uat ca origie capătu A ( A O şi această origie rămâe eschimbată pe tot timpu rezovării probemei). M iz ( ) ( ) ( 6) este epresia mometuui d v geeraizator di utima regiue, EI z M iz ( ) d -5-
d v EI z ( ) ( 6) d dv ( ) ( 6) EI z C d 6 ( ) ( ) ( 6) EI zv C D 9 6 8 C D 9 D v( ) v A EI z EI z deci, D. Afăm pe C di a doua codiţie de reazem: ( ) C v( ) v 9 6 B 6 6 EI z rezută că, (6) () C.6 9 6 EI z ( ) ( 6) C, dv EI z,. d 6 dv ( ) ( 6) ϕ B [,. ] 6 d 6 6 EI z,78 ϕ B. EI z Di figura 9 porţiuea BQ u este soicitată deci Miz (), apicăm ecuaţia fibrei medii deformate pe această regiue şi se obţie: d v d v EI z EI z CBQ EI zv( ) CBQ DBQ d d y ( ) v( ) ( CBQ DBQ ) este ecuţia dreptei BM (ecuaţia fibrei EI z medii deformate). -5-
Î triughiu BQM di figura 8 cazu b) apicăm fucţiie trigoometrice : v Q,78 tgϕ B ϕ B vq. ϕ B EI z săgeata î D, fiid fd f. f P. vq P. v (,7m),78P,78.. kn. f EI z 5 N,..6585mm mm,78p f EI. z mm,78.. kn. 5 N,..6585mm mm (,7m),78.. N. (,7),. 5 N mm 9 mm.6585mm 6.8. Studiu depasărior pri metoda Mohr- Mawe Metoda de itegrare a ui Vereşceaghi Fie o bară asupra căreia acţioează forţee: F F F, fiid prima stare de îcărcare ( cea reaă ) şi î a doiea caz asupra ei acţioează o forţă egaă cu uitatea ( forţa versor di puctu E ), forţa uitate ( ) se pue cu puctu de apicaţie î secţiuea î care vrem să cacuăm depasarea iiară. Dacă uăm u eemet ifiitezima di bară ( d ), î prima stare forţa aiaă N(), iar î a doua stare o forţă aiaă, care î cazu de faţă este egaă cu uu, adică, forţa versor ( se egijează greutatea proprie a barei ) dar î cazu geera are o vaoare oarecare. Epicităm ucru mecaic dl petru -5-
eemetu ifiitezima di bară ( d ), ude dl se datoreşte forţei N () de a prima stare de îcărcare şi depasării produse de forţa. d ( ) de a a doua stare, care se poate scrie: ( d) EA N. dl N( ) * ( d) d se itegrează epresia şi se obţie, EA Figura N. dl L d. EA Î care N(), este forţa aiaă îtr- secţiue curetă, datorită îcărcării reae a barei, iar ( ), este forţa aiaă î secţiue curetă, datorită îcărcării versor ( uitare ) apicată î puctu şi pe direcţia N( ). depasării căutate. L δ δ L L δ d, di EA -5-
( ) d N. [ N].[ ] [ N].[ N]. δ [].[δ] [ d] [N]. [m] [ m] EA [ E].[ A] N [ ].[ m ] m [N]. [m] [N]. [m]. La o bară soicitată a îcovoiere di figura a), a fe apicăm teorema reciprocităţii a ui Betti, prima stare de îcărcare este cea reaă, căreia îi corespude diagrama de momete Miz ( ), petru a determia săgeata î secţiuea ( ) afată a distaţa 5 faţă de reazemu di A, a doua stare de îcărcare este cea produsă de forţa Figura versor (uitară) apicată î secţiuea cosiderată şi pe direcţia săgeţii căutate şi petru această stare de îcărcare am făcut diagrama de momete îcovoietoare miz ( ). Dacă se iau eemete ifiitezimae d,di cee două bare îcărcate astfe, cupurie miz () di a doua stare de îcărcare produc miz ( ) u ughi de rotire : ϕ d î acest caz EI z M iz ( ). miz ( ), dl M iz ( ). ϕ d se itegrează, EI z -55-
Figura a M iz ( ). miz ( ) dl L d EI z L L L. δ δ M iz ( ). miz ( )d dl L δ, care este o formă EI z particuară a teoremei Mohr-Mawe petru cacuu depasărior. M iz ( ). miz ( ) [ M ( ) ( ). δ d iz ].[ miz ] [ ].[ δ ] [ d] EI [ E][ I ] z [ N. m].[ N. m] [ N ][ m] [ m] [ N. m] [ Nm] N [ ][ m ] m z -56-
Dacă se geeraizează, apicâd forţa versor (uitară) sau mometu versor ( uitar ) î secţiue şi pe direcţia depasării căutate produce eforturi :, t, miz, mt epresia depasării devie: N( ). ( ) k. T ( ). t( ) M iz ( ). miz ( ) δ d d d EA GA EI z M t ( ). mt ( ) d GI d, ude (), N(), mt (), miz () sut respectiv forţa aiaă, forţa tăietoare, mometu de torsiue şi mometu îcovoietor produse de sarcia versor ( uitară ) îtr-o secţiue curetă. Dacă eistă u sistem de bare curbe, atuci epresia petru δ va fi : N( s). ( s) k. T ( s). t( s) M iz ( s). miz ( s) δ ds ds ds EA GA EI s s s z. M t ( s). mt ( s) ds GI s d Câd depasarea rezută di cacu pozitivă, îseamă că, ea are sesu forţei versor ( uitare ) sau a mometuui versor ( uitar ). M iz ( ) miz ( ) Petru îcovoiere δ d EI z avem produsu a două fucţii Miz () şi miz (), cu meţiuea că miz () petru baree drepte, va fi tot timpu o fucţie iiară şi de aici se va apica metoda ui Vereşceaghi de cacu a itegraeor. Această metodă de cacu fiid o metodă grafo-aaitică de cacu di figura b, dacă petru o bară cu EIz costat, rămâe de cacuat M iz ( ). miz ( )d, di dese miz () tg α î triughiu AMN, MN miz ( ) tg α tgα AM miz ().tg α eemetu de arie da, a diagramei Miz () este, da Miz (). d se itegrează şi se obţie: -57-
M iz ( ). m ( ) d M ( ) d. m ( ) da. m ( ) iz tgα. da iz ( tgα. )(. A. ) C iz iz da.. tgα C tgα PQ yc. Iar C fiid cetruui de greutate a primei diagrame Miz (). Ude (A ) este egaă cu aria totaă a diagramei Miz (), di diagramă se observă că, M iz ( ). miz ( ) d A. yc se îmuţeşte aria îtreagă a diagramei Miz (), cu ordoata yc pe care o are diagrama iiară miz () î dreptu cetruui de greutate a primei diagrame. Dar î cazu ostru, cum avem diagramee pe mai mute regiui şi diagrama ui miz () este formată ditr-o iie frâtă atuci se cacuează astfe: M iz ( ), miz ( ) d Ai yic ude (i ) i reprezită umăru de segmete de dreaptă care formează diagrama miz (). Figura b -58-
Probema r. Petru bara di figura, să se determie ughiurie de pe reazemee A şi B, adică φa respectiv φb, pri metoda Mohr-Mawe, ştiid că : q,7 N/m,85 m E,. 5 N/mm secţiuea pătrată cu go cu: a mm şi b mm. F y VA VB q ecauţia de verificare. ( A) M iz q.q VB.9 q V B ( B) M iz - 5q q.8q VA.9 V A VA VB q ecauţia de 5q verificare Figura q 6q q ecauţia de verificare este îdepiită Figura -59-
( ] M iz ( ) Regiuea îtâi 5q q. 5q q Figura 5 5q. ( ) ( ) ( ) q M iz q dm iz ( ) 5q d M iz ( ) q q < cocavă. d d Metoda a doua de cacu a ui Miz () : dt ( ) q d dt - q.d dt ( ) T ( ) qd q C determiăm costata C, di codiţiie iiţiae ae ui Cauchy: 5q. 5q T ( ) q. C, deci C. -6-
( ) 5q dm T ( ) q. d q C q iar iz T ( ) d dm iz ( ) T ( ) d itegrăm, 5q dm iz ( ) M iz ( ) T ( ) d q d determiăm q 5q D costata D, di codiţiie iiţiae ae ui Cauchy, q. 5q. M iz ( ) D D q 5 ( ) q M iz Reguaea a III-a ( 6] ( ) q M iz M iz ( ) q. ( ) ( 6) M iz q. 6 Metoda a doua de cacu dt ( ) q ( ) q( ) dt.d d dt ( ) T ( ) d C determiăm costata C, di codiţiie iiţiae ae ui Cauchy Figura 6-6-
T q. ( ) C, deci q C ( ) T ( ) dm iz ( ) T ( ) d q dm T ( ) iar iz d itegrăm, dm iz ( ) M iz ( ) q q T ( ) d d D determiăm costata D, di codiţiie iiţiae ae ui Cauchy, q. q M iz ( ) D D M iz ( ). Regiuea a II-a [ ) Figura 7 q( 6 ) ( ) q M iz q q M iz ( ) q q q q. ( ) ( 6 ) M iz q q Metoda a doua de cacu -6-
dt ( ) ( ) q ( ) q dt.d d dt ( ) T ( ) d C determiăm costata C, di codiţiie iiţiae ae ui Cauchy: q. q T ( ) C, deci C ( ) T ( ) ( ) T ( ) d q dm T ( ) iar iz d dm iz itegrăm, dm iz ( ) M iz ( ) q q T ( ) d d D determiăm costata D, di codiţiie iiţiae ae ui Cauchy, q. M iz ( ) q D D q q ( ) M iz q. Petru a cacua rotirea î A, se apică î articuţia di A u momet M iz uitar ( u M iz momet versor ), se cacuează forţee de M iz ' ' reacţiue V A, VB di codiţiie de echiibru ae barei di figura 8a. ' ' F y V A V B ecauţia de verificare. ' ' M iz ( A) V B.9 V B M iz ( B) 9 ' ' ' ' V A.9 V A V A V B ecauţia de verificare 9 ecauţia de verificare este îdepiită. 9 9-6-
miz ( ) [ ] m ( ) [ ] 9 9 9 9 M iz ( ) miz ( ) ϕ A d EI z iz ϕ A Figura 8a -6- ( 6 ) 6 5q q q q d q d EI z 9 9 5,q EI z m iz pe regiui : Se epicitează variaţia ( ) ( ) 6 d 9 (, ) ( ) m iz (,) 9 m iz ( ). 9 (, 6) ( ) m iz. 9 Trebuie ca epresiie ui Miz () şi miz() să fie parcurse î aceaşi ses şi să aibă aceeaşi origie petru amâdouă epresiie, atfe u are ses. Acum petru cacuu rotirii secţiuii trasversae di articuatia B, se pue u momet îcovoietor cocetrat uitar î B di figura 8b,
M iz [ momet versor ( uitate ) m iz ]. M '' '' F y V A V B ecauţia de verificare. '' '' M iz ( A) V B.9 V B M iz ( B) 9 iz Figura 8b '' '' ' ' V A.9 V A V A V B ecauţia de verificare 9 ecauţia de verificare este îdepiită. 9 9 (, 9) m iz ( ) 9 ( ) m ( ) 9 M iz ( ) miz ( ) miz ( ) [ ] ϕ d 9 9 9 B EI z Se epicitează variaţia m iz ( ) pe regiui : (, ) m iz ( ) (,) 9 ( ) ( 6 ) m iz 9 (, 6) ( ) m iz 9-65- iz
-66- ( ) z z B EI q d q d q q d q q EI 6,98 9 ] 9 6 [ 9 5. ϕ Figura 9 5. mm I z ( ) ( ) ] [,...,..85 5,.,7..,.,85.,7 5,. 5 5 6 5 5 rad mm mm N m m N A ϕ ( ) ( ) ] [,97..,..85,98.,7..,.,85.,7,98. 5 5 6 5 5 rad mm mm N m m N B ϕ.
6.9.Grizi drepte static edetermiate 6.9..Itroducere Dacă eforturie di secţiuie trasversae ae bareor sau ae sistemeor de bare, u se pot determia umai cu ajutoru metodeor de cacu ae staticii, fie di cauza uor egături supetare, fie di cauza formei sistemuui, baree şi sistemee de bare de acest fe se umesc bare sau sisteme de bare static edetermiate. Sistemee de bare static edetermiate pot fi : a) sisteme cu edetermiări eterioare Figura 5-67-
Figura 5 Figura 5-68-
Figura 5 b) sisteme cu edetermiări iterioare Figura 5-69-
Figura 55 c)sisteme cu edetermiări iterioare şi eterioare Figura 56-7-
Figura 57 a)sistemee cu edetermiări eterioare Bara dreaptă Bara curbă di figura 5. Cadre di figurie: 5, 5, 5. b)sistemee cu edetermiări iterioare Cadru îchis figura 5 Ie figura 55. c)sisteme cu edetermiări iterioare şi eterioare Ie îcastrat figura 57. Cadru etajat figura 56. Î acest capito se abordează umai baree static edetermiate, ude ridicarea edetermiărior eterioare se bazează pe codiţiie de egătură, aume, o bară dreaptă î îcastrare u are săgeată sau rotire ( sut egae cu zero ), î reazem rigid, bara u are săgeată ( este egaă cu zero ). Foosid codiţiie de egătură, a rezovarea probemeor static edetermiate se obţi ecuaţiie de echiibru eastic, cu ajutoru ecuaţiior de echiibru static şi eastic, se obţie u sistem de ecuaţii compatibi uic determiat ( admite o souţie uică ). -7-
Probeme static edetermiate Ridicarea edetermiării pri metoda itegării aaitice a ecuaţiei difereţiae a fibrei medii deformate Probema r: Să se dimesioeze bara di figura următoare, ştiid că : q N/m,78 m E,. 5 N/ mm σ N a 5. mm Figura 58 Scriem codiţiie de echiibru static: F y VA VB q ecauţia de verificare. M iz ( A) M iza q. VB. M izb VA VB q M iza M izb VB * 6q Avem ecuoscute (V A, V B, M iza, M izb ) şi două ecuaţii, probema este dubu static edetermiată. Ridicăm edetermiarea di codiţia de deformaţii, avem: v A, ϕ A, vb, ϕ B. ( ) AMN ASB di figura 59 apicăm teorema ui Thaes ( de q( ) q asemăare a triughiurior ) q() q -7-
Figura 59 q( ) q q q R() * M iz ( ) VA M iza * q M iz ( ) VA. M iz ( A) 9 Metoda a II-a de cacu a ui M iz ( ) q() ab este o dreaptă, sarcia distribuită. Aegem o origie A şi afăm pe a şi b di dese ( dacă se ştiu două pucte de pe o dreaptă se ştie toată dreapta ). q( ) q( ) ( a b) q a* > < > b b -7-
( ) ( a b) q q q q a q a. Deci < < q() a b q() q b q dt q() q( ) dt -q() d, dt q( )d d q q T()- d C q T ( ) q. T()- C V A - C VA C VA > q T()V A dm ( ) iz T ( ) d dm iz ( ) T ( )d dm iz ( ) T ( )d q M iz ( ) VA d q q M iz ( ) VA D M iz ( ) VA D q M iz ( ) VA D 9 M ( ) iz q M iz ( A) V A * D M iz ( A) 9 > q D M iz ( A) deci M iz ( ) VA. M iz ( A) 9-7-
Apicăm ecuaţia fibrei medii deformate d v E I z M iz ( ) d d v q EI z V A M iz ( A) d 9 dv q E I z V A M iz ( A) C d 6 q 5 EI z v( ) V A M iz ( A) C D 6 8 C Am uat origiea î A,C, D, aici ϕ A ϕ EI z D v A v EI z, deci, dv VA q EI z M iza d 6 V q 5 ( ) A EI zv M iz ( A) 6 8 Di cee codiţii de reazem am foosit umai două, avem săgeata şi rotirea di A sut zero. ϕ A v A. Cee două ecuaţii care e mai foosim petru a ridica edetermiarea sut ϕ B şi v B ( săgeata şi rotirea di îcastrarea di B sut zero ). q VA M iz ( A) dv ϕ B 6 - d EI z < < q V A ( ) M iz ( A) ( ) 6 -,5 V A M iz ( A ),5 q -75-
- 9 q VA M iz ( A) 9 şi a patra ecuaţie o obţiem di : VA 5 q M iza v B v( ) 6 8 EI z < < V A ( ) ( ) q 5 M iza ( ) 6 8 EI z 5 VA 9 M iza q 6 8 -,5 V A,5 M iza,5 q ( ) VA VB q ( ) M iz ( A) VB M iz ( B) 6q ( ),5V A M iz ( A),5q ( ),5V A,5M iz ( A),5q Di ( ) şi ( ) rezovăm şi afăm pe V A şi M iz ( A),5V A M iz ( A),5q,5V A,5M iz ( A),5q -,5V A M iz ( A ),5 q,5 V A,5 M iz ( A ),5 q,9 rezută :,5 M iz ( A),9q M iz ( A ) q,5 M ( ) iz A,6q -76-
-,5 V A M iz ( A ),5 q -,5 V A *,6q,5q,5V A,5q,8 q q V A (,5,8 ),q,5 Di () V A V B q, q V B q V B, 9q Di () M iz ( A ) V B M iz ( B ) 6 q -,6q,9q * M izb 6q M iz ( B) q (,6,9 * 6),q iz B, V A, q V B, 9q M ( ) q Deci, dacă s-au obţiut M iz ( A) şi M ( B) M ( ) iz A,6q iz, egative e schimbăm sesu petru că iiţia -am pus a îtâmpare. Figura 6 Ne verificăm dacă am cacuat corect di ( Q), q *,6 q,q,9 * -77- M iz q (,,6,,9) q (,5,5) verifică. Dacă îtr-u puct u verifică, rezută că u s-au cacuat corect, s-a greşit a cacu. Această metodă aaitică se fooseşte c d avem ce mut două regiui petru că rezută u cacu mai greoi.
Figura 6 q M iz ( ) VA M iz ( A) 9 ude V A, q M iz ( A),6q se iau sesurie iiţiae. q M iz ( ),q,6q 9 q M iz ( ) [,q,6q ],6q 9 q M iz ( ) [,q,6q ],q 9 dm ( ) iz q d M iz ( ) q,q d d < cocavă. dm ( ) iz q,q d, ±,. ±, 5,5 ( ) '' M iz (,5) <, deci,5 este u puct de maim. q ( ) ( ) (,5) M iz,5,q,5,6q,56q 9-78-
M iz ma,q 6,6. N. mm,q,.. Dimesioăm cu reaţia: M iz d ma π. σ a d 9 mm. N mm (,78m).6,6. N. mm 5N π. mm π. d M iz ma Wzec σ a 8,6mm Ridicarea edetermiării pri procedeu Cebsch Probema r: Să se verifice bara di figura 6, ştiid că : q,8 N/m,5 N m σ a 9 iar secţiuea trasversaă a barei fiid cea di mm figura 6. Rezovare: Scriem codiţiie de echiibru static: F y () VA VB VC q 6q M iz ( A) () q. 6q.6 q VB. VC.7. Avem di codiţiie de echiibru cee două ecuaţii idepedete, iar umăru de ecuoscute sut trei ( VA, VB, VC ) deci probemă este simpu static edermiată, se ridică edetermiarea di codiţia de deformaţii, foosid procedeu Cebsch. Notă: Dacă se mai scrie M izb se obţie o ecuaţie care este o combiaţie iiară ditre ecuaţiie ( ) şi ( ), a fe şi petru -79-
Figura 6 Figura 6 M izc acest ucru s- a specificat de a u se greşi modu de abordare a probemeor static edetermiate. Figura 6-8-
-8- Figura 65 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 9. q q q V q V M B A iz ( ) ( ) q q di figura 6 ( ) ( ) q q ( ) ( ) ( ) ( ) q q R ( ) ( ) ( ) ( ) 9 q q M iz Ecuaţia fibrei medii deformate : ( ) ( ) ( ) ( ) ] 5 9. [ q q q V q V d v d EI B A z ( ) ( ) ( ) ( ) C q q q V q V d v d EI B A z 5 8 6 6.
q q ( ) ( ) ( ) EI zv V A. VB 6 6 5 q( ) q ( 5 ) C D 9 deoarece A fiid origiea : D EI z v v A D A doua codiţie de reazem: q VA C v( ) vb 6 EI z < < ( ) q - ( ) ( V A C * - ) q V ( ) A C 6 6 6 q C VA 6 C,66 VA q, 66 C,66 VA,66q Foosid a III-a codiţie de reazem obţiem ecuaţia a III-a petru a ridica edetermiarea. q VB q EI zv( ) V A ( ) ( ) 6 6 q 5 q ( ) ( 5 ),66( VA q ) 9 q VB VA ( ) vc v( ) 6 6 7 7 EI z < 7 < 7 q q 5 q ( ) ( ) ( 5 ),66( VA q ) 9 EI z -8-
( 7) q( 7) VB VA ( 7 ) 6 6 EI z q q 5 q ( 7 ) ( 7 ) ( 7 5 ),66.7( VA q ) 9 EI z 8,56. V,5V q.78,76 ( ) A B VA VB VC q ( ) V B 7VC 5q ( ) 8,56V A,5V B 78,76q ( ) 7V A 7V B 7VC 7q ( ) V B 7VC 5q ( ) VA,7 q VB,9 q 7V A V B 5q VC,6 q. Acum trebuie să verificăm dacă s-a făcut corect cacuu forţeor de reacţiue, verificâd ecuaţia de echiibru M iz faţă de ce puţi două sau trei pucte, acest ucru se face statistic.,7q.,9q. q 6q.,6q.5 M iz ( N ) q (,9 9,8 5 8,5) se verifică.,7q.6,9q. q q.,6q. M iz ( M ) se verifică q ( 8,8 9,6,8). Rezută cacuu corect a forţeor de reacţiue: VA,7 q VB,9 q VC,6 q. -8-
Figura 66 M iz q ( ) V. V ( ) A B q Figura 67 ( ) q( ) q ( 5 ) se îocuie VA şi pe VB, de ude rezută: q q ( ) ( ) ( ),7q.,9q M iz q ( ) q ( 5 ) 9 epresia mometuui geeraizator. Regiuea îtâi 9-8-
( ) ( ) q M iz,7q. q M ( ) ( iz,7q. ) q M iz ( ) (,7q. ),7q. q( ),q dm iz ( ),7q q d dm iz ( ),7q q,7 ( ), fiid u puct d de etrem. d M iz d ( ) q de maim, M M (,7) Regiuea a II-a ( 5 ) M iz < cocavă şi,7, este u puct (,7) q q iz ma iz,7q.,7, 8 ( ),7q.,9q( ) ( ) q 9 M q q q ( ) ( ) [,7q.,9q( ) ( ) q( ) iz 9 ],q q -85-
q M iz ( ) [,7q.,9q( ) 5 5 q( ) q( ) _ ],q 9 ' q( ) q( ) M iz ( ),7q. q,9q ( ) '' q M ( ) iz q q < ' M iz ( ),7q. q q,9q ( ) q( ).,7 ( ) 5,88,, u aparţi domeiuui maim de defiiţie, deci u avem pucte de etrem pe această regiue. Regiuea a III-a q q( ) M ( ) ( ) ( 5 7) iz,7q.,9q q( ) q ( ) 5 9 M 7 iz 7 ( ) [,7q.,9q( ) ( ) q( ) q M 5 q q ] 9 q [,7q. 5 ( ),9q( ) q ( ) q( ) iz 9 q ],q -86-
( ) q( ) ' q M iz ( ),7q. q,9q ( ) '' q M iz ( ) q q < ' M iz ( ),7q. q.,7 ( ) q,9q ( ) q( ) 5,88,, umai 5,88 ( 5 7) maim. q,7q.5,88 M iz ma ( 5,88 ) ( 5,88 ) q( 5,88 ),9q ( 5,88 ) fii puct de q q ( 5,88 5 ) 9 M iz ma, 858q. Caracteristicie geometrice ae secţiuii trasversae: Figura 68-87-
Figura 69 G ( ) G ( zy ) A 6. mm G ( 6 ) G ( zy ) A 8. 8 mm y A y A. 6.8 mm y G 5mm A 8 A mm I II I I z I z I z I z I zg A. d zg II I z I zg A. d zg.6 I I z I zg A. d zg. ( 5 ) mm 7. mm II I z I zg A. d zg 8. 8. ( 6 5) mm 6666,66mm Iz 6666,66 mm. -88-
I 6666,66mm W z z mi 9,96mm yma 85mm M iz ma σ ma reaţia de verificare. Wz mi N M iz ma,q,q,.,8 (,5m) m,.,8. (,5). N. mm,667. N, mm M iz ma,667. N. mm ma, 66 W z mi 9,96mm rezistă. N σ < σ mm a, bara Ridicarea edetermiării pri teoremee ui Castigiao Probema r:. N Să se dimesioeze bara di figura 7, ştiid că : q,5, m,9 m şi σ N a, d, 8. mm D Rezovare: 6q VA VB VD q () F y M iz A 6q q * VB * ( 5 ) VD *9 q V B * 8q 9V D * -89-
Figura 7 V B 9V D 8q( ) 9V D 8q V B V A VB VD 6,q( ) VD,6q, 57895V B VA 6,q VB,6q, 578V B VA,66q, 8V B Probema este simpu static edetermiată, sut două ecuaţii şi trei ecuoscute : VA, VB,VD.Am aes ca ecuoscută static edetermiată pe VB, î mod idirect a dus a epicitarea forţeor de reacţiue VA şi VD fucţie de VB. Regiu M iz ( )... M ( ) -ea iz VB îtâi,66q, 8V - B (,),8 a II-a,66 q,66 q, 8 VB ( -,8 (, ) ) () q q q,6q a III-a 7 8,578V B, iz A,66q, 8 B Regiuea îtâi ( ] M ( ) V ( V ) Regiuea a II-a: (, ] M iz ( ) V A ( ) q -,578 (,6-9-
Figura 7 ( ) (,66q,8V )( ) q,66q, V M iz B 8,66 q, 8 VB q ( ),66q,66q, 8V ( ) M iz B B Regiuea a III-a : (, 6) Figura 7 a q q q M iz ( ) VD 7 8 VD,6q, 578V B -9-
L ( ) M ( ) iz M iz d vb VB EI z VB (,66q,8V B )(,8) d EI z EI EI z z 6,8 q 7,8,8,578 q 8 q,6q,578v -9- B (,578) (,66q,66q,8V ( ) )[,8( ) ] (,66q,8V B ),66q,66q,66q,66q V 6 B 5 q 7 ( ) q q 8 ] d B d,6q,578v B d d d VB,5.q VA -,7577 q VD,56 q. M iz este ecuaţia de echiibru şi este îdepiită petru toate puctee di spaţiu sau pa, dar se ia umai puctee de pe bară, petru că se ştiu braţee forţeor, u trebuie să se ucreze a o aumită scară petru a măsura şi braţee forţeor. Deoarece VA a dat o vaoare egativă, i se schimbă sesu. M iz ( H ) 6q,7577q.,5q..,56q.8?? 6 q (,7577,5..,56.8 ) q,7577 9,86 7,666 6,8 ( )
verifică. M iz ( M ),7577q.5. q.,5q.,56q.?? (,7577.5..,5.,56. ) ( 6,655. 5,87,85 ) q q verifică. Regiuea îtâi ( ) M iz ( ), 7577q M iz ( ) (,7577q ) M iz ( ) (,7577q ),7577q Regiuea a II-a ( ] M iz ( ), 7577q q( ) M iz ( ) [,7577q q( ) ],7577q M iz ( ) [,7577q q( ) ] 7,7q Regiuea a III-a ( 6) q q q M iz ( ), 56q 7 8 q q q M iz ( ) [,56q ] 7 8-9-
6 M iz 7,7q ( ) [,56q ] 6 q 7 ' q q q M iz ( ), 56q 768 6 '' q q M iz ( ) q 56 8 '' q q M iz ( ) q 56 8 ( 6) fucţia este cocavă. ' q q q M iz ( ),56q 768 6 8 768 7,558,885,887,9 8 768 7,558 -,7 -,,8,887 este puct de etrem. Miz ma M(,887 ) q,887,887,887,56*, 887 7 8 q 8 q Miz ma 7,65q N 7,65q 7,65q 7,65.,5 (,9m) M iz ma 7,65.,5. (,9). N. mm,65. N. mm. m M iz ma,65. N. mm Reaţia de dimesioare : Wzec,59mm σ N a mm -9-
Figura 7 b π W z D πd ( D d ) (,8 ),579D,59mm,59mm D 6,8mm 7mm,579 d, mm, dar petru a da vaori îtregi, se adoptă D mm şi d 8 mm. 6.. Ecuaţia ceor trei momete ( ecuaţia ui Capeyro ) Dacă o bară are u umăr mai mare de reazeme, umită şi gridă cotiuă, petru ea eistă o metodă proprie de rezovare, umită ecuaţia ceor trei momete, dacă bara ar avea ( j ) reazeme simpe, statica e oferă umai două ecuaţii de echiibru ( F y şi M iz ) deci bara va fi de ( j- ) ori static edetermiată. Dacă eistă forţe eterioare îciate active, atuci î mod obigatoriu trebuie să avem di cee ( j ) reazeme şi o articuaţie fiă care să echiibreze rezutata pe orizotaă a forţeor îciate active. Î cazu î care avem o bară cu două reazeme ca î figura 7, mometee îcovoietoare î puctee Ai şi Ai, sut egae cu zero. -95-
Figura 7 Figura 7 Cazu II Figura 75-96-