Modelarea pieţelor financiare prin metode martingale Derivate financiare intermonetare

Modelarea pieţelor financiare prin meode maringale Derivae financiare inermoneare Conf. dr. habil. Eduard Roensein Presupunem că avem un model financiar Black-Scholes compus din două pieţe financiare în care sun ranzacţionae acive denominae în două monezi diferie: moneda auohonea (domesic currency din domesic marke) şi moneda srăină (foreign currency din foreign marke). Vom presupune că, aă raa dobânzii fără risc penru moneda domesică, câ şi raa dobânzii fără risc penru moneda săină, sun consane nenegaive, iar preţul de vânzare de pe piaţa foreign şi cursul de schimb inermonear sun modelae prin mişcări Browiniene geomerice. Vom vedea că, penru a evia corelaţia perfecă dinre acese două procese, ermenul aleaor ce guvernează modelul ar rebui să fie de ip muli-dimensional şi nu uni-dimensională, ca în abordările anerioare. Scopul sudiului ese acela de a deermina preţul fără arbiraj al diferielor ipuri de derivae financiare ranzacţionabile pe cele două pieţe considerae, procesul raei de schimb fiind un ermen consiuien al analizei efecuae. De asemenea, vom invesiga sraegiile de hedging corespunzăoare, ce permi minimizarea expunerii la risc a invesiorilor. Vom avea în vedere fapul că avem de a face cu un ermen de difuzie combina, ce provine aâ din dinamica acivelor supor pe pieţele considerae (şi denominae în moneda corespunzăoare), câ şi din volailiea cursului de schimb inermonear. Modelul de piaţă al derivaelor financiare inermoneare Toae procesele luae în considerare în cele ce urmează sun definie pe un spaţiu comun de probabiliae filra (; F; P; F) unde F = (F ) T ese filrarea naurală generaă de mişcarea Browiniană d-dimensională W = (W ; :::; W d ): Considerăm r d ca fiind dobânda insananee pe ermen scur corespunzăoare conului de economii exprima ˆîn moneda domesică, iar r f dobânda similară asociaă conului de economii exprima în monedă srăină. De asemenea, presupunem ipoeza naurală r d ; r f > 0; consane dae. Prin urmare, au loc urmăoarele reprezenări ale conurilor de economii (vom uiliza indicii d; respeciv f penru a face referire la conul denomina în moneda domesică, respeciv cel în moneda srăină, foreign): unde: 8 >< >: Z B d = exp r d (s) ds = e r d şi 0 Z B f = exp r f (s) ds = e r f ; 8 2 [0; T ]; 0 B d ese conul de economii exprima în moneda domesică; B f se conul de economii exprima în moneda srăină; T ese un momen erminal fixa (perioada de viaţă a pieţei financiare). Noăm cu Q raa de schimb înre moneda domesică şi moneda srăină. Aceasa ese exprimaă în numărul de uniăţi de monedă domesică pe uniaea de monedă srăină. Aces lucru însemnă că variabila Q reprezină caniaea de uniăţi din moneda domesică care rebuie plăiă la momenul penru achiziţionarea unei uniăţi moneare din moneda srăină. Trebuie remarca fapul că aceasă raă de schimb Q nu poae fi priviă din aceeaşi perspecivă ca orice aciv financiar ranzacţiona în piaţa domesică deoarece rebuie luae în calcul ambele procese de difuzie implicae, aşa cum vom vedea pe parcursul acesei prezenări. Asfel, penru evaluarea în piaţa domesică a unui deriva financiar denomina în moneda srăină, rebuie considerae aâ volailiaea expliciă a acesui aciv, câ şi cea a conversiei aunci când exprimăm preţul în piaţa domesică.

Considerăm că raa de schimb Q; sub măsura de probabiliae P; are dinamica daă de urmăoarea EDS liniară, d-dimensională: dq = Q ( Q d + Q dw ); Q 0 > 0; () unde: Q 2 R reprezină coeficienul de drif al procesului raei de schimb Q; Q 2 R d reprezină volailiaea aceluiai proces. Prin noaţia " " vom înţelege produsul scalar în spaţiul Euclidian R d : Cum W ese un proces Wiener d-dimensional, prin caniaea Q dw înţelegem Q dw = dx QdW i i :. Măsura maringală domesică (Domesic Maringale Measure) Având în vedere dinamica raei de schimb (), formula sa expliciă, la momenul ese Q = Q 0 exp Q 2 j Qj 2 + Q W Cum Q reprezină numărul de uniăţi din moneda domesica per uniae de monedă srăină, înseamnă că ese aces proces ese exprima în moneda auohonă, fap ce sugerează ca procesul său acualiza să fie realiza în rapor cu conul de economii din piaţa financiară domesică. Prin urmare, procesul acualiza Q poae fi reprezena prin formula Q := Bf Q B d i= = exp ((r f r d )) Q : Caniaea de la numărăor, B f Q reprezină conul de economii din moneda srăină, converi în moneda domesică. Ese uşor de obsera că procesul Q are formula expliciă Q = exp ((r f r d )) Q = exp ((r f r d )) Q 0 exp Q 2 jj2 + Q W = Q 0 exp Q + r f r d 2 j Qj 2 + Q W ; sau echivalen, dianamica lui Q sub P şi în rapor cu procesul Wiener iniţial are forma urmăoare: dq = Q (( Q + r f r d )d + Q dw ): (2) Observăm că procesul acualiza Q ese o maringală sub măsura de probabiliae P dacă şi numai dacă driful ecuaţiei (2) ese 0, adică dacă ese îndepliniă condiţia Q = r d r f : Definiţia O măsură de probabiliae P pe (; F T ), echivalenă cu P, ese o măsură maringală domesică (domesic maringale measure), dacă procesul acualiza Q = Bf Q B d ese o P -maringală. Inuiiv, măsura maringală domesică P ese o măsură de probabiliae neură la risc, aşa cum se vede din perspeciva unui invesior care exprimă în mod consan preţurile acivelor ranzacţionae în uniăţi din moneda domesică. Făcând apel la Teorema lui Girsanov, orice măsură maringală P P ese asociaă unui vecor 2 R d care saisface relaţia Q + r f r d + Q = 0: (3) Relaţia (3) nu ese suficienă penru a asigura uniciaea măsurii maringale, mai precis a procesului : Aceasa se daorează fapului că ermenul Q ese un produs scalar în R d : Prin urmare, dacă d = =) ese unic deermina, el fiind da de = Q (r d r f Q ) : (4) 2

Dacă d 6= =) nu ese neapăra unic. Dar, dacă exisă ce verifică ecuaţia (3), aunci schimbarea de măsură de probabiliae ese daă, aşa cum se şie, de variabila aleaoare în formă exponenţială În plus, procesul ransforma dp dp = T := exp W T ese, sub P ; un proces Winer d-dimensional. Deoarece Q se poae exprima în funcţie de Q ; 2 jj2 T ; P a:s:; W := W ; 8 2 [0; T ]; (5) Q = Q B d B f aunci se obţine imedia că formula expliciă a raei de schimb Q; sub măsura maringală domesică P ese daă de Q = exp ( (r f r d )) Q = Q 0 exp ( (r f r d )) exp Q + r f r d 2 j Qj 2 + Q W = (5) = (3) Q 0 exp Q Q 0 exp (r d r f ) 2 j Qj 2 + Q (W + ) = Q 0 exp Q + Q 2 j Qj 2 + Q W Prin urmare, Q are dinamica daă de EDS liniară ; 2 j Qj 2 + Q W dq = Q ((r d r f )d + Q dw ); Q 0 > 0: (6) Compleiudinea pieţei de acive financiare. Compleiudinea pieţei domesice ese asiguraă de uniciaea măsurii maringale domesice. Aces lucru se poae obţine prin inroducerea spre ranzacţionare a unui aciv adiţional, exprima în moneda domesică. Aces aciv poae fi denomina şi în moneda pieţei srăine, dar preţul său rebuie exprima în moneda pieţei domesice, prin conversia daă de procesul raei de schimb. Alfel spus, numărul acivelor ranzacţionae, inclusiv conul de economii din moneda domeică rebuie să fie egal cu d+; d fiind dimensiunea mişcării Browniene. De exemplu, dacă nu sun ranzacţionae acive supor riscae, expimae în moneda auohonă, şi puem ranzacţiona doar un singur aciv supor în piaţa srăină, aunci, penru a avea asiguraă exisenţa măsurii maringale, rebuie ca dimensiunea lui W şi, implici şi a lui W să fie egală cu 2: Asfel, modelul de piaţă presupune exisenţa a 3 acive: conurile de economii domesice şi srăine (sau, dacă se preferă, bonduri cu aceeaşi denominare) şi un aciv supor riscan (sock) în piaţa srăină. Propoziţia. Presupunem că modelul de piaţă considera ese comple. Aunci, preţul de arbiraj (preţul corec) (X), exprima în moneda domesică, al oricărui deriva financiar X; ce are mauriaea T şi care e exprima în aceeaşi monedă ese: (X) = e r d(t ) E P (X j F ) (7) Dacă Y ese denomina în moneda srăină, aunci preţul său la momenul ; exprima în moneda auohonă ese: (Y ) = e r d(t ) E P (Q T Y j F ) (8).2 Măsura maringală srăină (Foreign Maringale Measure) Preţul corec al unui deriva financiar precum cel din rezulaul preceden poae fi privi şi din perspeciva unui invesior care are în vedere o măsură maringală de pe piaţa srăină, iar apoi are loc conversia în moneda domesică, cu ajuorul raei de schimb Q: Prin urmare, dacă avem perspeciva unui asfel de invesior, ese eviden că vom avea nevoie de un curs de schimb din moneda domesică căre cea srăină, înr-o maniera "în oglindă" analizei anerioare. Penru aceasa, noăm cu R raa de schimb din moneda domesică în moneda srăină, definiă asfel: R = (Q ) = Q : 3

Vom deermina dinamica procesului sochasic R, în siuaţia în care Q ese da de formula (6), adică dq = Q ((r d r f )d + Q dw ); Q 0 > 0: Soluţia expliciă a lui Q ese Q = Q 0 exp Q W + r d r f 2 j Qj 2 ; deci R = = exp Q Q 0 Q W + r d + r f + 2 j Qj 2 = exp r f r d + j Q j 2 Q 0 2 j Qj 2 Q W : Alfel spus, dinamica lui R; sub P ; ese asfel daă de EDS liniară (9) dr = R ((r f r d )d Q (dw Q d)); R 0 = =Q 0 : (0) Considerăm acum procesul acualiza obţinu din conversia conului de economii din piaţa domesică în moneda srăină (B d R ) şi facoriza la ermenul de acualizare din piaţa rezulaă, adică la conul de economii din moneda srăină (B f ): R = Bd R B f = exp ((r d r f )) R ; 8 2 [0; T ] Sudiem în ce condiţii aces proces ese o maringală. Penru aceasa, pornim de la valoarea lui R ; daă de ecuaţia (0), ce are soluţia expliciă (9). Obţinem asfel: R = R exp ((r d r f )) = R 0 exp r f r d + j Q j 2 = R 0 exp j Q j 2 2 j Qj 2 Prin urmare, R are dinamica Q W ; 2 j Qj 2 Q W exp ((r d dr = R j Q j 2 d R Q dw = R Q (dw Q d); R 0 = =Q 0 : Deoarece coeficienul de drif R j Q j 2 nu ese idenic 0; aunci R nu ese un proces maringal. Puem formula problema exisenţei, pe spaţiul (; F T ); a unei măsuri de probabiliae P; ~ echivalenă cu P asfel încâ R să fie o P-maringală. ~ Aceasă măsură P ~ se va numi măsura maringală srăină (foreign maringale measure). Penru a realiza schimbarea măsurii de probabiliae echivalenă, facem apel o la Teorema lui Girsanov şi obţinem că aceasa ese deerminaă de variabila aleaoare F T măsurabilă r f )) d ~ P dp = T ; P a:s; () unde procesul maringal ese defini, penru fiecare 2 [0; T ] ; prin formula exponenţială: := exp Q W 2 j Qj 2 ; 8 2 [0; T ]: (2) Ese eviden fapul că, dacă nu avem uniciaea măsurii maringale din piaţa domesică, P ; aunci nici penru măsura maringală din piaţa srăină nu avem aceasă proprieae. Cu oae acesea, în rapor cu orice măsură maringală ~ P, procesul R ese da de: dr = R Q (dw Q d) = R Q d ~ W ; unde ~ W = W Q ; 2 [0; T ] (3) urmează o mişcare Browniană d-dimensională sub noua măsură de probabiliae ~ P P. Observăm, de asemenea, că dinamica raei de schimb R; sub măsura maringală ~ P; ese daă de urmăoarea ecuaţie, similară cu 4

ecuaţia (6): R = exp ( (r d r f )) R = R 0 exp = R 0 exp r f r d + j Q j 2 = R 0 exp r f r d + j Q j 2 = R 0 exp r f r d 2 j Qj 2 ceea ce conduce imedia la EDS liniară j Q j 2 2 j Qj 2 2 j Qj 2 Q W ~ 2 j Qj 2 Q W Q W Q ~W + Q exp ( (r d r f )) dr = R ((r f r d )d Q d ~ W ); 2 [0; T ] : (4) Remarcăm că, şiind că R = exp ( (r d r f )) R ; dinamica (4) poae fi regăsiă prin aplicarea direcă a formulei lui Iô funcţiei u (; x) := exp ( (r d r f )) x; în ipoeza că R verifică EDS (3). Înr-adevăr, cum u (; x) = (r d r f ) exp ( (r d r f )) x; u x (; x) = exp ( (r d r f )) ; u xx (; x) = exp ( (r d r f )) = 0: obţinem, folosind formula (3), dr = (r d r f ) exp ( (r d r f )) R d + exp ( (r d r f )) R Q d W ~ = exp ( (r d r f )) R (r d r f )d Q d W ~ = R r f r d )d Q d W ~ ; adică obţinem, din nou, formula (4). Dacă considerăm acum X ca fiind un T -deriva financiar exprima în moneda domesică, aunci preţul său corec, exprima prin formula de evaluare la risc neuru, ese (X) = exp ( r d (T )) E P (X j F ) iar ~ (X) = exp ( r f (T )) E ~P (R T X j F ); 8 2 [0; T ] ese preţul unui T -deriva financiar, X; denomina în moneda srăină. Propoziţia.2 Fie X o variabilă aleaoare F T -măsurabilă. Aunci, în ipoeza că urmăoarele două medii exisă, avem că: E ~P (XjF ) = E P X exp Q (WT W ) Demonsraţie. Aplicând formula absracă a lui Bayes, obţinem că E ~P (X j F ) = E P ( T X j F ) E P ( T j F ) Cum ese o măsură maringală sub măsura maringală domesică P obţinem E ~P (X j F ) = E P ( T X j F ) = 2 j Qj 2 (T ) j F ; 80 T T (5) E P ( T X j F ) = Dar, pe de ală pare, având formula expliciă a procesului ; = exp Q W obţinem, scriind expresia penru şi T şi inserând-o în E ~P, E ~P (X j F ) = E P demonsraţia fiind, asfel, încheiaă. X exp Q (WT W ) 2 j Qj 2 ; F mas: E P ( T X j F ): 2 j Qj 2 (T ) j F ; 80 T T ; 5

.3 Dinamica preţurilor acivelor supor ranzacţionabile în piaţa srăină Considerăm în modelul de piaţă consrui un aciv supor riscan, denomina în moneda srăină, fs f g 2[0;T ]: Presupunem că dinamica preţului procesului S f ; sub măsura maringală din piaţa foreign, ~ P ese ds f = S f (r f d + S f d ~ W ); S f 0 > 0; coeficienul de volailiae S f 2 R d find consan. Remarcăm că, având în vedere că dinamica ese daă sub măsura maringală a pieţei, coeficienul de drif ese chiar dobânda insananee (shor erm ineres rae) asociaă conului de economii în moneda srăină. Asfel, dacă considerăm preţul acualiza (în rapor cu conul de economii adecva) al acivului supor, acesa are dinamica ds f; = S f; S f d W ~ ; unde S f; := Sf B f = S f exp (r f ) : Cum W ~ = W Q ; rezulă că, sub măsura maringală domesică, P ; procesul preţului acivului supor ese guverna de EDS liniară ds f = S f (r f d + S f dw S f Q d) = S f ((r f S f Q ) d + Sf dw ): (6) Penru deerminarea preţurilor derivaelor financiare ce au aces aciv supor, ese uilă conversia preţului acivului supor în moneda domesică. Penru a face aceasa, noăm ~S f = Q S f preţul acivului din piaţa srăină S f ; exprima în uniăi moneare domesice. Folosind formula lui Iô şi dinamica, sub P ; penru raa de schimb Q; mai precis, dq = Q ((r d r f )d + Q dw ); (7) obţinem, folosind formulele (6) şi (7), că, sub măsura maringală P, procesul S f saisface EDS liniară: Înr-adevăr, avem d ~ S f = d d ~ S f = ~ S f (r d d + ( S f + Q ) dw ) (8) D E Q S f = Q ds f + dq S f + d Q ; S f = Q S f ((r f S f Q ) d + Sf dw ) + S f Q ((r d r f )d + Q dw ) + Q S f Q Sf d = ~ S f r f S f Q + r d r f + Q Sf d + Sf + Q dw = ~ S f r d d + Sf + Q dw ; formula (8) fiind asfel obţinuă. Penru a deduce aceeaşi formula, puem evia aplicarea formulei lui Iô produsului de procese sochasice Q S f şi folosim forma expliciă a celor doua procese consiuiene, urmând apoi, ca după rearanjarea ermenilor, să reconsruim ecuaţia diferenţiala pe care o saisface S ~ f : Avem asfel: 8 >< Q = Q 0 exp (r d r f ) 2 j Qj 2 + Q W >: S f = S f 0 exp r f S f Q (6) 2 j S f j 2 + Sf W : Prin urmare, ~S f = Q S f = Q 0 S f 0 exp r d r f 2 j Qj 2 + r f S f Q 2 j S f j 2 + Q + Sf W = S ~ f 0 exp r d 2 j Qj 2 + 2 S f Q + j Sf j 2 + Q + Sf W = S ~ f 0 exp r d 2 2 Q + Sf + Q + Sf W ; proces ce ese soluţia ecuaţiei (8), demonsraţia fiind, în aces momen, încheiaă. 6

2 Conrace forward moneare (Currency Forward Conracs) şi opţiuni moneare (Currency Opions) În cadrul acesor conrace, acivul supor va fi raa de schimb Q: Făcând o analogie cu formula de deerminare a preţului penru derivae financiare ce au acive supor riscane, purăoare de dividende, S; în abordarea acuală vom înlocui valoarea S cu raa de schimb Q ; iar dividendul plăi k cu dobânda insananee foreign, r f : Vom puea obţine o o formula de ip Black-Scholes penru sabilirea preţurilor conracelor moneare. 2. Raa de schimb viioare (forward exchange rae) Vom analiza valoarea unui conrac forward iniţia la momenul şi cu mauriaea T: Cel care îşi asumă poziţia shor înr-un asfel de conrac se obligă ca, la momenul T; să-i furnizeze celui ce se află în poziţia long o anumiă caniae din moneda srăină, de exemplu, uniae. Cel ce se află în poziţia long înr-un conrac monear forward ese obliga să plăească o anumiă caniae din moneda domesică penru produsul achiziţiona, sumă ce poară denumirea de preţ de livrare. Aces preţ, care face ca conracul să fie fără valoare la momenul T; se numeşe preţul forward la momenul (forward price) al unei uniăţi din moneda srăină ce va fi livraă la momenul de mauriae al conracului monear. Referindu-ne la aces preţ viior, vom noa cu F Q (; T ) raa de schimb viioare (forward exchange rae). Propoziţia 2. Raa de schimb viioare F Q (; T ); asociaă unui conrac iniţia la momenul ; şi ce are mauriaea T ese daă de urmăoarea formulă: F Q (; T ) = Bd T B d B f B f T Q = exp ((r d r f )(T )) Q ; 8 2 [0; T ]: (9) Relaţia (9), cunoscuă şi sub denumirea de pariaea dobânzilor insananee (ineres rae pariy) afirmă că prima penru un conrac forward monear rebuie să fie, înr-un model de piaţă afla în echilibru, egală cu diferenţa dobânzilor celor două conuri de economii, r d r f : O variană relaiv simplă a acesei relaţii de pariae se păsrează chiar dacă cele două dobânzi insananee nu mai sun consane deerminise, ci urmează două procese sochasice. Rolul conurilor de economii po fi jucae de căre T -bondurile B d (; T ) şi B f (; T ) ; fiecare din ele considerae în piaţa indicaă de indicele aferen. Asfel, puem exinde egaliaea (9) penru a acoperi cazul dobânzilor sochasice, formulă ce e în concordanţă cu (9): unde F Q (; T ) = B f (; T ) B d (; T ) Q ; 8 2 [0; T ]; (20) B f (; T ) reprezină valoarea, în moneda şi piaţa srăină, a unei obligaţiuni neplăioare de cupoane, cu mauriaea T: B d (; T ) reprezină valoarea, în moneda şi piaţa domesică, a unei obligaţiuni neplăioare de cupoane, cu mauriaea T: Arăăm, folosind ehnica uzuală, că dinamica lui F Q (; T ); sub măsura maringală P ; ese daă de EDS: adică F Q (; T ) ese un proces sochasic maringal. df Q (; T ) = F Q (; T ) Q dw ; cu F Q (T; T ) = Q T ; (2) Demonsraţie. Şim că dinamica raei de schimb, sub măsura maringală domesică, ese soluţia expliciă fiind dq = Q ((r d r f )d + Q dw ) ; (22) Q = exp r d r f 2 j Qj 2 + Q W Obţinem, folosind formula (20) şi fapul că, în cazul dobânzilor consane poziive, B d (; T ) = exp ( r d (T )) = B d =BT d şi B f (; T ) = exp ( r f (T )) = B f =B f T : F Q (; T ) = exp r d r f 2 j Qj 2 r d + r f + (r d r f )T + Q W = exp ((r d r f )T ) exp Q W 2 j Qj 2 ; 7 (23)

adică F Q (; T ) ese soluţie penru ecuaţia (2). Formula diferenţială (2) se poae regăsi şi în cazul în care T -bondurile implicae sun procese sochasice. În secţiunea urmăoare vom folosi aceasa formulă penru a demonsra că raele de schimb forward şi fuure coincid, în cazul în care dobânzile domesice şi foreign sun deerminise. 2.2 Opţiuni inermoneare (Cross-Currency Opions) Fie un Call European care are ca aciv supor raa de schimb, la momenul de mauriae T a unei uniăţi moneare din moneda srăină, la un curs presabili de K uniăţi din moneda domesică. Funcţia de plaă la mauriae penru moneda livraă va fi C Q T = (Q T K) + : Considerăm variabila aleaoare ~ B f ; ce reprezină valoarea, la momenul ; a conului srăin, exprima în moneda domesică: ~B f = B f Q = exp (r f ) Q ; 8 2 [0; T ]: Teorema Valoarea, la momenul 2 [0; T ]; exprimaă în moneda domesică, a opţiunii moneare de ip Call European ese daă de formula de evaluare la preţ neuru (risk-neural valuaion formula): C Q = exp ( r d (T )) E P (C Q T jf ) = exp ( r d (T )) E P ((Q T K) + jf ) unde N reprezină repariţia Gaussiană iar = Q exp ( r f (T )) N(h (Q ; T )) K exp ( r d (T )) N(h 2 (Q ; T )); h ;2 (q; ) := N(x) = p 2 Z x e u2 =2 du; q ln + r d r f 2 K j Qj 2 p : Q Demonsraţie. Deerminarea preţului opţiunii moneare de ip Call European moneară se realizează prin consruirea unui porofoliu replican de căre invesiorul afla în poziţia shor. Vom noa aces porofoliu cu = ( ; 2 ); unde ~ B f reprezină suma invesiă, la momenul ; în uniăţi moneare din moneda srăină, con converi în moneda domesică, iar 2 B d reprezină suma invesiă în uniăţi moneare din moneda domesică. Prin urmare, valoarea porofoliului, exprimaă în moneda auohonă, ese V () = ~ B f + 2 B d = B f Q + 2 B d = exp (r f ) Q + 2 exp (r d ) ; 8 2 [0; T ]; Condiţia de auofinanţare conduce la urmăoarea dinamică a acesuia dv () = d ~ B f + 2 db d : Având în vedere că porofoliul replican ese exprima în moneda domesică, acualizarea valorii sale se va face în rapor cu conul de economii denomina în acceaşi moneda. Prin urmare, avem iar dinamica sa ese V () := V () B d = exp ( r d ) V (); dv () = d (exp ( r d ) V ()) = r d exp ( r d ) V () + exp ( r d ) dv () = r d exp ( r d ) B f Q + 2 B d + exp ( r d ) d B ~ f + 2 db d = r d exp ( r d ) B f Q + exp ( r d ) d ~ B f = d exp ( r d ) B f Q = d exp ( r d ) ~ B f + 2 ( r d exp ( r d ) exp (r d ) + r d exp ( r d ) exp (r d )) = dq (24) 8

Pe de ală pare, reaminim relaţia (7): dq = Q ((r d r f )d + Q dw ); iar de aici rezulă fapul că dinamica procesului acualiza Q ; sub măsura maringală domesică P ; ese daă de expresia dq = Q Q dw : (25) Înr-adevăr, cum Q = exp ( r d ) ~ B f = exp ( r d ) exp (r f ) Q = exp ( (r d r f ) ) Q = exp ( (r d r f ) ) Q 0 exp (r d r f 2 j Qj 2 ) + Q W = exp 2 j Qj 2 + Q W rezulă imedia că Q are dinamica (25), adică ese o maringală sub P : Din (24) obţinem că şi valoare acualizaă a porofoliului, V ; ese o maringală, sub aceeaşi măsură maringală domesică, P : Aceasa permie aplicarea formulei de evaluare la risc neuru penru deerminarea preţului derivaului financiar considera. Prin urmare, ţinem con de fapul că Q T = B ~ f T exp ( r f T ) şi obţinem, daoriă fapului că, penru fiecare 0 T; porofoliul V () ese replican, adică C Q = V () : C Q = exp ( r d (T )) E P (Q T K) + jf = exp ( r f T ) exp ( r d (T )) E P = exp ( r f T ) exp ( r d (T )) E P ~B f ~B f T =exp(r T f T )Q T = exp ( r f T ) c ~B f ; T (exp (r f T ) Q T exp (r f T ) K) + jf ; K exp (r f T ) ; r d ; Q ; + exp (r f T ) K jf unde c ~B f ; T ; K exp (r f T ) ; r d ; Q reprezină preţul sandard al unui Call European în modelul Black- Scholes, deriva caraceriza de argumenele funcţiei c anerioare. Mai explici, preţul Call-ului monear ese C Q = exp ( r f T ) ~B f N d ~B f ; T = Q exp ( r f (T )) N d ~B f ~B f =exp(r ; T f )Q K exp (r f T ) exp ( (r d r f ) ) N K exp ( (r d r f ) ) N Aceasă ulimă relaţie reprezină exac formula pe care doream să o demonsrăm deoarece d i ~B f ; T ; K exp (r f T ) ; r d ; Q = h i (Q ; T ) ; i 2 f; 2g: În final, prima componenă a sraegiei replicane ese = exp ( r f T ) N d ~B f ; T = exp ( r f T ) N (h (Q ; T )) : d 2 ~B f ; T d 2 ~B f ; T Aceasa înseamnă că, penru a consrui sraegia de hedging, cel care a emis opţiunea de cumpărare moneară ar rebui să invesească, la momenul T urmăoarea sumă exprimaă în uniăţi din moneda srăină (sub forma conului de economii sau bonduri ranzacţionabile în piaţa foreign) B f = exp ( r f (T )) N (h (Q ; T )) De asemenea, ar rebui să invesească şi în moneda domesică suma Demonsraţia ese încheiaă. 2 B d = C Q Q exp ( r f (T )) N (h (Q ; T )) : : 9

Observaţia 2. Puem deermina o formulă de pariae penru a deermina preţul opţiunilor moneare de Pu European. La momenul de mauriae T, are loc urmăoarea relaţie înre funcţiile de plaă: C Q T P Q T = (Q T K) + (K Q T ) + = Q T K; acivul supor fiind, ca şi până acum, raa de schimb Q: Aplicăm, formula de evaluare la risc neuru şi găsim, prinr-un calcul sandard, C Q P Q = exp ( r f (T )) Q exp ( r d (T )) K: Dacă presupunem că preţul de exerciare K ese egal cu valoarea acuală a raei de schimb forward daă de formula (9), adică K = F Q (; T ) = exp ((r d r f )(T )) Q ; aunci C Q = P Q ; 8 2 [0; T ] ; adică nu exisă diferenţă înre valorile de piaţă celor două derivae moneare europene. 3 Conrace forward dependene de capialuri srăine (Foreign Equiy Forward Conracs) Pe o piaţă globală de acţiuni, un invesior îşi poae corela acivele supor riscane din piaţa foreign şi ranzacţiile valuare înr-o mare varieae de moduri. Mai precis, el poae alege să-şi combine invesiţiile în acţiuni srăine cu diferie grade de proecţie împoriva acţiunilor adversarilor la cursurile de schimb şi preţurile acţiunilor, folosind conrace forward şi fuures, precum şi o varieae de derivae financiare de ip opţiuni de cumpărare sau/şi de vânzare. 3. Preul forward al unui aciv supor riscan din piaţa srăină (Forward Price of a Foreign Sock) Vom considera un conrac forward obişnui, ce are acivul de bază care rebuie livra proveni din piaţa srăină - adică un acord de cumpărare a unui aciv supor la o anumiă daă, cu un anumi preţ de livrare, înr-o monedă specificaă iniţial. Ese firesc să se facă disincţia înre urmăoarele două siuaţii care po apărea: (a) preţul de exerciare ese exprima în uniăţi din moneda srăină, K f ; (b) preţul de exerciare ese denomina în uniăţi din moneda domesică, K d. În ambele siuaţii, valoarea conracului forward la daa scadenă T ese egală cu diferenţa dinre preţul acivului implica în ranzacţionare la aceasă daă şi preţul de livrare, exprima în uniăţi moneare srăine. Rambursarea ese apoi ransformaă în uniăţi moneare domesice, la cursul de schimb care exisă la daa scadenţei, T: Rezumând descrierea aceasa, rambursările din perspeciva poziţiei long sun, în uniăţi moneare domesice: Penru cazul (a) : V d T (K f ) = Q f T (Sf T K f ) Penru cazul (b) : V d T (K d ) = Q T S f T Q T Kd = Q T S f T K d = ~ S f T K d Puem realiza asfel, urmăoarea analiză a preţurilor acesor ipuri de conrace moneare. Cazul (a). Rambursarea în uniăţi moneare srăine, a conracului forward ese egală cu X T = S f T K f Prin urmare, valoarea sa la momenul, în uniăţi moneare srăine, ese V f (K f ) = exp ( r f (T )) E ~P S f T K f jf = S f exp ( r f (T )) K f : În consecinţă, valoarea conracului la momenul ; aunci când ese exprima în moneda domesică ese egală cu V d (K f ) = Q S f exp ( r f (T )) K f : 0

Puem concluziona că preţul forward, la momenul ; al acivului supor rican S f, exprima în uniăţi moneare srăine, ese egal cu F f S f (; T ) = exp (r f (T )) S f ; 8 2 [0; ] Cazul (b). În aces caz, relaţia (7) devine Prin urmare, din relaţia (8) (X) = exp ( r d (T )) E P (X j F ) V d (K d ) = exp ( r d (T )) E P ~S f T d ~ S f = ~ S f (r d d + ( S f + Q ) dw ); K d jf : obţinem că valoarea în moneda domesică a conracului forward cu preţul de livrare K d ; ce ese exprima uniăţi moneare domesice, ese egală cu V d (K d ) = Q S f exp ( r d (T )) K d : Aceasa implică fapul că preţul forward al unui aciv supor srăin, exprima în uniăţi mone-are domesice ese egal F d S f (; T ) = exp (r d(t )) ~ S f ; 8 2 [0; T ]: Oarecum surprinzăor, acesa ese independen de dobânda insananee pe ermen scur srăină, r f. Penru a explica aces paradox aparen, observăm că penru a deermina preţul forward F d S f (; T ), se poae deermina, mai înâi, preţul de livrare din perspeciva invesiorului srăin, F f S f (; T ) şi apoi se realizează conversia în monedă domesică, prin folosirea cursul de schimb forward. Înr-adevăr, avem F f S f (; T )F Q (; T ) = exp (r f (T )) S f exp ((r d r f )(T )) Q = exp (r d (T )) Q S f = F d S f (; T ); ceea ce araă că dobânda insananee corespunzăoare conului de economii exprima în monedă srăină, r f, nu apare în rezulaul final. 3.2 Conrace forward coă (Quano Forward Conracs) Scopul acesei secţiuni ese de a sudia un conrac forward coă (quano forward conrac) pe un aciv supor riscan ranzacţiona în piaţa srăină. În general, un aciv financiar ese denumi un produs quano dacă el ese denomina înr-o monedă diferiă de cea în care, în general, ese ranzacţiona. Un asfel de conrac ese, de asemenea, cunoscu ca un conrac forward garana pe raa de schimb. Penru a descrie inuiiv aces ip de deriva financiar, considerăm un invesior care se aşeapă (speră) ca valoarea unui aciv supor riscan din piaţa srăină să se aprecieze semnificaiv pe parcursul urmăoarei perioade şi care doreşe să frucifice aceasă apreciere prin valoarea porofoliului său. Cumpărarea acţiunii de aciv supor sau adoparea unei poziţii long pe aces aciv prin inermediul unui conrac forward sau a unei poziţii de Call European, lasă invesiorul expus riscului de schimb inermonear. Penru a evia ca randamenul porofoliului său să depindă de performanţa monedei srăine versus moneda auohonă, invesiorul ar avea nevoie de o garanţie că îşi poae închide poziţia bursieră pe acivul riscan srăin la un curs de schimb apropia de cel care exisă în prezen. Aces lucru se poae face prin inrarea înr-un conrac quano forward sau înr-o opţiune ce are ca aciv supor acivul riscan srăin. Vom analiza prima opţiune, prin definirea riguroasă a noţiunii de conrac forward cu coă pe un soc srăin S f. La fel ca şi mai devreme, plaa unui conrac de deviz garana pe cursul de schimb pe un aciv srăin, ce are daa scadenă T; ese diferenţa dinre preţul acţiunilor la momenul T şi preţul de livrare exprima în uniăţi moneare srăine, K f. Cu oae acesea, aceasă plaă ese ransformaă în moneda domesică la un curs de schimb predeermina, noa de Q. Mai precis, dacă noăm cu V d (K f ; Q) valoarea la momenul ; în monedă domesică, a conracului forward cu coă, aunci aceasa va fi egală cu VT d (K f ; Q) := Q S ft K f Dorim să deerminăm valoarea corecă a unui asfel de conrac la orice momen premergăor momenului de mauriae. Funcţia de plaă la mauriae penru un asfel de conrac quano forward nu ţine con de flucuaţiile

viioare posibile ale cursului de schimb pe duraa sa de viaţă. Cu oae acesea, după cum vom vedea în ceea ce urmează, valoarea sa V d (K f ; Q) depinde de volailiaea Q a procesului raei de schimb Q - mai exac, ea depinde de valoarea produsul scalar Q S f care deermină covarianţa insananee înre randamenele logarimice dinre preţul acivului supor riscan din piaţa srăină şi cursul de schimb. Aplicăm formula de evaluare neură a riscului şi rezulă că valoarea, la momenul, exprimaă în moneda domesică, a conracului forward de coă ese daă de V d (K f ; Q) = Q exp ( r d (T )) E P S f T jf K f Penru a deermina media condiţionaă E P (S f T jf ), observăm că formula (6) conduce la fapul ca procesul ^S = exp (( r f + Q S f ) ) S f ese o maringală sub măsura maringală domesică P.. Concluzionând, rezulă că E P S ft jf = exp ((r f Q S f ) T ) E P ^ST jf = exp ((r f Q S f ) T ) ^S = exp ((r f Q S f ) T ) exp (( r f + Q S f ) ) S f = S f exp ((r f Q S f ) (T )) : Prin urmare, valoarea conracului va fi daă de V d (K f ; Q) = Q exp ( r d (T )) S f exp ((r f Q S f ) (T )) K f : (26) Aces lucru implică fapul că preţul forward la momenul asocia cu conracul quano forward care se maurizează la momenul T ese egal, în uniăţi moneare srăine, cu ^F f (; T ) = S f S f exp ((r f Q S f )(T )) = E P S f T jf : Ese ineresan de menţiona fapul că ^F f (; T ) ese, pur şi simplu, media condiţionaă a preţului acivului S f supor riscan la momenul T, aşa cum se vede acesa la momenul ; din perspeciva unui invesior ce acţionează în piaţa domesică. În plus, cel puţin aunci când k := Q S f 0, acesa poae fi, de asemenea, inerprea ca preţul forward al unui aciv supor plăior de dividende, ce ese ranzacţiona în piaţa srăină, caniaea k = Q S f jucând rolul dividendului plăi anerior momenului de mauriae T: Bibliografie [] Bielecki, T; Jeanblanc, M; Rukowski M., Inroducion o Mahemaics of Credi Risk Modeling, Sochasic Models in Mahemaical Finance, CIMPA-UNESCO-MOROCCO School, Marrakech, Morocco, April 9-20, 2007. [2] Bremaud, P., An Inroducion o Probabilisic Modeling, Springer-Verlag, 988. [3] Cox, J.C.; Ross. S.A., The valuaion of opions for alernaive sochasic processes, J. Finan. Econom. 3, pp. 45-66, 976. [4] Cox, J.C.; Ross. S.A.; Rubinsein, M., Opion Pricing: A Simplified Approach, J. Finan. Econom., Sepember, 979. [5] Evens, L., An inroducion o sochasic differenial equaions, Deparmen of Mahemaics, UC Berkeley, preprin. [6] Hull, J. C., Opions, Fuures and Oher Derivaives, 4 h ed., Prenice Hall, 999. [7] Karazas, I.; Shreve, S.E., Brownian moion and Sochasic Calculus, Springer-Verlag, N.Y, 998. [8] Malliaris, A. G., Iô s calculus in financial decision making, SIAM Review 25, pp. 48 496, 983. [9] Meron, R. C., Theory of Raional Opion Pricing, Bell Journal of Economics and Managemen Science 4 (), pp. 4 83, 973. [0] Musiela, M; Rukowsi, M., Maringale Mehods in Financial Modelling, second ediion, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005. [] Oksendal, B. K., Sochasic Differenial Equaions: An Inroducion wih Applicaions, 4 h ed., Springer-Verlag, 995. 2