112 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR I / Realizări invariante la semnal treaptă (RIST) pentru sisteme fără timp mort For

Transcriere

1 Prof dr ig Tom L Drgomir, TEORA SSTEMELOR - 4/5 Relizări ivrie l eml repă RST per ieme fără imp mor Formlele foloie l dicreizre per RST e oţi pe z rcrii di Fig9 E coţie pre di cem di Fig86 oă î Fig87 c P ir î Fig89 cl ri Procel P ee liir ER P Fig9 Srcr iliză per ilire formlelor de dicreizre per RST Di pcl de vedere l meodelor de clcl diigem doă iţii, oe î coire c şi, dpă cm vem de dicreiz modele î domeil imp modele î domeil imgiilor Î prim iţie e opereză c modele irrere-ieşire, î do c fcţii de rfer Rezlele oţie î cele doă iţii ecivlee î cee ce priveşe depedeţ irre-ieşire Prepem că procel P di Fig 9 re MM-S: î cre A B C D m R, R, p R, T = [, f ] 5 Per oţie RST coiderăm iervl de imp [k, k+ T cpri îre doă momee de dicreizre coecive Semlele cre iereeză reprezee î Fig 9 Figrile, şi c ilreză fze le coiirii emlli di emll Pri plicre emlli l irre proceli P, l ieşire e oţie emll figr d, ir di ce, pri eşiore, rezlă emll figr e Formlele de dicreizre e oţi plicâd proceli P forml de clcl răpli l eml de irre d î codiţii iiţile k precize: A A τ e k k e B τ dτ 6 k Pe iervll de imp [ k,k = [ k, k+ irre proceli fiid, porivi Fig 9c, [k] =co, l momel k = k+ re iemli v fi k A Ak k k k e e B[k]d k A Ak e k e e k dτ B[k] Aτ k Î iegrlă fcem cimre de vriilă de iegrre v şi v, deci eglie A Av k e k e dv B[k] v k Rezlă d dv şi limiele 7 Ace rezl ee o ecţie de re î imp dicre Form pe cre o foloim î mod oişi e oţie dpă câev modificări de pec Afel, făcâd oţiile:

2 Prof dr ig Tom L Drgomir, TEORA SSTEMELOR - 4/5 A Av e, e dvb, 8 şi foloid coveţi de ore rgmeli imp orm oţiem ecţiile de re [ ] [] [], Z 9 Acm, rezll corepde ecţiilor de re di 5 Dcă A ee eiglră, iegrl di 8 poe fi clclă c forml A Γ A e B [k] k [k] k - - k+ Ecţiile de ieşire di 5 vlile per orice mome R, deci şi l momel k, k Z : k Ck Dk, k Z Foloid coveţi de ore miiă, pem crie: [] C[] D[], Z Afel, iemli î imp coi 5 îi corepde ieml î imp dicre [ ] [] [], Z [] C[] D[] Ace iem repreziă rezll că, dică relizre ivriă l eml repă ociă iemli 5 Î locl oţiilor,, C şi D vom foloi oţiile A d, B d, C d şi D d Deci, per clclre RST vom reţie formlele: A d A e, Bd e Av dvb, C [ ] Ad[] Bd[], Z [] Cd[] Dd[] d C, D d D, 4 k [k] k k [k ] k k k k k+ - - k [k ] k+ - c - k k+ - d - [k ] k k+ - e - de ee pl de dicreizre, ir A, B, C şi D mricele iemli î imp coi 5 Fig9 Semle ocie cemei di Fig9 Eempl: Deermire RST per ieml de poziţiore A B T C c Î loc de k, k, [k], k, k Z oăm [], [ ], [], [], Z

3 4 Prof dr ig Tom L Drgomir, TEORA SSTEMELOR - 4/5 A Solţie: Mrice de rziţie ee e, deci A d, Bd e Av dvb e Av Bdv vbdv RST ociă iemli de poziţiore ee: [ ] [] 5 [] [ ] [] [] [] [] v dv v dv vdv, ir dv 5 Rezm: Î czl plicării meodei de dicreizre per oţiere ei relizări ivrie l eml repă RST per p de dicreizre impli de vlore iemli î imp coi 5 rezll îl repreziă ieml î imp dicre ieml le cări mrice e clcleză, repeciv, c formlele 8 şi 4 Per eempll d, iemli î imp coi de poziţiore di eţ, reprezeâd procel P di Fig9, i e ociză ieml î imp dicre 5 reprezeâd locl P di Fig9 P Fig9 Scemă loc ociă iemli î imp dicre 5 Î do iţie de clcl, e coideră cocă fcţi de rfer H locli P di rcr di figr 9 şi e deermiă, î celeşi ipoeze c şi î prim iţie, fcţi de rfer Hz corepzăore clli Forml de clcl e ileşe prcrgâd epe: i Deermire fcţiei de rfer H ER elemeli de reţiere v Fig 88; ii Deermire fd Hz corepzăore depedeţei dire z şi z Per prim epă e coideră iervll de imp cpri îre doă momee de dicreizre coecive, k şi k+, şi reprezere di figră 9 E redă vriţiile mărimilor de irre şi de ieşire le elemeli de reţiere ER MM le celor doă emle pe iervll de imp coider repeciv k k k[ k k ] 6 Lor le corepd rformele Lplce k k e, k k k e k e k lege pri relţi e Î coeciţă fd ER ee e HER 7 k k k+ k Fig 9 Referiore l oţiere fcţiei de rfer ER

4 Prof dr ig Tom L Drgomir, TEORA SSTEMELOR - 4/5 5 Per do epă de clcl oervăm că iemele ER şi P coece î e erie Deci H Ţiâd emă de legără dire şi rezlă: e z Z{ } Z H H 8 k k Z He [k] He [k] Foloid eglie Zg e z gz vem k - z z k k Z H [k] z k k k + H [k] z z Z H [k ] Z k Per czl di Fig 94 ecveţ de irre ee [] } k = { [k] } k şi re rform z k Î coeciţă, z z [k] Fig 94 Secveță de ip igleo z z Z H z 9 Porivi formlei de defiire fd oţiem Hz z Z H 4 Rezll depide de form priclră ecveţei de irre {[] } k, fiid vlil per orice vlore li k C rmre el ee vlil şi per ecveţ rirră {[]} T = { [] } + { [] } + { [] } + Î coeciţă 4 ee rezll că Î plicre formlei e prcrg rei epe: Se clcleză prodl H, dică rform Lplce răpli l eml repă Rezll e dce l o formă per cre e po iliz elele de rformre Se clcleză Z H rform z fcţiei idicile eşioe c pl foloid elele de rformre Se îmlţeşe rezll c z z, cee ce ecivleză c împărţire z z pri cre repreziă rform z emlli repă iră z dicreă De reglă z de l mior e implifică îrcâ Z H coţie pe z c fc or l mărăor Relizări ivrie l eml repă le iemelor c imp mor Prolem iereeză î legără c proceele c imp mor, c MM-S de form: A B T c 4 şi c fd de form:

5 6 Prof dr ig Tom L Drgomir, TEORA SSTEMELOR - 4/5 H H e 4 H ee pre rţiolă li H Prepem că pl de dicreizre re vlore MM-S î imp dicre e ociză celi î imp coi pe ceeşi cle c şi per iemele fără imp mor Eieţ impli mor complică clclele Rezll oţi per czl câd < ee [ ] [],, [] [ ] [] m, Z 4 T [] [] c [] î cre A e ;,, B;,, B k Ak Av, e d k e dv k Ak Av, e d k e A Av e e dv dv Î 4 mărl vriilelor de re crec c m iăţi R m, fţă de cel l vriilelor de re cre pr î Î coeciţă, dicreizre iemelor c imp mor, c,, e oldeză c vjl dipriţiei impli mor şi l oţierii î fil i model de ceeşi formă c cel di czl iemli fără imp mor, îă şi c dezvjl măririi ordili iemli Î czl câd < formele coice e oţi ilizâd doi prmeri şi ociţi perecii de vlori şi pri relţi:, N *, [, 44 repreziă cel mi mic măr îreg de vlori le li mi mre, cel pţi egl c impl mor, ir co pre di vlore li cre reie dăgă l impl mor per oţie cie De eempl, per 5ec, 8ec 4 5 vem: 58 8 => 5, 65 8 Plecâd de l decompere li form 44 e oţie: [ ] [], [ ], [ ], 45 î cre A A Av Φ e, Γ, e e B dv, Av Γ, e B dv 45 Fie vriilele de re jăore,,,, defiie pri relţiile [ ] [ ], [ ] [ ],, [ ] [] Foloid-e de ele, di 45 rezlă ieml

6 Prof dr ig Tom L Drgomir, TEORA SSTEMELOR - 4/5 7 [ ],, [] [ ] m [] [ ] m [] [], [ ] m, [] [ ] [] m, z 46 A B d d [] [] [] T [] c C d, [] [] Siemele 4 şi 46 repreziă ri ocie iemli 4 Per θ = ieml 46 devie ieml 4 Silire ri Hz corepzăore fd e fce prir- rţiome imilr c cel di ecţie erioră Se oţie: Hz z z Z H e 47 Eprei Z H e repreziă rform z modifică ociă fcţiei H, dică Z H e Z H Î coeciţă Hz z z Z H 48 Dcă, î priclr, P re modell, fcorl rţiol H ee ir C rmre, c 47 oţiem Hz z z Z z Eempl : Să e deermie fd Hz corepzăore ri ociă i STC c fd H e, pl de dicreizre fiid = 5 ec Solţie: Îrcâ = ec şi = 5 ec, vem 5 τ 5 5, 5 deci, Rezlă Hz z z Z Clcll cocre coiă c decompere î frcţii imple fel că î fil oţiem z Hz Z Z Z z, z z ze ze z e e z 5 5 z z 5 5 z z e z e z e z e e Hz 5 [ e 5 e 5 e 75 z zz e e 5 5 z e e 5 5 e 75 z e 75 e ] = ]

7 8 Prof dr ig Tom L Drgomir, TEORA SSTEMELOR - 4/5 Rezm: Î czl plicării meodei de dicreizre per oţiere ei relizări ivrie l eml repă RST per p de dicreizre impli de vlore iemli î imp coi c imp mor 4 rezll îl repreziă ieml î imp dicre 44 î cre mricele ecere e oţi c formlele 45 Sieml 44 re, doriă rporli dire impl mor şi pl, c m mi mle vriile de re vriile de re ilire decâ cele cre pr eplici î 4 Dcă < ieml 44 i form 4 4 Dicreizre pri proimre Sieml î imp coi per cre e deermiă o relizre iemică î imp dicre pri meod dicreizării pri proimre, corepde locli R di Fig87 l clli d di Fig 89 El re form A B, 49 C D Siemli 49 îi corepde cem loc di Fig95 Î cemă pr rei ipri de operţii: îmări, îmlţiri c coe şi iegrări Procedrl, primele doă operţii e efeceză î celşi mod per iemele î imp coi şi per iemele î imp dicre Operţi de iegrre, cărei îi corepde locl îcdr c liie îrerpă, re ecivle ec î imp dicre E poe fi îă proimă foloid diferie formle ilize î meodele de iegrre merică dee dicreizării pri proimre coă î eeţă ocmi î dpre ceor meode de iegrre D B A X Fig 95 Scemă loc ociă MM-S 49 Î ce coe coiderăm eleme de rfer iegror c oriere vâd modell memic K, Î Fig 96, de pricipi, e coideră î copl iegrării o vriţie rirră emlli de irre pe iervl de imp c lgime i p de dicreizre [k, k+ Pe ce iervl vem, k k, repeciv k k k d d 5 k k N P k M k N P Q k+ k C d k Fig 96 Referiore l proimre merică operţiei de iegrre

8 Prof dr ig Tom L Drgomir, TEORA SSTEMELOR - 4/5 9 egrl di memrl âg l egliăţii 5 ee o difereţilă ecă pe cre o clclăm ec foloid forml Leiiz - Newo: k k d k k 5 Doriă formei orecri emlli de irre iegrl di memrl âg e poe evl mi pri proimre: k k k d MNPQ MNNQ k MP PQ k MNPQ k k MDR MDA MT 5 Aproimre e zeză pe ierprere grfică iegrlei î e Riem k d Aceei îi corepde ri MNPQ drepgili crilii M NPQ Per vlori mici le li e poe fi proimă pri riile MN NQ, drepgili MNN Q - cz î cre vorim depre meod Eler meod drepgili MPPQ, drepgili MP PQ - câd vorim depre meod rerdă MDR, drepgili vă, MNPQ rpezli recilii MNPQ - cz î cre vorim depre proimre Ti meod rpezli Foloire per o prolemă dă ei dire cele rei meode - MTR, MDA MT repreziă opţie ilizorli Rezll oţi poe fi foloi î mi mle modri, l dire ele coiidl foloire or formle de iţie Prezere e limieză l ceă meodă Per ili formlele de iţie îlocim 5 şi 5 î 5 Aplicâd coveţi de ore rgmeli imp orm, rezlă cceiv: [ ] [] [] [ ], T [] [ ] repeciv {[]} T z {[ ]} T {[]} T {[ ]} T z z zz {[]} T {[ ]} T zz 5 Î coeciţă per proimre comporării i ET- c fcţi de rfer H, e po foloi iem î imp dicre c oriere z z şi fcţi de rfer Hz z z z z z z z MDR MDA MT 54 Pe ceă ză, vâd î vedere remrc priviore l ipl operţiilor cre pr î cem loc di Fig95 şi omiţâd prolem eică iiţilizării, î locl cemei Ariele rerdă şi vă e referă l fpl că drepgirile coidere î com c rpezl crilii lr di âg, corepzăore momeli k fl î rmă, repecive lr di drep, corepzăore momeli k+ fl îie

9 Prof dr ig Tom L Drgomir, TEORA SSTEMELOR - 4/5 di Fig95 e coideră cem di Fig97 cre rezlă di ce di Fig 95 pri îlocire locli iegror c loc î imp dicre vâd f d 54 D B ů Hz C A Fig97 Scemă loc ociă foloirii formlei 54 Di pc de vedere forml ce revie, l iire li pri: MDR z z MDA 55 z z MT z Per evideţi că ee vor de proimre, î cem di Fig97 irre locli c fcţi de rfer Hz - o c ů Se şie că per iemele î imp coi crcerl iegror ee oci c prezeţ polli p =, ir crcerl derivor c ce zeroli z = Se oervă că porivi relţiilor 55 polli p = di czl iemelor î imp coi îi corepde per iemele î imp dicre poll z =, ir zeroli z = di czl iemelor î imp coi îi corepde zerol z = Î priclr, per STD crcerl iegror ee oci c prezeţ i pol egl c, ir crcerl derivor c i zero egl Î coclzie, plicre meodei de dicreizre pri proimre coă î legere ei dire cele rei formle come î 55 şi efecre iţiei corepzăore î fcţi de rfer iemli î imp coi cre reie dicreiz Eempll : i Să e deermie STD oci pri meod drepgili vă iemli î imp coi 5 * ii Să e deermie fd STD oci pri meod drepgili rerdă lgorimli de reglre c fd H ** Î mele czri pl de dicreizre impli ee 5 Solţie: i Siemli îi corepde fcţi de rfer H, 5 5 ir î coformie c 55 rezlă z z Hz H z z z Îrcâ Hz, z 5 z 5 5 5z z 5 z z vem z, repeciv 5 z 5z z z Î coeciţă z 5 5z 5 modell î imp dicre ee [] [ ] [] *' 5 5

10 Prof dr ig Tom L Drgomir, TEORA SSTEMELOR - 4/5 ii De d ce e recrie H form H, fel că 5 z z Hz H ** ' z 5 z z 5 z z Eempll : Să e deermie modell î imp dicre oci pri meod rpezli, modelli î imp coi *** A B C Solţie: egrâd memr c memr ecţi de re di ***, pe iervll [k, k+, porivi proimării di 5 vem [ ] [] A [] [ ] B [] [ ] [ ] [ A] [ A] [] [ A] B [] [ ] *** Fie vriil jăore [] [] A B [] *** Pri elimire li di ***, pe z relţiei *** rezlă [ ] Ad [] Bd [] *** î cre A d A A ***4 Bd A B A B A B Î cee ce priveşe ecţi de ieşire di ***, forml ee ficie ă elimiăm pe pe z relţiei *** Se oţie [] Cd [] Dd [] ***5, î cre d d C C, D C A B ***6 Rezll că ee d de ecţiile *** şi ***5 Deci modell pe re î imp dicre ee: [ ] Ad [] Bd [] ***' [] Cd [] Dd [] Modell ***' ee l limi de relizilie fizică Ace lcr ee o coeciţă proimării cre e fce î czl meodei rpezli şi MDA Rezm: Î czl plicării meodei de dicreizre pri proimre î vri cocă demire meod iţiei i iem î imp coi fără imp mor vâd fcţi de rfer H, pl de dicreizre impli fiid, rezll e oţie iid î eprei li H pe c dire epreiile di 55 Rezll poe fi iliz per ili poi modele î domeil imp formă de ecţii recrive Per eemplele de iemelor î imp coi *, ** şi ***, reprezeâd locl R di Fig87 li e ociză, per p de dicreizre impli iemele î imp dicre * ', ** ' şi *** ' reprezeâd locl RN di Fig87

11 Prof dr ig Tom L Drgomir, TEORA SSTEMELOR - 4/5 Cpioll Elemee de liză iemelor liire Trformări de re şi relizări iemice Trformări de re Se coideră ieml liir Aeţie! Se lcreză c vriile ifice ` A B, C D per cre prepem că R,R m, R p şi o mrice părică T,, eiglră T - Se coideră eglie * = T Per vriilele de re oi irode, rezlă că * R Spem că relţi relizeză o rformre de re î el că repreziă vece vriilă de re ir * - o vriilă de re Fiecre compoeă li * ee o comiţie liiră de compoee le li Î coeciţă compoeele li * îşi pierd de cele mi mle ori el fizic Pri rformre de re îţelegem rpere MM de vriil de re, îr- MM de vriilă de re * Trpere decrge fel: ' = A B T Se îmlţeşe eglie, l âg, c mrice T T ' T A T B Dr, = T - * Deci *' = T A T - * +T B 4 Alog, di do eglie di rezlă = C D C T - T D = C T - * D Î coeciţă ol MM-S o relizre iemică ee: *' A * * B* C * * D î cre A * =T A T - ; B * = T B; C *= C T - Precizări: Clclele făce vlile â per STC câ şi per STD 5 De cele mi mle ori foloim rformre de re per jge l mie forme coice, dică l relizări iemice per cre A *, B *, C * reie ă iă mie forme cre e foloec î cdrl or meode de rezolvre or proleme cocree Trformre de re de ipl coervă proprieăţile iemli, dică 5 re celeşi proprieăţi c şi Afirmţi e zeză pe fpl că 5 şi celeşi mrice de rfer lfel p ceeşi depedeţă irre-ieşire devăr, di 5 cceiv rezlă: H * =C * A * - B * + D= C T - T A T - - T B D - TT T A T - H * = C T - T H * = C A - T A - T - T B D B D H - A T -

12 Prof dr ig Tom L Drgomir, TEORA SSTEMELOR - 4/5 Oţiere relizărilor iemice pe z cemelor loc Î prolemele prcice iem rezlă îode pri iercoecre mi mlor ieme, ir de cele mi mle ori modelele lor de pri ceme loc î cre pr fd Oiecl ceei ecţii ee prezere i procede pri cre e oţi MM-S le iemelor, dică relizări iemice, plecâd de l ceme loc Î eeţă ee vor de o meodă de ociere câe ei ecţii de re per fiecre vriilă de re ideifică pe z cemei loc Meod re l ză cem loc A B di Fig 98 cre corepde iemli liir C D D ' B - C A Fig 98 Digrm de re i iem liir Porivi cemei, vriilele de re po fi coidere fie c mărimi de ieşire le locrilor c fd -, fie c mărimi de ieşire le rcrilor c recţie proporţiol relize î jrl locrilor c fd - dee ee relă î Fig 99, și X X A Fig 99 Referiore l legere vriilelor de re - Fig Alegere vriilelor de re per STC z - z - Fig Alegere vriilelor de re per STD Î czl STC vem = Scemele i formele di Fig Lor le corepd egliăţile:, repeciv - Fiecre dire egliăţile îcdre repreziă o ecţie de re Î czl STD Fig î mod imilr vem: z z z, z z z [ ] [] z z, z z z z z [ ] [] [] Şi de d ce, fiecre dire egliăţile îcdre repreziă o ecţie de re Clclele prezee î priml râd vlore meodologică Rezmâd, reţiem că per oţie o relizre iemică porid de l o cemă loc procedăm fel:

13 4 Prof dr ig Tom L Drgomir, TEORA SSTEMELOR - 4/5 i Adcem cem loc l o formă î cre pr dor operţii de îmlţire c coe, more şi locri de iprile prevăze c o recţie de ip proporţiol ce cop poe fi foloi lger cemelor loc ii Se dopă c vriile de re ieşirilor ror ceor locri Per fiecre loc e dedce ecţi de re corepzăore vriilei de re de l ieşire locli iii Dpă îceiere operţiei de ociere ecţiilor de re e lcăieşe MM-S l iemli w - K K R 5 - M - 5 Fig Scem loc i iem de reglre omă rției i moor de cc Eempl: ă e deermie o relizre iemică per ieml de reglre di Fig : Oervăm că î cemă pr loc de ip P și l de ip PT cre corepd iprilor meţioe C rmre cem e recofigreză c î Fig : w - K R 5 K 4 M Fig Scem di Fig recofigră î vedere irodcerii vriileleo de re S- defii vriilele de re de l l 4 c ieşiri le locrilor c fd de ip PT K K dică de form şi de ip iegror Scceiv, vem: T , M 5 5 M 5 4 K R w, 5 4 5K R w 5 K R, K 4 w, 4 K w K, o Î coeciţă vem:

14 Prof dr ig Tom L Drgomir, TEORA SSTEMELOR - 4/5 5 4 K 5 K R 4 K K 5 R M w ; = 4 Meode de oţiere relizărilor iemice plecâd de l MM- Î cdrl ceei ecţii e coideră per îcep modelele ric czle î imp coi repeciv î imp dicre rede de ecţiile 6, repeciv 7:, 6 ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ [] 7 Lor le corepd fcţii de rfer de form: H 8 Relizre iemică ociă celor czri, ci câd e foloec vriile ifice, ee: ' ' ' ' A + 9 Eempl: Relizre iemică iemli: 5 5 ee =,,4, Mrice A cre pre î 9 poră mele de mrice compio mrice de îoţire de compiere mrice Froei Demire provie di fpl că e îoţeşe polioml crceriic l ieml 6 7 μ Demorăm î coire cm e jge l relizre iemică 9 Per ieml c fd 8 vâd oriere vem = H Eglie e poe crie form

15 6 Prof dr ig Tom L Drgomir, TEORA SSTEMELOR - 4/5 Defiim vriil jăore: Di relţi de defiiţie rezlă: Pe de lă pre vem: Fie vriilele de re: ;,, Se oervă relţiile de legără: Di lim relţie di şi di prim relive îcdră vem: 4 Di do relţie îcdră rezlă: 5 Eglie i i re drep corepode i domeil imp eglie i, dică di egliăţile STD per [] ] [ STC per i i i Î ce coe egliăţile - ecţii de re, ocmi cele di 9, relţi 4 codce l lim ecţie de re di 9, ir relţi 5 codce l relţi de ieşire di 9 Acm coiderăm czl câd iemele l limi de czlie, vâd fd: * * * H 6 Prolem e redce prir-o implă împărţire l prolem erioră Afel, împărţid î 6 mărăorl l mior oţiem: * H 7 Îrcâ H, relţiei 7 îi corepde cem loc di Fig 4 î cre, fţă de czl ieşire mi re o compoeă, pe * porivi formlei * 7

16 Prof dr ig Tom L Drgomir, TEORA SSTEMELOR - 4/5 7 * * * Siem c eciile de re di 9 * = + Ecţi 7 Fig 4 Scem loc ociă iemli c fd 6 Eempl: Dcă z z 7z Hz, ci relizre iemică oci ee z 5z z 5z [ ] [] [] [ ] 5 [] [] [] 7 [] [] Meod de oţiere relizărilor iemice î czl iemelor de ip MMO cele ce rmeză e preziă o meod de oţiere ei relizări iemice per iem de ip MMO, c oriere, m P R, R, d pri eglie oper- H ţiolă =H şi mrice de rfer: H=[H ij ]= Hp Hm H pm ij Meod e plică î ipoez că fiecre fd ee o fcţie rţiolă ric proprie grdl miorli ee mi mre decâ grdl mărăorli, de form Pij Hij, iredciilă, miorii P ij fiid poliome moice coeficiel er- P meli de grdl cel mi mre ee Polioml miiml µ l iemli d ee cel mi mic mlipl com l miorilor ror fd di mrice de rfer H, dică μ = cmmmc { P P pm } Prepem că grdl li µ ee r Aci, îr-o primă epă, rezlă că µ ee polioml moic coeficieţii oţi c π i : μ r r πr π π 8 Î do epă efecăm prodl µ H Îrcâ - prep că H ee o mrice de rfer ric proprie rezll ee o mrice le cărei elemee poliome de grd cel ml r- Rezll poe fi cri c poliom mricel Noâd coeficieţii mricili c B i vem: r r B B 9 H B Fiecre coeficie B i e de celşi ip c H dică o mrice de ipl p,m Î celeşi codiţii, îr-o rei epă, e poe crie relizre iemică:

17 8 Prof dr ig Tom L Drgomir, TEORA SSTEMELOR - 4/5 ' B m B m m B m m B r m r m mricele m mrice ie de rg m m Eempl: Să e deermie o relizre iemică oci STC c doă irări şi doă ieşiri vâd mrice de rfer: H= 5 Solţie: Recriem mrice de rfer H fel îcâ oţi miorii ă fie poliome moice coeficieţii ermeilor de grdl cel mi mre ă fie iri: H = 5 C rmre, ieml re polioml miiml: μ= cmmmc{++, ++, +, ++ } = +++ = = Rezlă r = π π Clclăm: π μ H = = B B B B B B ee mrice ie de rg Sieml ee de ordil = 6 Deli, rezll oţi e crie fel:

18 Prof dr ig Tom L Drgomir, TEORA SSTEMELOR - 4/ Oervţie fil: ecţie v părţi Î pre e ră cm e oţie o relizre iemică per iem de ip SSO ric czl Î pre e reză ceeşi prolemă per iem de ip SSO fl l limi de czlie Î pre e coideră iem de ip MMO Î ce lim cz fiecre fcţie de rfer reie ă fie ric czlă, ir lgoriml e plică dpă ce miorii ror fcţiilor de rfer fo dşi form moică Rezll ee preze fără demorţie