Semiar 4 Serii Fourier și recapitulare Serii Fourier Petru dezvoltarea î serie Fourier (care se poate aplica atuci cîd seriile Taylor sît imposibile, trebuie satisfăcute codițiile Dirichlet: (D Fucția trebuie să fie periodică; (D Fucția trebuie să aibă u umăr fiit de discotiuități; (D Fucția trebuie să aibă u umăr fiit de etreme îtr-o perioadă; (D4 T f( d trebuie să fie covergetă. Covețioal, seria se scrie: f( = a [ + ( r ( r ] a r cos + b r si, r= ude a r, b r, a sît coeficieții Fourier, iar este perioada. Coeficieții se calculează: a r = b r = De obicei, se ia = sau = /. Teoremă. (Parseval: + f( d = + + r= ( r f( cos ( r f( si c r = d d. ( a + (a r + b r. De eemplu, putem calcula r 4. uăm fucția f( = și calculăm media fucției f ( pe < : Acum calculăm membrul drept di Parseval: ( a + 4 4 d = 6 5. ( 4 (a r + b r = r= r= + r 6 4 r 4. Egalăm cele două epresii și obțiem r = 4 r 4 9. Folosid forma polară a uui umăr comple și formula lui Euler, putem scrie seria: f = a + (a cos t + b si t, a = b = = f(t cos tdt, f(t si tdt,.
emă. (Riema: Dacă f este itegrabilă, atuci: lim a = lim b =. Teoremă. (Dirichlet: Dacă f : R R este o fucție periodică, de perioadă, măsurabilă, mărgiită, avîd cel mult u umăr fiit de discotiuități de speța îtîi și cu derivate laterale î orice puct, atuci seria Fourier coverge î fiecare puct R la: Î particular, dacă f este chiar cotiuă, are loc:. Eerciții ( f( + + f(. f(t = a + (a cos t + b si t. = Să se dezvolte î serie Fourier:. f( =, pe (,. Soluție: Fucția este impară, deci a k =, k, iar: b k = si kd = ( k+, k >. k Egalitatea se obție țiîd cot că si k =, cos k = ( k. Deci, petru orice R, avem: = ( k+ si k. k k= Petru =, avem: 4 = + 5 7 +..... f( =, pe (,. Soluție: Fucția este pară, deci b k =, k > și: Deci: a = a k = ( d = 4 ( cos kd = 4 ( k k, k >. = + 4 k= ( k cos k. Sît îdepliite codițiile di teorema Dirichlet, deci descompuerea este valabilă petru [, ]. Î particular, dacă =, avem formula: k= k = 6. k
. Coeficieții: { a, (, f( = b, [,. a = f(d = (b a a = f( cos d = ( a cos d + b = f( si d = ( a si d + Rezultă, pri calcule (itegrare pri părți: a k = a b b cos d a si d ( k k, b k = (a + b ( k. k Observație: Putem folosi această dezvoltare petru a calcula suma seriei umerice (, care este covergetă. Fucția f este cotiuă petru t = și, di Dirichlet, suma seriei Fourier î puctul t = este egală cu f(. Obțiem: Rezultă = ( = f( = a b (a b + 4 = 8. = (. 4. f( = e a, a, pe (,. Soluție: Coeficieții: Rezultă: e a = a = a = = ( b = [ sih a = ( a + = e a d = sih a a e a cos d a a sih a + e a si d a sih a. + ] ( a (a cos si. + 5. f( =, pe [, ].
Soluție: Fucția este pară, deci b =,. a = a = d = cos d = [( ]. Rezultă: = 4 = cos( (. 6. Să se dezvolte î serie de siusuri fucția f( =, defiită î itervalul (,. Soluție: Prelugim fucția impar față de origie:, < < f( =, =, < < Calculăm coeficieții Fourier ai acestei fucții periodice impare, defiite pe (, : Rezultă: a =, b = f( = 4 si d = ( { 4 = + = k +, = k = si( + +. Observație: poate fi îlocuit cu l, orice perioadă aleasă. 7. Să se demostreze formula: = si, (,. Soluție: Cosiderăm fucția f( =, [, ], prelugită pri periodicitate la R. Calculăm 4
coeficieții Fourier: a = d = ( = ; a = cos d = si b = = ( cos =,. si d Aplicăm acum teorema lui Dirichlet și obțiem: si d =, cos d = si, (,. Petru =,, fucția u este cotiuă. Seria trigoometrică asociată are suma. Eerciții recapitulative Serii umerice:. Decideți covergeța următoarelor serii cu termeul geeral dat de: (a =! ( (b = l ( l(l (c = l (d = l (e = (f = a l, a > (g = ( + (h = e (C, raport; (C, logaritmic; (D, logaritmic; (C, itegral; (D, comparație ; (discuție, Raabe; (D, eibiz + armoică; (C, logaritmic. Calcul aproimativ de sume de serii:. Calculați cu eroare ε sumele seriilor: (a = (!, ε = ( = 7; (b = (, ε = ( = 4; 5
Șiruri de fucții:. Studiați covergeța puctuală și covergeța uiformă petru șirurile de fucții: (a f : [, ] R, f ( = + ; (b f : [, ] R, f ( = ( ; (c f : (, R, f ( = ; (d f : [, ] R, f ( = + ; (e f : R R, f ( = arcta(. 4. Verificați dacă șirul de fucții poate fi itegrat terme cu terme: f : [, ] R, f ( = e. Arătați, deci, că: lim f ( lim f (d. 5. Verificați dacă șirul de fucții poate fi derivat terme cu terme: Arătați, deci, că: f : R R, f ( = arcta. ( lim f ( = lim f (. Serii Taylor 6. Să se dezvolte î serie Maclauri următoarele fucții, precizîd și domeiul de covergeță: (a f( = e ; (b f( = si ; (c f( = cos ; (d f( = l( + ; (e f( = + ; (f f( = arcta. 7. Calculați, cu ajutorul seriilor Taylor, cu o eroare de : (a (b (c l( + d; si d; arcta d. 6
Serii de puteri: 8. Găsiți raza de covergeță și domeiul de covergeță petru seriile: (a ; (b ; (c (+. Serii de fucții: 9. Studiați covergeța seriilor de fucții: (a (b arcta + 5, R; (Weierstrass; + 4, R; (Weierstrass; (c si, R; (Weierstrass; (d ( si + si ; (șirul sumelor parțiale; (e + ( + +(, ; (șirul sumelor parțiale. 7