Curs 8 Variabile aleaoare coiue 8 Fucţia caracerisică Defiiţia 8 Fie X o v a cu desiaea de probabiliae f Fucţia ϕ X ) = M [ e ix] = e ix fx)dx, se umeşe fucţia caracerisică corespuzăoare v a X Teorema 8 Dacă X ese o v a cu fucţia caracerisică ϕ X ), auci ϕ X ) =, M [X ] ϕ X ) = i), M [X ] = ϕ) ), ude M [X ] repreziă momeul iiţial! i = de ordi 3 Dacă a, b R ϕ ax+b ) = e ib ϕ X a) 4 Dacă X şi Y su v a idepedee, auci ϕ X+Y ) = ϕ X )ϕ Y ) Demosraţie ϕ X ) = e ix fx)dx = fx)dx = Folosim dezvolarea î serie a fucţiei expoeţiale e ix şi se îlocuieşe î defiiţia fucţiei geeraoare, ϕ X ) = i) M [X ]! = 3 ϕ ax+b ) = fx)dx + i! e iax+ib fx) = e ib xfx)dx + i)! x fx)dx + + i)! e iax fx) = e b ϕ X a) x fx)dx + = 4 ϕ X+Y ) = M [ e ix+y )] = M [ e ix e ] iy = M [ e ix] M [ e ] iy = ϕ X )ϕ Y ), ude am ţiu seama de idepedeţa v a care a permis scrierea relaţiei relaiv la medie Exerciţiul Să se deermie fucţia caracerisică peru v a X Exp [λ] Soluţie ϕ X ) = e ix λe λx dx = λ e i λ)x dx = λei λ)x i λ = λ i λ deorece λ > şi e i λ)x = e ix e λx = e λx x
Exerciţiul Să se deermie fucţia caracerisică peru v a X Gama [p, λ] Soluţie ϕ X ) = e ix f X )dx = λp Γp) e ix x p e λx dx = Facem schimbarea de variabilă u = i λ) x şi obţiem ϕ X ) = λp Γp) e u u p λ i) p dx = λ p λ i) p λp Γp) Să calculăm media şi ) dispersia cu ajuorul fucţiei caracerisice λ p ϕ X ) = pλ p j λ i) p = λ i) p+ pj ϕ X ) = λ M [X] = p λ ϕ X ) = pp + )λp j λ i) p+ M [X ] = D [X] = M [X ] M [X]) = p λ pp + ) λ e i λ)x x p dx Exerciţiul 3 Fie X Pois[λ] şi Y Pois[µ], va idepedee Demosraţi că X + Y Pois[λ + µ] Soluţie Deermiăm fucţia caracerisică a lui X Pois[λ] ϕ X ) = M[e ix ] = Deoarece va su idepedee, e ik e k= λ λk k! = e λ e i λ) k k= k! = e λei ) ϕ X+Y ) = ϕ X )ϕ Y ) = e λei ) e µe i ) = e λ+µ)e i ) Deoarece fucţia caracerisică deermiă comple fucţia desiae de probabiliae rezulp că X + Y Pois[λ + µ] f X x) = e ix ϕ X )d, Exerciţiul 4 Deermiaţi fucţia caracerisică peru va X N[, ] Soluţie Avem ϕ X ) = M[e ix ] = σ π Făcâd schimbarea de variabilă y = x m σ deoarece ϕ X ) = σ π = eim σ π, obţiem e im+σy) e y σdy = e im π Î cazul X N[, ], obţiem e y iσ) dy = e im σ, e ix e x m) σ dx e y iσ) dy = e u du = π ϕ X ) = e e y iyσ+i σ e σ dy
Cuoscâd fucţia caracerisică, puem calcula M[X] = ϕ X ) = m, M[X ] = ϕ X ) = m + σ, i i D[X] = M[X ] M[X]) = σ Exerciţiul 5 Fie X N[m, σ ] şi Y N[m, σ ] două va idepedee Auci X +Y N[m + m, σ + σ ] Soluţie Obţiem ϕ X ) = e im σ, ϕ X ) = e im σ, ϕ X+Y ) = ϕ X ) ϕ X ) = e im σ e im σ = e im +m ) σ +σ Exerciţiul 6 Dacă X,, X N[m, σ] su va idepedee, auci X + + X σ N[m, ] Soluţie Găsim ca mai sus că Folosid Teorema 8, pucul 3, rezulă ϕ X ++X ) = e im σ ϕ X ++X ) = ϕ ) X ++X ) = eim σ ) Exerciţiul 7 Să se deermie fucţia caracerisică peru v a X χ ) Soluţie ϕ X ) = e ix f X ) = Γ ) e ix x e x dx = Γ ) x e ix dx Facem schimbarea de variabilă u = i x şi obţiem x = u, dx = du, deci i i ϕ X ) = = Γ ) i) Γ ) i u e u i du ) u e u du = i) La disribuţia χ ) se poae ajuge porid de la disribuţii ormale Propoziţia 83 Fie va idepedee X,, X N[, ] şi Y = Y χ ) Demosraţie Fie F i fucţia de repariţie a va X i Avem Xi Auci i= F i x) = P X i x ) = P x X i x) = π x e d = π x e d x 3
Pri derivare deermiăm desiăţile de probabiliae ale lui X i f i x) = F i x) = e x π x = Γ )x e x, deci X i χ ) Deoarece X,, X su idepedee, rezulă că ϕ X ++X ) = ϕ X ) ϕ X ) = + i) + i) = + i), care ese ocmai fucţia caracerisică a uei va care urmează o disribuţie hi-păra cu grade de liberae 8 Teorema Limiă Cerală 8 Euţ Teorema Limiă Cerală TLC) ese ua dire cele mai imporae eoreme di eoria probabiliăţilor Iuiiv, orema afirmă că suma uui umăr mare de v a idepedee, ideic disribuie, sadardizae poae fi aproximaă de o disribuţie ormală Rezulă imporaţa acesei disribuţii, deşi desiaea sa de probabiliae are o formă care pare complicaă Teorema limiă cerală mai poară deumirea de miracolul lui Gauss Peru a realiza aces lucru, să cosiderăm desiaea de probabiliae a sumei a variabile idepedee, de ipul Uif [ 5, 5] Obţiem urmăoarele: Dacă vom compara acese grafice cu graficul uei desiăţi de probabiliae a uei va ormal disribuie, vom observa asemăarea remarcabilă chiar peru desul de mic Aces lucru e coduce iuiiv la ideea că suma variabilelor aleaoare se comporă, îr-u aumi ses, ormal Exac Teorema Limiă Cerală formalizează aces lucru Fie X, X,, X, u şir de v a idepedee şi ideic disribuie cu M [X i ] = m şi D [X i ] = σ, i Fie S = X + X + + X şi M = S Teorema limiă cerală dă iformaţii asupra v a Z = S m σ = M m) σ = M m σ = M m σ Deoarece M [M ] = m, D [M ] = σ, deducem că M [Z ] = şi D [Z ] = Aceaă v a se umeşe sadardizaă, deci şirul Z ese versiuea sadardizaă a şirului M Îaie de a demosra Teorema Limiă Cerală, avem evoie de urmăoarele prelimiarii, ce rezulă di dezvolările Taylor ale fucţiei expoeţiale: Dacă u, auci Dacă R, auci e i i şi De asemeea, vom folosi urmăorul rezula: e u + u u 8) ei i i) 3 6 8) 4
= = = 3 = If we compare hese graphs o he desiy of a sadard ormally disribued radom Teoremavariable, 8 we Teorema ca see remarkable covergeţei similariiesdomiae) eve for small Fie f ) u şir de fucţii, covergee pucual la o fucţie f, f coiue cu excepţia uui umăr fii de puce şi domiae de o fucţie iegrabilă g : Auci f ese iegrabilă şi f x) gx), Defiiţia 8 Spuem că şirul X ) de va coverge î disribuţie la va X şi oăm X d X dacă Desiy of a sadard ormally disribued radom variable lim F X x) = F X x), peru orice Thispuc resul leads x Rus o desuspec coiuiae ha sums a of luiradom F X variables somehow behave ormally The CLT frames his fac Formulăm acum u al rezula uil, ce permie simplificarea demosraţiei TLC Teorema 83 Teorema de coiuiae a lui Lévy) Fie X ) u şir de va asfel îcâ şirul fucţiilor caracerisice corespuzăoare ϕ X coverge pucual la o fucţie ϕ Auci X d X ϕ = ϕ X gx)dx < lim f x)dx = fx)dx Îaie de a formula TLC, avem evoie de defiiţia covergeţei î disribuţie 5
= 3 = If we compare hese graphs o he desiy of a sadard ormally disribued radom variable, we ca see remarkable similariies eve for small Desiy of a sadard ormally disribued radom variable Figura 8: Disribuţia ormală sadard This resul Teorema leads 84 us o Teorema suspeclimiă ha sums Cerală) of radom Fie X variables ) u şir de va somehow idepedee, behaveide- ormally The CLT frames his fac ic disribuie, sadardizae M[X i ] = şi D[X i ] = ) Auci, peru orice x R, ) lim P x = x e u du, π X + + X adică X ++X d Z, ude Z N[, ] Demosraţie Noăm cu S = X + + X Fie ϕ Xk fucţia caracerisică a lui X k, care ese aceeaşi peru fiecare k iid), deci o puem oa cu ϕ Auci, peru orice R, ] i S ϕ S ) = M [e = lim M k= ] [ )] [e i X k = ϕ Rămâe de arăa, folosid Teorema de coiuiae a lui Levy, că [ )] ϕ = e, deoarece am arăa mai sus că fucţia caracerisică a va ormale sadard ese de ipul e Dacă =, u avem imic de demosra Presupuem Avem [ )] )] ϕ e ] [ϕ = [e ) ϕ e, 83) ) deoarece ϕ şi e Urmează ) ) ) ) ϕ e ϕ + e 6
Folosid 8) peru u =, obţiem ) e 4 8 = 4 8 peru 84) Peru primul modul, ) ) [ ϕ = M M e i X [ e i X deoarece M [X] = şi M [X ] = D [X] = Pe de o pare, folosid prima relaţie di 8), obţiem ei X + i ) X + i X ei X X + X = X Pe de ală pare, folosid a doua relaţie di 8), obţiem ei X Peru orice δ > şi N, defiim şi fucţia caracerisică a mulţimii A, Auci + i X)] X + i + i ) ] X + i X, 85) + i X + i ) X + i X 3 X 3 6 3/ A := Aδ, ) := { X > δ } I A x) = {, dacă x A, î res ) + X ei X + i ) X + i X X I A + 3 X 3 I 6 3/ A c Rezulă [ M e i X + i ) ] X + i X M [ ] X 3 I A + 6 M [ X 3 ] I 3/ A c = M [ ] X 3 I A + 6 M [ X 3 ] I / A c 86) Cum X δ pe A c, rezulă M [ X I A c] δ I A c f X x)dx, } {{ } de ude M [ X 3 I A c] M [ X ] M [ X I A c] δ 7
Deci, De asemeea, 3 6 M [ X 3 ] 3 δ I / A c 6 M [ X I A ] = M [ X I { X δ } ] Cum şirul de fucţii f := X I { X δ } f X ese crescăor, cu limia pucuală f = X f X, care ese [ iegrabilă M ] [X ] = ), rezulă aplicâd Teorema covergeţei domiae că lim M X I { X δ } = M [X ] = Fie acum ε > Fie δ > asfel îcâ 3 δ < ε Alegem de asemeea 6 4 ε N asfel îcâ, peru orice ε, să avem 4 < ε şi 8 4 M [X I A ] < ε Va rezula, combiâd relaţiile 83)-86), că peru orice ε >, exisă ε N asfel îcâ, peru orice ε, [ )] ϕ e < ε, ceea ce era de demosra Ale variae ale eoremei limiă cerală su urmăoarele: Teorema 85 TLC) Fie X ) N u şir de v a idepedee şi ideic disribuie iid) cu M [X i ] = m şi D [X i ] = σ, i Auci peru orice umere reale a < b, avem lim P {a Z b}) = b e x dx 87) π Teorema 86 TLC) Fie X ) N u şir de v a idepedee disribuie cu M [X i ] = şi D [X i ] = σ i, i şi lim σ = σ Auci peru orice umere reale a < b, avem lim P {a Z b}) = b e x dx π 8 Aplicaţii ale Teoremei Limiă Cerală Aplicaţie la sodaje de opiie Exerciţiul 8 Presupuem că se realizează experimee de ip Beroulli î care u eveime A se produce cu probabiliaea p Noăm cu X k variabila aleaoare care ia valoarea dacă la experieţa cu umărul de ordie k se produce eveimeu A şi dacă u se produce A Variabilele aleaoare X k ) k su idepedee Auci S = X + X + + X repreziă umărul oal de apariţii ale lui A, deci umărul de succese ale lui A î urma efecuării a experieţe S ese o v a reparizaă biomial, S Bi, p) V a X ) N au aceeaşi repariţie biomială) Noăm cu Z = S p pq Coform eoremei limiă cerală rezulă că peru orice a < b şi suficie de mare, P {a Z b}) = b e x dx = Φb) Φa) π a 8 a a
Peru orice α < β, avem α S β dacă şi umai dacă α p pq Noâd α p = a, β p = b, rezulă că pq pq Z β p pq ) ) β p α p P {α S β}) = Φ Φ pq pq şi deci P p + a pq S p + b pq) = Φb) Φa) Î paricular, peru a = b b > ) rezulă formula P {p b pq S p + b pq}) = Φb), 88) peru >> uii saisiciei recomadă pq ) Aceasă formuă ese uilizaă î sodaje asfel: cosiderăm o populaţie saisică umaă căreia îi cerem opiia îr-o aumiă chesiue: ce echipă de fobal, ce parid, ce eleviziue ec preferă Nu oaă lumea poae fi cosulaă şi auci se realizează u sodaj pe eşaioae resrâse, alese cu obieciviae Să presupuem că se cosulă persoae şi oăm cu S umărul de persoae care se prouţă peru succes); se deermiă paramerul p ca fiid frecveţa de succes Peru b = 7 avem Φb) = 985 deci Φb) = 97 şi coform 88), se realizează cu eroare sub 3% eveimeul S [ p 7 pq S p + 7 pq ] ; apoi peru b = 96 avem Φb) = 95 şi coform 88), se realizează cu eroare sub 5% eveimeul S [p 96 pq S p + 96 pq] Exerciţiul 9 Dir-u sodaj realiza îr-u oraş a rezula că dir-u eşaio de voaţi 6 ar voa cu paridul X Cu o eroare de sub 3% să se esimeze câi dire cei, milioae de voaţi ar voa peru X Soluţie Avem p = 6 = 6 şi q = 4, = şi luăm b = 7, deci umărul ceru ese cuprims îre p 7 pq şi p + 7 pq deci îre 6 7 6 4 = 788 4 şi 6 + 7 6 4 = 76 Aproximarea legii biomiale prir-o lege ormală Fie X o v a discreă reparizaă biomial cu paramerii p şi deci M [X] = p, D [X] = pq şi k N, k Să se calculeze P {X = k}) şi P {X k}) folosid eorema limiă cerală peru suficie de mare şi pq u foare mic) Coform eoremei limiă cerală X N p, pq) şi deci { [ P {X = k}) = P X k, k + ]}) k + = Φ p ) k Φ p ) pq pq 9
Adăugarea lui 5 la k se umeşe corecţie pri coiuiae A fos peru îmbuăăţirea aproximaţiei La fel { P {X k}) = P X k + }) k + = Φ p ) pq Exerciţiul Se arucă o moedă şi probabiliaea de a obţie baul ese 6 Se arucă moeda de ori Care ese probabiliaea de a obţie baul de 65 de ori? Soluţie Fie X v a care ia ca valori umărul de apariţii ale baului î cele de arucări Evide X Biomial [; 6] Coform eoremei limiă cerală X N 6, 4) { [ P {X = 65}) = P X 65, 65 + ]}) 65 + = Φ 6 ) 65 Φ 6 ) 4 4 = Φ 35) Φ 39) = 99943 99989 = 34 O v a disribuiă biomial se aproximează cu o v a disribuiă ormal dacă p > 5, q > 5 Aproximarea legii Poisso prir-o lege ormală Fie X o v a discreă reparizaă Poisso cu parameru λ Auci M [X] = λ, D [X] = λ Coform eoremei limiă cerală X N λ, λ) Să se calculeze P {X = k}) şi P {X k}) peru k umăr aural P {X = k}) = P { [ X k, k + ]}) = Φ k + λ λ ) Φ k λ ) λ La fel, P {X k}) = P { X k + }) k + = Φ λ ) λ Aproximarea ese buă dacă λ > 5 Exerciţiul Saisica araă că la o uiae de asigurări se primesc î medie 3 de reclamaţii pe a Fie X umărul de reclamaţii pe a, presupus repariza Poisso Să se deermie probabiliaea ca să primească cel puţi 35 de reclamaţii pe a Soluţie Avem P {X 35}) = P {X 35}) = Φ ) 355 3 3 = Φ 9734) = 99853 = 47