Ocavian G. Musafa Inegrarea Asimpoică a Ecuaţiilor Diferenţiale Ordinare în Cazul Neauonom Trei aricole Publicaţiile DAL Craiova Fişier prelucra în daa de [November 19, 2015]
Averismen Aces eseu nu a fos rapora vreunui referen. În consecinţă, conţinuul său rebuie considera ca aare. Auorul vă aşeapă comenariile la adresa lui de e-mail 1 şi vă mulţumeşe anicipa penru eforul depus. Fiecare proiec de la Publicaţiile DAL rebuie considera şanier dacă nu ese declara alfel. Versiunea sa ese cea a daei de pe pagina cu ilul. Craiova, Mai 18, 2015 O.G.M. 1 ocawian@yahoo.com v
Prefaţă Lucrarea de faţă consiuie raducerea a rei aricole şiinţifice dedicae inegrării asimpoice a ecuaţiilor diferenţiale ordinare. O pare din chesiunile dealiae aici au fos prezenae sudenţilor înrolaţi în programul de sudii maserale al Universiăţii din Craiova. O variană a acesui maerial a fos ipăriă la Ediura Siech din Craiova, în a- nul 2006 (ISBN 978-973-746-250-3). Mici corecuri şi acualizări bibliografice ale acesei variane au fos efecuae până în prezen. Craiova, [November 19, 2015] O.G.M. vii
Cuprins 1 Exisenţa globală a soluţiilor cu comporamen prescris penru ecuaţiile neliniare de ordinul al II-lea............................. 1 1.1 Inroducere................................................ 1 1.2 Rezulaele principale....................................... 6 1.2.1 Enunţuri............................................ 6 1.2.2 Generaliaea condiţiilor.............................. 7 1.3 Spaţii de funcţii............................................ 9 1.3.1 Spaţii de funcţii şi compleiudinea lor................... 9 1.3.2 Crierii de compaciae............................... 11 1.3.3 O lemă specială...................................... 13 1.4 Demonsraţiile rezulaelor principale.......................... 14 1.4.1 Leme auxiliare...................................... 14 1.4.2 Demonsraţii........................................ 16 1.5 Discuţii şi ale rezulae..................................... 21 1.5.1 Cazul G(+ )<+.................................. 21 1.5.2 Necesiaea condiţiilor................................ 25 1.5.3 Cazul liniar......................................... 26 Referinţe Bibliografice.............................................. 29 2 Inegrarea asimpoică a ecuaţiilor diferenţiale neliniare............ 31 2.1 Isoric şi dezvolări......................................... 31 2.2 Rezulae de ip Bihari penru ecuaţia (2.9)..................... 35 2.3 Un rezula cu β-condiţie penru ecuaţia (2.9)................... 41 2.4 Analiza funcţională a inegrării ecuaţiei (2.9). Ale aplicaţii....... 46 2.5 Teorema lui I. Sobol....................................... 57 Referinţe Bibliografice.............................................. 61 ix
x Cuprins 3 Comporamenul asimpoic al soluţiilor ecuaţiilor diferenţiale neliniare...................................................... 65 3.1 Inroducere................................................ 65 3.2 Spaţii de funcţii şi crierii de compaciae relaivă............... 66 3.3 Coninuiaea operaorilor inegrali............................ 78 3.4 Formula soluţiilor.......................................... 86 3.5 Teoria Kusano-Trench de inegrare asimpoică [43, 44, 73]....... 91 3.5.1 Rezulaul general.................................... 91 3.5.2 Ecuaţii disconjugae.................................. 94 3.6 Soluţii pseudo-polinomiale: o eorie de inegrare asimpoică...... 97 3.7 Evoluţia derivaelor: facorul 1.............................. 108 3.8 Comporamen indus de ermenul liber......................... 111 Referinţe Bibliografice.............................................. 115
Capiolul 1 Exisenţa globală a soluţiilor cu comporamen prescris penru ecuaţiile neliniare de ordinul al II-lea Rezuma În aces capiol ese sudiaă alura asimpoică a soluţiilor ecuaţiei diferenţiale neliniare u + f(,u,u ) = 0 aunci când neliniariaea f saisface anumie condiţii de monoonie. Se sabileşe exisenţa globală în viior a soluţiilor care se comporă aidoma unor funcţii liniare la infini. În plus, sun inroduse condiţii viabile care asigură exisenţa soluţiilor cu comporamen prescris, mai precis u()=a+o() şi u()=a+b+o(1) când, unde a, b sun consane reale dae. Demonsraţiile se bazează pe eoria puncului fix în spaţii de funcţii consruie în rapor cu fiecare din problemele invesigae. Sursă Musafa, O.G., Rogochenko, Y.V.: Global exisence of soluions wih prescribed asympoic behavior for second-order nonlinear differenial equaions. Nonlinear Anal. 51, 339 368 (2002) 1.1 Inroducere Considerăm ecuaţia diferenţială neliniară u + f(,u,u )=0,, (1.1) cerând ca neliniariaea f să saisfacă anumie condiţii de monoonie ce urmează să fie specificae. Fără a mai menţiona în coninuare, se presupune că funcţia f(,u,v) ese coninuă în domeniul D = {(,u,v) : [,+ ), u,v R}, unde 1. Se va subînţelege, de asemeni, că oae ecuaţiile şi inegaliăţile referioare la au loc penru orice dacă nu inervine o specificare suplimenară. Simbolurile o şi def O au semnificaţia obişnuiă când şi vom folosi noaţiar + = (0,+ ). Ec. (1.1) ese uilizaă în modelarea maemaică a diferielor siseme fizice, chimice şi biologice, arăgând în mod consan ineresul cerceăorilor. Numeroase lucrări apărue în ulimele rei decade sun dedicae exisenţei locale şi globale a soluţiilor ec. (1.1) ori a unuia din numeroasele sale cazuri pariculare, uniciăţii soluţiilor, prelungibiliăţii (coninuării) lor, comporamenului asimpoic al soluţiilor (incluzând 1
2 1 Soluţii cu comporamen prescris problemaica mărginirii, comporamenului prescris, oscilaţiilor şi neoscilabiliăţii), sabiliăţii, ec. Problema găsirii unor condiţii viabile în care oae soluţiile coninuabile ale ec. (1.1) să indă căre soluţiile ecuaţiei u = 0 ese srâns legaă de sudiul exisenţei soluţiilor neoscilaorii, adică soluţiilor neconsane şi coninuabile care au evenual semn consan (vezi, de exemplu, Harman şi Winner [22], Hille [26], Moore şi Nehari [35], Nehari [37], Wong [47] împreună cu referinţele lor) şi, în paricular, de chesiunea exisenţei aşa numielor soluţii propriu neoscilaorii, adică soluţiilor neoscilane cu cel puţin un zero, inroduse în lucrarea lui Nehari [37]. O cerceare amănunţiă a lucrărilor ciae privind neoscilabiliaea relevă fapul că o soluţie neoscilană u() a ec. (1.1) ori a unuia dinre cazurile sale pariculare va avea, de exemplu, unul dinre ipurile urmăoare de comporamen asimpoic: (a) exisă limiele lim(u() )=0 şi lim u () (Hille [26]); (b) orice soluţie neoscilaorie u() ese fie mărginiă fie verifică u() β penru mare, unde β 0 (Nehari [37]); (c) exisă limia u() lim = α > 0 (Moore şi Nehari [35], Wong [47]); (d) exisă soluţii u 1 () şi u 2 () cu proprieaea că u 1 () 1, u 2 (), u 1 () = o( 1 ), u 2 () 1 (Harman şi Winner [22]). Asemenea rezulae sugerează că în mule cazuri oae ori măcar o pare semnificaivă dinre soluţiile neoscilane ale ec. (1.1) se comporă asemeni funcţiilor liniare neriviale a+ b când şi evidenţiază imporanţa unui sudiu al acesui ip de comporamen asimpoic. Se cuvine menţiona că invesigarea soluţiilor cu comporamen pseudo-liniar la infini (fenomen denumi Proprieaea (L) în [38]) ese, de asemeni, în srânsă legăură cu problemaica exisenţei soluţiilor monoone (vezi, de exemplu, [2, 21, 23, 24]) şi a soluţiilor aproape consane la infini (vezi [1, 2, 19]). Dinre numeroasele rezulae privind exisenţa diferielor clase de ecuaţii liniare şi neliniare cu proprieaea (L) doresc să menţionez lucrările de pioniera ale lui Bellman [2], Bihari [5], Fubini [17] şi Sansone [41]. Recen, o serie de lucrări ale lui Cohen [8], Consanin [10], Kusano şi Trench [30, 31], Meng [34], S. Rogovchenko şi Y. Rogovchenko [38], Rogovchenko [39], Rogovchenko şi Villari [40], Tong [44], Trench [45] coninuă invesigaţia privind comporamenul de ip pseudo-liniar al soluţiilor penru varii clase de ecuaţii diferenţiale ordinare de ordinul al II-lea. Ciiorul poae consula lucrarea recenă a lui S. Rogovchenko şi Y. Rogovchenko [38] penru mule ale dealii şi referinţe la lieraura de specialiae. Aşa cum au arăa Kusano şi Trench [31, p. 381], aproape oae rezulaele privind exisenţa soluţiilor cu comporamen asimpoic prescris penru ecuaţii neliniare sun dae local lângă infini, în sensul că soluţiilor căuae li se sabileşe exisenţa
1.1 Inroducere 3 numai penru suficien de mare. Doar puţine lucrări (vezi, de exemplu, [30] [32], [37], [42]) oferă condiţii globale ce implică exisenţa soluţiilor pe inervalul da [, ). Ese binecunoscu fapul că în marea majoriae a cazurilor e necesar să se impună condiţii adiţionale privind ecuaţia diferenţială penru a fi garanaă exisenţa globală (coninuarea la infini) a soluţiilor. În cele ce urmează revedem pe scur câeva din rezulaele imporane în aceasă privinţă. Rezulaul clasic (vezi, de exemplu, Brauer şi Nohel [7] sau Deo şi Raghavendra [15]) privind exisenţa nelocală a soluţiilor ec. (1.1) cere condiţia Lipschiz penru f(,u,v): f(,u 1,v 1 ) f(,u 2,v 2 ) L a ( u 1 u 2 + v 1 v 2 ) cu un L a consan în banda S a ={(,u,v) : a, u, v < } penru oţi a>0. Ală eoremă sandard (vezi Gallavoi [18], cf. de asemeni LaSalle şi Lefschez [33]) cere ca f(,u,v) să fie o aplicaţie coninuu diferenţiabilă ce verifică f(,u,v) γ()( u + v )+β(), unde β şi γ sun funcţii poziive şi coninuu diferenţiabile. Binecunoscua condiţie Bernsein-Nagumo de exisenţă globală (vezi Bernsein [3], Nagumo [36], Harman [20]) presupune ca penru orice M> 0 să exise o funcţie poziivă coninuă, ϕ M (s), definiă pe[0, ) asfel ca f(,u,v) ϕ M ( v ) penru orice(,u,v) [a,b] [ M,M] R şi ca ϕ M să saisfacă 0 sds ϕ M (s) =+. O serie de eoreme cu caracer general privind exensia la infini a soluţiilor ec. (1.1) au fos obţinue în ermeni de funcţii Liapunov pe baza unor ecuaţii de comparaţie adecvae (vezi, de exemplu, Consanin [9], Coni [11], Corduneanu [12], Kao şi Srauss [28], LaSalle şi Lefschez [33] şi Srauss [43]). Presupunând că exisă funcţia diferenţiabilă V(,u,v), de la Ω lar, verificând inegaliaea V + V x V v+ f ω(,v), (,u,v) Ω, y şi anumie condiţii adiţionale, se poae deduce că, dacă ecuaţia de comparaţie z = ω(,z) are oae soluţiile globale în viior, aceeaşi proprieae va caraceriza şi ec. (1.1). Mai mul, a fos demonsra de căre Kao şi Srauss [28] că exisenţa globală în
4 1 Soluţii cu comporamen prescris viior a soluţiilor ec. (1.1) implică exisenţa unei funcţii Liapunov local Lipschiz V :R R 2 R. În sfârşi, menţionez că, dacă f(,u,v) ese poziivă, coninuă şi nedescrescăoare în fiecare din ulimele două variabile, aunci soluţiile ec. (1.1) po fi coninuae indefini la dreapa (cf. Kusano e al. [29, pp. 149-150]). Aces din urmă rezula ar părea să slujească mai bine inereselor noasre dacă nu ar necesia poziiviaea lui f care ese, în general vorbind, o condiţie mul prea resricivă. Tema exisenţei globale a soluţiilor cu comporamen asimpoic prescris a fos dezvolaă recen de Kusano şi Trench înr-o serie de lucrări [30] [32] legae de mai mule clase de ecuaţii diferenţiale neliniare. Aceşia au folosi eorema Schauder- Tikhonov penru a demonsra exisenţa globală a soluţiilor fără a cere condiţii adiţionale de felul acelora menţionae anerior. Iaă unul dinre rezulaele cheie adapa după [31]. Conform Kusano şi Trench [31], fie ecuaţia diferenţială neliniară u + a 1 ()u + a 2 ()u+ f(,u,u )=0,, priviă ca o perurbare a ecuaţiei liniare z + a 1 ()z + a 2 ()z=0,. Să presupunem că f :[, ) R 2 R saisface inegaliaea f(,u,v) F(, u, v ), unde F :[, ) R 2 + R + ese coninuă, nedescrescăoare în fiecare din ulimele două variabile şi verifică una dinre urmăoarele ipoeze: (H1) penru(,u,v) fixa, λ 1 F(,λu,λv) ese nedescrescăoare în λ dacă λ > 0 şi lim λ 0 + λ 1 F(,λu,λv)=0; (H2) penru (,u,v) fixa, λ 1 F(,λu,λv) ese necrescăoare în λ dacă λ > 0 şi lim λ λ 1 F(,λu,λv)=0. Teorema 1 (cf. [31, Corolarul 1]) Presupunem că F(,M,M)d <, M > 0. (1.2) Fie µ un număr poziiv arbirar şi c o consană daă. Aunci ec. (1.1) are o soluţie u 1 definiă pe[, ) asfel ca Dacă în loc de (1.2) avem u 1 () c < µ c, u 1() µ c 1.
1.1 Inroducere 5 F(,M,M)d <, M > 0, aunci ec. (1.1) are o soluţie u 2 definiă pe [, ) asfel ca u 2 () c < µ c, u 2 () µ c, în ipoeza că c ese suficien de mic dacă avem (H1) sau suficien de mare dacă avem (H2). Una din caracerisicile imporane ale meodei ce va fi prezenaă în capiolul de faţă ese că nu sun necesare condiţii adiţionale vizavi de exisenţa globală în viior a soluţiilor. Aceasa face rezulaul comparabil cu concluziile obţinue de Kusano şi Trench [31]. Oricum, aâ forma câ şi subsanţa eoremelor ce urmează sun diferie de [31] şi se apropie de rezulaele obţinue recen de S. Rogovchenko şi Y. Rogovchenko [38]. Iaă câeva concluzii din [38]. Teorema 2 [38, Teoremele 3 şi 6] Presupunem că exisă funcţiile coninue h 1,..., h 5, g 1,..., g 4 :R + R + asfel ca una dinre inegaliăţile urmăoare să aibă loc: ( ) u f(,u,v) h 1 ()g 1 + h 2 ()g 2 ( v )+h 3 () (1.3) sau ( ) u f(,u,v) h 4 ()g 3 g 4 ( v )+h 5 (), (1.4) unde, penru s > 0, funcţiile g 1 (s),..., g 4 (s) sun poziive, nedescrescăoare şi funcţiile h 1 (s),...,h 5 (s) saisfac condiţia Penru x, inroducem funcţiile h i (s)ds=h i <+, i=1,...,5. (1.5) x ds G 1 (x)= g 1 (s)+g 2 (s) şi x ds G 2 (x)= g 3 (s)g 4 (s). Dacă (1.3) are loc şi G 1 (+ )=+, orice soluţie coninuabilă u() a ec. (1.1) va avea reprezenarea asimpoică u() = a + o() când +, unde a R. Aceeaşi concluzie are loc dacă (1.4) ese saisfăcuă şi G 2 (+ )=+. Comporamenul asimpoic al soluţiilor ec. (1.1) când condiţia G i (+ )=+ nu ese îndepliniă a fos sudia de Dannan [14], S. Rogovchenko şi Y. Rogovchenko [38] şi Walman [46]. Aceşia au demonsra că fiecare soluţie coninuabilă u() a ec. (1.1) cu daa iniţială u( )=u 0, u ( )=u 1 conţinuă, de exemplu, în regiunea u 0 + u 1 K a planului fazelor(u,u ) penru un anumi K, posedă comporamenul pseudo-liniar căua [14, 38]. Trebuie menţiona că aceasă consană K depinde de
6 1 Soluţii cu comporamen prescris forma pariculară a ecuaţiei puând fi în mule siuaţii calculaă uşor. Rezulaele obţinue în aceasă privinţă diferă esenţial prin naura regiunilor din planul(u,u ) în care comporamenul asimpoic căua ese observa (cf., de exemplu, regiunile din S. Rogovchenko şi Y. Rogovchenko [38] ori Walman [46]). Menţionez, de asemeni, rezulaul sabili de Hallam [19] înr-un caz paricular al ec. (1.1). Acesa priveşe exisenţa soluţiilor u() care au alura asimpoică u() = a+ b+o(1) când +, unde consanele reale a, b sun dae a priori. Neliniariaea folosiă verifică condiţiile Teoremei 2. Capiolul de faţă ese dedica exisenţei globale a soluţiilor ec. (1.1) care prezină alură pseudo-liniară la infini. Scopul principal ese de a demonsra un rezula mai general ca Teorema 2, omiţând cuvânul coninuabil din enunţ. Asfel, exisenţa globală a soluţiilor ec. (1.1) având comporamenul asimpoic dori va fi obţinuă în mod direc în ipoezele Teoremei 2 via eoria puncului fix. Vor fi sabilie, de asemeni, două eoreme noi ce garanează exisenţa soluţiilor ec. (1.1) cu alură asimpoică a priori: sau u()=a+ o() sau u()=a+ b+o(1) când, unde a, b sun consane reale dae. Cazul paricular al claselor de ecuaţii penru care condiţia G 1 (+ )=+ (ori G 2 (+ )=+ ) nu are loc va fi invesiga prinr-o analiză similară. 1.2 Rezulaele principale 1.2.1 Enunţuri Primul rezula înăreşe Teorema 2 deoarece concluzia aceseia devine valabilă nu doar penru soluţiile coninuabile ale ec. (1.1) ci penru oae soluţiile cu daa iniţială u( ) = u 0, u ( ) = u 1, unde (u 0,u 1 ) ese o pereche arbirară de numere reale. Teorema 3 Presupunem că exisă funcţiile coninue h, p 1, p 2 : R + R + asfel încâ să aibă loc inegaliaea [ ( ) ] u f(,u,v) h() p 1 + p 2 ( v ), (1.6) unde funcţiile p 1 (s), p 2 (s) sun poziive, nedescrecăoare iar funcţia h(s) verifică condiţia h(s)ds=h <+. (1.7) În plus, admiem că G(+ )=+, unde, penru x, x ds G(x)= p 1 (s)+ p 2 (s). (1.8)
1.2 Rezulaele principale 7 Aunci, penru orice u 0, u 1 R problema de valori iniţiale { u + f(,u,u )=0,, u( )=u 0, u ( )=u 1, (1.9) are cel puţin o soluţie u() în[,+ ) cu reprezenarea asimpoică u()=a+ o() când +, unde a ese o consană reală. Rezulaul urmăor ese dual Teoremei 3 şi sabileşe penru oae numerele reale a exisenţa unei soluţii u() a ec. (1.1) cu alura u()=a+o(). Pracic, se deermină câ de mare ese mulţimea valorilor a. Teorema 4 Presupunem saisfăcue condiţiile (1.6), (1.7) şi G(+ )=+. Aunci, penru orice a R exisă cel puţin o soluţie u() a ec. (1.1) în[,+ ) cu reprezenarea asimpoică u() = a + o() când +. Rezulaul urmăor priveşe soluţiile ec. (1.1) al căror comporamen asimpoic poae fi da mai în dealiu. Teorema 5 Presupunem saisfăcue condiţiile (1.6) şi G(+ ) = + şi înlocuim resricţia (1.7) cu sh(s)ds=h <+. Aunci, penru fiecare pereche u 0, u 1 de numere reale problema de valori iniţiale (1.9) are cel puţin o soluţie u() în [,+ ) cu reprezenarea asimpoică u() = a + b + o(1) când +, unde a, b sun consane reale. În sfârşi, rezulaul urmăor ese dual Teoremei 5 în sensul că perechea de consane reale a, b ese prescrisă. Teorema 6 Presupunem că ipoezele Teoremei 5 sun saisfăcue. Aunci, penru orice a, b R, exisă o soluţie u() a ec. (1.1) în[,+ ) care are reprezenarea asimpoică u()=a+ b+o(1) când +. 1.2.2 Generaliaea condiţiilor La prima vedere ipoezele Teoremei 3 sun un caz paricular al celor din Teorema 2. Însă aceasa nu ese adevăra. Inroducem clasele C 1,C 2 şi C de ecuaţii (1.1) ale căror neliniariăţi saisfac unul dinre seurile de condiţii: C 1 = { f(,u,v) f C(D), f verifică (1.3),(1.5) şi G 1 (+ )=+ }, C 2 = { f(,u,v) f C(D), f verifică (1.4),(1.5) şi G 2 (+ )=+ }, C = { f(,u,v) f C(D), f verifică (1.6),(1.7) şi G(+ )=+ }. Afirmăm că clasele de ecuaţii C 1 şi C 2 se scufundă în clasa de ecuaţii C. Penru a sabili aceasa ese nevoie de urmăorul rezula.
8 1 Soluţii cu comporamen prescris Lema 1 Presupunem că funcţia g(s) ese coninuă, poziivă şi nedescrescăoare în (0,+ ). Presupunem, de asemeni, că saisface relaţia Aunci, penru orice k>0 avem ds g(s) =+. ds k+ g(s) =+. Demonsraţie. Definim funcţia m(s) prin m(s) def = g(s) k+ g(s), s. Se observă că g(s) ese nedescrescăoare dacă şi numai dacă m(s) ese nedescrescăoare. Mai mul, lim g(s)=+ dacă şi numai dacă lim m(s)=1. s + s + Aşadar, concludem că valoarea limiei lim s + ese poziivă, independen de valoarea limiei lim s + g(s). Conform (1.10), penru 1 > suficien de mare, avem Concluzia ese imediaă. 1 g(s) k+ g(s) = l (1.10) ds k+ g(s) l ds 2 1 g(s). Propoziţia 1 Fie C 1,C 2 şi C clasele deja definie. Aunci, (i) C 1 C ; (ii) C 2 C. Demonsraţie. Sabilim numai parea (ii) a Propoziţiei, parea (i) demonsrânduse similar. Presupunem că f C 2. Fie funcţiile h()=h 4 ()+h 5 () şi p 1 (s)= p 2 (s)=g 3 (s)g 4 (s)+1. Desigur, condiţia G(+ ) = + rezulă din Lema 1, presupunerea (1.5) implică (1.7) iar fapul că funcţiile p 1 (s), p 2 (s) sun poziive şi nedescrescăoare ese imedia. Apoi, penru orice s 1, s 2 0 avem h 4 ()g 3 (s 1 )g 4 (s 2 )+h 5 () h()(g 3 (s 1 )g 4 (s 2 )+1)
1.3 Spaţii de funcţii 9 şi g 3 (s 1 )g 4 (s 2 ) g 3 (s 1 )g 4 (s 1 )+g 3 (s 2 )g 4 (s 2 ). În fap, dacă s 1 s 2 aunci g 3 (s 1 ) g 3 (s 2 ) şi, în consecinţă, g 3 (s 1 )g 4 (s 2 ) g 3 (s 2 )g 4 (s 2 ). Alfel, g 3 (s 1 )g 4 (s 2 ) g 3 (s 1 )g 4 (s 1 ). Demonsraţia s-a încheia. Să presupunem acum că funcţia f(,u,v) verifică inegaliaea ( ) u f(,u,v) h()p, v, (1.11) unde funcţia p(s 1,s 2 ) ese coninuă, poziivă şi nedescrescăoare în fiecare dinre argumene iar funcţia h(s) ese coninuă, nenegaivă pe [,+ ) şi verifică (1.7). Penru x, definim funcţia x ds P(x)= p(s, s) şi presupunem că P(+ )=+. Fie clasa C 3 de ecuaţii (1.1) a căror neliniariae saisface seul de condiţii: C 3 ={ f(,u,v) f C(D), f verifică (1.11) şi P(+ )=+ }. Propoziţia 2 Fie C 3 şi C clasele inroduse anerior. Aunci, C 3 C. Demonsraţie. Inroducem funcţiile Penru orice s 1, s 2 0, avem p 1 (s)= p 2 (s)= p(s,s). p(s 1,s 2 ) p(s 1,s 1 )+ p(s 2,s 2 ), ceea ce implică (1.6). Eviden, p 1 şi p 2 sun nedescrescăoare. Demonsraţia s-a încheia. Observaţia 1 Din Propoziţiile 1 şi 2 rezulă că clasa de ecuaţii cu neliniariăţi din C ese, înr-un anume sens, cea mai mare. 1.3 Spaţii de funcţii 1.3.1 Spaţii de funcţii şi compleiudinea lor Inroducem aici cele rei spaţii de funcţii folosie penru demonsrarea rezulaelor principale. Primul dinre ele, noa A( ), ese consiui de mulţimea uuror funcţiilor coninue cu valori reale u() definie pe [,+ ) care au limia finiă l u
10 1 Soluţii cu comporamen prescris la infini împreună cu operaţiile uzuale cu funcţii numerice. Se şie (vezi, de exemplu, Karsaos [27, p. 13]) că spaţiul A( ) ese comple dacă ese înzesra cu norma sup obişnuiă u =sup u(). Cel de-al doilea spaţiu, noa V( ), ese da de mulţimea uuror funcţiilor coninuu diferenţiabile cu valori reale u() definie pe [,+ ) cu proprieaea că derivaa lor u () are limia finiă a u la infini. Ese înzesra cu operaţiile uzuale cu funcţii numerice. Propoziţia 3 Spaţiul V( ) ese comple în rapor cu norma u() u =sup + sup u (). (1.12) Demonsraţie. Fie (u n ) n 1 un şir Cauchy în V( ). Şirul derivaelor (u n) n 1 ese şir Cauchy în A( ). Noez cu v() limia sa uniformă când n +. Pe baza definiţiei şirului Cauchy în V( ) şi a formulei (1.12), se deduce că penru orice T > şirul(u n ) n 1 ese şir Cauchy în C([,T],R). Asfel, el are o limiă local uniformă când n +, noaă u(). Pe de ală pare, folosind reprezenarea inegrală a lui u n, u n ()=u n ( )+ u n(s)ds,, concludem că u n are drep limiă local uniformă şi pe u( )+ v(s)ds,. În consecinţă, u C 1 ([,+ ),R) şi u = v. Cum (a un ) n 1 ese şir Cauchy, un calcul simplu ne conduce la lim + v()=a, unde a=lim n + a un. Asfel, u V( ), adică compleiudinea spaţiului V( ) ese dovediă. Observaţia 2 Remarc fapul că (1.12) ţine seama de u() lim = a dacă lim + + u ()=a. Cel de-al reilea spaţiu, noa W( ), ese da de mulţimea uuo funcţiilor coninuu diferenţiabile cu valori reale u() definie pe [,+ ) având proprieaea că lim + u ()=a u şi lim (u() a u)=b u, + unde a u, b u sun consane reale. Ca şi V( ), aces spaţiu ese doa cu operaţiile uzuale cu funcţii numerice. Propoziţia 4 Spaţiul W( ) ese comple în rapor cu norma
1.3 Spaţii de funcţii 11 u() u =sup + sup u () +sup u() a u. Demonsraţie. Demonsraţia ese similară aceleia a Propoziţiei 3. 1.3.2 Crierii de compaciae Crieriul de compaciae penru submulţimile spaţiului A( ) a fos sabili de Avramescu. Propoziţia 5 [1, Lema 1] Presupunem că mulţimea M A( ) are urmăoarele proprieăţi: (i) M ese uniform mărginiă, adică exisă consana L>0 asfel ca u() L penru orice şi orice u M; (ii) M ese echiconinuă, adică penru orice ε > 0 exisă δ(ε)>0 asfel încâ u( 1 ) u( 2 ) <ε penru orice 1, 2 cu 1 2 <δ(ε) şi orice u M; (iii) M ese echiconvergenă, adică penru orice ε > 0 exisă Q(ε) > asfel încâ u() l u <ε penru orice Q(ε) şi orice u M. Aunci, mulţimea M ese relaiv compacă în A( ). Reciproc, dacă mulţimea M ese relaiv compacă, vor avea loc condiţiile (i), (iii) şi (iii). Crieriile de compaciae penru submulţimile spaţiilor V( ) şi W( ) se derivă din Propoziţia 5. Propoziţia 6 Presupunem că mulţimea M V( ) are urmăoarele proprieăţi: (i) exisă consana L>0 asfel încâ (a) u () L şi (b) u() L penru orice şi orice u M; (ii) penru orice ε > 0 exisă δ(ε)>0 asfel încâ (a) u ( 1 ) u ( 2 ) <ε şi (b) u( 1 ) u( 2) 1 < ε penru orice 1, 2 saisfăcând 1 2 <δ(ε) şi orice u M; (iii) penru orice ε > 0 exisă Q(ε)> asfel încâ 2
12 1 Soluţii cu comporamen prescris (a) u () a u <ε şi (b) u() a u < ε penru orice Q(ε) şi orice u M. Aunci, mulţimea M ese relaiv compacă în V( ). Reciproc, dacă mulţimea M ese relaiv compacă, vor avea loc condiţiile (i), (iii) şi (iii). Demonsraţie. Fie (u n ) n 1 un şir în M. Vom arăa că are un subşir convergen în V( ). Din (i)(a), (ii)(a) şi (iii)(a) rezulă că şirul derivaelor (u n) n 1 ese relaiv compac în A( ). Aşadar, exisă un subşir al său, noa o(u n) n 1, care converge la o funcţie v() în A( ). Fie acum subşirul corespunzăor (u n ()/) n 1. Conform (i)(b), (ii)(b) şi (iii)(b), subşirul (u n ()/) n 1 ese relaiv compac în A( ). Noăm cu u()/ limia subşirului (u n ()/) n 1 când n. Eviden, aceasă limiă se găseşe în A( ). La fel ca în demonsraţia Propoziţiei 3, deducem că u C 1 ([,+ ),R) şi u = v iar demonsraţia se încheie. Propoziţia 7 Presupunem că mulţimea M W( ) are urmăoarele proprieăţi: (i) exisă consana L>0 asfel încâ (a) u () L şi (b) u() au L penru orice şi orice u M; (ii) penru orice ε > 0 exisă δ(ε)>0 asfel încâ (a) u ( 1 ) u ( 2 ) < ε şi (b) u(1 ) u( 2 ) a u ( 1 2 ) <ε penru orice 1, 2 saisfăcând 1 2 <δ(ε) şi orice u M; (iii) penru orice ε > 0 exisă Q(ε)> asfel încâ (a) u () a u <ε şi (b) u() au b u <ε penru orice Q(ε) şi orice u M. Aunci, mulţimea M ese relaiv compacă în W( ). Reciproc, dacă mulţimea M ese relaiv compacă, vor fi valabile condiţiile (i), (iii) şi (iii). Demonsraţie. Fie (u n ) n 1 un şir în M. Din (i)(a), (ii)(a) şi (iii)(a) rezulă că exisă un subşir al şirului derivaelor (u n) n 1, noa o (u n) n 1, care converge în A( ) la o funcţie v(). Mai mul, l v = a, unde a=lim n + a un. Din (i)(b), (ii)(b) şi (iii)(b) rezulă că subşirul (u n () a un ) n 1 ese relaiv compac în A( ). Asfel, exisă un subşir (u n () a un ) n 1 al acesui şir care converge în A( ) la o funcţie w(). Mai mul, l w = b, unde b=lim n + b un. Fie funcţia u() daă prin u() = w()+a. Un calcul similar celui din demonsraţia Propoziţiei 3 araă că u n are limia local uniformă u() când n +. Mai mul, obţinem că u C 1 ([,+ ),R) şi u = v. În sfârşi, cum penru orice ε > 0 exisă numărul naural n ε asfel ca u n () u() (a un a) <ε,
1.3 Spaţii de funcţii 13 penru orice şi n n ε, avem u n () u() < ε+ a u n a, (1.13) penru orice şi n n ε. În consecinţă, şirul (u n ()/) n 1 converge în A( ) la funcţia u()/. Demonsraţia s-a încheia. 1.3.3 O lemă specială Crieriile de compaciae penru submulţimile V( ), W( ) au fos obţinue din crieriul de compaciae pe A( ) prin aplicarea ieraă a Propoziţiei 5 componenelor normelor din V( ), respeciv W( ). Pe de ală pare, din (1.13) rezulă că nu ese nevoie să aplicăm Propoziţia 5 celei de-a doua componene a normei lui W( ). Aceasă observaţie ne sugerează să încercăm relaxarea (simplificarea) ipoezelor Propoziţiei 6. Aşa cum se va vedea în Secţiunea 1.4, ipoeza (iii)(b) din Propoziţia 6 ese mai dificil de verifica prin calcul direc. Rezulaul urmăor sabileşe că ea ese consecinţa celorlale ipoeze. Lema 2 Presupunem că mulţimea M V( ) are urmăoarele proprieăţi: (i) exisă consana L>0 asfel încâ u () u() L şi L penru orice şi orice u M; (ii) penru orice ε > 0 exisă Q(ε)> asfel încâ u () a u <ε penru orice Q(ε) şi orice u M. Aunci, penru fiecare ε > 0 exisă Q 1 (ε) Q(ε) asfel încâ u() a u < ε penru orice Q 1 (ε) şi orice u M. Demonsraţie. Fixez ε > 0. Conform (ii), exisă Q(ε/3)> asfel ca u () a u < ε 3 penru orice Q(ε/3) şi orice u M. Inegrând ulima inegaliae de la Q(ε/3) la, avem
14 1 Soluţii cu comporamen prescris ( a u ε ) ( ( Q(ε/3)) u() u(q(ε/3)) a u + ε ) ( Q(ε/3)), 3 3 sau, echivalen, ( a u ε ) ( a u ε ) Q(ε/3) 3 3 ) Q(ε/3) ( a u + ε ) ( a u + ε 3 3 penru orice Q(ε/3) şi orice u M. Din (i) rezulă că penru orice u M + u(q(ε/3)) + u(q(ε/3)) u(), (1.14) u(), (1.15) Definim Q 1 (ε) prin Aunci, rezulă că u(q(ε/3)) Q(ε/3) a u ± ε Q(ε/3) ε 3 3 L şi a u L. ( ) 3L Q 1 (ε)= ε + 1 Q(ε/3). şi u(q(ε/3)) ε 3 (1.16) penru orice Q 1 (ε) şi orice u M. În sfârşi, conform (1.16), puem scrie inegaliăţile (1.14) şi (1.15) după cum urmează: ( a u ε ) 2 ε 3 3 u() ( a u + ε ) + 2 ε 3 3, penru orice Q 1 (ε) şi orice u M. Demonsraţia ese încheiaă. 1.4 Demonsraţiile rezulaelor principale 1.4.1 Leme auxiliare În aceasă subsecţiune am coleca penru uşurinţa ciiorului rei leme auxiliare ce vor fi folosie în demonsrarea Teoremelor 3-6. Primul rezula ese o exindere a eoremei denumiă alernaiva Leray-Schauder (cf. Dugundji şi Granas [16, p. 61]) ori eorema lui Schaefer (cf. Cronin [13, p. 133]). Lema 3 Presupunem că C ese o submulţime convexă a spaţiului liniar norma X asfel ca 0 C. Fie µ [0,1]. Presupunem că T : C C ese un operaor comple coninuu. Aunci, sau exisă x C asfel ca
1.4 Demonsraţiile rezulaelor principale 15 x=µt(x) sau mulţimea ese nemărginiă. E(T)={x C : x=λtx, 0<λ < 1} Al doilea rezula ese o generalizare a inegaliăţii inegrale clasice daoraă lui Bihari [4]. Lema 4 (i) Fie h : [0,+ ) [0,+ ) o funcţie coninuă. Presupunem că funcţia f C([0,+ ),R) ese nenegaivă şi saisface una dinre inegaliăţile sau f() K+ h(s)g( f(s))ds,, (1.17) T f() K+ h(s)g( f(s))ds, T, (1.18) unde K ese o consană nenegaivă iar g(s) ese a funcţie coninuă, poziivă şi nedescrescăoare asfel ca G(+ ) = + (1.19) penru ds G()= g(s). Aunci, (a) dacă are loc (1.17), avem penru orice că ) f() G (G(K)+ 1 h(s)ds ; (1.20) (b) dacă are loc (1.18), avem penru orice T că T ) f() G (G(K)+ 1 h(s)ds. (1.21) (ii) Presupunem că funcţia h(s) ese inegrabilă pe [,+ ) în imp ce f() are limiă finiă când + şi saisface urmăoarea inegaliae inegrală Aunci, avem f() K+ h(s)g( f(s))ds,. ) f() G (G(K)+ 1 h(s)ds,. (1.22)
16 1 Soluţii cu comporamen prescris Observaţia 3 Dacă resricţia (1.19) se omie, inegaliăţiile (1.20) (1.22) vor avea loc cu condiţia ca ds h(s)ds< K g(s). A reia lemă se deduce uşor din crieriul de compaciae clasic Ascoli-Arzelà (vezi, de exemplu, Bellman [2, p. 71]). Lema 5 Presupunem că mulţimea M C 1 ([a,b],r) saisface urmăoarele condiţii: (i) exisă consana L>0 asfel încâ u () L şi u() L penru orice [a,b] şi orice u M; (ii) penru orice ε > 0 exisă δ(ε)>0 asfel încâ u ( 1 ) u ( 2 ) < ε şi u(1 ) u( 2 ) <ε penru orice 1, 2 [a,b] cu 1 2 <δ(ε) şi orice u M. Aunci, mulţimea M ese relaiv compacă în C 1 ([a,b],r). 1.4.2 Demonsraţii Ideea de bază a demonsraţiilor Teoremelor 3 6 ese urmăoare. Mai înâi ransformăm oae problemele aaşae ec. (1.1) (i.e., probleme de valori iniţiale, probleme bilocale) în ecuaţii inegrale corespunzăoare. Apoi se inroduc operaorii inegrali în cauză, acţionând pe V( ), W( ), şi se examinează proprieăţile acesora. Penru a aplica fie alernaiva Leray-Schauder (Lema 3) fie clasica eoremă Schauder-Tikhonov (vezi, de exemplu, Cronin [13, pp. 131-133] ori Karsaos [27, p. 22]), rebuie sabili că operaorii inegrali sun comple coninui (compacţi). Demosnraţia acesui fap se realizează în doi paşi. Mai înâi, ară că operaorul inegral ese uniform coninuu pe submulţimile mărginie ale spaţiului de funcţii corespunzăor. Apoi, demonsrez că imaginea unei mulţimi mărginie prin operaorul inegral saisface ipoezele (i) (iii) ale Propoziţiilor 6 şi 7, fiind, în consecinţă, relaiv compacă în spaţiul de funcţii respeciv. Deoarece demonsraţia Teoremei 4 ese cea mai relevană în aceasă privinţă, mă voi concenra asupra dealiilor ei. La celorlale rezulae voi punca elemenele disincive ale demonsraţiilor. Demonsraţia Teoremei 4. Pasul 1. Fixez b>0 şi λ (0,1). Din (1.7) rezulă că exisă = (b,λ)> asfel ca Aleg numerele reale u 0 şi a asfel încâ b h(s)ds<λ 3(p 1 (b)+ p 2 (b)). (1.23)
1.4 Demonsraţiile rezulaelor principale 17 u 0 + 2 a <(1 λ)b. (1.24) Consider mulţimea C={u V( ) : u b} şi definesc operaorul T : C C prin formula (Tu)() = u 0 + a( )+( ) f(s,u(s),u (s))ds ( s) f(s,u(s),u (s))ds,. Din (1.6) rezulă că penru orice şi (Tu) () a + f(s,u(s),u (s)) ds a +(p 1 (b)+ p 2 (b)) h(s)ds (Tu)() u 0 + a + f(s,u(s),u (s)) ds + f(s,u(s),u (s)) ds u 0 + a +2(p 1 (b)+ p 2 (b)) h(s)ds. Asfel, obţinem urmăoarea esimare a normei operaororului T : Tu u 0 + 2 a +3(p 1 (b)+ p 2 (b)) h(s)ds < (1 λ)b+λb=b, ceea ce araă că T ese bine defini. În coninuare, avem de demonsra că operaorul T ese coninuu şi că mulţimea T(C) ese relaiv compacă. Penru aceasa, fixez ε > 0. Conform (1.7) exisă ε > asfel ca ε h(s)ds< 9(p 1 (b)+ p 2 (b)). ε Deoarece funcţia f : [, ε ] [ ε b, ε b] [ b,b] R ese uniform coninuă va exisa η ε > 0 cu proprieaea că f(,u 1,v 1 ) f(,u 2,v 2 ) < ε 9 ε penru orice [, ε ], orice u 1, u 2 [ ε b, ε b] saisfăcând u 1 u 2 <η ε şi orice v 1, v 2 [ b,b] saisfăcând v 1 v 2 <η ε.
18 1 Soluţii cu comporamen prescris şi Un calcul direc conduce la esimările urmăoare (Tu) () (T v) () ε f(s,u(s),u (s)) f(s,v(s),v (s)) ds+ + f(s,v(s),v (s)) ds ε ε 9 ε ( ε )+2(p 1 (b)+ p 2 (b)) 2 f(s,u(s),u (s)) f(s,v(s),v (s)) ds ε ε h(s)ds< ε 3 f(s,u(s),u (s)) ds (Tu)() (Tv)() f(s,u(s),u (s)) f(s,v(s),v (s)) ds + f(s,u(s),u (s)) f(s,v(s),v (s)) ds f(s,u(s),u (s)) f(s,v(s),v (s)) ds<2 ε 3 care sun valabile penru orice ε şi orice u, v C saisfăcând u v <η ε / ε. Ţinând seama de definiţia normei în V( ), concludem că Tu Tv ε penru orice u, v C saisfăcând u v < δ(ε) = η ε / ε. Aşadar, coninuiaea operaorului T ese sabiliă. Ca să sabilim relaiva compaciae a lui T(C) rebuie să arăăm că aceasa saisface ipoezele (i)(a), (i)(b), (ii)(a), (ii)(b) şi (iii)(a) ale Propoziţiei 6. Mai înâi, remarc că cerinţele (i)(a) şi (i)(b) rezulă din T(C) C. Verificarea condiţiilor (ii)(a) şi (ii)(b), penru orice 2 1 şi orice u C, conduce la esimările: (Tu) ( 2 ) (Tu) ( 1 ) 2 f(s,u(s),u (s)) ds 1 [p 1 (b)+ p 2 (b)] 2 1 h(s)ds şi (Tu)( 2 ) (Tu)( ( 1) 1 2 1 u 0 1 ( ) )+ a 1 2 11 12 ( 1 + 1 ) f(s,u(s),u (s)) ds 1 2 2 + ( 2 s) 1 f(s,u(s),u ( 1 s) (s))ds f(s,u(s),u (s))ds 2 1
1.4 Demonsraţiile rezulaelor principale 19 [ u 0 + a + (p 1 (b)+ p 2 (b))h]( 2 1 ) 2 + f(s,u(s),u (s)) 2 s ds+ f(s,u(s),u (s)) ds 2 1 1 + s( 1 1 ) f(s,u(s),u (s)) ds 1 2 [u 0 + a + H(p 1 (b)+ p 2 (b))]( 2 1 ) 2 +2 f(s,u(s),u (s)) ds+(2 1 ) f(s,u(s),u (s)) ds 1 [ u 0 + a + H(1+ )(p 1 (b)+ p 2 (b))]( 2 1 ) +2(p 1 (b)+ p 2 (b)) 2 1 1 h(s)ds. Cerinţele (ii)(a) şi (ii)(b) rezulă deci din acese esimări şi din condiţia (1.7). Penru a verifica ipoeza (iii)(a) din Propoziţia 6, observ că 1 (Tu) () a f(s,u(s),u (s)) ds [p 1 (b)+ p 2 (b)] h(s)ds penru orice şi orice u C daoriă fapului că a Tu = a+ lim f(s,u(s),u (s))ds=a + penru orice u C. Asfel, oae presupunerile din Propoziţia 6 sun verificae şi concludem că mulţimea T(C) ese relaiv compacă. În consecinţă, puem aplica eorema Schauder-Tikhonov, conform căreia operaorul T are un punc fix u() în C. Aces punc fix ese soluţia problemei bilocale u + f(,u,u )=0,, u( )=u 0, (1.25) lim + u ()=a. Pasul 2. Noez cu u(;u 0,a) soluţia problemei (1.25) a cărei exisenţă a fos sabiliă la Pasul 1. Fie acum problema Cauchy u + f(,u,u )=0,, u( )=u 0, (1.26) u ( )=u 1, unde u 1 desemnează mărimea u ( ;u 0,a). Voi arăa că problema (1.26) are o soluţie în[, ]. Fie operaorul T : C 1 ([, ],R) C 1 ([, ],R) defini prin formula (Tu)()=u 0 u 1 ( ) (s ) f(s,u(s),u (s))ds, [, ].
20 1 Soluţii cu comporamen prescris Aplicând Lema 5 şi folosind argumene similare celor uilizae la Pasul 1, nu ese dificil să se arae că penru orice submulţime mărginiă M a lui C 1 ([, ],R) operaorul T : M C 1 ([, ],R) ese uniform coninuu în imp ce mulţimea T(M) ese relaiv compacă. Spre a simplifica dealiile, în locul inegaliaăţii (1.6) poae fi folosiă urmăoarea inegaliae mai permisivă [ ( ) ] u f(,u,v) h() p 1 + p 2 ( v ) h()[p 1 ( u )+ p 2 ( v )]. Conform Lemei 3, ca să dovedim că operaorul T are un punc fix în C 1 ([, ], R), rebuie sabiliă mărginirea mulţimii E(T)={x C 1 ([, ],R) : x=λtx, 0<λ < 1}. În aces scop, fixăm funcţia u E(T). Aunci exisă λ (0,1) asfel ca u()=λu 0 λu 1 ( ) λ (s ) f(s,u(s),u (s))ds, penru orice [, ]. Din aceasă inegaliae rezulă că u() u 0 + u 1 + sh(s)[p 1 ( u(s) )+ p 2 ( u (s) )]ds (1.27) şi u () u1 + h(s)[p 1 ( u(s) )+ p 2 ( u (s) )]ds (1.28) penru orice [, ]. Inroducând, penru s 0, urmăoarea noaţie K = + u 0 +(1+ ) u 1, z()= u() + u (), g(s)= p 1 (s)+ p 2 (s), inegaliăţile (1.27) şi (1.28) po fi scrise sub forma z() K+ sh(s)g(z(s))ds, [, ]. Aplicând acum Lema 4, parea (i), concludem că z() G 1 (G(K)+ H)=K <+ penru orice [, ]. Aceasa implică fapul că u K penru orice u E(T). Asfel, am demonsra că mulţimea E(T) ese mărginiă. De aceea, aplicând eorema lui Schaefer (Lema 3), rezulă că operaorul T are un punc fix u() în C 1 ([, ],R) iar că aces punc fix ese soluţia problemei de valori finale (1.26).
1.5 Discuţii şi ale rezulae 21 Pasul 3. Fie v(;u 0,u 1 ) soluţia problemei (1.26) a cărei exisenţă a fos sabiliă la Pasul 2. Aunci, funcţia u() daă prin { v(;u0,u u()= 1 ), [, ], u(;u 0,a), ese soluţia căuaă a problemei de valori iniţiale (1.9). Demonsraţia Teoremei 4 s-a încheia. Demonsraţia Teoremei 3. Definim operaorul T : V( ) V( ) prin formula (Tu)()=u 0 + u 1 ( ) ( s) f(s,u(s),u (s))ds,. (1.29) La fel ca în demonsraţia Teoremei 4, se araă că operaorul T ese comple coninuu. Apoi se verifică ipoezele Propoziţiei 6, arăându-se asfel că mulţimea T(C) ese relaiv compacă. Aplicarea Lemei 4, parea (i), va conduce apoi la concluzia că mulţimea E(T) ese mărginiă. Asfel, conform eoremei lui Schaefer (Lema 3), operaorul T are un punc fix u() în V( ) care corespunde soluţiei ec. (1.1) cu comporamenul asimpoic dori. Demonsraţia Teoremei 5. Modelul demonsraţiei ese cel al Teoremei 4, însă operaorul da de (1.29) ese defini acum în W( ). Se aplică Propoziţia 7 penru verificarea relaivei compaciăţi a mulţimii T(C) în W( ). Demonsraţia Teoremei 6. Definim operaorul T : W( ) W( ) prin formula (Tu)()=a+ b+ ( s) f(s,u(s),u (s))ds,. La fel ca penru Teorema 4, se araă că operaorul T ese comple coninuu. Verificând că ipoezele Propoziţiei 7 sun valabile, se sabileşe că mulţimea T(C) ese relaiv compacă. Un calcul similar celui de la demonsraţia Teoremei 4 şi aplicarea Lemei 4, parea (ii), implică fapul că mulţimea E(T) ese mărginiă. Rămâne de aplica eorema lui Schaefer (Lema 3) spre a conclude că operaorul T are un punc fix u() în W( ) corespunzând soluţiei ec. (1.1) cu alura asimpoică doriă. 1.5 Discuţii şi ale rezulae 1.5.1 Cazul G(+ ) < + Ecuaţia diferenţială neliniară u 2 4 u2 = 0, 1 (1.30)
22 1 Soluţii cu comporamen prescris a fos consideraă de Meng [34] ca un conraexemplu penru rezulaul rapora de Tong [44, Teorema 2]. Avem h()= 2 2, p 1(s)=s 2 + 1 2, p 2(s)= 1 2, şi ese uşor de verifica că oae ipoezele Teoremei 3 sun saisfăcue penru ec. (1.30) cu excepţia presupunerii cruciale G(+ )=+. (1.31) Ca urmare a nerespecării cerinţei (1.31), nu oae soluţiile ec. (1.30) vor avea comporamenul asimpoic pseudo-liniar dori la infini, o asemenea soluţie fiind u()= 2. Al exemplu ese oferi de binecunoscua ecuaţie Emden-Fowler superliniară (λ > 1) u a λ () u λ sign u()=0, 1, (1.32) unde funcţia a λ () ese daă asfel: 2(λ 1) 2 (λ + 1), [1,2], a λ ()= (λ 1) 2 (λ + 1)(4 ), [2,4], 0, 4. Ese uşor de verifica că resricţia (1.31) nu are loc penru ec. (1.32). Un calcul direc araă că aceasă ecuaţie admie soluţia unică u λ () penru daa iniţială u 0 = 1, u 1 = 2/(λ 1) definiă prin formula ( ) 1 2/(λ 1) u λ ()=, [1,2). 2 Eviden, aceasă soluţie nu poae fi prelungiă la infini. Acesea şi mule ale exemeple conduc la concluzia că, în absenţa condiţiei (1.31), varii inconsisenţe privind exisenţa globală a soluţiilor ec. (1.1) în viior po inerveni. Aşa cum s-a menţiona în Inroducere, mai mule rezulae aparţinând lui Dannan [14], S. Rogovchenko şi Y. Rogovchenko [38], Walman [46] s-au ocupa cu sudiul urmăoarei chesiuni: Care ese alegerea daelor iniţiale (u 0,u 1 ) în planul fazelor (u,u ) care asigură comporamenul pseudo-liniar la infini aunci când presupunerea (1.31) nu ese verificaă? Urmăorul rezulaul invesighează comporamenul asimpoic al soluţiilor ec. (1.1) aunci când condiţia (1.31) nu are loc. Teorema 7 Presupunem că sun valabile condiţiile (1.6) şi (1.7). Aunci, penru orice a R exisă a > şi cel puţin o soluţie u() a ec. (1.1) definiă pe [ a,+ ) cu reprezenarea asimpoică u()=a+ o() când +.
1.5 Discuţii şi ale rezulae 23 Demonsraţie. Fie b=6 a +2 şi λ = 2 1. Din (1.7) rezulă că exisă a > asfel ca b h(s)ds<λ 3(p 1 (b)+ p 2 (b)). Aleg u 0 R asfel încâ u 0 < a +1. Aunci, a u 0 a + 2 a u 0 +2 a <(1 λ)b. Resul demonsraţiei ese similar celei al Teoremei 4. Urmăorul rezula exinde Teorema 1 daoraă lui Walman [46]. Corolarul 1 Fie n un număr naural. Presupunem că funcţia a() ese coninuă şi verifică 2n+1 a() d <+. Aunci, penru orice α R exisă a > şi o soluţie x() a ecuaţiei definiă pe [ α, ) care are proprieaea că u + a()u 2n+1 = 0,, (1.33) u() lim = α. + Demonsraţie. Fie h()= 2n+1 a(), p 1 (s)=s 2n+1 +1, p 2 (s)=1. Aunci, concluzia corolarului decurge din Teorema 7. Urmăorul rezula sabileşe condiţii viabile în care ecuaţia diferenţială neliniară are soluţii asimpoic consane. u + f(,u)=0,, (1.34) Teorema 8 Presupunem că funcţia f(,u) saisface urmăoarele condiţii: (i) f(,u) ese coninuă în D={(,u) : [,+ ), u R}, unde 1; (ii) exisă funcţiile coninue h 1, h 2, g :R + R + asfel ca ( ) u f(,u) h 1 ()g + h 2 (), unde, penru s>0, funcţia g(s) ese poziivă şi nedescrescăoare; (iii) exisă un număr poziiv m asfel ca 0 g(s) ms penru orice s [0, ε] şi penru ε > 0 da; (iv) funcţiile h 1 şi h 2 saisfac condiţiile
24 1 Soluţii cu comporamen prescris h 1 (s)ds=h 1 <+ şi sh 2 (s)ds=h 2 <+. Aunci, (a) penru λ (0,1) exisă λ > asfel ca penru orice b R saisfăcând b < (1 λ)ε ec. (1.34) să aibă o soluţie u(;b) definiă pe [ λ,+ ) cu reprezenarea asimpoică u()=b+o(1) când + ; (b) penru orice b R saisfăcând b < ε exisă b > asfel ca ec. (1.34) să aibă o soluţie u(;b) definiă pe [ b,+ ) cu alura asimpoică u()=b+o(1) când +. Demonsraţie. Sabilim numai parea (b) deoarece demonsraţia sa o include pe cea a părţii (a). Fie ε > 0. Fixăm b saisfăcând b < ε şi alegem λ b (0,1) asfel ca b <(1 λ)ε. Presupunerea (iv) a eoremei implică exisenţa numărului c= λ (λ,m)= b > asfel încâ λ h 1 (s)ds< λ 2m şi λ sh 2 (s)ds< λ 2 ε. Consider mulţimea D λ = {u A( λ ) : u ε} şi definesc operaorul inegral T : D λ A( λ ) prin formula Penru orice λ avem mε (Tu)()=b+ ( s) f(s,u(s))ds, λ. (s ) f(s,u(s)) ds ( ε h 1 (s)sg ds+ s) sh 2 (s)ds [ s h 1 (s)g ( u(s) h 1 (s)ds+ sh 2 (s)ds mε λ 2m + λ 2 ε = λε. s ) ] + h 2 (s) ds Din ulima esimare rezulă că operaorul T ese bine defini şi că T(D λ ) D λ. Resul demonsraţiei urmăreşe eapele demonsraţiei de la Teorema 4. Urmăorul rezula înăreşe eorema corespunzăoare daoraă lui Walman [46, Teorema 4]. Corolarul 2 Fie a() o funcţie coninuă asfel ca 2n+1 a() d <+. Aunci, penru orice β R saisfăcând β <1 exisă β > asfel încâ ec. (1.33) are o soluţie u(;β) definiă pe [ β,+ ) cu alura asimpoică u(;β) = β + o(1) când +.
1.5 Discuţii şi ale rezulae 25 Demonsraţie. Fie m=ε = 1, h 1 ()= 2n+1 a(), g(s)=s 2n+1, h 2 ()=0. Concluzia corolarului decurge din Teorema 8. Să ne înoarcem la ec. (1.30). Un calcul direc araă că inegaliaea (1.23) ia forma Pe de ală pare, din inegaliaea (1.24) rezulă că 2 b < λ 3(b 2 + 1). (1.35) + 2 a <(1 λ)b. (1.36) Remarc că u 0 = u( ). Comparând relaţiile (1.35) şi (1.36) se ajunge la o conradicţie: < b <. Aceasa explică de ce exisenţa soluţiei u() = 2 a ec. (1.30) cu un comporamen asimpoic diferi de cel pseudo-liniar nu conrazice concluziile Teoremei 7. Aşadar, în lipsa condiţiei (1.31), chiar ecuaţiile neliniare cu forme simple po avea soluţii cu un comporamen asimpoic complica. Din conraexemplul da de Meng [34] ori Teoremele 7 şi 8 rezulă că, în ciuda înfăţişării ei simple, ec. (1.30) are cel puţin rei ipuri de semiraiecorii poziive: (a) soluţii cu derivaa inzând la+ ; (b) soluţii cu comporamen asimpoic pseudo-liniar; (c) soluţii asimpoic consane. 1.5.2 Necesiaea condiţiilor În aceasă subsecţiune discu necesiaea condiţiei (1.7). Consider ecuaţia diferenţială neliniară [ ( ) u u + h() p 1 + p 2 ( u ] ) = 0,, (1.37) unde funcţiile p 1 (s), p 2 (s) saisfac ipoezele Teoremei 3 (cu excepţia condiţiei (1.31)) iar funcţia h() ese coninuă şi nenegaivă. Presupun că ec. (1.37) are o soluţie u() definiă pe [,+ ) cu alura asimpoică u ()=O(1) când +. Din (1.37) rezulă că [ ( u(s) a u = u ( ) h(s) p 1 )+ p 2 ( u (s) ] ) ds. s Aceasa implică i.e. necesiaea condiţiei (1.7). h(s)ds u ( ) a u p 1 (0)+ p 2 (0) <+,
26 1 Soluţii cu comporamen prescris Nu ese surprinzăor că folosirea inegaliăţilor de ipul (1.6) în locul unei formule precise a ec. (1.1) face ipoezele Teoremelor 3 6 din aces capiol mai resricive în comparaţie cu ipoezele mulor eoreme dedicae cazurilor pariculare ale acesei ecuaţii. Un exemplu relevan ese oferi de lucrarea lui Hallam [19] unde ecuaţia y = a()y+ f(,y) (1.38) ese invesigaă în anumie ipoeze de ip inegral asupra lui a() şi cu funcţia f(,y) saisfăcând condiţia Lipschiz f(,y 1 ) f(,y 2 ) w() y 1 y 2, unde w() ese o funcţie coninuă şi nenegaivă. Ipoezele inegrale originale asupra neliniariăţii f(, y) sun w()d <+ şi f(,0) d <+. Acese condiţii sun similare celor din Teorema 8, dar presupunerile cu privire la a() făcue de Hallam sun mul mai puţin resricive. Însă, ehnica sa depinde esenţial de fapul că ec. (1.38) are o pare liniară. Dacă facem a()=0 penru în eorema lui Hallam, aceasa se reduce la un caz paricular al rezulaelor raporae în capiolul de faţă. Aşadar, aunci când sunem ineresaţi de soluţii ale ec. (1.1) cu un comporamen pseudo-liniar la infini nu puem folosi a presupunere de ipul (1.6) fără a avea şi condiţia (1.7). 1.5.3 Cazul liniar Aceasă secţiune conţine o demonsraţie alernaivă a rezulaului binecunoscu obţinu de Bôcher [6] şi, sub o formă diferiă, de Haup [25] şi prezena cu anumie modificări în Bellman [2, Teorema 5, p.114] şi Harman [20, Corolarul 9.1, p. 380]. Teorema 9 Presupunem că funcţia a() ese coninuă şi verifică cerinţa a() d <+. Aunci, soluţia generală a ecuaţiei u + a()u=0,, ese asimpoică la d 0 + d 1 când +, i.e. u()=d 1 + o() când +, unde d 0,d 1 sun consane reale. Mai mul, dacă 2 a() d <+,
1.5 Discuţii şi ale rezulae 27 avem u()=d 1 + d 0 + o(1) când +. Demonsraţie. Fie k > 0. Aunci, spaţiul V( ) poae fi doa cu urmăoarea normă de ip Bielecki [ ( u() )] u k = sup exp k h 1 (s)ds [ +sup u () )] exp( k h 1 (s)ds penru orice u V( ), unde h 1 (s)=s a(s) şi h 1 (s)ds=h <+. În mod similar, norma în W( ) ese definiă de [ ( u() u k = sup exp k [ u () ( exp k )] h 2 (s)ds )] h 2 (s)ds +sup +sup[ u() a u exp( kh)] penru orice u W( ), unde h 2 (s)=s 2 a(s) şi h 2 (s)ds=h <+. Un calcul direc araă că operaorul T defini prin formula (Tu)()=u 0 + u 1 ( ) ( s)a(s)u(s)ds,, saisface condiţia Lipschiz de consană L=2/k dacă acţionează în(v( ),. k ) şi de consană L=3/k dacă acţionează în(w( ),. k ). Operaorul T ese o conracţie penru k > 3 iar concluzia rezulă din eorema de punc fix a lui Banach (vezi, de exemplu, Cronin [13, p. 141] sau Karsaos [27, p. 19]). Demonsraţia s-a încheia.
Referinţe Bibliografice 1. Avramescu, C.: Sur l exisence des soluions convergenès de sysèmes d équaions différenielles non linéaires. Ann. Ma. Pura Appl. 81, 147 168 (1969) 2. Bellman, R.: Sabiliy heory of differenial equaions. McGraw-Hill, London (1953) 3. Bernsein, S.N.: Sur ceraines equaions differenielles ordinaires du second ordre. Comp. Rend. Acad. Sci. Paris 138, 950 951 (1904) 4. Bihari, I.: A generalizaion of a lema of Bellman and is applicaion o uniqueness problems of differenial equaions. Aca Mah. Acad. Sci. Hung. 7, 83 94 (1956) 5. Bihari, I.: Researches of he boundedness and sabiliy of he soluions of non-linear differenial equaions. Aca Mah. Acad. Sci. Hung. 8, 261 278 (1957) 6. Bôcher, M.: On regular singular poins of linear differenial equaions of second order whose coefficiens are no necessarily analyic. Trans. Amer. Mah. Soc. 1, 40 52 (1900) 7. Brauer, F., Nohel, J.A.: The qualiaive heory of ordinary differenial equaions: An inroducion. Dover, New York (1989) 8. Cohen, D.S.: The asympoic behavior of a class of nonlinear differenial equaions. Proc. Amer. Mah. Soc. 18, 607 609 (1967) 9. Consanin, A.: Some observaions on a Coni s resul. Ai Accad. Naz. Lincei Ser. Ma. Appl. 2, 137 145 (1991) 10. Consanin, A.: On he asympoic behavior of second order nonlinear differenial equaions. Rend. Ma. Appl. 13, 627 634 (1993) 11. Coni, R.: Sulla prolungabilià delle soluzioni di un sisema di equazioni differenziali ordinarie. Boll. Un. Ma. Ial. 11, 510 514 (1956) 12. Corduneanu, C.: Principles of differenial and inegral equaions. Chelsea Publ. Comp., The Bronx, New York (1977) 13. Cronin, J.: Fixed poins and opological degree in nonlinear analysis. Mah. Surv. Monogr. 11, AMS, Providence, R.I. (1964) 14. Dannan, F.M.: Inegral inequaliies of Gronwall-Bellman-Bihari ype and asympoic behavior of cerain second order nonlinear differenial equaions. J. Mah. Anal. Appl. 108, 151 164 (1985) 15. Deo, S.G., Raghavendra, V.: Ordinary differenial equaions and sabiliy heory. Taa McGraw-Hill, New Delhi (1980) 16. Dugundji, J., Granas, A.: Fixed poin heory. Vol. 1, Monogr. Maema. 61, PWN, Warszawa (1982) 17. Fubini, G.: Sudi asinoici per alcune equazioni differenziali. Rend. Reale Accad. Lincei 25, 253 259 (1937) 18. Gallavoi, G.: The elemens of mechanics. Springer, New York (1983) 19. Hallam, T.G.: Asympoic inegraion of second order differenial equaion wih inegrable coefficiens. SIAM J. Appl. Mah. 19, 430 439 (1970) 20. Harman, P.: Ordinary differenial equaions. J. Wiley & Sons, New York (1964) 29
30 Referinţe Bibliografice 21. Harman, P., Winner, A.: On he non-increasing soluions of y = f(x,y,y ). Amer. J. Mah. 73, 390 404 (1951) 22. Harman, P., Winner, A.: On non-oscillaory linear differenial equaions. Amer. J. Mah. 75, 717 730 (1953) 23. Harman, P., Winner, A.: Linear differenial equaions wih compleely monoone soluions. Amer. J. Mah. 76, 199 206 (1954) 24. Harman, P., Winner, A.: On non-oscillaory linear differenial equaions wih monoone coefficiens. Amer. J. Mah. 76, 207 219 (1954) 25. Haup, O.: Über das asympoische verhalen der lösungen gewisser linearer gewöhnlieher differenialgleichungen. Mah. Z. 48, 289 292 (1942) 26. Hille, E.: Non-oscillaion heorems. Trans. Amer. Mah. Soc. 64, 234 252 (1948) 27. Karsaos, A.G.: Advanced ordinary differenial equaions. Mariner Publ. Comp., Inc., Tampa, FL (1980) 28. Kao, J., Srauss, A.: On he global exisence of soluions and Liapunov funcions. Ann. Ma. Pura Appl. 77, 303 316 (1967) 29. Kusano, T., Naio, M., Usami, H.: Asympoic behavior of a class of second order nonlinear differenial equaions. Hiroshima Mah. J. 16, 149 159 (1986) 30. Kusano, T., Trench, W.F.: Global exisence heorems for soluions of nonlinear differenial equaions wih prescribed asympoic behavior. J. Lond. Mah. Soc. 31, 478 486 (1985) 31. Kusano, T., Trench, W.F.: Exisence of global soluions wih prescribed asympoic behavior for nonlinear ordinary differenial equaions. Ann. Ma. Pura Appl. 142, 381 392 (1985) 32. Kusano, T., Trench, W.F.: Global exisence of nonoscillaory soluions of perurbed general disconjugae equaions. Hiroshima Mah. J. 17, 415 431 (1987) 33. LaSalle, J.P., Lefschez, S.: Sabiliy by Liapunov s direc mehod wih applicaions. Academic Press, New York (1961) 34. Meng, F.W.: A noe on Tong paper: The asympoic behavior of a class of nonlinear differenial equaions of second order. Proc. Amer. Mah. Soc. 108, 383 386 (1990) 35. Moore, R., Nehari, Z.: Nonoscillaion heorems for a class of nonlinear differenial equaions. Trans. Amer. Mah. Soc. 93, 30 52 (1959) 36. Nagumo, M.: Über die Differenialgleichung y = f(x,y,y ). Proc. Phys. Mah. Soc. Japan 19, 861 866 (1937) 37. Nehari, Z.: On a class of nonlinear second-order differenial equaions. Trans. Amer. Mah. Soc. 95, 101 123 (1960) 38. Rogovchenko, S.P., Rogovchenko, Y.V.: Asympoic behavior of cerain second order nonlinear differenial equaions. Dynam. Sysems Appl. 10, 185 200 (2001) 39. Rogovchenko, Y.V.: On he asympoic behavior of soluions for a class of second order nonlinear differenial equaions. Collec. Mah. 49, 113 120 (1998) 40. Rogovchenko, Y.V., Villari, G.: Asympoic behavior of soluions for second order nonlinear auonomous differenial equaions. NoDEA - Nonlinear Diff. Eqs. Appl. 4, 271 282 (1997) 41. Sansone, G.: Equazioni differenziali nel campo reale. Zanichelli, Bologna (1948) 42. Souple, P.: Exisence of excepional growing-up soluions for a class of non-linear second order ordinary differenial equaions. Asymp. Anal. 11, 185 207 (1995) 43. Srauss, A.: A noe on a global exisence resul of R. Coni. Boll. Un. Ma. Ial. 22, 434 441 (1967) 44. Tong, J.: The asympoic behavior of a class of nonlinear differenial equaions of second order. Proc. Amer. Mah. Soc. 84, 235 236 (1982) 45. Trench, W.F.: On he asympoic behavior of soluions of second order linear differenial equaions. Proc. Amer. Mah. Soc. 14, 12 14 (1963) 46. Walman, P.: On he asympoic behavior of soluions of a nonlinear equaion. Proc. Amer. Mah. Soc. 15, 918 923 (1964) 47. Wong, J.S.W.: On second order nonlinear oscillaion. Funkcial. Ekvac. 11, 207 234 (1968)