I

ACADEMIA DE UDII ECONOMICE BUCUREŞI CAEDRA DE MONEDĂ INGINERIE FINANCIARĂ APLICAŢII Bucureşi 9

CUPRIN I. Opţiuni şi sraegii pe bază de opţiuni... 3 II. Noţiuni elemenare... 5 III. Modelul Binomial... 9 IV. Procese ohasice... 1 V. Maringale şi Inegrala sohasică... 17 VI. Ecuaţia Black-Meron-choles şi Modelul Black-choles... 19 VII. Indicaori de senziiviae, hedging saic şi volailiaea impliciă... 4 VIII. Operaţiuni de hedging uilizând opţiuni PU-proecive... 33 IX. Evaluarea firmei uilizând modelul Black choles (Modelul Meron penru riscul de credi)... 36 X. Evaluarea insrumenelor financiare derivae... 4 XI. Obligaţiuni zero-cupon cazul socasic. Preţul de piaţă al riscului... 46 BIBLIOGRAFIE... 49

I. Opţiuni şi sraegii pe bază de opţiuni I. Opţiuni şi sraegii pe bază de opţiuni 1. Funcţia profiului ( G ) la scadenţă penru o combinaţie de mai mule opţiuni având aceeaşi scadenţă, în funcţie de preţul la scadenţă al acivului-supor ( ) şi de paru preţuri de exerciare Ei, i = 1,4, ese daă în abelul urmăor: E 1 E E 3 E 4 G Pana: 5-5 Deerminaţi două combinaţii diferie de opţiuni CALL şi PU ce permi obţinerea profilului rezulaului da în abel. Reprezenaţi grafic profilul rezulaului şi deerminaţi puncele moare. (es seminar 6). i. Funcţia profiului ( G ) la scadenţă penru o combinaţie de mai mule opţiuni având aceeaşi scadenţă, în funcţie de preţul la scadenţă al acivului-supor ( ) şi de paru preţuri de exerciare Ei, i = 1,4 şi Ei < E i + 1, ese daă în abelul urmăor: E 1 E E 3 E 4 G Pana: -1 Deerminaţi două combinaţii diferie de opţiuni CALL şi PU ce permi obţinerea profilului rezulaului da în abel. Reprezenaţi grafic profilul rezulaului şi deerminaţi puncele moare. ii. Deerminaţi profilul rezulaelor penru sraegia urmăoare: cumpărarea unei opţiuni pu având prima p 1 şi preţul de exerciare E 1, vânzarea a două opţiuni pu având prima p şi preţul de exerciare E, cumpărarea unei opţiuni pu având prima p 3 şi preţul de exerciare E 3. ă presupunem că E1 < E < E3. Opţiunile au aceeaşi duraă de viaţă şi acelaşi aciv supor. Şiind că E E1 = E3 E, arăaţi că p,5 ( p1+ p3). (es seminar 7) 3. Ese posibil să consruim o opţiune CALL sineică, poziţie long, pe cursul de schimb euro-dolar uilizând două opţiuni, una pe cursul dolar-ron şi ala euro-ron? a) da, luând poziţie shor pe opţiuni CALL dolar-ron şi poziţie long pe opţiuni CALL euro-ron; b) da, luând poziţie long pe opţiuni PU dolar-ron şi poziţie long pe opţiuni CALL euro-ron; 3

I. Opţiuni şi sraegii pe bază de opţiuni c) da, luând poziţie long pe opţiuni PU dolar-ron şi poziţie shor pe opţiuni PU euro- RON; d) sun viabile oae cele 3 sraegii de mai sus; e) nu puem clona opţiunea daă deoarece e posibil ca una din cele două opţiuni pe RON să fie în bani iar ala în afara banilor la exerciare. (Hull) 4. Funcţia profiului bru al unui insrumen financiar denumi happy call ese 1 max, K, unde ese preţul acţiunii supor la momenul, iar K un preţ (de exerciţiu) fix. Fie preţul acţiunii supor la momenul şi C 1, respeciv C, preţurile opţiunilor obişnuie cu preţurile de exerciţiu K, respeciv K. Preţul corec (fair price) al opţiunii happy call ese de forma: unde α, β şi γ sun consane. C = α + βc + γc, H 1 a. ă se reprezine grafic profiul bru al opţiunii happy call. b. ă se deermine consanele α, β şi γ. (Ødegaard) 4

II. Noţiuni elemenare II. Noţiuni elemenare 1. Un invesior depune o sumă înr-un depozi bancar cu capializare, care plăeşe o dobândă la raa r, în procene pe an. Deerminaţi suma finală de care va dispune invesiorul după ani, dacă capializarea se face: a) anual; b) semesrial; c) rimesrial; d) lunar; e) zilnic; f) în imp coninuu. (***). a) O acţiune Coca Cola ese coaă simulan pe piaţele bursiere NYE la preţul de 1$ pe o acţiune şi LE la preţul de 9 pe o acţiune, în condiţiile în care pe piaţa valuară cursul de schimb înre cele două monede ese 1 = 1,45$. Propuneţi o sraegie de arbiraj şi explicaţi mecanismele prin care preţurile pe cele rei pieţe se vor coreca. b) Presupunem că raele de schimb spo şi forward penru cursul de schimb /$ sun: spo = 1,68, forward pese 9 zile F(,9 zile ) = 1, 656 şi forward pese 18 zile F(,18 zile ) = 1, 618. Ce oporuniăţi are un arbirajor în urmăoarele siuaţii: i) pe piaţă mai exisă o opţiune europeană CALL cu mauriaea pese 18 zile, cu preţul de exerciare E = 1,57$ / şi care cosă C =,$ ; ii) pe piaţă mai exisă o opţiune europeană PU mauriaea pese 9 zile, cu preţul de exerciare E = 1, 64$ / şi care cosă C =,$. Presupunem că valoarea imp a banilor ese. (Hull) 3. Aplicaţii ale ipoezei absenţei oporuniăţilor de arbiraj (noaţie AOA): i) Valoarea unei opţiuni CALL de ip european ( C ) va fi înodeauna mai mică decâ valoarea acivului supor ( ) şi mai mare decâ valoarea acivului supor mai puţin preţul de exerciare E acualiza: C E e r ( ). ii) Valoarea unei opţiuni PU de ip european ( P ) va fi înodeauna mai mică decâ preţul de exerciare E acualiza şi mai mare decâ preţul de exerciare E acualiza mai ( ) ( ) puţin valoarea acivului supor ( ): r E e P E e r. iii) Demonsraţi urmăoarea relaţie care are loc înre preţurile opţiunilor CALL şi PU de ip european, care au aceleaşi caracerisici (acelaşi aciv supor, acelaşi preţ de exerciare, aceeaşi scadenţă şi aceeaşi piaţă de ranzacţionare): r ( ) C E e + = P +,. (***) 4. Primele call, respeciv pu, având aceleaşi caracerisici sun: C = 17,88 şi P = 1,9118. e şie că = E = 15, iar = 6 luni. ă se calculeze raa dobânzii r. (Hull) 5

II. Noţiuni elemenare 5. e ia o poziţie long pe un conrac forward cu supor o acţiune ex-dividend (fără dividend) la momenul =. Cursul spo al acţiunii la momenul ese = 4$ iar raa dobânzii în imp coninuu r = 1%. a) Deerminaţi preţul forward al conracului emis la momenul cu scadenţa la = 1 an şi valoarea iniţială a acesui conrac. b) După 6 luni ( 1 = 6luni ): = 45$, r = 1%. Deerminaţi preţul forward al 1 conracului emis la momenul 1 cu scadenţa la = 1 an şi valoarea conracului forward emis la. (Hull) 6. Arăaţi că raa de creşere a preţului fuures (cu supor un indice bursier de exemplu) ese egală cu excesul de renabiliae al indicelui pese raa fără risc (raa dobânzii şi cea a dividendului sun considerae consane). (Hull) 7. Primele call, respeciv pu (opţiuni cu aceleaşi caracerisici), sun: C = 3,453 şi P = 8,875. e şie că = 185, E = 19 iar r = 15%. ă se calculeze inervalul de imp ( ) rămas până la scadenţa opţiunilor. (Hull) 8. Care ese raa dobânzii cu compunere coninuă echivalenă cu o raă a dobânzii de 15% procene pe an, cu compunere lunară? (Ødegaard) 9. Un invesior din România are de făcu plăţi pese 9 luni în valoare de 6,6 milioane RON iar în aces scop el va primi 1 milion EUR şi 1 milioan UD. Cursurile de schimb în prezen sun 1 EUR = 3,6 RON şi 1 UD = 3 RON. Raele dobânzilor sun reur = 5%, rusd = 4%, rleu = 6%. Cerceaţi dacă invesiorul poae uiliza o schemă de hedging uilizând conrace forward (cu supor EUR şi UD) asfel încă să obţină o acoperire compleă. (es seminar 7) 1. La acţiunile ABC se ranzacţionează la cursul = 5. Un invesior vinde forward o acţiune, cu scadenţa pese 6 luni, la preţul forward curen de F 6. 37. Raa dobânzii fără risc ese consană la nivelul r 1 M = 1% pe an cu compunere lunară şi acţiunile generează dividende cu o raa anuală insananee a dividendului δ = %. După rei luni de la iniţierea conracului forward (momenul 1 ) cursul acţiunii ese = 1 1. a. Calculaţi raa dobânzii fără risc cu compunere coninuă. (1 pc) Calculaţi preţul forward la momenul 1 penru un conrac cu aceeaşi mauriae ca cel iniţial (impul rămas până la scadenţă ese de 3 luni). (1 pc) = 6

II. Noţiuni elemenare b. Calculaţi valoarea la 1 a conracului shor forward în care s-a angaja invesiorul la momenul. (1 pc) (es seminar 8) 11. e consideră o opţiune PU şi o opţiune CALL având acelaşi aciv supor, acelaşi preţ de exerciţiu şi aceeaşi scadenţă. Acivul supor plăeşe un dividend în valoare de D um cu o lună înaine de scadenţă. Primele celor două opţiuni sun egale dacă: a) acivul supor are volailiae mare; b) acivul supor are volailiae mică; c) preţul de exerciţiu ese egal cu preţul forward al acivului supor; d) preţul de exerciţiu ese egal cu cursul bursier al acivului supor; e) preţul de exerciţiu ese egal cu valoarea frucificaă a cursului bursier al acivului supor. (admiere DOFIN 6) 1. Un conrac forward oferă un hedging comple al expunerii la acivul supor. Asfel, de exemplu, un long forward acoperă o poziţie shor pe acivul supor, eliminând comple riscul de pierdere în cazul creşerii cursului acţiunii, dar elimină comple şi poenţialul de câşig în cazul scăderii cursului acţiunii. Pe unii invesiori îi deranjează pierderea poenţialului de câşig odaă cu riscul de pierdere, asfel încâ unele bănci oferă un conrac forward exoic, denumi paricipaion forward, cu urmăoarele proprieăţi: încheia cu o scadenţă presabiliă,, la preţul paricipaion forward F P ; o poziţie long paricipaion forward acoperă comple riscul de pierdere al unei poziţii shor pe acivul supor în cazul creşerii cursului acesuia pese F P, plăind la fel ca un conrac forward obişnui F ; în cazul scăderii cursului acivului supor sub F P, o poziţie long paricipaion forward îi lasă invesiorului cu poziţie shor pe acivul supor jumăae din profiul obţinu, acesa rebuind să plăească acum doar jumăae din plaa aferenă unui conrac forward echivalen:.5 ( F ) ; preţul F P ese sabili asfel încâ la iniţierea conracului înre cele două părţi nu se face nici o plaă (valoarea iniţială ese zero, la fel ca la conracul forward obişnui). Payoff = FP, dacă > FP Payoff =.5 ( F ), dacă F P P P a. Desenaţi funcţia de payoff şi calculaţi derivaa payoff-ului în funcţie de preţul acivului supor la scadenţă. Deerminaţi un porofoliu forma din acivul supor, depozie/împrumuuri la raa fără risc r, conrace forward sandard şi/sau opţiuni europene pe acivul supor (pe piaţă sun disponibile opţiuni penru orice preţ de exerciare) care să replice exac conracul paricipaion forward. (1 pc) b. Calculaţi diferenţa dinre preţul forward sandard F şi P F penru a fi îndeplinie condiţiile de mai sus. (1 pc) (es seminar 8) P 7

II. Noţiuni elemenare 13. e consideră o acţiune care nu plăeşe dividend: = 1 u.m. şi r = 1% (raa insananee a dobânzii). e consideră urmăoarele opţiuni, care au ca supor aceeaşi opţiune: a. Call, cu preţ de exerciţiu 1, mauriaea pese 3 luni şi preţul c = 7, 9; b. Call, cu preţ de exerciţiu 15, mauriaea pese 3 luni şi preţul c = 4, 95 ; c. Pu, cu preţ de exerciţiu 15, mauriaea pese 6 luni şi preţul p = 8, 3816 ; d. Pu, cu preţ de exerciţiu 1, mauriaea pese 3 luni şi preţul p = 4, 7519 ; e. Call, cu preţ de exerciţiu 15, mauriaea pese 6 luni şi preţul c = 8, 6431; f. Call, cu preţ de exerciţiu 11, mauriaea pese 6 luni şi preţul c = 6, 58. ă se consruiască, dacă se poae, un porofoliu de arbiraj. (admiere DOFIN 6) 14. Considerăm o acţiune AAA al cărei preţ ese azi 4$. un observae de asemenea urmăoarele preţuri penru opţiuni europene pe acţiunea AAA cu scadenţa pese 6 luni: Preţ de exerciare Prima CALL 5 1 5 1 un preţurile în echilibru sau exisă posibiliae de arbiraj? Explicaţi. (examen DOFIN 5) 15. Opţiunile CALL cu scadenţa pese un an şi preţ de exerciare 5$ au preţul $, iar cele cu preţ de exerciare 55$ au preţul 1,5$. Opţiunile PU cu scadenţa pese un an şi preţ de exerciare 5$ au preţul 1,$, iar cele cu preţ de exerciare 55$ au preţul 3$. Preţul acivului supor ese 49$. Exisă oporuniăţi de arbiraj? (examen DOFIN 6) 16. Presupunem că exisă sări posibile { ω1, ω} dinr-o obligaţiune cu raa de dobândă r (şi preţul iniţial B ( ) = 1) şi o acţiune ( ) preţul iniţial ( ) şi preţurile viioare posibile: ( ω ) = ; ( ) 1, 1 d Ω=. Piaţa financiară ese compusă ω =, 1, u cu asfel încâ d <. u a. ă se arae că lipsa oporuniăţilor de arbiraj ese echivalenă cu: d u < ( ) < 1+ r 1+ r. b. ă se calculeze probabiliaea neurală la risc. 1 Obs. În imp coninuu, ermenul 1+ r se înlocuieşe cu r ( ) e. (Lim) 8

III. Modelul Binomial III. Modelul Binomial 1. Fie o acţiune supor care are cursul spo la momenul curen = 5 um.., σ = % şi penru care se emi opţiuni cu preţul de exerciare E = 5 um.. Raa dobânzii fără risc ese r = 1%. a) ă se evalueze opţiuni CALL şi PU europene, americane cu şi fără dividend folosind modelul binomial pe 5 perioade şiind că duraa unei perioade ese de 3 luni. În cazurile în care acţiunea supor plăeşe dividende, presupunem că acesea sun plăie în perioada 4 şi reprezină 1% din valoarea cursului din acel momen. b) Verificaţi relaţia de pariae PU-CALL în cazul opţiunilor europene ex-dividend. c) Explicaţi de ce preţurile opţiunilor americane la emisiune sun mai mari decâ preţurile opţiunilor europene corespunzăoare. d) Demonsraţi că un CALL american cu supor o acţiune ex-dividend se exerciă înodeauna doar la scadenţă (fiind asfel echivalen cu un CALL european cu supor o acţiune ex-dividend). (***). ă se calculeze uilizând modelul binomial, valoarea unei opţiuni PU pe baza urmăoarelor dae: = 1; E = ; = 1 an; n= 4; σ = 1%; r = 8% (PU). (examen Inginerie fin. 6) 3. Calculaţi prima unei opţiuni pu americane uilizănd modelul Cox-Ross-Rubinsein (modelul binomial) pe 3 perioade şiind că preţul acivului supor () ese 95 u.m., duraa de viaţă a opţiunii 3 luni iar volailiaea σ a acivului supor ese 34,64%. Preţul de exerciare (K) ese 98 u.m. iar raa dobânzii cu compunere coninuă ese 7%. (es seminar 8) 4. ă considerăm o opţiune pu americană cu urmăoarele caracerisici: = 95 euro; = 3 zile; K = 98 euro; r = 7%. Coeficienul de creşere u = 1,1. Calculaţi preţul acesui pu american uilizând modelul Cox-Ross-Rubinsein (modelul binomial) cu perioade. Deerminaţi preţul opţiunii call americane corespondene. Deduceţi o relaţie de arbiraj înre cele două preţuri. (es seminar 7) 5. ă considerăm un CALL european al cărui aciv supor are preţul egal cu 1 EUR la daa. e cunosc urmăoarele dae de piaţă: preţul de exerciare al opţiunii ( K ): 1 EUR; duraa de viaţă a opţiunii: 3 luni; raa fără risc în imp coninuu ( r ): 1%. a) Deerminaţi prima opţiunii CALL la daa în urmăoarele cazuri: i) Uilizând modelul Cox-Ross-Rubinsein (modelul Binomial) cu 4 perioade, şiind că coeficienul de creşere u al acivului supor ese 1,1. 9

III. Modelul Binomial ii) Uilizând modelul Black-choles, şiind că volailiaea anuală a acivului supor σ ese,39. b) ă presupunem că u 1= 1 d. Deerminaţi noile valori ale lui u şi d, asfel încâ preţul da de modelul Cox-Ross-Rubinsein cu o perioadă să fie egal cu preţul da de formula de evaluare a lui Black şi choles (preţ calcula la puncul a). (examen Inginerie fin. 6) 6. ă considerăm un PU european pe o acţiune ce nu disribuie dividende. Preţul acţiunii ( ) ese egal cu 87 la daa. e cunosc urmăoarele dae de piaţă: preţul de exerciare al opţiunii ( K ) ese egal cu 83 ; duraa de viaţă a opţiunii ese de 3 luni; raa dobânzii fără risc anuală şi coninuă (r ) ese de 7%, volailiaea anuală a preţului acţiunii (σ ) ese de 15%. i) Deerminaţi prima opţiunii PU la daa în urmăoarele cazuri: a) Uilizînd modelul Cox-Ross-Rubinsein cu 4 perioade; b) Uilizând modelul Black-choles. ii) Considerând cazul în care preţul acţiunii urmează o mişcare browniană geomerică, deerminaţi un inerval de încredere al valorii acţiunii la scadenţa opţiunii cu o probabiliae de 98,5%. Deerminaţi primele două momene ale disribuţiei de probabiliae a preţului acţiunii la scadenţa opţiunii, E ( ) şi VAR( ). (examen Inginerie fin. 7) 7. ă considerăm o opţiune pu europeană al cărei aciv supor are preţul P la daa. La P 1+ i cu o probabiliae egală cu q daa 1, aces aciv supor poae avea două valori: ( ) cu o probabiliae egală cu 1 q. Folosind noţiunile de porofoliu fără risc şi şi P ( 1 i) de absenţa a oporuniăţilor de arbiraj (AOA), i) Deerminaţi prima opţiunii pu şiind că preţul de exerciare ese P şi că raa dobânzii fără risc ese r ; ii) Deerminaţi prima opţiunii pu uilizând un model binomial cu două perioade. Valorile finale ale acivului supor sun (la daa ): P ( 1+ i) ; P ( 1+ i) ( 1 i) şi P ( 1 i) ; iii) Reluaţi primele două cerinţe ale exerciţiului considerând că: P = 1, i = 1% şi r = %. (es seminar 6) 8. O opţiune call de ip american are mauriaea = 8 luni ; = 1; K = 1 ; r = 15% şi σ = %. a. ă se calculeze valoarea opţiunii în cadrul modelului binomial cu perioade, şiind că u d = 1. b. ă se calculeze valoarea opţiunii în cadrul modelului binomial cu perioade, şiind că probabiliaea (subiecivă) de creşere a cursului supor ese q = 1. (***) 1

III. Modelul Binomial 9. Preţul acual al unei acţiuni ese 4. La sfârşiul lunii preţul poae să fie 4 sau 38. Raa de dobândă ese de 8% pe an. Acţiunea plăeşe după 4 luni un dividend compus dinr-o sumă fixă, egală cu 5, şi o coă procenuală aplicaă la preţ, egală cu %. ă se calculeze prima unei opţiuni pu a-he-money de ip american cu mauriaea de 5 luni, care are ca supor aceasă acţiune. (***) 1. Acţiunea supor penru o opţiune call de ip american ce expiră în 6 luni plăeşe pese 5 luni un dividend. Preţul de exerciţiu al opţiunii ese 3, iar raa de dobândă ese 1%. Deerminaţi inervalul în care rebuie să se siueze dividendul, asfel încâ opţiunea să fie exerciaă anerior scadenţei. (Ødegaard) 11. Preţurile viioare posibile unei acţiuni sun 1 şi. Preţul curen al acţiunii ese 15. Preţul de exerciţiu al unei opţiuni pu care expiră pese o perioadă ese 15. Preţul unei obligaţiuni zero-cupon care maurează pese o perioadă ese,8. ă se deermine poziţiile în acţiune şi în acivul fără risc, care elimină riscul indus de deţinerea opţiunii pu. (Ødegaard) 1. Cursul de schimb curen UD/GBP ese 1,55. Valorile posibile ale acesuia după o perioadă sun 1,65 şi 1,475. Raa de dobândă penru UD ese 5%, iar penru GBP 7%. ă se evalueze în cadrul modelului binomial o opţiune call ce are ca supor GBP, scadenţa pese 3 perioade şi preţul de exerciţiu 1,515. (Ødegaard) max,, unde ese preţul acţiunii la momenul, iar X ese preţul de exerciţiu. ă se evalueze 13. O opţiune puere (power opion) plăeşe la momenul : ( X) aceasă opţiune în cadrul modelului binomial, penru care: 6 = 4 ; u = 3; d = 18 şi r = 5%. X = ; ( ) ese 1 an; (Ødegaard) 11

IV. Procese ohasice IV. Procese ohasice 1. Fie D preţul unui insrumen financiar deriva şi cursul acivului supor. ă se scrie ecuaţia de dinamică penru preţul derivaivului D şiind că urmează un proces de ip Io. (***) r ( ). Fie dinamica preţului unei acţiuni: Δ = μ Δ + σ Δ z. Fie F = e preţul forward al acesei acţiuni. Care ese dinamica preţului forward? Reprezenaţi aceasă dinamică înr-un mediu neuru la risc. (***) 3. Fie y randamenul la mauriae cu compunere coninuă (yield o mauriy) penru o obligaţiune -cupon ce plăeşe o uniae moneară la scadenţă. Presupunem că y urmează procesul sohasic: dy = a ( y y) d + c y dz, unde ay,, c sun consane poziive. Care ese procesul urma de preţul obligaţiunii? (examen Inginerie fin. ) 4. Preţul valuei din ţara A exprima în funcţie de preţul valuei din ţara B (1A= B) urmează un proces de forma: d = ( rb ra) d + σ dz unde ra, r B reprezină raele dobânzilor în cele două ţări. Care ese procesul urma de preţul valuei din ţara B exprima în funcţie de preţul valuei din ţara A? (examen Inginerie fin. ) 5. Aplicaţi lema Io funcţiei ln şi demonsraţi că aceasă variabilă urmează o disribuţie normală ( Δ = μ Δ + σ Δ z). (***) 6. Cursul unei acţiuni la momenul acual ese 1. Cursul acţiunii urmează un proces d Io de forma:,1 d, dz = +. a) Care ese renabiliaea medie anuală a cursului acesei acţiuni? Dar volailiaea corespunzăoare? b) Deerminaţi inervalul de variaţie a cursului pe un orizon de 3 luni cu o probabiliae de i) 9%; ii) 95%; iii) 99%. (Hull) 7. Cursul unei acţiuni ese, volailiaea σ şi renabiliaea μ. a. ă se deducă formula care cu probabiliaea s, dă inervalul închis în care se va afla cursul la momenul : [ p, q ]. 1

IV. Procese ohasice b. = 1, μ = 15%, σ = 45%, = 3 luni, s = 99%. c. ă se deducă urmăorii indicaori de senziiviae privind mărimea inervalului în care [ q p] [ q p] [ q p] [ q p] se va afla cursul: ; ; ;. σ μ s Formulele deduse la puncul c) vor fi aplicae pe exemplul de la puncul b). (examen Inginerie fin. 5) 8. Cursul unei acţiuni ese = 9 u.m., iar volailiaea sa ese σ = 7%. Şiind că renabiliaea medie a acţiunii ese de 1%, pese 6 luni cursul acţiunii se va afla cu o probabiliae de 99%, în urmăorul inerval: a) [4,56; 17,34]; b) [6,93; 14,]; c) [6,95; 168,95]; d) [57,34; 153,46]; e) [68,3; 17,9]. (examen licenţă 3) d 9. Preţul unei acţiuni la momenul urmează procesul Io: = μd + σdz, unde z ese un proces Wiener fundamenal. ă se calculeze cu o probabiliae p = 99% inervalul în care se va afla preţul acesei acţiuni pese = 9 luni, şiind că μ =, ; σ =,3; = 1. (examen IDD 7) 1. = 8, σ = 45%, μ = 16%. a) ă se calculeze cu o probabiliae de 99% inervalul în care se află cursul după o lună. b) ă se calculeze seniiviaea capeelor inervalului de la puncul a) în rapor cu variaţia lui σ. (examen Inginerie fin. 5) 11. e cunosc: μ =,75 ; σ = 1% şi = 75. ă se deermine cu o probabiliae de 95% inervalul în care se va afla preţul acivului la momenul = 8 luni. (examen IDD 7) 1. Deerminaţi procesul urma de variabila sochasică Z() (ecuaţia diferenţială sochasică) penru urmăoarele siuaţii: a) Z() e α x () = unde dx = μd + σdb x = x (), (). b) c) Z() () = x unde ( ) = α ( ) + σ ( ). dx x d x db 1 Z () = x() unde dx ( ) = α x ( ) d + σ x ( ) db. Deerminaţi în aceasă siuaţie expresia penru Z() ca funcţie de α, σ şi B( ). (es seminar 8) 13

IV. Procese ohasice 13. Presupunem că: unde ln X = ln X + μ+ σ B, μ şi σsun parameri consanţi, X ese cunoscu iar B reprezină o mişcare browniană sandard. Fie Y arae că: dz = σ mz db ; a. m 1 m+ m = X şi Z = Ye μ σ, unde m ese o consană. ă se b. [ ] c. 1 + E X X = X e μ σ ; 1 m + m m m E X X = X e μ σ ; d. [ ] ( 1) Var X X X e e σ μ+ σ =. 14. ă se arae, prin uilizarea lemei Io, că ( B ) (examen Inginerie fin. 6) = + ese soluţia ecuaţiei diferenţiale socasice d = d + db, unde ese cunoscu iar B reprezină o mişcare browniană sandard. (examen Inginerie fin. 6) 15. Renabiliaea medie anuală a unei acţiuni ese de 4,5%, iar volailiaea anuală de 3%. Cursul acţiunii ese de 1 um. Probabiliaea ca pese o lună cursul acţiunii să scadă ese: a) sric mai mare decâ,5; b),5; c) sric mai mică decâ,5; d) 1; e). 16. e consideră procesul: dx = ad + bdw ; x = 5, (admiere DOFIN 6) unde a = 1, 75 ; b = şi dw ese un proces Wiener fundamenal. ă se deermine media şi abaerea sandard după 3 perioade ( d = 3) penru variabila dx. (***) 14

IV. Procese ohasice 17. Preţul unei acţiuni urmează procesul: d = μd + σ dw. ă se deducă procesul urma de căre urmăoarele funcţii: a. ( ) f = α ; α ; n b. f ( ) = ; c. f ( ) = e α ; α ; d. (, ) f = ; α f = α; μ = ; e. (, ) f. (, ) 1 f = e σ σ ; μ = ; g. f ( ) cos( ) =. (***) X 18. Fie procesul Io: dx = μ( ) d + σ( ) db. Deerminaţi dinamica lui Y = e. (***) 19. Fie procesul socasic: dx X ( μ() d σ() db ) Y μ ( s) ds = Xe. Deduceţi că = +. Deerminaţi dinamica lui μ( s) ds X = E X e F. (***). Fie ecuaţia de dinamică socasică: dx = X θ( ) db, unde X = 1 şi θ( ) ese o funcţie deerminisă. Deerminaţi procesul urma de X. (***) 1. Şiind că: dq = μ d + σ dw, Q Q 15

IV. Procese ohasice să se deermine ecuaţia de dinamică penru d exp exp ( Q) ( Q).. Şiind că: (***) dx = μ d + σ dw şi dy = μ d + σ dw, X X Y Y să se deducă ecuaţia de dinamică penru X d Y X Y şi ( XY ) ( XY ) d. 3. În cadrul modelului binomial: r Δ r Δ = ( 1+ σ Δ ); d e ( 1 σ ) u e = Δ. (***) ă se demonsreze că pe măsură ce n inde la, converge căre mişcarea browniană geomerică şi să se exprime media şi varianţa (la limiă), calculae în funcţie de probabiliaea neură la risc, penru. (Cairns) 16

V. Maringale şi Inegrala sohasică V. Maringale şi Inegrala sohasică 1. B ese o maringală. (***). B ese o maringală. 3. e σ σ B ese o maringală. (***) 4. Calculaţi EB. 4 [ ] (***) 5. Calculaţi inegrala socasică: B db. s s (Bjőrk) (Bjőrk) 6. Procesul Ornsein-Uhlenbeck: Deerminaţi, [ ], [ ] dx = kx d + σ db, x = y; k, σ = cons. x E x Var x şi valoarea mediei pe ermen lung a variabilei x. (***) 7. Paricularizare a procesului Ornsein-Uhlenbeck modelul Vasicek penru dinamica raei dobânzii: Deerminaţi:, ( ), ( ) dr = k( θ r) d + σdb, cu r, k, θ, σ consane. r E r Var r şi valoarea mediei pe ermen lung a variabilei r. (es seminar 8) 8. e consideră un proces socasic X a cărui dinamică ese daă de urmăoarea relaţie: dx = k( θ X ) d + σ X db, unde k, θ şi σ sun consane. ă se calculeze E( X X ), VAR( X X ) şi media pe ermen lung a variabilei X. (modelul CIR penru dinamica raei dobânzii). (es seminar 7) 17

V. Maringale şi Inegrala sohasică 9. Deerminaţi procesul urma de variabila sochasică Z() (ecuaţia diferenţială sochasică) penru urmăoarele siuaţii: () a) Z() = e α x unde dx() = μd + σdb, x() = x. b) Z() () dx α x d σ x db = x unde ( ) = ( ) + ( ). 1 Z () = x() unde dx ( ) = α x ( ) d + σ x ( ) db. Deerminaţi în aceasă siuaţie expresia penru Z() ca funcţie de α, σ şi B( ) 1. e noează cu B mişcarea geomerică browniană şi cu (es seminar 7) ă se arae că: E B ă se calculeze ( ) β k şi ( ) 6 k ( ),. k β = E B k 1 = k( k ) k 1 β s ds. E B. (***) 18

VI. Ecuaţia Black-Meron-choles şi Modelul Black-choles VI. Ecuaţia Black-Meron-choles şi Modelul Black-choles 1. Un conrac forward cu supor o acţiune ex-dividend ese un insrumen financiar deriva a cărui valoare depinde de valoarea acivului supor. Verificaţi aceasă afirmaţie folosind ecuaţia Black-Meron-choles. (Hull). Cursul curen al unei acţiuni ese = 1 um.., volailiaea sa ese σ = %, raa dobânzii fără risc pe piaţă ese r = 1%. e emi opţiuni CALL şi PU de ip european, cu scadenţa pese 6 luni şi care au un preţ de exerciare E = 1 um.. Deerminaţi valuarea curenă a opţiunilor CALL şi PU emise. (Hull) 3. Deerminaţi valoarea unei opţiuni de ip european care dă drepul la cumpărarea pese 9 luni a unui dolar canadian la preţul de,75 UD. Cursul spo ese 1CAD =,75UD iar volailiaea cursului de schimb CAD/UD ese 4% pe an. Raele de dobândă în procene pe an în Canada şi UA sun 9% şi respeciv 7%. (Hull) 4. Un aciv are un curs de piaţă = 1 um.. Penru aces aciv se emi conrace fuures cu scadenţa pese = 9 luni. Raa dobânzii pe piaţă ese r = 1%. Penru conracele fuures se emi opţiuni CALL şi PU cu scadenţa o pese 9 luni, preţul de exerciare fiind egal cu preţul la ermen penru ambele ipuri de opţiuni. Volailiaea preţulu fuures ese σ = %. Deerminaţi prima opţiunilor emise. (Hull) 5. Un invesior dispune de o sumă de bani A cu care poae cumpăra exac 1 acţiuni ale firmei M&N. În cazul în care suma ese depusă la bancă cu dobândă coninuă, după 9 luni ea devine B. Cu suma A invesiorul poae cumpăra exac 1 opţiuni CALL cu scadenţa pese 9 luni, având preţul de exerciare E =,1 B şi având ca supor aceasă acţiune. ă se calculeze volailiaea σ a acţiunii (volailiaea impliciă). (examen Inginerie fin. 3) 6. a) ă se sabilească relaţia de pariae PU-CALL şiind că la momenul 1 < penru acţiunea supor se plăeşe dividendul D 1. Aplicaţie: = K = 4; = 6 luni; 1 = luni; D1 = 3; r = 1%; C = 4,8. ă se calculeze P. b) O opţiune PU şi una CALL au ca supor acţiunea XYZ, penru care se cunoaşe: = 4, = 6 luni ; r = 1%. Preţul de exerciţiu penru ambele opţiuni ese K. ă se deermine inervalul în care se află K, şiind că P > C. (examen Inginerie fin. ) 19

VI. Ecuaţia Black-Meron-choles şi Modelul Black-choles 7. Au fos emise opţiuni CALL şi PU de ip european, având aceeşi acţiune supor şi aceeaşi scadenţă. Şiind că ambele ipuri de opţiuni au aceeaşi primă, să se precizeze care dinre afirmaţiile de mai jos ese corecă: a) volailiaea acţiunii supor ese foare mare; b) preţul de exerciţiu ese mai mare decâ preţul acţiunii; c) opţiunile sun a he money, respeciv preţul de exrciţiu ese egal cu preţul acţiunii; d) volailiaea acţiunii supor ese foare mică; e) preţul de exerciţiu ese mai mic decâ preţul acţiunii. (examen licenţă 1) 8. e consideră o opţiune CALL de ip european pe francul elveţian cu scadenţa pese 6 luni şi cu preţul de exerciţiu E = 6. Cursul acual ese = 6 iar volailiaea cursului de schimb ese σ = 15%. e şie că prima opţiunii CALL ese C =,357, indicaorul NABLA ese +,5736 iar probabiliaea Nd ( 1) =,649. Deerminaţi raa dobânzii în Elveţia: a) 7,4%; b) 1%; c) 4,96%; d) 9%; e) 6,1%. (examen licenţă 3) 9. Penru o opţiune PU şi o opţiune CALL se plăeşe în oal 14,3 um. Opţiunile au acelaşi aciv supor, preţ de exerciare egal cu E = 8 um şi scadenţa pese 6 luni. Acivul supor are un curs egal cu = 8 um şi volailiaea σ = 3%. e şie că raa dobânzii ese r = 1%. Cosul opţiunii CALL (C ), respeciv al opţiunii PU ( P ) ese: a) C = 9,56 şi P= 4,76; b) C = 7, şi P= 7,1; c) C = 1,1 şi P= 4,; d) C = 8,16 şi P= 6,16; e) C = 1,9 şi P= 3, 4. (examen licenţă 3) 1. Penru o opţiune CALL şi penru o opţiune PU cu acelaşi aciv supor se şie că: = 1, E = 115, r =, 6%, iar duraa până la scadenţpă ese = 1 an. Şiind că prima CALL ese C = 14, 7871, iar prima PU ese P = 14,888, raa dividendului ese: a) q = 5%; b) q = 3%; c) q = 4%; d) q = %; e) q = 6%. (examen licenţă 6) 11. Deduceţi eorema de pariae pu call penru cazul în care suporul în conracele pe opţiuni ese: a) o valuă; b) un conrac fuures; (***) 1. e cunosc caracerisicile unei opţiuni call de ip european, asfel: = 1 ; E = 11 ; = 6 luni ; r = 1% şi prima CALL C = 7,963. Aplicând relaţia de pariae pu-call, să se calculeze prima pu. (examen IDD 7)

VI. Ecuaţia Black-Meron-choles şi Modelul Black-choles 13. ă se calculeze valoarea unui PU european, cu preţul de exerciţiu,5 şi cu scadenţa pese 8 luni. uporul ese o valuă al cărei curs de schimb curen ese,47, volailiaea 1%, raa fără risc inernă ese 8% iar raa fără risc exernă ese 4%. (Hull) 14. e consideră un conrac de cumpărare de franci elveţieni (CHF) încheia în UA. cursul spo ese =, 5 UD/CHF, iar scadenţa = 4 luni. Volailiaea cursului UD/CHF ese σ =, 18. Raa dobânzii în UA ese 5%, iar în Elveţia ese de 7%. Preţul de exerciţiu ese E =, 56 UD/CHF. ă se calculeze prima opţiunii CALL. (examen IDD 5) 15. Un invesior are un porofoliu de opţiuni având urmăoarea srucură: i. o opţiune CALL poziţie long cu preţul de exerciare E = 95; ii. o opţiune CALL, o poziţie long cu preţul de exerciare E = 15 ; iii. opţiuni CALL, poziţie shor cu preţul de exerciare E = 1 ; Acţiunea supor a acesor opţiuni prezină urmăoarele caracerisici: = 1; σ = 3%, scadenţa opţiunilor ese aceeaşi: = 3 luni iar r = 1%. e cere: a) Valoarea porofoliului, respeciv suma invesiă de invesior la momenul iniţial; b) Noândcu V câşigul ne al invesiorului, care ese funcţie de cursul acţiunii supor la scadenţă, respeciv V = V ( ), să se compleeze urmăorul abel: 9 95 96 98 1 1 14 15 11 115 V ( ) (examen IDD 6) 16. e şie că = 78., E = 6., = 5 ani, r = 1%, q = 4%. Penru acese dae se şie că valoarea opţiunilor CALL e mai mare decâ valoarea opţiunilor PU cu 3.93,3 u.m. a) ă se calculeze diferenţa dinre C şi P penru cazul în care = 3 ani. b) ă se calculeze diferenţa dinre P şi C penru cazul în care r = 8%. (examen IDD 5) 17. Explicaţi de ce raţionamenele aplicae penru a deduce relaţia de pariae pu call penru opţiuni europene nu po fi aplicae în mod similar penru opţiunile americane, penru deducerea unei relaţii similare. (Hull) 18. Ecuaţia de dinamică a cursului unei acţiuni ese d = μd + σdz. Fie σ D (, ) = ln r ( ) + +, unde r ese daa dobânzii. 1

VI. Ecuaţia Black-Meron-choles şi Modelul Black-choles i) ă se arae că D (, ) ese preţul la momenul al derivaivului care la scadenţă ( ) are un payoff f ( ) = ln( ) ; ii) Uilizând lema lui Io sa se deermine ecuaţia de dinamică a lui D (, ), precum şi volailiaea acesuia. ă se arae că aces derivaiv ese mai riscan decâ acivul supor. (examen Inginerie fin. 7) 19. ă considerăm că piaţa ese perfec descrisă de modelul Black-choles. ă se arae că r σ poae fi preţul unui aciv financiar deriva. (examen Inginerie fin. 7). O opţiune call europeană cu supor o acţiune care nu disribuie dividende are scadenţa pese 3 luni. Preţul curen al acţiunii supor ese egal cu preţul de exerciare acualiza cu raa dobânzii fără risc. În prezen preţul acţiunii ese 15 euro iar analişii au esima că opţiunii? [ r ( ) σ ( )] [ r ( )] Pr ob{ e e } = 16%. Care ese preţul curen al (examen Inginerie fin. 8) 1. Penru acţiunea H & se cunosc urmăoarele elemene: = 5; μ = 15%; σ = 3%. a. ă se calculeze inervalul maxim în care se poae afla cursul după 6 luni cu o probabiliae de 99%. b. Şiind că r = 1%, să se calculeze preţul unei opţiuni CALL având preţul de exerciţiu egal cu capăul din sânga al inervalului de la puncul a, precum şi preţul unei opţiuni PU având preţul de exerciţiu egal cu capăul din dreapa al inervalului de la puncul a. Penru ambele opţiuni = 6 luni. (examen Inginerie fin. 3). Renabiliaea unui aciv financiar urmează urmăorul proces Io: unde d = n 1 n n ( n ) d + dz 1, Z ese proces Wiener fundamenal. ă se arae că preţul acesui aciv financiar la momenul ese = Z + 1 n n. (Howison)

VI. Ecuaţia Black-Meron-choles şi Modelul Black-choles 3. Formula V = e N d oferă preţul unei opţiuni europene cu scadenţa r ( ) (, ) 1 ( ) σ ln ( ) ( ) 4 + r, unde d =. Care ese payoff-ul (valoarea) opţiunii la σ ( ) scadenţa şi în ce condiţii posesorul opţiunii primeşe banii? (examen DOFIN 6) 4. Un broker doreşe să vândă un nou ip de opţiune pe un anumi indice şi preinde că ese cea mai sigură invesiţie de pe piaţă. Brokerul chiar oferă formula de calcul a preţului opţiunii: ( ) r ( ) =, V(, ) e X e unde ese preţul acţiunii, ese perioada până la scadenţă, r ese raa dobânzii. Poae fi preţul de mai sus preţul unei opţiuni? (examen DOFIN 6) 5. Fie c(, ) şi (, ) p valorile opţiunilor call şi pu de ip european, cu acelaşi preţ de exerciţiu şi aceeaşi mauriae. ă se arae că c p saisface ecuaţia Black-choles, cu condiţia finală c p = K, la momenul =. ă se deducă, asfel, că ese o soluţie a ecuaţiei Black-choles şi să se inerpreeze rezulaele. ( ) r Ke (Howison) 3

VII. Indicaori de senziiviae, hedging saic şi volailiaea impliciă VII. Indicaori de senziiviae, hedging saic şi volailiaea impliciă 1. O acţiune are în prezen un curs de piaţă = 18, volailiaea esimaă ese de σ = 3% iar raa dobânzii fără risc pe piaţă ese r = 9,5%. e emi opţiuni CALL şi PU având ca supor aceasă acţiune, preţul de exerciare E = 19 şi scadenţa pese 9 luni. Deerminaţi: a. Prima opţiunilor pu şi call la momenul curen. b. Penru cele două opţiuni să se deermine indicaorii de senziiviae: Δ (Dela); Γ (Gamma); (Nabla); şi υ (Vega). c. Deerminaţi noua valoare a opţiunii call dacă valoarea acţiunii supor devine 1 = 181. d. Deerminaţi noua valoare a opţiunii pu în siuaţia în care valoarea acţiunii supor devine = 177. e. Şiind că un invesior are un porofoliu forma din N 1 =.5 opţiuni call, poziţie long şi N = 3. opţiuni pu, poziţie shor, să se calculeze suma invesiă, precum şi indicaorii ai porofoliului. Δ (Dela); Γ (Gamma); (Nabla); şi υ (Vega) f. Cu câ se modifică valoarea acesui porofoliu dacă cursul acţiunii supor scade cu o uniae? g. ă se precizeze numărul de acţiuni care rebuie cumpărae sau vândue, asfel încâ porofoliul să devină Δ neural. h. Ce poziţii rebuie să ia aces invesior pe cele două opţiuni exisene pe piaţă şi pe acivul supor a.î. porofoliul său să devină Δ Γ neural. (***). Penru acţiunile firmei M&N se cunosc: = 87, σ = 8%, q= iar raa dobânzii pe piaţă ese r = 1%. Penru o opţiune de ip CALL cu supor acţiunea M&N şi scadenţa pese 9 luni se cunosc urmăorii indicaori de senziiviae: Deerminaţi prima opţiunii CALL. Δ=,5199, Γ=, 16846, θ = 9, 4486. 1 (Examen Inginerie fin. ) 3. Calculaţi volailiaea impliciă penru preţul fuures şiind că preţul pe piaţă al unei opţiuni PU cu supor conracul fuures ese u.m. Preţul curen al conracului fuures 4

VII. Indicaori de senziiviae, hedging saic şi volailiaea impliciă ese F = 55 um.. iar preţul de exerciare al opţiunii ese E = 55 um.. cadenţa opţiunii ese pese 5 luni iar raa dobânzii pe piaţă ese 6%. Obs. Volailiaea impliciă reprezină acea valoare a volailiăţii care egalizează preţul opţiunii obţinu din model cu preţul opţiunii observabil pe piaţă. (Hull) 4. Deerminaţi volailiaea impliciă penru o acţiune al cărei curs prezen ese = 5, şiind că preţul unei opţiuni CALL cu supor aceasă acţiune, cu preţ de exerciare E = 5 şi scadenţa pese 6 luni ese 9,514. r = 1%. (Hull) 5. a) ă se calculeze prima opţiunilor pu şi call având ca supor o acţiune. e cunosc urmăoarele elemene: = 1; E = 15; = 3 luni; r = 1%; σ = 5%. b) Penru cele două opţiuni să se deermine indicaorii de senziiviae: Δ (Dela); Γ (Gamma); (Nabla); υ (Vega) şi ρ (Rho). c) Şiind că un invesior are un porofoliu forma din N 1 = 3.5 opţiuni call, poziţie long şi N = 1. opţiuni pu, poziţie shor, să se calculeze suma invesiă, precum şi indicaorii ai porofoliului. Δ (Dela); Γ (Gamma); (Nabla); υ (Vega) şi ρ (Rho) d) ă se precizeze numărul de acţiuni care rebuie cumpărae sau vândue, asfel încâ porofoliul să devină Δ neural. (***) 6. e consideră opţiunile A şi B de ip CALL, având aceleaşi acive supor şi aceeaşi scadenţă. Preţurile de exerciţiu sun K A = 13 şi KB = 1. e noează cu Δ A şi respeciv Δ B raporul de acoperire (de hedging) corespunzăor celor două opţiuni. ă se precizeze care dinre afirmaţiile de mai jos ese adevăraă: Δ a) Δ A =Δ B ; b) Δ A >Δ B ; c) A K = A ; d) Δ ΔB K A <Δ B ; e) KA Δ A = KB Δ B. B (examen licenţă 1) 7. Care ese valoarea unei opţiuni CALL a-he money cu scadenţa pese 6 luni şiind că indicaorul DELA ese,648, indicaorul NABLA ese -,489, iar cursul acivului supor ese 1? a) 1,34; b) 9,7; c) 1,5793; d) 1,417; e) 13,58. (examen licenţă 4) 5

VII. Indicaori de senziiviae, hedging saic şi volailiaea impliciă 8. Au fos emise mai mule ipuri de opţiuni de ip european, oae având aceeaşi acţiune supor. Cursul acţiunii supor ese = 9 um.., iar riscul ese σ = 3%. Raa dobânzii ese r = 1%. Penru porofoliul de opţiuni se cunosc urmăorii indicaori: DELA =,634; GAMA =,; HEA = -11,96; VEGA = 5,15. Valoarea porofoliului ese: a) 1,48 u.m.; b) 1,9 u.m.; c) 1,9 u.m.; d) 1,48 u.m.; e) 1,845 u.m. (examen licenţă 3) 9. e cunoaşe că în cazul în care cursul acivului supor ese = 1, preţul de exerciţiu ese E = 11, perioada până la scadenţă ese = 9 luni, iar raa dobânzii fără risc ese r = 1%, prima CALL ese C = 8,4696, indicaorul DELA ese,7418, iar indicaorul VEGA ese 33,5846. În cazul în care volailiaea creşe de la 45% la 46%, prima CALL se va compora asfel: a) creşe cu,7418; b) scade cu,7418; c) creşe cu,1337; d) scade cu,335846; e) creşe cu,335846. (examen licenţă 6) 1. Valoarea unei opţiuni PU ese P= 4,853 um, cursul acţiunii supor ese = 8 um, iar preţul de exerciţiu ese E = 85 um. Raa dobânzii ese r = 1%. e şie că în cazul în care preţul de exerciţiu ar creşe la E = 86 um, valoarea opţiunii ar creşe cu,4175 um. Indicaorul DELA al opţiunii ese: a) -,4175; b) -,585; c),4563; d),585; e) -,3833. (examen licenţă 5) 11. Prima opţiunii CAL respeciv PU pe cursul de schimb UD/GBP cu urmăoarele caracerisici: = E = 1, 8 UD / GBP şi = 6luni ese C =,976UD respeciv P=, 814UD. ă se precizeze care din urmăoarele afirmaţii ese corecă. a) raa dobânzii ese mai mare în Anglia decâ în UA; b) indicaorul VEGA al opţiunii PU ese mai mare decâ cel al opţiunii CALL; c) raa dobânzii ese aceeaşi în Anglia şi în UA; d) preţul spo al GBP faţă de UD ese egal cu preţul forward; e) raa dobânzii ese mai mare în UA decâ în Anglia. (examen licenţă 5) 1. Cursul unui aciv supor ese 1 u.m. Un invesior a cumpăra un porofoliu de opţiuni pe aces aciv supor, care ese forma din urmăoarele poziţii: i) LONG 1 opţiuni CALL cu prima 5,954 u.m. şi indicaorul DELA,6179; ii) LONG 1 opţiuni PU cu prima 3,47 u.m. şi indicaorul DELA -,3357. Penru a forma un porofoliu DELA neuru invesiorul rebuie: a) să cumpere aciv supor în valoare de 8 u.m.; b) să vîndă aciv supor în valoare de u.m.; c) să cumpere aciv supor în valoare de 869,6 u.m.; d) să vândă aciv supor în valoare de 869,6 u.m.; e) să vândă aciv supor în valoare de 8 u.m. (examen licenţă 7) 13. A fos emisă o opţiune CALL având preţul de exerciţiu acualiza egal cu preţul acţiunii supor. Acualizarea s-a făcu pe baza raei dobânzii pracicae pe piaţă. e şie că 6

VII. Indicaori de senziiviae, hedging saic şi volailiaea impliciă mărimea indicaorului de acoperire (hedging) ese,5. Prima opţiunii CALL va reprezena urmăorul procen din preţul acţiunii supor: a) 14%; b) %; c) 5%; d) 4%; e) 1%. (examen licenţă ) 14. e şie = 87, r = 1%, q = %. O opţiune de ip CALL cu E = 84 şi scadenţa = 9 luni are prima C = 13,457 şi indicaorul Δ C =,6748. a) ă se deermine mărimea opţiunii pu cu acelaşi E şi aceeaşi scadenţă. b) ă se deermine Δ p. (examen IDD 4) 15. e consideră că = 1, r = 9%, σ = 5%. Fie o opţiune de ip CALL şi una PU cu E = 97 şi scadenţa = 6 luni. Un invesior are un porofoliu forma din o poziţie long pe 3 opţiuni PU şi o poziţie shor pe 1 opţiuni CALL. a) ă se deermine primele celor două opţiuni. b) ă se deermine valoarea porofoliului. c) Cu câ se modifică valoarea porofoliului dacă scade cu o uniae moneară? (examen IDD 4) 16. Un invesior îşi formează un porofoliu consiui dinr-o opţiune CALL şi o opţiune PU, ambele poziţie long. Acivul supor, comun penru ambele opţiuni are urmăoarele caracerisici: = E = 8; σ = 5%. Penru ambele opţiuni scadenţa ese pese 6 luni. Raa dobânzii ese r = 8%. e cere: a) Cosul porofoliului; b) Valoarea indicaorului DELA al porofoliului; c) ă se sabilească inervalul în care rebuie să se afle cursul acţiunii la scadenţă, a.î. invesiorul să aibă un profi ne poziiv. (examen IDD 5) 17. e consideră un conrac de cumpărare de franci elveţieni încheia în UA. Cursul spo ese de =,5 UD/CHF, iar scadenţa = 4 luni. Volailiaea cursului UD/CHF ese σ =,18. Raa dobânzii în UA ese 5%, iar în Elveţia ese de 7%. Preţul de exerciţiu ese E=,56. ă se calculeze prima opţiunii CALL. (examen IDD 5) 18. Au fos ranzacţionae opţiuni CALL şi opţiuni PU. Ambele ipuri de opţiuni au scadenţa pese 8 luni şi preţul de exerciţiu E = 78. e şie că volailiaea acivului supor ese σ = 5% iar r = 9%. Mărimea primelor ese: C = 6,83655; P= 5,9419. e cere: a) Valoarea cursului spo al acţiunii supor; b) Mărimea indicaorului DELA penru cele două ipuri de opţiuni. (examen IDD 5) 19. Un invesior deţine un porofoliu forma dinr-o poziţie long 1 opţiuni CALL cu preţul de exerciare 1 u.m. şi o poziţie shor 1 opţiuni CALL cu preţul de exerciare 7

VII. Indicaori de senziiviae, hedging saic şi volailiaea impliciă 13 u.m. Opţiunile CALL au aceeaşi scadenţă = 9luni şi acelaşi aciv supor ( = 15, σ = 15% ). Raa fără risc ese r = 1%. ă se calculeze indicaorul Δ penru aces porofoliu şi rezulaul invesiorului, dacă preţul acivului supor la scadenţă ese 17 u.m. (examen IDD 6). Penru o opţiune CALL se cunoaşe: = 9; E = 94; = 9 luni; r = 9%; C = 13,359; Δ =,5958. e cere: C a) Preţul opţiunii PU corespunzăoare, precum şi Δ P ; b) Care ar fi fos preţul CALL şi preţul PU dacă = 89. (examen IDD 6) 1. Penru două opţiuni call şi pu de ip european cu acelaşi aciv supor şi aceeaşi scadenţă se cunosc: prima call c = 6, 799 ; prima pu p = 3, 1 ; dela pu Δ p =,3596 ; nabla call c =, 5481; mauriaea = 9 luni. Raa de dobândă fără risc ese r = 1%, iar acivul supor nu generează veni. ă se deermine preţul curen al acivului supor ( ), precum şi preţul de exerciţiu al celor două opţiuni ( E ). (examen IDD 6). e consideră că = 1, r = 9%, σ = 5%. Fie o opţiune de ip CALL şi una PU cu E = 97 şi scadenţa = 6 luni. Un invesior are un porofoliu forma din o poziţie long pe 3 opţiuni PU şi o poziţie shor pe 1 opţiuni CALL. a) ă se deermine primele celor două opţiuni. (1p) b) ă se deermine valoarea porofoliului. (1p) c) Cu câ se modifică valoarea porofoliului dacă E scade cu o uniae moneară? (1p) (es seminar 6) 3. Preţul unui conrac fuures ese 19 UD, raa de dobândă fără risc (exprimaă anual) ese 1%, iar volailiaea preţului fuures (exprimaă anual) ese %. a. ă se calculeze valoarea unei opţiuni pu de ip european, ce expiră pese 5 luni şi care are ca supor aces conrac fuures. Preţul de exerciţiu ese UD. b. ă se calculeze valoare opţiunii call emisă în aceleaşi condiţii ca opţiunea pu de la puncul a). c. ă se calculeze noul preţ al opţiunii pu de la puncul a), dacă preţul fuures creşe cu,5 UD. d. ă se calculeze noul preţ al opţiunii call de la puncul b), dacă volailiaea preţului fuures scade cu 1 punc procenual. (es seminar 7) 4. Fie cursul EURRON 3.615. Raele dobânzilor cu compunere coninuă sun f r = 9.5% penru lei şi r = 4% penru euro, iar volailiaea cursului ese de %. e 8

VII. Indicaori de senziiviae, hedging saic şi volailiaea impliciă emi opţiuni europene pe cursul EURRON cu scadenţa de 3 luni la preţul de exerciare K = 3.615. a. (1 pc) ă se calculeze prima call. b. (1 pc) ă se calculeze prima pu. D D c. (1 pc) ă se calculeze indicaorii Δ = şi Γ = penru call şi pu. d. (1 pc) Dacă cursul valuar creşe la 3.65 să se calculeze prima call prin aproximare aylor de ordinul I ( Δ ) şi de ordinul II ( Δ Γ ). (es seminar 8) 5. e consideră că = 1, r = 9%, σ = 5%. Fie o opţiune de ip CALL şi una PU cu E = 97 şi scadenţa = 6 luni. Un invesior are un porofoliu forma din o poziţie long pe 3 opţiuni PU şi o poziţie shor pe 1 opţiuni CALL. a) ă se deermine valoarea porofoliului. b) Cu câ se modifică valoarea porofoliului dacă E scade cu o uniae moneară? (es seminar 8) 6. Un aciv supor are în prezena valoarea =. Raa dobânzii fără risc ese r = 1%, iar volailiaea acivului supor ese σ = 3%. Un invesior are un porofoliu forma din opţiuni pe aces aciv supor: - long 1 opţiuni A cu Δ =. 6, Γ =. 5 şi υ =. 4 - shor 7 opţiuni B cu Δ =., Γ =. 4 şi υ =. 6 D D unde Δ =, Γ = şi υ = D. σ a. (1.5 pc) ă se calculeze indicaorii Δ, Γ, Θ penru porofoliu, şiind că valoarea D porofoliului ese în prezen de 8, iar Θ =. b. (.5 pc) ă se formeze un porofoliu Δ neuru pornind de la porofoliul da. c. (1 pc) ă se formeze un porofoliu Δ, Γ neuru pornind de la porofoliul da. d. (1 pc) ă se formeze un porofoliu Δ,Γ, υ neuru pornind de la porofoliul da. (es seminar 8) 7. e consideră un conrac CALL de ip european penru a cumpăra lire serline. e şie că scadenţa conracului ese = 6 luni, cursul spo ese = 1,983, preţul de exerciţiu ese E =,114, volailiaea cursului ese σ = 5%, raa dobânzii ese în UA ese 5,% iar raa de dobândă în Anglia ese 6,8%. a) ă se deermine prima opţiunii CALL; b) ă se precizeze modificarea primei opţiunii CALL în cazul în care raa dobânzii în UA creşe cu Δ 1 p.p. iar în Anglia cu Δ p.p. (examen Inginerie fin. 8) 9

VII. Indicaori de senziiviae, hedging saic şi volailiaea impliciă 8. e consideră o opţiune PU de ip european. În cazul în care aâ acivul supor, câ şi preţul de exerciţiu E cresc cu % să se precizeze care dinre urmăoarele afirmaţii ese adevăraă: a) prima opţiunii nu se modifică; b) prima opţiunii creşe cu 9,54%; c) indicaorul DELA crşe cu 9,54%; d) prima opţiunii scade cu 9,54%; e) indicaorul DELA nu se modifică. (admiere DOFIN 6) 9. Penru o acţiune se cunosc urmăoarele dae: = 8, σ = 35%. Raa dobânzii ese r = 1% şi ea coincide cu media renabiliăţii acţiunii. a) ă se calculeze inervalul în care se poae afla cursul acţiunii după o perioadă de 6 luni cu o probabiliae de 95%. b) Un invesior îşi formează un porofoliu forma dinr-o opţiune CALL cu preţul de exerciţiu E C = 8 şi o opţiune PU cu preţul de exerciţiu E P = 8, ambele cu supor aceasă acţiune, scadenţa = 6 luni, şi poziţie long. ă se precizeze cosul invesiţiei, indicaorul Δ al porofoliului, precum şi funcţia de payoff. c) ă se precizeze câşigul ne al invesiorului penru cazul în care se află la unul din capeele inervalului calcula la puncul a). (examen Inginerie fin. ) 3. Pe piaţă exisă o opţiune CALL a cărei primă creşe cu,4 u.m. când preţul de exerciţiu scade cu 1 u.m si cu,5 u.m. cand preţul acivului supor creşe cu 1 u.m. Pe piaţă a mai apăru o opţiune care plăeşe 1 u.m. dacă opţiunea CALL respecivă se exerciă şi în caz conrar. Un invesior evaluează aceasă opţiune binară în prezen, înr-un mediu neuru la risc la o valoare: a) de 5 u.m.; b) de 1 u.m.; c) de 4 u.m.; d) de,4 u.m.; e) inceră, dar nu mai mare de 1 u.m. (admiere Dofin 5) 31. O firmă din Alieria, în care moneda naţională ese A, are de făcu pese 1 an plăţi în valoare oală de 7,9 milioane A. În aces scop ea va primi 1 milion UD şi 1 milion EUR. Cursurile de schimb, în prezen sun: 4A=1UD şi 3,7A = 1 EUR. Volailiăţile cursului de schimb sun: A/UD: σ 1 = 15% ; A/EUR: σ = % ; EUR/UD: σ 3 = 1%. Raele dobânzilor sun: zona EURO: r = 8% ; UA: r 1 = 6% ; Alieria: r 3 = 1%. a) ă se prezine o schemă de hedging uilizând opţiuni care să asigure cel puţin 7,9 milioane A şi care să aibă un cos câ mai redus. e va preciza ipul de opţiuni uiliza, preţurile de exerciţiu, precum şi dacă s-au uiliza scheme de ip cross. b) ă se prezine şi o schemă uilizând conrace forward. (examen Inginerie fin. ) 3

VII. Indicaori de senziiviae, hedging saic şi volailiaea impliciă C C 3. Penru o opţiune CALL se cunosc: Δ= =,66387; = =,46465; E C = 9 luni; μ = = 59, 74848; C = 31, 47577. e cere mărimea lui şi mărimea q lui E. (examen Inginerie fin. 4) 33. e consideră formula BLACK-CHOLE penru o opţiune CALL, acivul supor E având raa insananee a dividendului egală cu q. e noează cu h =. ă se calculeze C formula care măsoară senziiviaea cosului opţiunii CALL în rapor cu h. ă se h inerpreeze economic formula dedusă. (examen Inginerie fin. ) 34. Penru o opţiune CALL de ip european având ca supor o acţiune se cunosc urmăorii indicaori de senziiviae: r( ) 1 1 Δ= Nd ( 1) ; = e N( d) ; Γ= e σ π E C e definesc suplimenar urmăorii indicaori: α = şi f ( α ) =. i) Şiind că α =,85 ; Δ=,8141 şi =,69349. ă se calculeze f ( α ). f( α) f( α) ii) ă se calculeze expresiile penru indicaorii de senziiviae şi. α α iii) Penru cazul numeric de la puncul i, şiind că Γ=,789 şi = 1 să se calculeze f (,85). α d1 (examen Inginerie fin. 7) 35. Cursul unui aciv supor ese 1 u.m. Un sraddle pe aces aciv supor cu scadenţa pese 9 luni şi cu preţul de exerciare egal cu preţul forward la 9 luni valorează 11,5 u.m. Calculaţi indicaorul DELA al acesui sraddle. (admiere DOFIN 6) 36. Preţul unei acţiuni ese egal cu preţul de exerciare acualiza al unei opţiuni call de ip european care are ca supor acţiunea respecivă. Deerminaţi prima acesei opţiuni în funcţie de cursul acţiunii supor şi de raporul de hedging (indicaorul dela). (examen licenţă 3) 37. Un invesior emie 1. opţiuni call cu preţul de exerciţiu E = 8 şi preţul c = 8,5183, în condiţiile: = 8; σ = 3% ; =,5 şi r = 8%. Presupunem că aces invesior îşi gesionează porofoliul dinamic, iar penru simplificare ca îşi revizuieşe 31