COMENTARII ÎN LEGĂTURĂ CU ANUMITE PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE ÎN GAZETA MATEMATICĂ PARTEA I AUTOR: PROFESOR COTEA MARIANA EUGENIA MARTIE 2019

COMENTARII ÎN LEGĂTURĂ CU ANUMITE PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE ÎN GAZETA MATEMATICĂ PARTEA I AUTOR: PROFESOR COTEA MARIANA EUGENIA MARTIE 09

INTRODUCERE Gazea Maemaică repreziă peru pasioații de maemaică,fie ei copii sau adulți, o bază de areare a gâdirii,o sursă de probleme care îreți flacăra pasiuii iciâd la căuare de soluții. Peru că muca rezolviorului u ese de loc ua ușoară.ese o căuare permaeă î labiriul cuoașerii iar reușia depide de persevereța căuăorului,de bagajul lui de cuoșițe,de experieță. De câe ori u i s-a îâmpla să exclamăm:,,câ de simplă era rezolvarea!,,după ce e căzisem ore î șir,poae zile î șir peru a da de capă uei probleme mai ciudae?î fial u arificiu de calcul sau o cosrucție ajuăoare adecvaă sau acea idee de a oriea rezolvarea pe u aumi făgaș au sa la baza ieșirii di impas.î maemaică iciodaă lucrurile u su cu adevăra simple.peru uele probleme puem cosrui umeroase variae de rezolvare peru alele ese greu să obțiem cel puți o variaă de rezolvare. Ueori cosaăm că aumie probleme admi geeralizări,aleori puem cosrui rezolvări peru uele probleme care să e coducă la rezulae mai ari, siuație î care vom spue că am îmbuăăți problema respecivă.su și cazuri î care uele probleme su icorec formulae,probleme cu,,defece,, și auci ese impora să găsim defecul peru a coreca euțul.ese desul de grea posura de auor de probleme:îți rebuie ispirație,pasiue și ale de căuăor.peru că îaie de a oferi alora o problemă de dezlega, u îsăți rebuie să fi făcu o mică descoperire.am o oală admirație peru auorii de probleme eu siuâdu-mă de obicei î a doua caegorie a rezolviorilor de probleme.evide că rezolvâd o problemă poae să-ți viă o idee peru a cosrui o problemă schimbâd părți ale ipoezei sau părți ale cocluziei,dar î aceasă posură rezolviorul u poae fi u auor aueic peru că el își clădeșe problema pe o idee care u-i aparție.

PROBLEMA Urmăoarea problemă C:885 apare î GM r 6/005 la pagia83 fiid o problemă propusă peru Cocursul aual al rezolviorilor de probleme,ivel gimazial.,,fie riughiul ABC cu AB=AC și m( A) = 0⁰.Să se arae că BC < AB.,, 7 OBSERVAȚIE:O abordare diferiă față de cea gâdiă de auor poae deermia î uele cazuri o îmbuăățire a problemei î sesul obțierii,î cazul de față, a uei cocluzii mai ari decâ cea propusă de auor cu riscul de a avea o demosrație mai complexă fără îsă a uiliza cuoșițe care depășesc programele de gimaziu(clasele a 7 a,a 8 a). DEMONSTAȚIE: Am realiza urmăoarea cosrucție ajuăoare: se cosruieșe pucul D î exeriorul riughiului ABC asfel îcâ riughiul DAB ese isoscel de bază AB cu măsura ughiului DAB egală cu 0⁰, Q mijlocul lui AB și R mijlocul lui BC. Deoarece riughiul ABC ese isoscel cum( A) = 0 ⁰ obțiem că m( ABC) = 80⁰.Pe de ală pare deoarece riughiul DAB ese isoscel de bază AB obțiem m( DBA) = 0⁰ și î coseciță m(dbc) = 90⁰. Aplicâd eorema lui PITAGORA î riughiul DBC se obție DC =DB BC () Exprimâd cos0⁰ di riughiurile ADQ și ABR obțiem: AB = 4AB² BC² de ude AD= AB² () AD AB 4AB² BC²

-- DESEN Pe de ală pare di riughiul DAC cu măsura ughiului A de 30⁰ se obție aplicâd eorema cosiusului DC =AD AC -AD AC 3 (3) Di relațiile () și (3) țiâd co că DB=AD obțiem BC =AC - AD AC 3 (4).Di relațiile () și (4) obțiem țiâd co de fapul că AC=AB urmăoarea relație:( BC AB 3 de ude rezulă ( BC AB ) = 3. 4 ( BC AB ) AB ) = 4AB² BC².Noâd cu =( BC AB ) obțiem (-) = 3.Noâd î coiuare - =u 4 avem 3u u 3 =3 (5).Deoarece 0 < u < rezulă u 3 < u de ude 3u u 3 < 4u.Pri urmare 3< 4u deci u > 3 <- - 3.Reveid la oația cu se obție BC deci < 3.Mai rămâe să sabilim că 3 < AB 7 (adevăra).iaă că aceasă ese echivale cu:- 7 < 3 5 49 < 3 4 ceea ce rezolvare fără să depășească ivelul de cuoșițe al uui elev de clasa a 7a e-a codus la u rezula mai are decâ cel propus

de auor.u elev doa peru maemaică poae să-și puă poblema și î legăură cu o miorare a raporului respeciv plecâd de la egaliaea(5) î ideea obțierii de exemplu a primei zecimale a acesui rapor. PROBLEMA Urmăoarea problemă apare î GM 7-8/000 pagia 309 și ese o problemă de cosrucție cu rigla și compasul.majoriaea problemelor de cosrucție cu rigla și compasul au la bază cuoașerea uor locuri geomerice ceea ce le rasformă î probleme dificil de aborda de majoriaea elevilor.de curâd am realiza o lucrare coțiâd probleme rezolvae cu rigla și compasul și mărurisesc că su arasă de asfel de probleme. Euțul problemei ese urmăorul: C:97 Cosruiți u riughi ABC cuoscâd măsura ughiului A,măsura ughiului forma de mediaele duse di B respeciv C și disața OI(O ese cerul cercului circumscris riughiului ABC iar I ese cerul cercului îscris) OBSERVAȚIE:Peru a fi o veriabilă problemă de cosrucție cu rigla și compasul puem reformula euțul soliciâd uilizarea celor două isrumee î ipoeza că su dae ughiuri cogruee cu ughiul A, respeciv ughiul forma de mediaele duse di B respeciv C și u segme cogrue cu OI.Se observă că am îlocui măsurile dae(de ughiuri sau segmee) acesea fiid ișe umere î srâsă legăură cu aumie uiăți de măsură care u su precizae î euț, cu figuri geomerice dae.

DESEN PAȘII CONSTRUCȚIEI su urmăorii: ) Se cosruieșe u segme oarecare fie acesa B C ca î dese. ) Se cosruieșe arcul capabil de ughi A da despre care s-a făcu precizarea că ese cogrue cu ughiul A al riughiului de cosrui,arc subâis de coarda B C și afla îr-uul di semiplaele deermiae de dreapa B C 3) Se cosruieșe arcul capabil de ughi D da despre care s-a făcu precizarea că ese cogrue cu ughiul BGC deermia de mediaele di B și C,arc subâis de aceeași coardă B C și afla î același semipla față de dreapa B C ca și arcul de la pasul aerior. 4) Se cosruieșe mediaoarea segmeului B C și se rasează cu cerul pe aceasă mediaoare la o reime di disața de la cerul cercului O la coarda B C, față de coarda B C u cerc

de rază egală cu o reime di raza cercului O care iersecează arcul capabil cosrui la pasul 3 î două puce. 5) Noăm uul di pucele obțiue la 4 cu G și iersecăm dreapa deermiaă de G și mijlocul coardei B C cu arcul capabil cosrui la pasul î pucul A 6) Se cosruieșe riughiul A B C 7) Se cosruiesc două bisecoare î riughiul cosrui aerior și se oează cu I pucul lor de iersecție. 8) Se cosruieșe segmeul O I. 9) Uilizâd eorema lui lui Thales se cosruieșe u segme oa î dese cu PS asfel îcâ PS = OI ( ude OI repreziă B₂C₂ O₂I₂ segmeul da iar PS deermia ese cogrue cu laura BC a riughiului de cosrui) 0) Se cosruieșe u riughi ABC asemeea cu riughiul A B C ude BC=PS(peru ușurița cosrucției cele două riughiuri au laurile respeciv paralele). PROBLEMA 3 Î GM r0/005 la pagia 553 apare problema 540 Euțul problemei ese urmăorul: Arăați că peru orice x, x,,x Ꞓ(o; ) cu proprieaea că x x x = ude ꞒN, exisă iegaliaea : x₁ x₂ ³. xₙ OBSERVAȚIE Îaie de a propue o rezolvare peru aceasă problemă

rebuie să observăm că mulțimea î care iau valori variabilele ese (0;) daoriă resricției x x x =.Voi arăa deasemeea că î iegaliaea daă cazul de egaliae u se realizează peru ici u se de valori ale variabilelor care saisfac codițiile di euț.aces lucru u îseamă că iegaliaea daă ese,,defecă,, peru că a b a > b saua = b iar o disjucție ese adevăraă câd cel puți ua di propozițiile care o compu ese adevăraă. De fap ese ieresa de sabili care ese valoarea miimă pe care o poae lua expresia di membrul îâi al iegaliății dae și cred că orice rezolvior cu experieță sau care își pue îrebări fireși u va ezia să caue u răspus la o asfel de îrebare.de preciza că problema se adresează elevilor de clasa a XI a deci puem să uilizăm isrumeele pe care le oferă aaliza maemaică. Voi propue urmăoarea problemă mai geerală: (PG) Arăați că peru orice x,x,,x Ꞓ(o;) cu proprieaea x x x = exisă iegaliaea : x₁ x₂ xₙ DEMONSTRAȚIA LUI (PG) ude,Ꞓn și și. Fie P() proprieaea di euț.voi demosra pri iducție maemaică că P() ese adevăraă peru orice ꞒN, ( fiid fixa) Vom demosra mai îâi că P() ese adevăraă.î aces scop voi folosi fucția f:(0;) R,f(x)= ude legea de x x corespodeță se mai scrie f(x)=x ( x). Derivâd fucția f se obție f (x)= x ( x) [x( x)].se obție că f (x)>0 dacă xꞒ(/;) și f (x) 0 dacă xꞒ(0;/) și f (x)=0 dacă x=/ pri urmare

fucția f admie u miim peru x=/.î coseciță f(x) f( ) adică f(x).se obție că peru orice x x₁ x₂,x Ꞓ(0;) cu x₁x₂= de ude P() adevăraă. Demosrăm î coiuare implicația :P() P().Presupuem pri urmare P() adevăraă peru u umăr arbirar și demosrăm că P() ese adevăraă. Fie x,x,,x, x Ꞓ(0;) cu proprieaea x x x x =.Noăm cu k=x x x.se obție că x₁ x₂ xₙ =.Noăm cu z k k k i= x i peru orice k i de la la.deoarece z z z = puem aplica ipoeza de iducție adică.() z₁ z₂ zₙ Îcercăm î coiuare să miorăm suma:s= obție S= kz kz kz k deiegaliaea () se obție S k Fie g:(0;) R, g(k)= k g (k)=-- k ( k) k = ( k z z. k x x ) z k x x. Derivâd fucția g se obție: de ude g (k)= k [( k)] ( k) k..se.țiâd co Pri urmare g (k)=0 k = ( k) k =.Deoarece fucția g ese egaivă pe iervalul (0; ) și poziivă pe iervalul (, ) se obție că g(k) g( ) g(k).di S g(k) și g(k) se obție x x.pri urmare implicația P() P() ese adevăraă.î cocluzie peru u umăr aural da, și peru orice umăr aural avem: x x x. (q,e.d.)peru u oarecare fixa și = obțiem u miim al expresiei di membrul îâi al iegaliății propuse de auorul problemei iițiale și aume: x x

x x x > > ( ) (*).Î coiuare se va arăa că > 3 Peru = iegaliaea (*) ese adevăraă deoarece > 6 Peru =3 iegaliaea (*) ese adevăraă deoarece 3> 93 Peru 4 avem 4> 33 >( 3 ) > ( ) pri urmare iegaliaea (*) ese adevăraă peru orice umăr aural mai mare sau egal cu deci s-a realiza o îmbuăățire a problemei propuse de auor.s-a uiliza fapul că șirul cu ermeul geeral a =( ) ese descrscăor. 9 7 3 PROBLEMA 4 Î GM 7-8/00 apare problema 475 al cărei euț îl redăm mai jos: Dacă x,x,,x Ꞓ(0; ) și ꞒN, demosrați că : 4 x x 6 x 3 x () > x x x OBSERVAȚIE:Î geeral am cosidera că problemele care vizează demosrarea uor iegaliăți su cele mai dificile ele soliciâd aâ experieță de rezolvior de probleme de aces ip câ și mulă mucă di parea rezolviorului.ca și î cazul problemei 3 e propuem să îmbuăățim iegaliaea respecivă.î aces scop vom 4 4 oa cu = x, = x,, = x de ude x =, x =,, x =. Cu acese oații iegaliaea daă devie: > () () 4 > Vom arăa pri iducție maemaică o iegaliae mai are: () () () 3 3 (**) egaliaea obțiâdu-se peru

=, 3 = 3, = respeciv cu oațiile iițiale peru x = 4 x, x 3 = 3 6 x 3,., x = x Î cele ce urmează vom oa cu S=.Î ipoeza că S ese cosaă eprecizaă vom demosra pri iducție maemaică iegaliaea (**) oaă P() Arăăm mai îâi că P() ese adevăraă.î aces scop cosiderăm S fucția f:(0; ) R,f()= 3.Se obție f ()= S( S3 ) cu f ()=0 = (S ) S.Deoarece pe iervalul (0;S 3 3 iervalul ( S 3 f() f ( S ) adică f() S 3 3 (S S 3 )4S 9. 3 [(S ) ] 4 3 ) fucția f ese egaivă și pe ; ) fucția f ese poziivă obțiem că f() 3 3.De aici P() ese adevăraă cu 4 egaliae peru = = S Vom arăa pri iducție maemaică implicația P() P() Peru S fixa epreciza așa cum am covei vom oa, peru u se de valori,,,, cu =S, cu S =. Țiâd co că S ()() = S [( ) () ] S S și oâd cu Q prima expresie obțiem Q ( () (***) Observăm că s-a folosi ipoeza de iducție. ) ( 3 3 ) () Lucrâd mai mul membrul al iegaliății (***) obțiem: S S (S S ) Q ( () ) ( 3 3 )()() S (S (S S ) ) () Fie î coiuare fucția g:(0;s) R ude g(x)=x (S x) Derivâd pe g obțiem g (x)=x (S x) x (S x) = x (S x) (S ( )x).se obție că g (x)=0 dacă și umai dacă x= S. Deoarece g ese poziivă pe (0; S) și ese egaivă pe iervalul

( S g(x) S; S) obțiem că g admie maximumul g( S) pri urmare S.îlocuid pe x cu S obțiem că : S g( S) [S (S S ) ] S [( S) (S S) ] Di () și () obțiem Q = 4 () ()() ( 3 3 () )()() Aces rezula coduce la cocluzia că implicația P() P() ese adevăraă.pri urmare iegaliaea mai are propusă de mie (**) ese adevăraă peru orice umăr aural mai mare sau egal cu.mai rămâe de arăa că () () 3 3 > (3) peru orice umăr aural mai mare sau egal cu ceea ce cofirmă că iegaliaea (**) ese mai are decâ cea propusă de auor. Peru a demosra (3) puem uiliza iegaliaea dire media geomerică și media arimeică mai precis: () 3 3 3 () obție iegaliaea (3). PROBLEMA 5 = ()() 6 () = 3 < () de ude se Urmăoarea problemă ese o problemă propusă peru clasa a VI a î GM 5,6/003 dar are u grad spori de dificulae.euțul acesei probleme ese urmăorul: Să se arae că oricare ar fi rei umere rațioale sric poziive x,y,z asfel îcâ xyz= are loc iegaliaea: x 3 y 3 y 3 z 3 z 3 x 3 OBSERVAȚIE:Voi da o variaă de rezolvare a acesei probleme și ulerior voi propue u euț geeraliza peru aceasă problemă pe care îl voi demosra.

Deoarece x 3 y 3 = (x y)(x xy y ) și x xy y = (x y) xy xy se obție că x 3 y 3 (x y)xy.aalog y 3 z 3 (y z)yz și z 3 x 3 (z x)zx. Noâd cu E(x,y,z)= și țiâd co de x 3 y 3 y 3 z 3 z 3 x 3 iegaliățile sabilie aerior obțiem: E(x,y,z) xy(xy) yz(yz) de ude rezulă, uilizîd ipoeza xyz=, E(x,y,z) xz(xz) z (xy) x (yz) y (xz) E(x, y, z) z x y xyz xyz xyz x=y=z= ceea ce rebuia demosrae. = cu egaliae peru GENERALIZAREA pe care o propu ese urmăoarea: Dacă x,x,,x su umere reale poziive și x x x = auci x x x x x 3 x x x x Peru demosrarea acesui euț geeraliza uilizăm iegaliaea geeralizaă a mediilor peru sumele de pueri de la umiorul fiecărui erme al sumei di membrul sâg al iegaliății de mai sus,fie aceasa E(x,x,,x ).Asfel peru suma de pueri de la umiorul primului erme avem x x x ( x x x ) x x x (x x x ) ( x x x ) (x x x )x x x.î mod asemăăor se vor miora celelale sume de pueri obțiâd asfel: E(x, x,, x ) (x x x )x x. x (x x 3 x ).x x 3 x (x x x ) x x. x Dacă uilizăm codiția ca produsul celor variabile să fie se obție urmăoarea iegaliae: E(x, x,,x ) ude rezulă: E(x,x,,x ) demosra. (x x x ) x x x x x x (x x 3 x ) x x x x (x x x ) x de x = x x.x ceea ce rebuia

PROBLEMA 6 Î GM r. /004,pagia 43 apare urmăoarea problemă: Fie a,b,c umere reale sric poziive asfel îcâ abc=. Să se arae că : a b c a b c. OBSERVAȚIE:Problema ese preluaă di REVISTA KVANT. Î cele ce urmează vă prezi u euț geeraliza al acesei probleme pe care îl voi demosra: Peru orice umere reale sric poziive a,a,,a cu proprieaea a a a = (*) are loc urmăoarea iegaliae: a a a a a a (**) Demosrația pe care o propu se bazează pe aducerea iegaliății de demosra la o formă echivaleă despre care puem sabili cu ușuriță valoarea de adevăr țiâd co de codiția (*) Asfel iegaliaea (**) a a a ( a a 3 a (a a )(a a 3 ) (a a ) ( a )(a ) a a 3 a ( a a a 3 a a a a a a a 3 a ) (. (a a )(a a ) (a a ) ( a )(a ) (a a )( a a a a a a a a a a 3 a a a 3 a (a a )(a a 3 ).(a a ) ( a )(a ) ) 0 Ulima iegaliae ese adevăraă. a a.a ) 0 a a.a ) 0 (a a ) ( a a ) (a a 3 ) ( a a 3 ) Problema 7 Î cele ce urmează vă prezi o problemă care apare î GM r /003.Am ales aceasă problemă deoarece modul ei de rezolvare e coduce la obțierea imediaă a uei geeralizări.

Euțul problemei ese urmăorul: Dacă a,b,c> 0 să se arae că a b c 3 a b c abc (*) Ideea de rezolvare se bazează pe observarea iegaliății de demosra î cazul paricular a=b=c. Î aces caz paricular obțiem că (*) ese echivaleă cu: 3 3 3 a a a a 0 ulima iegaliae fiid adevăraă. Ideea de bază ese uilizarea iegaliății : a a () b b (3) c c () și aaloagele: Di relațiile (),(),(3) obțiem pri aduare membru cu membru urmăoarea iegaliae: a b c 3 ( a b c )(4) Pe de ală pare uilizâd iegaliaea și aaloagele a b ab obțiem pri aduare membru cu membru ( ) ( a b c )(5) bc ab ac Di relațiile (4) și (5) obțiem iegaliaea (*) de demosra. Urmărid modul de rezolvare puem să e gâdim la urmăoarea geeralizare: a a a ( a a a a 3 a a ) PROBLEMA 8 Urmăoarea problemă apare împreuă cu rezolvarea ei î GM r /005,la pagia 635.Așa cum voi arăa ulerior problema poae fi îmbuăățiă pri obțierea uei iegaliăți mai ari decâ cea propusă de auor. Euțul problemei ese urmăorul: Dacă ꞒN,, a > 0, b > 0. c > 0, să se arae că:

ab ac bc (a c)(b c) (a b)(b c) (a b)(a c) Câd are loc egaliaea? Î cele ce urmează voi prezea rezolvarea auorului: REZOLVAREA AUTORULUI: Coform iegaliății mediilor avem: Respeciv: ac (ab)(bc) bc (ab)(ac) 3( ) ab = a (a b)(b c) a c b b c ( a a c b ( )) b c ( a ( b c ab bc c ab ac ( )) și ( )) Pri îsumarea acesor iegaliăți se obție cocluzia.egaliaea are loc auci câd c (= peru 3) a ac = b bc = a ab = c bc = b ab = Așadar peru 3 iegaliaea ese srică, iar peru = egaliaea are loc peru a = b = c OBSERVAȚIE Dacă plecăm cu fialul rezolvării făcue de auor și aume se cocluzioează că peru mai mare sau egal cu 3 iegaliaea ese srică și că se realizează egaliaea doar î cazul = peru a=b=c îrebarea firească ese care ese maximumul expresiei di sâga iegaliății peru fixa ( 3)și a,b,c variabile și poziive și câd se aige? Peru a răspude la aceasă îrebare am folosi iegaliaea geeralizaă a mediilor ac

( ab ac bc (ac)(bc) (ab)(bc) (ab)(ac) 3 se obție că: ) ( ab (ac)(bc) ac (ab)(bc) bc (ab)(ac) 3 ) 3 ( ) = 3 4 de aici ab (ac)(bc) ac (ab)(bc) bc (ab)(ac) 3 4 a=b=c.rămâe să arăăm că 3 4 cu egaliae peru < 3( ) ceea ce ese echivale cu ( ) < 4 ceea ce ese adevăra peru că șirul cu ermeul geeral membrul îâi al iegaliății ese descrescăor și pri urmare: ( ) ( 3 )3 < 4 peru oricare mai mare sau egal cu 3. PROBLEMA 9 Î GM /00 apare rezolvaă problema 433 di GM r5-6/000 pagia 45. Redăm mai jos euțul acesei probleme: Fie a,b,c (0; ) asfel îcâ abc=.să se arae că : a b ab bc OBSERVAȚIE: c. ca Rezolvarea propusă de auor uilizează î mod esețial fapul că abc= dar î realiae aceasă iegaliae ese adevăraă peru orice a,b,c umere reale poziive. Î cele ce urmează voi propue o ală formă a iegaliății propuse de auor urmâd să demosrez u euț geeraliza plecâd de la aceasă formă. a b ab bc c ca b a Cu oația x = b a, y = c b, z = a c x y z c a (*) b c iegaliaea (*) ese echivaleă cu: peru orice umere reale poziive x,y,z cu xyz=.voi peru demosra urmăorul euț geeraliza: x x x

orice umăr real mai mare sau egal cu - și peru orice umere poziive x,x,,x cu x x x =. Voi face o demosrație pri iducție maemaică.noăm cu P() proprieaea exprimaă de euțul geeraliza. Demosrăm P(),Fie î aces scop fucția f:(0; ) R, f(x) = x.derivâd fucția obțiem f (x)=- ude ese fixa mai (x) (x) x mare decâ.di aaliza semului derivaei se obție : f (x)>0 peru x,f (x) 0 peru x> și f ()=0.Pri urmare fucția admie maxim peru x= deci x peru orice umăr real poziiv x x.rezulă că peru orice două umere reale poziive x x x,x cu x x = deci P() ese adevăraă. Demosrăm î coiuare implicația P() P() Fie î coiuare umere reale poziive x,x,,x,x al căror produs ese și.exisă pri urmare u idice p peru care x p. Prir-o reumeroare puem cosidera x.se obție că : x x x = m Vom oa î coiuare z = x m observă că z z z =.Cu acese oații obțiem că: = x x x x m( m = m z ) m( ( z m m z ) m m z m z m = z ) z m m., z = x z m m,,z = x.se m = m m( z ) m Deoarece m ese mai mic sau egal cu se obție că m urmare puem aplica ipoeza de iducție peru z, z,,z obțiâdu-se asfel: x x x x m m () pri

Î coiuare se aalizează fucția g:(0; ] R, g(x) = Se obție că g (x)=- x ( x ) x x (x).se poae cosaa că semul lui g (x) ese da de semul expresiei:x ( x)- (x)=x x ( x ) ( x ) = ( x )(x ).Di aaliza semului lui g se obție că g (x) 0 peru xꞒ(0; ),g (x)>0 dacă xꞒ( ;0) și g ( )=g ()=0. x x = Deoarece fucția ese sric descrescăoare pe primul ierval și sric crescăoare pe al doilea ierval și limia fucției g î 0 ese iar g()= iar (adevăra) se obție că g(x) (). Di () și () se obție că P() ese adevăraă.pri urmare P() ese adevăraă peru orice umăr aural mai mare sau egal cu. PROBLEMA 0 Î GM r/006,pagia 03 apare problema 5486 cu urmăorul euț: Îr-u eraedru umim secțiue mediaă,secțiuea deermiaă de plaul care coție o muchie a eraedrului și care rece pri mijlocul muchiei opuse aceseia.să se arae că u exisă u eraedru peru care cele 6 secțiui mediae să fie simula riughiuri echilaerale. OBSERVAȚIE : Voi propue urmăorul euț îmbuăăți :Să se arae că u eraedru are cel mul 4 secțiui mediae riughiuri echilaerale. (*) Îr-o primă eapă voi arăa că exisă eraedre cu 4 secțiui mediae riughiuri echilaerale.

(**) Î a doua eapă voi arăa că u exisă eraedre peru care secțiuile mediae deermiae de cele rei muchii care pleacă di același vârf să fie simula riughiuri echilaerale. (***)Î a reia eapă se araă că u exisă eraedre care să aibă 5 secțiui mediae riughiuri echilaerale. ETAPA I Vom cosrui u eraedru ABCD cu 4 secțiui mediae riughiuri echilaerale asfel.toae fețele eraedrului su riughiuri isoscele cogruee î felul urmăor: ()ACD isoscel de bază AC cu mediaele duse di A,C cogruee cu laurile cogruee ale riughiului isoscel, DC și DA.() ABC isoscel,abc cogrue cu ADC. (3) DCB isoscel cogrue cu ADC(4) DAB isoscel cogrue cu ADC. Secțiuile mediae deermiae de laurile cogruee ale celor paru riughiuri isoscele și mijloacele muchiilor opuse acesor lauri su riughiuri echilaerale.îr-adevăr se observă că fiecare secțiue de aces ip ese deermiaă de o muchie di grupul celor 4 muchii cogruee și de două mediae cogruee cu acese muchii di codițiile impuse la cosrucția eraedrului. ETAPA A II A Presupuem pri reducere la absurd că exisă u eraedru ABCD peru care exisă rei secțiui mediae deermiae de rei muchii care pleacă di același vârf( fie acesea AB,AC,AD) riughiuri echilaerale.dacă oăm cu M,N,P mijloacele muchiilor CD,BC,BD acese secțiui su riughiurile ABM,AND,ACP.Dacă oăm cu O piciorul îălțimii eraedrului dusă di A obțiem di eorema oblicelor cogruee că OB=OM=x, OC=OP=y,ON=OD=z

Aplicâd eorema mediaei î riughiurile : COD peru OM mediaă,î riughiul BOC peru ON mediaă, î riughiul BOD peru OP mediaă obțiem relațiile. 4OM =(OC OD )-CD de ude 4x =(y z )-CD 4ON =(OB OC )-BC de ude 4z =(x y )-BC 4OP =(OB OD )-BD de ude 4y =(x z )-BD Pri aduare membru cu membru a celor 4 relații obțiem: CD BD BC =0 ( fals) pri urmare presupuerea făcuă ese falsă deci u exisă eraedre peru care secțiuile mediae deermiae de muchiile care pleacă di același vârf să fie riughiuri echilaerale simula. ETAPA A III A Fie ABCD u eraedru și AB,AC,AD,BC,BD 5 muchii ale sale.se observă că exisă rei muchii care pleacă di același vârf deci u ese posibil ca cele 5 secțiui mediae să fie simula riughiuri echilaerale deoarece coform eapei a doua u exisă eraedre peru care secțiuile mediae deermiae de muchiile care pleacă di același vârf să fie simula riughiuri echilaerale. De remarca că idifere de alegerea celor 5 muchii exisă rei muchii care pleacă di același vârf. Iaă că s-a realiza o îmbuăățire a problemei î sesul sabilirii umărului maxim al secțiuilor mediae riughiuri echilaerale îr-u eraedru. AUTOR: PROFESOR COTEA MARIANA EUGENIA MARTIE 09