FIŞA NR

Prof CORNELI MESTECN Prof RRODIC TRIŞCĂ CLUJ-NPOC 009

CUPRINS FIŞ NR NUMERE RELE Pg 6 FIŞ NR ECUŢII Pg 8 FIŞ NR FUNCŢII TEORIE Pg 0 4 FIŞ NR 4 FUNCŢII EXERCIŢII Pg FIŞ NR ECUŢII IRŢIONLE, ECUŢII EXPONENŢILE Pg 6 6 FIŞ NR 6 ECUŢII LOGRITMICE Pg 9 FIŞ NR PROGRESII Pg 8 FIŞ NR 8 ELEMENTE DE COMBINTORICĂ Pg 4 9 FIŞ NR 9 ELEMENTE DE GEOMETRIE VECTORI Pg 9 0 FIŞ NR 0 ELEMENTE DE GEOMETRIE NLITICĂ Pg FIŞ NR ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE Pg 9 BIBLIOGRFIE Pg 4

4

RGUMENT Culegere se dreseză elevilor di clsele XI-XII liceu, rut directă, respectiv XII-XIII liceu, rut progresivă şi costitue u spriji importt î pregătire de bză î domeiul mtemticii, î pregătire petru emeul de Bcluret Fişele coţi tât cuoştiţele teoretice ecesre cât şi modele de eerciţii rezolvte şi eplicte Temele propuse î fiecre fişă, sut cocepute petru fire cuoştiţelor dr şi petru uşur demersul elevilor î pregătire proprie petru susţiere emeului ţiol Mterilul pote fi utilizt tât l clsă cât şi î pregătire idividulă elevilor, cest urmărid recuperre cuoştiţelor lcure dr şi o pregătire temeiică, di timp, cre să corespudă ceriţelor progrmei de Bcluret Mult succes î pregătire mtemtică, Prof Coreli Mestec Prof Rodic Trişcă

FIŞ NR -NUMERE RELE propuător: prof Coreli Mestec BREVIR TEORETIC 0, ; Z =,,,,,0,,,, N =,,,, N Z Q R Puteri cu epoet rţiol, b R *, p, q Q : p p q ; Q = pq ; p q pq ; p q p p p p b ; ; p b b p p Proprietăţile rdiclilor, b R,, k N, impre su, b R ;, k N pre : * / Z, b N,(, b), b pq ; 0 ; p ; ; b b; k k k k b 0; ; b b Medi ritmetică umerelor rele,,, este m Medi rmoică umerelor rele pozitive uule,,, este mrm Medi geometrică umerelor rele pozitive,, Modulul ( vlore bsolută ) umărului rel, este m, este g, 0, 0 Probleme rezolvte Să se clculeze probbilitte c, legâd u umăr di mulţime {,,, 4,, 6,, 8, 9, 0 }, cest să fie rţiol Rezolvre:, 8,, Q, restul umerelor u sut rţiole r cz fvorbile P, r cz posibile umărul czurilor posibile = r totl de elemete di mulţime = 0, umărul de czuri fvorbile = r rţiole =, deci P 0 Să se clculeze probbilitte c, legâd u umăr di mulţime {,,, 4,, 6,, 8, 9, 0 }, cest să fie irţiol Rezolvre:, 8,, Q, restul umerelor u sut rţiole 6

r cz fvorbile P, r cz posibile umărul czurilor posibile = r totl de elemete di mulţime = 0, 8 4 umărul de czuri fvorbile = r irţiole = 8, deci P 0 Să se ordoeze crescător umerele : Rezolvre: = 4 4 = 4 = 6 = 4 ; 64 = 6 4 6 < < 8 < 4 4 Să se clculeze 9 9 Rezolvre: 9 rţioliz umitorul, 9 < 64, 64, 8 9 6 ; 8 = -m mplifict frcţi cu petru 9 = 9 Temă 9 9 Să se clculeze probbilitte c, legâd u umăr di mulţime {, 6,, 8, 9, 0,, }, cest să fie rţiol Să se clculeze probbilitte c, legâd u umăr di mulţime {,,, 4, }, cest să fie irţiol Să se clculeze: 4 Să se clculeze: 4 8 Găsiţi probleme semăătore su cre folosesc celeşi oţiui î vritele de bcluret şi rezolvţi-le ţi îtâmpit greutăţi? Notţi-le şi discutţi-le l or de mtemtică!

FIŞ NR ECUŢII propuător: prof Coreli Mestec BREVIR TEORETIC Ecuţi de form +b=0 cu Ecuţi b, b R, 0 re soluţi uică =- b c 0,, b, c R şi 0, re : b -două soluţii rele, dcă b 4c 0 ; b -o soluţie relă dcă b 4c 0 ; -ici o soluţie relă dcă b 4c 0 Descompuere triomului b c,, b, c R, 0 î produs: b c ( )( ), ude, sut soluţiile ecuţiei b c 0 Relţiile lui Viète: Fie, sut soluţiile ecuţiei b c 0 ( 0, 0 ); otăm S=, P= b c tuci S= = şi P= = Formre ecuţiei b c 0 câd se cuosc soluţiile sle: Fie, R, S=, P= tuci, sut soluţiile ecuţiei S P 0 Probleme rezolvte Să se determie mulţime vlorilor lui petru cre - < 4 < Rezolvre : - < 4 < / + 4 - + 4 < 4 + 4 < + 4 < < / : ; Să se determie mulţime vlorilor lui petru cre -6 < - + < Rezolvre : -6 < - + < / - -6 - < - + - < - - < - < - 4 / : (-) ; Să se determie vlorile rele le lui petru cre 0 0 0 0 0 Rezolvre: 0 tşăm ecuţi 0 0 =, b=, c= -0 b 4c şi disticte, 40, 49 >0, deci soluţiile sut rele b b ; Tbelul de sem este: - - + 0 + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + Di tbel rezultă că 0 0 ; ; 4 Să se determie umărul rel m petru cre umărul = - este soluţie ecuţiei m m Rezolvre: = - soluţie, îsemă că îlocuid pe cu - î ecuţie, obţiem o idetitte: petru 8

m m m m 0 m m 0 m m 0 ; ecuţi de grdul II re soluţiile rele m 0; m Să se determie vlorile rele le lui m petru cre soluţiile şi le ecuţiei m m, verifică relţi: 0 Rezolvre: m m 0 cu soluţiile şi b m c m Scriem relţiile lui Viète: m ; m Îlocuim î relţi ecuţi m m 0 cre re soluţiile rele m şi m 6 Ştiid că şi sut soluţiile ecuţiei 4 0, clculţi Rezolvre: şi sut soluţiile ecuţiei 4 0 b 4 c Scriem relţiile lui Viète: 4 ; = = 6 0 = = 6 9 = m folosit relţi Să se rte că mulţime { R / ( m ) m 0} re două elemete, oricre r fi m ; Rezolvre: ecuţi ( m ) m 0 re două soluţii rele dcă 0, m 4m 4m 8m 4 4m 8 8m 0 8m 0 m ; Temă Să se determie mulţime vlorilor lui petru cre - < + < Să se determie mulţime vlorilor lui petru cre - < - - 9 < Să se determie vlorile rele le lui petru cre 4 Să se determie umărul rel m petru cre umărul = este soluţie ecuţiei m m Să se determie vlorile rele le lui m petru cre soluţiile şi le ecuţiei m m m 0, verifică relţi: 6 Ştiid că şi sut soluţiile ecuţiei 0, clculţi ; Să se rte că mulţime { R / m m m 0} re două elemete, oricre r fi m R 8 Găsiţi probleme semăătore su cre folosesc celeşi oţiui î vritele de bcluret şi rezolvţi-le ţi îtâmpit greutăţi? Notţi-le şi discutţi-le l or de mtemtică! 9

FIŞ NR FUNCŢII - TEORIE propuător: prof Coreli Mestec BREVIR TEORETIC Fie mulţimile, B R şi o fucţie f : B f se umeşte fucţie strict crescătore dcă,, di rezultă f ( ) f ( ) f se umeşte fucţie crescătore dcă,, di rezultă f ( ) f ( ) f se umeşte fucţie strict descrescătore dcă,, di rezultă f ( ) f ( ) f se umeşte fucţie descrescătore dcă,, di rezultă f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f este crescătore dcă şi umi dcă,,,, vem 0 f este strict crescătore dcă şi umi dcă,,, f ( ) f ( ) 0 f este descrescătore dcă şi umi dcă,,, f ( ) f ( ) 0 f este strict descrescătore dcă şi umi dcă,,, f ( ) f ( ) 0, vem, vem, vem f este ijectivă dcă,, vem f ( ) f ( ) f este ijectivă dcă,, cu f ( ) f ( ) f este surjectivă dcă y B, stfel îcât y = f() f este bijectivă dcă f este ijectivă şi surjectivă f este iversbilă dcă eistă fucţi g : B cu g f şi f g B (vezi defiiţi compusei două fucţii) f este iversbilă dcă şi umi dcă f este bijectivă Operţii cu fucţii Fie f, g : D R, D R f g : D R, (f+g)() = f() + g() se umeşte fucţi sumă lui f şi g f g : D R, fg() = f()g() se umeşte fucţi produs lui f şi g f f f ( ) : D R, g( ) 0, D, ( )( ) se umeşte fucţie cât g g g( ) Fie f : B, g : B C Fucţi g f : C defiită pri ( g f )( ) g( f ( )) se umeşte compus lui g cu f Fie fucţi f : B, y = f() Fucţi g : B cu propriette ( g f )( ), şi ( f g)( y) y,y B, se umeşte ivers fucţiei f şi se oteză cu f 0

Fucţi fiă Fucţi f : R R, f ( ) b,, b R, se umeşte fucţie fiă Fucţi f este costtă dcă 0 Fucţi f este strict crescătore dcă 0 şi strict descrescătore dcă 0 Fucţi f : R R, f ( ) b,, b R, 0, se umeşte fucţie de grdul îtâi Fucţi f : R R, f ( ) b,, b R, 0, este bijectivă deci iversbilă Semul fucţiei de grdul îtâi: b f() Semul opus lui 0 Semul lui Fucţi de grdul II Fucţi f : R R, f ( ) b c,, b, c R, 0 se umeşte fucţie de grdul II b V ( ; ) este vârful prbolei (= reprezetre geometrică grficului fucţiei de 4 grdul II) şi cest reprezită puct de mim l fucţiei f dcă <0 / puct de miim l fucţiei f dcă >0 b Vlore f ( ) este vlore mimă fucţiei dcă <0 / vlore miimă 4 fucţiei dcă >0 Form coică fucţiei de grdul II este: b f ( ) 4 Mootoi fucţiei de grdul II Czul >0 f() Czul <0 f() f strict descrescătore f strict crescătore b 4 f strict crescătore mi b 4 f strict descrescătore m Semul fucţiei de grdul II Czul b 4c 0,, R, (, sut soluţiile ecuţiei f()=0 ) presupuem f() semul lui 0 semul opus lui 0 semul lui b Czul b 4c 0, R, (, sut soluţiile ecuţiei f()=0 ) = f() semul lui 0 semul lui

Czul b 4c 0,, R (, sut soluţiile ecuţiei f()=0 ) f() semul lui Fucţi epoeţilă este f : 0; R, f () =, >0, -Fucţi epoeţilă este strict crescătore petru > şi strict descrescătore petru 0<< -Fucţi epoeţilă este bijectivă şi ivers ei este fucţi logritmică Fucţi logritmică este f : (0; + ) R, f () = log, >0, -Fucţi logritmică este strict crescătore petru > şi strict descrescătore petru 0<< -Fucţi logritmică este bijectivă şi ivers ei este fucţi epoeţilă Logritmi: log = b = b, >0,, 0 ;, b R Dcă,b(0; +) {},, y, r R tuci : log y = log + log y ; log = log log y ; log log, y log r logb = r log ; log = ; log = 0 ; log = log b

FIŞ NR 4 FUNCŢII - EXERCIŢII propuător: prof Coreli Mestec Probleme rezolvte Fie fucţiile f : R R, f ( ) şi g : R R, g( ) Determiţi soluţiile rele le ecuţiei f ( ) g( ) 4 Rezolvre: f ( ) g( ) 4 Îlocuim f () şi g () cu epresiile lor: ( ) ( ) 4 9 4 4; 4 ; 9/ : R Fie fucţiile f : R R, f ( ) şi g : R R, g( ) Determiţi f ( g(0)) g( f ( )) Rezolvre: I g ( 0) 0, g(0) ; f ( g(0)) f () ; f ( g(0)) 9 f ( ) ( ), f ( ) ; g( f ( )) ; g ( f ( )) 0; f ( g(0)) g( f ( )) 9 0 II f g : R R,( f g)( ) f ( g( )) g( ) ( ) 9 f ( g(0)) 0 9 9 ; g f : R R,( g f )( ) g( f ( )) f ( ) 6 g ( f ( )) ( ) 6 0 ; f ( g(0)) g( f ( )) 9 0 Fie fucţi f : ; R, f ( ) Determiţi mulţime vlorilor fucţiei f Rezolvre: Fucţi f este strict descrescătore vâd =- <0, f ( ) ( ) > ( ) f ( ) ; = Im f f, deci 4 Fie fucţi f : R R, f ( ) 0 Clculţi distţ ditre puctele de itersecţie le reprezetării grfice fucţiei cu O Rezolvre: G f O : f ( ) 0 0 0 ; b 4c, 4( 0) 8 b 9 b 9 4, G f O ( 4;0); B( ;0) d( ; B) ( B ) ( y B y ) ( 4) 0 8 9 Fie fucţi f : R R, f ( ) m ( m ) Determiţi vlorile rele le lui m petru cre bscis puctului de mim l grficului este Rezolvre: G dmite u puct de mim dcă 0 m 0 m ;0 f b Puctul de mim este V ;, bscis este 4 m Di ipoteză m 0 m 4, deci b ( m ) m m m

6 Fie fucţi f : R R, f ( ) m ( m ) Determiţi vlorile rele le lui m petru cre vlore mimă fucţiei f este 8 Rezolvre: G dmite u puct de mim dcă 0 f, deci m 0 m ;0 b Puctul de mim este V ; ir vlore mimă fucţiei f este 4 4 ( ( m )) 4m m 0m Di ipoteză 4 4m 4m 4 deci 8 m 0m m m 0 cre re soluţiile rele m şi m, 4m 8 mbele egtive, deci soluţii le problemei Fie fucţi f : R R, f ( ) m ( m ) Să se rte că f ( ) 0,m R Rezolvre: I f () m m, dcă folosim form coică f () m 0, m R ; 4 II putem folosi şi semul fucţiei de grdul II: m m 0, 0 m, m R m f () m m + + + + + + + + + + + + + + + + + ( semul lui ) Di tbel observăm că f ( ) 0,m R 8 Fie fucţi f : R R, f ( ) 0 Clculţi f ( 0) f () f () f () f (4) f () Rezolvre: f ( ) ( 4)( ), 4 şi - sut soluţiile ecuţiei f()=0 f (4) 0 f ( 0) f () f () f () f (4) f () 0 9 Să se determie puctele de itersecţie le grficelor fucţiilor f, g : R R, f ( ) 4, g ( ) Rezolvre: I f ( ) g( ) 4 4 0 4 4 6 4,, ( ), g() 4 G G ( ; ), B(; 4) g, deci II y f ( ) y g( ) f g y 4 y y 4 y şi y 4 deci G G ( ; ), B(; 4) f g 0 Să se determie domeiul mim de defiiţie l fucţiei f : D R, f ( ) log ( ) 4

Rezolvre: C: 0 ; deci D ; Fie fucţi f : 0; R, f ( ) log Să se clculeze f () f () Rezolvre: f ( ) log 0, f ( ) log 4 f () f () 4 Clculţi log log log Rezolvre: folosim proprietăţile logritmului log y log y log log y, log log y, log 0; log log log log log 0 Temă Fie fucţiile f : R R, f ( ) şi g : R R, g( ) Determiţi soluţiile rele le ecuţiei f ( ) 4g( ) Fie fucţiile f : R R, f ( ) şi g : R R, g( ) Determiţi f ( g( )) g( f ()) Fie fucţi f : ; R, f ( ) Determiţi mulţime vlorilor fucţiei f 4 Fie fucţi f : R R, f ( ) Clculţi distţ ditre puctele de itersecţie le reprezetării grfice fucţiei cu O Fie fucţi f : R R, f ( ) m ( m ) Determiţi vlorile rele le lui m petru cre bscis puctului de mim l grficului este (-) 6 Fie fucţi f : R R, f ( ) m ( m ) Determiţi vlorile rele le lui m 9 petru cre vlore mimă fucţiei este 4 Fie fucţi f : R R, f ( ) m ( m ) Să se rte că f ( ) 0,m R 8 Fie fucţi f : R R, f ( ) 9 Clculţi f ( ) f ( ) f ( ) f (0) f () f () 9 Să se determie puctele de itersecţie le grficelor fucţiilor f, g : R R, f ( ), g ( ) 6 0 Să se determie domeiul mim de defiiţie l fucţiei f : D R, f ( ) log ( ) Fie fucţi f : 0; R, f ( ) log 4 Să se clculeze f () f (4) Clculţi log 6 log log Găsiţi probleme semăătore su cre folosesc celeşi oţiui î vritele de bcluret şi rezolvţi-le ţi îtâmpit greutăţi? Notţi-le şi discutţi-le l or de mtemtică!

FIŞ NR ECUŢII IRŢIONLE; ECUŢII EXPONENŢILE propuător: prof Coreli Mestec ÎNDRUMR PENTRU REZOLVRE ECUŢII IRŢIONLE -Se umesc ecuţii irţiole, ecuţiile cre coţi ecuoscut sub semul rdicl -Metod obişuită de rezolvre ecuţiilor irţiole costă î elimire rdiclilor pri diferite trsformări, reducâdu-le l ecuţii rţiole echivlete; cest lucru se fce pri ridicări l putere sfel îcât să dispră rdiclii Îite de trece l rezolvre efectivă ecuţiei, se pu codiţii de eisteţă rdiclilor petru obţie D mulţime / domeiul de eisteţă ecuţiei, respectiv soluţiilor; rdiclii de ordi pr u ses umi petru umere pozitive Se izoleză rdiclii (dcă este posibil) petru se pute ridic l putere şi se obţie o ecuţie mi simplă Se ţie cot de fptul că cei doi membrii i uei ecuţii trebuie să ibă celşi sem ( l ecuţiile cu rdicli de ordi pr) Se rezolvă ecuţi obţuută, se verifică dcă umărul / umerele găsite prţi domeiului de eisteţă soluţiilor D, după cre se scrie S- soluţi ecuţiei ECUŢII EXPONENŢILE -Se umesc ecuţii epoeţile, ecuţiile cre coţi ecuoscut l epoet -Metode de rezolvre: î rezolvre ecuţiilor epoeţile se utilizeză propriette de ijectivitte fucţiei epoeţile : y y, f ( ) - ecuţi de form b, 0, -dcă b 0, ecuţi u re soluţii ( ) -dcă b 0, b r f r f ( ) r S -dcă b b b f b S r f ( ) 0, ( ) log f ( ) g( - ecuţi de form ), 0, - se utilizeză propriette de ijectivitte fucţiei epoeţile : f ( ) g( ) f ( ) g( ) S f ( ) f ( ) - ecuţi de form 0, 0, -se oteză f ( ) t şi se ţie sem de fptul că t > 0 Probleme rezolvte ) Să se determie soluţiile rele le ecuţiei 0 Rezolvre: Codiţii: ; 0 ; D ; / 6 0, ; D S ; ) Să se determie soluţiile rele le ecuţiei Rezolvre: / 0 ) Să se determie soluţiile rele le ecuţiei 9 Rezolvre: Codiţii: 0 ; 9 0 9 9; 9 / 9 9 4 9 4 0 9 ; D 6

9 6 /: 9 8 / 9 64 8 9 64 0 8 4 0, b 8, c 4, b 4c 4 80 44 b 8 ; b 8 D, ( ) 9 4 6 F u este soluţie D, ( ) 9 6 4 este soluţie Deci S 4) Să se determie soluţiile rele le ecuţiei 4 4 Rezolvre: p pq ( m folosit q 6 4 Deci S şi propriette de ijectivitte fucţiei epoeţile:, D, cu ) ) Să se determie soluţiile rele le ecuţiei Rezolvre: 4 : Deci S m folosit fucţiei epoeţile pq p q şi pq p q şi propriette de ijectivitte 6) Să se determie soluţiile rele le ecuţiei 4 0 Rezolvre: 4 0 0 0 4 0 Notăm t 4t t 0 ; 4, b, c, b 4c t t, t t 8 8 4 0 t 0 t cestă ecuţie u re soluţie petru că 0 ir 0 4 4 4 Deci 0 fucţiei epoeţile p pq S m folosit q şi pq ) Să se determie soluţiile rele le ecuţiei Rezolvre: p 4 4 0 0 q şi propriette de ijectivitte 0

8 0 / : 0 0, otăm t 0 t t ;,, c b, 9 4 c b 4 t t, 4 t t 0 0 t t u re soluţie Deci 0 S m folosit pq q p şi p p p b b şi propriette de ijectivitte fucţiei epoeţile Temă Să se determie soluţiile rele le ecuţiilor ; 4 Să se determie soluţiile rele le ecuţiilor 8 ; Să se determie soluţiile rele le ecuţiilor 0 ; 4 ; 0 4 Să se determie soluţiile rele le ecuţiilor 9 ; 9 ; 0 4 ; 6 ; 0 9 4 ; 40 ; Găsiţi probleme semăătore su cre folosesc celeşi oţiui î vritele de bcluret şi rezolvţi-le ţi îtâmpit greutăţi? Notţi-le şi discutţi-le l or de mtemtică!

FIŞ NR 6 ECUŢII LOGRITMICE propuător: prof Coreli Mestec ÎNDRUMR PENTRU REZOLVRE -Se umesc ecuţii logritmice, ecuţiile cre coţi ecuoscut l bz su rgumetul uor logritmi -Metode de rezolvre: se utilizeză propriette de ijectivitte fucţiei logritmice log log y y -ecuţii de form log f ( ) b, 0, -se pue codiţi de eisteţă logritmului f( ) 0, pe cre o rezolvăm şi obţiem D domeiul î cre ecuţi pote ve soluţii -se rezolvă ecuţi : log f ( b ) b f ( ) ( coform defiiţiei logritmului ) -se verifică dcă umărul / umerele obţiute prţi lui D, obţiâduse stfel soluţi ecuţiei S -ecuţii de form log f ( ) log g( ), 0, f( ) 0 -se pu codiţiile de eisteţă logritmilor, sistem pe cre g ( ) 0 îl rezolvăm şi obţiem D domeiul î cre ecuţi pote ve soluţii -se rezolvă ecuţi : log f ( ) log g( ) f ( ) g( ) ( coform proprietăţii de ijectivitte fucţiei logritmice) -se verifică dcă umărul / umerele obţiute prţi lui D, obţiâduse stfel soluţi ecuţiei S -ecuţii de form log f ( ) log f ( ) 0, 0, -se pu codiţiile de eisteţă logritmilor f( ) 0, pe cre o rezolvăm şi obţiem D domeiul î cre ecuţi pote ve soluţii -se rezolvă ecuţi : log f ( ) log f ( ) 0 utilizâd substituţi log f ( ) t ( se obţie o ecuţie de grdul II, cre v ve soluţiile t, t dcă 0 şi u v ve soluţii rele dcă 0 ; î czul câd eistă soluţiile t, t, mergem mi deprte stfel: t t log f ( ) t f ( ) ;log f ( ) t f ( ) -se verifică dcă umărul / umerele obţiute prţi lui D, obţiâduse stfel soluţi ecuţiei S -ecuţii de form log g( ) f ( ) b, 0, f( ) 0 -se pu codiţiile de eisteţă logritmului g ( ) 0, sistem pe cre g ( ) îl rezolvăm şi obţiem D domeiul î cre ecuţi pote ve soluţii -se rezolvă ecuţi : log ( ) ( ) ( ) ( ) b g f b f g ( coform defiiţiei logritmului ) -se verifică dcă umărul / umerele obţiute prţi lui D, obţiâduse stfel soluţi ecuţiei S 9

Probleme rezolvte Să se determie soluţiile rele le ecuţiei log log Rezolvre : log log Codiţie : 0 ; D log 4 D S 4 log m plict propriette de ijectivitte fucţiei logritmice (fucţi logritmică este ijectivă deci, D, cu log( ) log( ) ) Să se determie soluţiile rele le ecuţiei log 8log 0 Rezolvre : log 8log 0 Codiţie : 0 0; D Notăm log t t 8t 0 ecuţie de grdul II, b 8, c, b 4c 64 6 00 b 8 0 b 8 0 t t t ; t t t 6 6 t log log log t log log, D S ; log Să se determie soluţiile rele le ecuţiei log log Rezolvre : log log 0 0 0; Codiţii : ; D 0 ; log log ( ) log ( ) log log 0, b, c, b 4c 9 ; D deci este soluţie ecuţiei D deci u este soluţie ecuţiei S m folosit : log log y log y şi propriette de ijectivitte fucţiei logritmice 4 Să se determie soluţiile rele le ecuţiei log Rezolvre : log Codiţie : 0 ; D log log log D 0

Deci S m folosit propriette de ijectivitte fucţiei logritmice Să se determie soluţiile rele le ecuţiei lg 6lg 0 Rezolvre : lg 6lg 0 Codiţie : 0 0; D Notăm lg t t 6t 0 6 4 6 4, b 6, c, 6 t t, t t t lg lg lg0 0 D t lg lg lg0 0 D Deci S 0;0 m folosit propriette de ijectivitte fucţiei logritmice Temă Să se determie soluţiile rele le ecuţiilor log ; log Să se determie soluţiile rele le ecuţiilor log 4 4 log log log ; Să se determie soluţiile rele le ecuţiilor log log 0 ; lg lg log ; lg log 4 Să se determie soluţiile rele le ecuţiilor log 4 ; log log Să se determie soluţiile rele le ecuţiilor l l 0; 6lg lg 0 6 Găsiţi probleme semăătore su cre folosesc celeşi oţiui î vritele de bcluret şi rezolvţi-le ţi îtâmpit greutăţi? Notţi-le şi discutţi-le l or de mtemtică!

FIŞ NR - PROGRESII propuător: prof Coreli Mestec BREVIR TEORETIC Progresii ritmetice Şirul se umeşte progresie ritmetică de rţie r, dcă r, Formul termeului geerl + (-)r, Sum primilor termei S Propriette progresie ritmetică, Şirul Progresii geometrice b se umeşte progresie geometrică de rţie q 0, dcă b b q, Formul termeului geerl b b q, Sum primilor termei q b, q S b b b q b, q Propriette b progresie geometrică b, b b Probleme rezolvte ) Să se determie l optule terme l şirului,, 9,, Rezolvre : se observă că şirul este o progresie ritmetică petru că 4, 4 9,9 4, etc Deci ( primul terme) şi rţi r 4 Ştim formul termeului geerl : ( ) r (8 ) 4, 9 8 ) Să se cluleze sum primilor termei i progresiei ritmetice ( ) î cre şi r Rezolvre: ştim că S şi ( ) r Î czul ostru, şi r, îlocuim î formule şi obţiem: ( ( 9)) 6 ( ) 9, S S 8 ) Să se demostreze că petru orice R, umerele, şi termeii cosecutivi i uei progresii ritmetice Rezolvre: ştim că progresie ritmetică, Pri urmre, cele trei umere fiid î progresie ritmetică, se flă î relţi 4 () sut

4) Să se determie l zecele terme l uei progresii geometrice î cre rţi este şi primul terme este Rezolvre: îtr-o progresie geometrică b bq, Ştim că b şi rţi este q, pri urmre b b 0 b 9 0, deci b 4 0 6 b 0, 9 0 b q ) Să se clculeze sum : 8 44 Rezolvre: observăm că termeii sumei se flă î progresie ritmetică î cre şi rţi r Petru sum termeilor progresiei ritmetice ştim S ir petru termeul geerl ( ) r Î eerciţiul ostru ştim că 44, deci 44 ( 44) sum termeilor : S S S 4, cum putem clcul 6) Să se clculeze sum Rezolvre: observăm că termeii sumei se flă î progresie geometrică î cre b şi rţi este ; petru sum termeilor progresiei geometrice ştim q b, q S b b b q ir petru termeul geerl b bq, b, q Î czul ostru tuci S 8 8 ) Î progresi ritmetică Rezolvre: ştim că 6 0 8 S 8 6 deci rezultă că 8 se cuosc: 6 0, 0 să se gsescă 6 0, 0, cee ce se pote scrie şi 6 6 0 r 0 r 0 m îmulţit prim ecuţie cu (-) şi m 6 0 r 0 0r 00 dut l dou ecuţie; r ; 0 9r 0 9 0 40 m folosit formul termeului geerl : ( ) r 9

8)Î progresi geometrică clculeze b 6 Rezolvre: ştim că tuci b 4 b q b cu termei pozitivi, se cuosc b şi b 4 Să se, b bq, 4 q q q q plicâd ir formul termeului geerl, vem b 6 b q 4, deci b b 486 6 6 Temă Să se determie l ouăle terme l şirului -,,,, Să se cluleze sum primilor 8 termei i progresiei ritmetice ( ) î cre şi r Să se demostreze că petru orice R, umerele, şi 9 sut termeii cosecutivi i uei progresii ritmetice 4 Să se determie l optule terme l uei progresii geometrice î cre rţi este şi primul terme este 680 Să se clculeze sum : 9 4 6 Să se clculeze sum 8 se cuosc:, 9 să se gsescă Î progresi ritmetică 8 Î progresi geometrică clculeze b b cu termei pozitivi, se cuosc b şi b Să se 9 Găsiţi probleme semăătore su cre folosesc celeşi oţiui î vritele de bcluret şi rezolvţi-le ţi îtâmpit greutăţi? Notţi-le şi discutţi-le l or de mtemtică! 4

FIŞ NR 8 - ELEMENTE DE COMBINTORICĂ propuător: prof Coreli Mestec BREVIR TEORETIC Fie E şi F două mulţimi evide Dcă crd E = k şi crd F =, (crd E = umărul de k elemete le mulţimii E), tuci umărul de fucţii defiite pe E cu vlori î F este Fie E o mulţime evidă cu elemete Mulţime fiită E se umeşte mulţime ordotă, dcă elemetele sle sut şezte îtr-o ordie bie determită Se umeşte permutre mulţimii eordote E, orice mulţime ordotă de elemete di E Numărul permutărilor de elemete di E este P =!, ude! =,, 0!= ( pri coveţie) Se umesc rjmete de elemete lute câte k, 0<k<, submulţimile ordote le lui E, vâd fiecre k elemete Numărul rjmetelor de elemete lute câte k, 0 k, este k, ude! k k su ( )( )( k ) ( k)! Se umesc combiări de elemete lute câte k, 0<k<, submulţimile eordote lui E, vâd fiecre k elemete k Numărul combiărilor de elemete lute câte k, 0 k, este C, ude k k! C P k!( k)! k Formul combiărilor complemetre: Formul de descompuere combiărilor: Biomul lui Newto: biomul lui Newto este k k C C k C C C k k k k k ( b) C b ; termeul geerl ( de rg k) di k0 k k k Tk C b, k {0,,,,} Numărul tuturor submulţimilor uei mulţimi cu elemete este: 0 k C C C C C o C C, Să se clculeze P C C C 6 Probleme rezolvte Rezolvre : cuoştem formulele : P =!, ude! =,, 0!= k! şi ( k)! C k k!, 0 k P k!( k)! k Pri urmre : P! 4 0,!!4 0 C C C C 0!!!! 6! 6! 4! 6 6 6 6 6 0 6! 4! 4!

Deci P C 6 =0-0-0=80 Obs m folosit fptul că u fctoril mi mre se pote eprim î fucţie de u fctoril mi mic Eemplu: 6! 46 4! 6 su 6!! 6 su 6!!4 6 etc Să se compre umerele şi 4 C C Rezolvre: Ştim formul de clcul petru combiări: combiări complemetre : k k C C b C 0 4 4 C4 C4 C4 C4! 4! 4 4 4 4 C C C, C C C C C!4! 4! 4 vem de clcult C C rezultă că 0 b C, ştim că 0 4 4 C4 C4 C4 C4 0 C k! şi formul petru k!( k)! C C C C C rezultă că b 4 b 6 ; comprâd cu b observăm că b Să se rezolve ecuţi: 0 Rezolvre: ştim formul de clcul petru rjmete: plicăm î czul ostru!!!!, N k k!, 0 k, pe cre o ( k)! după simplificre vem Ecuţi ostră 0 devie: 0 0 0 ecuţie de grdul II cre re soluţiile şi 4 ; cum, N, rezultă că soluţi ecuţiei este = 4 Să se determie umărul tuturor submulţimilor de elemete ce se pot form cu elemete di mulţime {,,,4,,6,} Rezolvre: Cuoştem defiiţi combiărilor: se umesc combiări de elemete lute câte k, 0<k<, submulţimile eordote lui E, vâd fiecre k elemete, ude E esteo mulţime evidă cu elemete Î czul ostru este vorb de combiări de elemete lute câte! Deci: C k! 4! 6, 0 k, C C simplficăm cu 4!, k!( k)!!! 4 poi cu respectiv cu, rezultă C! Să se clculeze umărul submulţimilor mulţimii {,,,4,,6}, cre u u umăr pr de elemete Rezolvre: umărul de submulţimi se flă cu combiări, cele cre u umăr pr de 4 6 elemete sut C 6 ; C6, C6! C k 6! 4! 6,0 k, rezultă că : C 6 C6 C6 k!( k)!!4! 4! 4 6 Clculâd cu ceeşi formulă obţiem : C şi C 6 6, 6

Cum vem de clcult umărul totl de submulţimi vâd u umăr pr de elemete, duăm rezulttele obţiute: ++= 6 Se cosideră 8 pucte, oricre ecoliire Câte drepte trec pri cel puţi pucte di cele 8? Rezolvre : trebuie să flăm câte submulţimi de câte pucte se pot form di cele 8! eistete, deci utilizăm formul combiărilor C k, 0 k, şi obţiem k!( k)! C 8 8 drepte Să se rezolve ecuţi : 4! 0 6! 4, N Rezolvre : codiţii : 6, N 6, N poi folosim fptul că u fctoril mi mre se pote eprim î fucţie de u fctoril mi mic De emplu! 4!!, etc ; pri urmre 4! 6! 4 4! 0 6! 6! 4 0 4 0 9 90 0 6!, îlocuid î ecuţie obţiem :, ecuţie de grdul II, cre re soluţiile 9 şi 0, dr 6, N, deci soluţi ecuţiei este 9 8 Să se determie câte umere de cifre disticte se pot form cu elemetele mulţimii {,,,4,} Rezolvre: î umere coteză şi ordie cifrelor, ste îsemă că vom form submulţimi ordote de câte cifre, folosid elemetele mulţimii {,,,4,}; ştim că : se umesc rjmete de elemete lute câte k, 0<k<, submulţimile ordote le lui E, vâd fiecre k elemete, ude E este o mulţime evidă cu elemete Pri urmre, î problem ostră este vorb de rjmete de elemete lute câte Cuoştem! formul petru rjmete: k,0 k, rezultă că se pot form ( k)!!! 4 60 umere!! 9 Să se clculeze probbilitte c legâd u elemet l mulţimii {,,,4,,6}, cest să verifice ieglitte! Rezolvre: trebuie să vdem cre ditre elemetele mulţimii {,,,4,,6} verifică ieglitte! ;! ();! 8 ();! 6 (); 4 4 4! 4 4 4 4 (F);! 0 (F); 6 6 6! 48 0 (F)

r cz fvorbile P, r czuri posibile = 6, r czuri fvorbile =, rezultă că r cz posibile P 6 0 Să se clculeze C 006 009 C009 k k Rezolvre: cuoştem formul combiărilor complemetre: C C şi observăm că C 009 006 009 C009 C009 C009 Să se clculeze C 4 98 C9 C9 006, pri urmre C =0 009 C009 k k k Rezolvre: ştim formul de descompuere combiărilor: C C C, plicâd-o î czul ostru : C 4 98 C9 C9 Să se rezolve iecuţi 8 deci C, N, 4 98 C9 C9 =0! Rezolvre: ştim k,0 k, plicâd î czul ostru, vem ( k)!!! 8 8 ; simplificăm cu!!! respectiv cu, putem fce st deorece N, Rezultă iecuţi 8 8 0 tşăm ecuţi de grdul II : 8 0 cre re soluţiile 4 şi ; petru fl soluţi iecuţiei, relizăm tbelul de sem: - 4 8 + + + + + + + 0 - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + Di tbel, rezultă că 8 0, N,, petru N ; ;4 ;4 Să se rezolve iecuţi C, N, C Rezolvre: codiţii ;;4;; D, N C!!!! 6 C Simplificâd, iecuţi devie : 6 8, 8, ;, pri urmre soluţi problemei este D 8,; 9;0;;;;4; 8

Să se clculeze P 4 C Să se compre umerele Temă şi 4 C 6 C6 b C 0 4 C C C C C Să se rezolve ecuţi: C 4 Să se determie umărul tuturor submulţimilor de 4 elemete ce se pot form cu elemete di mulţime {,,,4,,6,} Se cosideră pucte, oricre ecoliire Câte drepte trec pri cel puţi pucte di cele?! 6 Să se rezolve ecuţi : 6! Să se determie câte cuvite di 4 litere disticte se pot form cu u lfbet de 8 litere 8 Să se clculeze probbilitte c legâd u elemet l mulţimii {,,,4,}, cest să verifice ieglitte! 4 00 9 Să se clculeze C C 0 Să se clculeze C 00 00 6 6 990 C989 C989 Să se rezolve iecuţi C, N, Să se rezolve iecuţi C C, N, Găsiţi probleme semăătore su cre folosesc celeşi oţiui î vritele de bcluret şi rezolvţi-le ţi îtâmpit greutăţi? Notţi-le şi discutţi-le l or de mtemtică! 9

FIŞ NR 9 ELEMENTE DE GEOMETRIE- VECTORI propuător prof Rodic Trişcă BREVIR TEORETIC Regul prlelogrmului B u; C v u v B C D Regul triughiului Vectori coliiri Fie u u vector eul şi v u vector orecre Dcă u şi v sut coliiri, tuci eistă u umăr rel, uic, stfel îcât v = u Dcă eistă R stfel îcât v = u, tuci u şi v sut coliiri Probleme rezolvte Se cosideră triughiul echilterl BC, M este mijlocul lturii BC, O este cetrul triughiului Să se determie rel, stfel îcât M O Să se demostreze că î hegoul regult BCDEF, re loc relţi B F D 0

B D DC CB F D DE EF DE B DC F EF CB D B F D F B D B F B F D D Se cosideră ptrulterul BCD î cre CD D BD Să se demostreze că BCD este prlelogrm 4Se cosideră rombul BCD Să se clculeze O OB OC OD Î dreptughiul BCD să se clculeze D CB

6 Să se demostreze că î hegoul regult BCDEF, CB CD CO Rezolvre: O este itersecţi digolelor, respectiv cetrul cercului circumscris hegoului regult; BCDO este prlelogrm petru că tote cele ptru lturi u lugimi egle ( ltur hegoului este eglă cu rz cercului circumscris); pri urmre, coform regulii prlelogrmului CB CD CO Se cosideră puctele,b,c,d u tote coliire Dcă D CB 0, să se demostreze că ptrulterul BCD este prlelogrm Rezolvre: dcă,b,c,d sut pucte, u tote coliire, tuci di D CB 0 rezultă că D şi CB sut vectori opuşi ( u ceeşi direcţie- dreptele suport sut prlele, u lugimi egle şi sesuri opuse); deci D BC şi D=BC, dică BCD este prlelogrm B 8 Dcă B CB 0, să se clculeze rportul BC Rezolvre: B CB 0 dică B CB, dr BC CB deci B BC B BC BC BC 9 Fie triughiul echilterl BC îscris îtr-u cerc de cetru O ; să se clculeze BC B BO Rezolvre: Temă Găsiţi probleme de celşi tip î vrite, rezolvţi-le şi discutţi-le î clsă cu profesorul şi colegii dvs

FIŞ NR 0 ELEMENTE DE GEOMETRIE NLITICĂ IX-X-XI propuător prof Rodic Trişcă BREVIR TEORETIC U reper crtezi XOY determiă î pl o împărţire plului î ptru cdre: I = {M(,y)/ >0, y>0}, II = {M(,y)/ <0, y>0}, III = {M(,y)/ <0, y<0}, IV = {M(,y)/ >0, y<0} M ; y, M ; y ; M y ) î sistemul XOY, distţ ditre cele două pucte este d( M y v ( ;y) v i + y j, 4 y, v ;, v y,, y coordotele vectorului v ; v ; y R y v coliir cu v R î v v su ; y, tuci v y ; v v ; y ; ; y M ; y, M ; y î sistemul XOY, M M ; y y M M y y dm; M lm ; M 6 M M ; y M mijlocul segmetului B,, B y yb ; y, BB; yb M, ym ; G y G; G cetrul de greutte l triughiului BC, B C y yb yc ; y, BB; yb, CC ; yc G, yg ; 8 Ecuţiile dreptei î pl -ecuţi geerlă este d: + by + c = 0,,b,cR, 0 su b 0cre pote fi scrisă şi d : y m ude m este pt dreptei -ecuţi dreptei de ptă m cre trece pri puctul M o ( o ; y o ) este d: y-y o = m(- o ), mr -ecuţi dreptei cre trece pri puctele M ( ; y ) şi M ( ; y ) este y y y y M M :,, y y Pt dreptei M M este m M M y y -distţ de l u puct M o ( o ; y o ) l drept d: + by + c=0, este d(m o ; d) = -coordotele puctului de itersecţie l dreptelor d b y c 0 ; d : b y c : b y c 0 0se determiă c soluţie sistemului b y c 0 -poziţiile reltive le dreptelor î pl d, d d : + b y + c = 0; d : + b y + c = 0 Coicid Prlele d d b c 0 by 0 b c d : y = m + ; d : y = m + d d m m şi d b c b c d d d m m b c d b b d d m m şi Perpediculre d 0

-ri triughiului BC, ude y, B ; y, C ; y ; B B C C, este = Probleme rezolvte ude y B C y y B C Fie puctele ; şi B ; B i b j Rezolvre: ştim că dcă M M ; y Să se determie umerele rele şi b stfel îcât, M ; y y, deci B ; B 8; v ; y tuci v i y j 8i M ; y Mi ştim că dcă 8, b sut pucte î sistemul XOY tuci, deci B j, dr B i b j, rezultă Î reperul crtezi Oy se cosideră puctele ;0 şi B ;4 Să se determie coordotele vectorului O OB B Rezolvre: ştim că dcă M ; y, M ; y sut pucte î sistemul XOY tuci M M ; y y, ir O 0;0 ; pri urmre: O ;0, OB ;4, B 6;4 Mi ştim că dcă ; y, v ; y, O OB B 6 ;0 4 v tuci v v y ; deci ; y 4, dică O OB B ;0 Să se determie ecuţi dreptei cre trece pri puctele 4; şi ; B Rezolvre: cuoştem că ecuţi dreptei cre trece pri puctele M ( ; y ) şi M ( ; y ) este y y 4 y M M :,, y y, deci B : y y 4 4 y B : 6 6 B : 6 4 6y, simplificăm ecuţi cu 6 şi B : 4 y, B : y su B : y 0 4 Î reperul crtezi (O, i, j ) se cosideră vectorii u i j şi v 4 i j Să se determie coordotele vectorului 6u v v R, tuci Rezolvre: ştim că dcă ; y, v ; y, v y ; v v ; y ; ; y şi dcă v ( ;y) pri urmre v i + y j ; 6u v = 6( i j ) + ( 4 i j ) 0i j 8i j 8i 4 j Î reperul crtezi (O, i, j ) se cosideră vectorii u i j determie umărul rel petru cre cei doi vectori sut coliiri şi v i 4 j Să se 4

y Rezolvre: ştim că v coliir cu v R î v v su cu lte cuvite y cei doi vectori sut coliiri dcă coordotele lor sut proporţiole Deci u şi v sut coliiri dcă 0 6 ( m folosit : produsul 4 etremilor=produsul mezilor ); 6 Să se determie umărul rel petru cre dreptele y 6 0 şi y 0 sut prlele Rezolvre: cuoştem că d b c d deci b c cee ce îsemă că Să se determie distţ ditre puctele (4; ) şi B ( ; ) Rezolvre: cuoştem că dcă M ; y, M ; y distţ ditre cele două pucte este d( M ; M y y, deci d ( ; B) 4 ) d ( ; B) 6 6 d( ; B) 6 8 Să se determie ecuţi dreptei cre trece pri (-;4) şi este prlelă cu drept de ecuţie -y+6=0 Rezolvre: ştim că d d m m şi ude m şi m sut ptele celor două drepte Mi ştim că ecuţi dreptei de ptă m cre trece pri puctul M o ( o ; y o ) este d: y-y o = m(- o ), mr; ecuţi dreptei cerute este d : y y md dică d : y 4 md Drept d este prlelă cu drept d : y 6 0 d : y 6 d : y m d Cum d d m d m d rezultă că m d, pri urmre ecuţi dreptei d cerute este d : y 4 0 d : y 4 d : y su d : y 0 9 Să se determie coordotele puctului C simetricul puctului (;) fţă de puctul B(- ;0) Rezolvre: puctul C este simetricul puctului (;) fţă de puctul B(-;0), cee ce îsemă că B=BC, dică d(;b)=d(b;c) şi,b,c coliire, deci B este mijlocul segmetului C Cuoştem : M M ; y M mijlocul segmetului B, B y yb ; y, BB; yb M, ym ;

î czul ostru ; y ), C C ; y ) şi B ; ) B y mijloc, rezultă B C ; y B ( y y C ( C ( B C yc dică ;0 C ; yc, deci C ( ; ) 0 Î sistemul crtezi Oy se cosideră puctele (;), B(-6;-4), C(;-) Se cer: ) ecuţi mediei duse di B; b) perimetrul triughiului BC Rezolvre: ) medi î triughi este drept cre trece pritr-u vârf l triughiului şi pri mijlocul lturii opuse; medi dusă di B este drept BM, ude M este mijlocul lturii C C y yc Coordotele lui M sut M, ym dică M, ym B y yb 6 4 Ecuţi dreptei BM este:, deci BM : y M B ym y B 6 4 6 y 4 BM : 9 9 9 9 BM : 6 9y 6 BM : 9 4 8y BM : 6 y 8 (m împărţit ecuţi cu 9) BM : y 0 b) perimetrul triughiului = sum lugimilor lturilor = sum distţelor ditre vârfurile triughiului dică perimetrul = d(;b) + d(b;c) + d(c;) perimetrul triughiului = y y y y y y B B C B C B C C 4 98 4 4 Să se determie puctul D stfel îcât ptrulterul BCD să fie prlelogrm Se cuosc (-;-), B(4;) şi C(9;) Rezolvre: Fie O puctul de itersecţie l digolelor ptrulterului O C BD, dcă ptrulterul este prlelogrm tuci O este cetru de simetrie, deci O este mijlocul segmetelor C respectiv BD C y yc O mijlocul segm C O ; yo dică O ; yo B D yb yd 4 D yd O mijlocul segm BD O ; yo dică ; ; y D ( ; ) D D Să se clculeze distţ de l O(0;0) l puctul de itersecţie l dreptelor 4y 0 şi y 0 6

Rezolvre: cuoştem : coordotele puctului de itersecţie l dreptelor d b y c 0 ; d b y c 0se determiă c soluţie sistemului : : b y c 0 b y c 0 Fie d : 4y 0 şi d : y 0 b y c 0 d d, coordotele lui se flă rezolvâd sistemul dică b y c 0 8 4 0 4y 0 4y 0 4y 0 y 0 6y 9 0 0y 4 0 4 y y 0 y deci ; Distţ de l O l este d( O; ) 089 y y O O 4 4 9 Să se determie umărul rel m petru cre puctul ( ; ) se flă pe drept y m 0 Rezolvre: u puct prţie uei drepte dcă coordotele sle verifică ecuţi dreptei: ( ) m 0 m 0 m 4 Să se determie umărul rel m petru cre puctele ( ;), B(;), C( m;) sut coliire Rezolvre: puctele, B, C sut coliire dcă se flă pe ceeşi dreptă, deci C B Folosid problem terioră, rezultă : coordotele lui C trebuie să verifice ecuţi dreptei B y y y y B : B : B : B : y 0 B yb y C B m 0 m 4 Să se determie ecuţi dreptei ce trece pri puctul (;-) şi re pt m= Rezolvre: ecuţi dreptei de ptă m cre trece pri puctul M o ( o ; y o ) este d: y-y o = m( o ) Deci d : y y m d : y d : y 4 0 d : y 0 6 Î reperul crtezi Oy se cosideră puctele ( ;4), B(;), C(; m) Să se determie umărul rel m petru cre triughiul BC este dreptughic î

Rezolvre: coform teoremei lui Pitgor, dcă B C BC dică 8 m 4 m 4 9 m 9 64 m ; 89 m 8m 6 m m 8m m 0 BC este dreptughic î tuci 04 6m 04 m 6 Să se determie umerele rele, b petru cre puctele (;b) şi B(;b-) prţi dreptei y 0 Rezolvre: u puct prţie uei drepte dcă coordotele sle verifică ecuţi dreptei, d şi B d 8 0 6 8 b 0 b 0 8 8 b 0 b 8 0 8 8 b b b 8 Să se clculeze ri triughiului BC ude ( ;), B(0; 4), C(; ) Rezolvre: ri triughiului BC, ude y, B ; y, C ; y ; B B C C, este =, ri = î czul ostru 0 4 0 0 0 0 4 ude = 4 B C y y y B C 9 Î reperul crtezi Oy se cosideră puctul (4;) şi puctele B,C simetricele puctului fţă de O respectiv Oy Să se clculeze distţ ditre puctele B şi C Rezolvre: B simetricul lui fţă de O, tuci B(4;-); C este simetricul lui fţă de Oy, tuci C(-4;) d( B; C) y y 4 4 64 4 68 C B C B Fie puctele ;4 şi B ; B i b j Temă Să se determie umerele rele şi b stfel îcât Î reperul crtezi Oy se cosideră puctele ; şi B 0; 4 coordotele vectorului O OB B Să se determie Să se determie ecuţi dreptei cre trece pri puctele ; şi ;4 B 8

4 Î reperul crtezi (O, i, j ) se cosideră vectorii u 4i j şi v i j Să se determie coordotele vectorului u 4v Î reperul crtezi (O, i, j ) se cosideră vectorii u i j şi v 6i ( ) j Să se determie umărul rel petru cre cei doi vectori sut coliiri 6 Să se determie umărul rel petru cre dreptele y 0 şi 4 y 0 sut prlele Să se determie distţ ditre puctele ( 6; ) şi B ( ; ) 8 Să se determie ecuţi dreptei cre trece pri (-4;) şi este prlelă cu drept de ecuţie -+y+6=0 9 Să se determie coordotele puctului C simetricul puctului (-;4) fţă de puctul B(;) 0 Î sistemul crtezi Oy se cosideră puctele (-;), B(-;-4), C(0;6) Se cer: ) ecuţi mediei duse di C; b) perimetrul triughiului BC Să se determie puctul D stfel îcât ptrulterul BCD să fie prlelogrm Se cuosc (-;0), B(4;) şi C(6;) Să se clculeze distţ de l B(;0) l puctul de itersecţie l dreptelor y 0 şi 4y 0 Să se determie umărul rel m petru cre puctul ( 4; ) se flă pe drept y m 0 4 Să se determie umărul rel m petru cre puctele ( m; ), B(;), C(; 4) sut coliire Să se determie ecuţi dreptei ce trece pri puctul (-4;) şi re pt m=- 6 Î reperul crtezi Oy se cosideră puctele ( ;4), B(; m), C(;0) Să se determie umărul rel m petru cre triughiul BC este dreptughic î Să se determie umerele rele, b petru cre puctele (;b) şi B(+;-) prţi dreptei y 0 8 Să se clculeze ri triughiului BC ude ( 0;), B( ;4), C(; ) 9 Î reperul crtezi Oy se cosideră puctul (-;) şi puctele B,C simetricele puctului fţă de O respectiv Oy Să se clculeze distţ ditre puctele B şi C 0 Găsiţi probleme semăătore su cre folosesc celeşi oţiui î vritele de bcluret şi rezolvţi-le ţi îtâmpit greutăţi? Notţi-le şi discutţi-le l or de mtemtică! 9

FIŞ NR ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE propuător prof Rodic Trişcă BREVIR TEORETIC t -relţi ditre măsur î rdii, t, şi măsur î grde ughiurior, α, este 80 -dcă α este măsur î grde uui ughi tuci si cos, R - idetitte fudmetlă trigoometriei si( 80 ) si, cos( 80 ) cos si 90 cos,cos 90 si si tg, cos cos ctg si 0 =0 rd si 0 cos tg 0 ctg / 80 = 0 = 4 = 60 = 90 = 6 4 rd rd rd rd rd 0 0 - / 0 0 / Relţii metrice î pl: Fie ΔBC cu lturile BC=, C=b, B=c şi îălţime h coborâtă di vârful pe ltur,, B, C măsurile ughiurilor triughiului, R rz cercului circumscris triughiului, r rz cercului îscris triughiului -teorem siusurilor: si b B si c C si R -teorem cosiusului: b c bccos -ri triughiului: b c S p( p )( p b)( p c) ude p ; h bsi C bc S rp 4R -dcă ΔBC este dreptughic cu =90, b,c - ctete, ipoteuză b c b c si B cos C, cos B si C, tgb ctgc, ctgb tgc c b h bc S bc, h, b c (teorem lui Pitgor) -dcă ΔBC este echilterl =b=c, p=, h, S 4 40

Eerciţii rezolvte Se cosideră triughiul BC cu B, C, BC Să se clculeze cos B Rezolvre: folosim teorem cosiusului: b c bccos cre mi pote fi scrisă şi b c c cos B ; oi cuoştem B c, C b, BC deci 6 cos B 8 9 0cos B cos B cos B 0 Să se clculeze ri triughiului BC ştiid că B C m,, 0 h bsi C bc Rezolvre: cuoştem că ri triughiului este S rp, î problem 4R csi B bsi C bcsi ostră legem S Ştim că B c, C b, m 0 pri urmre si 0 S 4 Să se clculeze rz cercului circumscris triughiului BC, ştiid că C, m B 60 Rezolvre: cuoştem teorem siusurilor: putem folosi si b si B c si C R, î problem ostră b R R R R R R si B si 60 si 60 4 Fie triughiul dreptughic BC şi D mijlocul ctetei C Să se clculeze lugime ipoteuzei BC, ştiid că D 6, B Rezolvre: cuoştem b c (teorem lui Pitgor), î problem ostră C D C 6 C şi B= Se cosideră triughiul BC cu ri eglă cu, cu C şi BC 6 Să se clculeze sic csi B bsi C bcsi Rezolvre: cuoştem că ri triughiului este S bsi C Î czul ostru, ştim C b şi BC 6, deci S 6si C si C si C 6 6 Să se clculeze perimetrul triughiului BC, ştiid că B C m 4,, 60 4

Rezolvre: folosim teorem cosiusului: b c bccos c B 4, b C, m 60 BC B C B C cos 6 49 6 cos 60 6 6 BC BC BC BC Perimetrul B C BC Perimetrul BC Să se clculeze lugime îălţimii di î triughiului BC, ştiid că B, C, BC Rezolvre: B 44, C, BC 69 Observăm că BC C B, tuci coform reciprocei teoremei lui Pitgor, triughiului BC este dreptughic î Pri urmre bc C B 60, cum h h h h BC 8 Să se clculeze ri triughiului BC ştiid că B BC mb BC 0,, 0 csi B Rezolvre: cuoştem că ri triughiului este S, BC, c B 0 0 6 si B si0 si 80 0 si 0, rezultă că S 9 Să se demostreze că î orice triughi dreptughic BC de rie S şi ipoteuză de lugime este devărtă idetitte cos Bcos C S Rezolvre: -dcă ΔBC este dreptughic cu =90, b,c - ctete, ipoteuză b c bc si B cos C, cos B si C şi S Îlocuim î idetitte şi obţiem: c b bc cb bc 0 Să se clculeze si si 4 si 4 si deci Rezolvre: ştim că si 0 0 Să se clculeze cos0 cos0 cos0 cos 80 0 cos 0, deci Rezolvre: cos 0 cos0 cos 0 cos 0 0 Să se clculeze si 4 cos60 si0 Rezolvre: si 4 cos60 si 0 si si 4 si 4 si 0 Să se clculeze si si si 90 cos si si 90 cos, Rezolvre:, deci 4

si si si cos ( coform idetităţii fudmetle trigoometriei) 4 Să se clculeze cos cos cos69 cos9 Rezolvre: ştim că cos( 80 ) cos cos 80 cos 0, dică cos cos cos69 cos9 cos cos9 cos cos69 0 4 Să se clculeze si, ştiid că cos şi 0 ;90 Rezolvre: ştim idetităţii fudmetle trigoometriei 6 6 9 si cos, R, si si si Cum 0 ;90, rezultă că si (pozitiv) 6 Să se clculeze ri triughiului echilterl BC ştiid că re lugime îălţimii eglă cu Rezolvre: ştim că h şi S 0 00 S 4 4, deci 0 şi 4 Să se clculeze lugime lturii B triughiului BC ştiid că BC, m BC 4, m BC 60 c Rezolvre: putem folosi teorem siusurilor: si si C ude BC C mbc mbc, 4, 60, deci c c si 60 si 4 8 Triughiul BC este dreptughic î B, ir rz cercului circumscris triughiului este R= Să se clculeze lugime lturii C Rezolvre: triughiul BC este dreptughic î B deci C este ipoteuz, rz cercului circumscris este jumătte di ipoteuză, rezultă că C R 0 9 Să se determie si BCD î hegoul regult BCDEF Rezolvre: dcă O este cetrul cercului circumscris hegoului, respectiv puctul de itersecţie l digolelor, tuci OBC este echilterl, m OCB 60, log OCD - 4

echilterl şi m OCD 60 BCD rezultă că mbcd 0 şi si si0 si 80 60 si 60 lg tg44 lg tg4 lg tg46 lg tg4 lg tg4 0 Să se clculeze Rezolvre: tg4 lg tg4 lg 0 rezultă lg tg44 lg tg4 lg tg46 lg tg4 lg tg4 0 Să se clculeze cos0 cos 0 cos cos9 cos 0 cos0 cos cos 0 rezultă că cos0 cos 0 cos cos9 cos 0 cos0 0 Rezolvre: pritre prteze se flă şi Ştiid că si 40 cos40, să se clculeze si40 si40 si40 si 80 40 si 40 ;cos40 cos 80 40 cos 40 Rezolvre: si40 si40 si 40 cos 40 0 Temă Se cosideră triughiul BC cu B, C, BC 4 Să se clculeze cosc Să se clculeze ri triughiului BC ştiid că BC C mc,, 60 Să se clculeze rz cercului circumscris triughiului BC, ştiid că B 4, m C 4 4 Fie triughiul dreptughic BC şi D mijlocul ctetei B Să se clculeze lugime ipoteuzei BC, ştiid că D, C 8 Se cosideră triughiul BC cu ri eglă cu 9, cu B şi BC 6 Să se clculeze si B 6 Să se clculeze perimetrul triughiului BC, ştiid că B, BC 8, m B 60 Să se clculeze lugime îălţimii di î triughiului BC, ştiid că B 8, C 6, BC 0 8 Să se clculeze ri triughiului BC ştiid că B BC mb 0,, 9 Să se demostreze că î orice triughi dreptughic BC de rie S şi ipoteuză de lugime este S devărtă idetitte h tgb tgc si si 0 si 0 si 0 Să se clculeze Să se clculeze cos0 cos0 Să se clculeze cos4 si 60 tg0 Să se clculeze si 6 si 44

4 Să se clculeze cos cos cos68 cos8 4 Să se clculeze cos, ştiid că si şi 90 ;80 6 Să se clculeze ri triughiului echilterl BC ştiid că re lugime îălţimii eglă cu Să se clculeze lugime lturii B triughiului BC ştiid că BC 6, m BC 60, m BC 4 8 Triughiul BC este dreptughic î C, ir rz cercului circumscris triughiului este R= Să se clculeze lugime lturii B si CDE î hegoul regult BCDEF 9 Să se determie 0 Să se clculeze l tg40 l tg4 l tg4 l tg4 l tg60 Să se clculeze cos cos cos 6 cos4 cos cos Ştiid că si60 cos60, să se clculeze si0 si0 Găsiţi probleme semăătore su cre folosesc celeşi oţiui î vritele de bcluret şi rezolvţi-le ţi îtâmpit greutăţi? Notţi-le şi discutţi-le l or de mtemtică! 4

BIBLIOGRFIE ledru Blg, Gheorghe Miclăuş, Mirce Frcş, Ovidiu T Pop- Mtemticăcls X- ( TC + CD) Editur DCI, 00; Mrius Burte, Georget Burte Mtemtică mul cls IX- (TC + CD) Editur CRMINIS, 004; Mirce Gg Mtemtică mul cls X- ( lgebră M) Editur MTHPRESS, 00 C Năstăsescu, M Brdiburu, C Niţă, D Joiţă Eerciţii şi probleme de lgebrăpetru clsele IX-XII Editur Didctică şi Pedgogică, Bucureşti, 98 Vritele petru emeul de Bcluret, propuse de SNEE, 00, 008 Grup de utori Ghid de pregătire petru emeul de bcluret l mtemtică 00 Editur SIGM, 006 46

4