UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAOV Ctedr Deig de Produ &i Robotic Siozioul $iol cu rticire iter$iol PRoiectre ASItt de Clcultor P R A S I C ' Vol III Deig de Produ 7-8 Noiebrie Brov Roâi ISBN 97-6-76- FORMA LINIAR A PUTERILOR ÎNTREGI ALE NUMRULUI DE AUR I LEGTURA LOR CU IRUL LUI FIBONACCI Eil POPESCU Uiveritte Trilvi di Brov Abtrct: The firt rt of the rticle tudie oe rerble geoetricl trig d erie defied with / The we defied geoetricl rogreio with the rtio the hel of the golde uber ) R R while the geoetricl rogreio with the rtio t Z t re rticulr ce of the forer The i rt of the rticle refer to the lier ereio of the iteger ower of the uber A B where A d B re ucceive eleet of the Fibocci trig or for the eteio to Z of the Fibocci trig Cuvite cheie: u!rul de ur "irul lui Fibocci erire liir! uterilor îtregi t Nurul iruri forte cu urul Î cele ce urez vo ot lugie uui eget PQ ri PQ A îr$i u eget AB î edie &i etre rie îe deteri u uct M iterior egetului AB tfel îcât trtul dit$ei de l etreitte A egetului l uctul M fie egl cu roduul ditre lugie egetului AB i lugie egetului MB Puctul M deteri eciue de ur egetului AB A Fig M B Petru M re loc rel$i AM AB MB u AM AB Îtrucât uitte de lugie etru o MB AM uerelor rele ete le î od rbitrr e v coider AB Notâd AM roor$i de i u devie de ude e ob$ie cu rdci ozitiv Atuci MB AM Rortul ete cuocut ub deuire MB de urul de ur Se ob$ie vlore:
AM MB Deci Î cele ce urez i e vor roi ri 6679779 689887 S urri câtev iruri cre e forez ri utilizre urului ) irul cu tereul geerl N : K K ete u ir cu tereii î rogreie geoetric cu r$i Pri clcul direct e ob$ie: ) Rezult roire 689887 Seri geoetric deterit de irul N ete K K Avâd r$i ubuitr eri ete coverget ir u ete S Eglitte ecu$i urului ) e ote ob$ie i ri clcul direct: ) N Pri iduc$ie e ote deotr c irul ote fi dt i ri rel$i de recure$: etru b) irul cu tereul geerl ) ): K K N Ete o rogreie geoetric ifiit cu riul tere i r$i > c) irul cu tereul geerl ) Z ) : K K K ete de eee o rogreie geoetric diverget cu r$i d) Vo :lii cu irurile di eelele ) tfel: i b) defiid irul ) etru r cu N etru ir Efectuâd clculele ob$ie 6 Fig
Tereii cetui ir e dert î dou ubiruri Cei de rg r forez u ubir crector ce tide l ir cei de rg ir forez u ubir decrector ce tide l zero Î fig ete dt rerezetre e cetei itu$ii Progreii geoetrice cu ri iteredir f de czul riei de t for t Z t Î eelele dte i îite locul lui ote fi lut de t t Z t Se ob$i tfel rogreii t geoetrice ifiite cu r$i Oberv c e ot cotrui iruri cu o cretere tereilor i rid u i let decât î czurile t t Z luâd r$i de for R R Dc < < < < uterile de for crec dc Z crete dr cretere ete îcetiit f$ de ce e cre o u uterile Dc > uterile c uterile crec i reede Dc < < uterile de for decrec dc Z crete Petru fiecre ul$ie ordot du eoet uterilor de for > Z eit ul$ie uterilor de for ) cre u cretere iver f$ de uterile Acete oberv$ii ut utilizte î [] etru deterire irlelor logritice iteredire irlelor logritice ) irul lui Fibocci &i legtur lui cu urul Î jurul ului 7 e te l Pi fiul otrului cuocut ub orecl de Boccio blâdul) Târul uit Leordo v ve rte l dori$ ttlui u de o teeiic regtire tetic itut deur cuoti$elor uui fuc$ior u egutor Cuoti$ele le tetice vor fi colette î tiul uor cltorii efectute î ri cetre culturle le tiului di Egit Siri Biz$ Sicili Dtorit culturii le tetice i robleelor origile roue i rezolvte târul devie cuocut î lue tetic ub uele de Leordo di Pi Î ul ublict ub eudoiul FIBONACCI fiul lui Bocci) crte ititult Liber bci l crei titlu re eul de Aritetic Acet crte rercbil e cre dezvoltt-o ult î ul 8 cotituit u ijloc iortt de râdire î Euro oii ritetici cu criere zecil) Î e Fibocci itetizez o re ctitte de cuoti$e di tetic rb i zetre tichit$ii î doeiu l cre dug roblee i etode rorii Pritre robleele e cre le roue i le rezolv ete ce referitore l deterire urului de erechi de ieuri l cre e juge îtro crectorie l itervle egle de ti lecâd de l o ereche î ioteze bie recizte referitore l îul$ire lor Solu$i dt evide$iz irul 8 89 cuocut i î rezet ub uele de irul lui Fibocci Se vede c îceâd cu fiecre tere di cet ir ete egl cu u celor doi terei cre-l reced Deci dc-l ot cu ) irul ete dt de recure$ Acet ir re roriet$i iortte S- cottt c el re î ulte rocee de dezvoltre di tur dr i î uele teorii odere recu teori bzelor de dte Eit legturi ître irul lui Fibocci i urul de ur U eelu cuocut) ete ftul c irul lui Fibocci ) re tereii roi$i de tereii irului N Acet roire ete cu tât i bu cu cât ete i re Clculele cocrete rt c dc urul de zecile etru i ete re tuci tereii de rg r di roiez ri do tereii di irul lui Fibocci ir tereii de rg ir ri li Acet itu$ie cre ete ce
rel e lterez dc urul de zecile ete ic Se ote urri cet roire î tbelul de i jo ude -u lut roirile 689887 i 6679779 ir 6 998697 6698 9998 88997776 89 99689 8886 99 99968 89988679 7769 77 67 69999677 6 6 6999666 987 987 Ce i trâ legtur ditre irul lui Fibocci i uterile îtregi ozitive u egtive le urului ete dt de teore cre urez deotrt e re î jurul ului 96 Î cet lucrre ri Tore e d celor dou forule o deotr$ie ri iduc$ie recizâd c rezulttul e- fot elt de lucrre [] ude ete dt fr deotr$ie Teore Puterile îtregi le lui Z e eri liir ri coeficie$ii bioelor reective fiid î vlore bolut terei ucceivi i irului lui Fibocci Deotrie Petru ride î cet teore tote uterile îtregi le lui trebuie defiit î irul lui Fibocci i tereul Acet tere ou u chib rel$i de recure$ Se v coider deci irul lui Fibocci dt de recure$ N Atuci ): 8 K Î deotrre teoreei ut urrite i îtâi uterile K K Eglitte rerezit chir ecu$i cre-l defiete e ) ) ) R$ioâd iductiv dite c Atuci ) ) ) Rezult c rel$i ete devrt etru orice N S coider cu uterile K K 6 ) ) ) ) ) Itui eglitte ) ) Accetâd-o vo deotr c ceii for: re
[ ) ) ] ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Rezult c forul ccett ri iotez ete devrt etru orice N Se i ote crie ) [ ] N Obervi Clculre uterilor urului ri forul de liirizre dt ete i ect decât vlore ob$iut ri ridicri ucceive l utere Atfel ri forul de liirizre uterilor e 6 ob$ie 6 987 6 999688 e câd ri ridicri ucceive l utere - git 6 6999666 Obervi Forulele tbilite ri Teore etru liirizre uterilor urului ut devrte i etru cojugtul u 689887 îtrucât ut rdcii le celeii ecu$ii de grdul doi Sre eelu ri clcul direct e ob$ie ) ) Ete de rerct i ftul c lui Viète) rel$iile Prelugire l Z uei relii de recure O rel$ie de recure$ ri cre - defiit u ir de uere rele ote fi relugit l tereii de rg i ic decât cel i ic rg coidert î codi$iile ei ii$ile dc etru oricre tfel de rg e ob$i di rel$i de recure$ uere rele bie deterite Î cet cz vo ue c rel$i de recure$ - relugit l Z Acet lucru ete totdeu oibil dc rel$i ete liir Eelul Fie rel$i de recure$ cu i Pri clcul e ob$ie: 9 76 68 676 6 86 6 98 etc Se ote deotr c cet ir re liit L 6 8 Scriid etru uurre clculelor) rel$i de recure$ î for e ob$i tereii de rg egtiv: 9 etc 9 7 8 Tereii de rg egtiv rezit o lter$ de e Cei egtivi forez u ubir ce tide l ir cei ozitivi forez u ubir ce tide l Tereii de rg ozitiv îreu cu cei de rg egtiv e du relugire l Z irului ) e cre o ot ) Z Se i oberv c relugire l Z uei rel$ii de recure$ ote fi dt lecâd de l u ur de terei ucceivi i relugirii rbitrr lei dr egl cu urul de terei ii$ili i rel$iei de recure$ Î cet eelu e juge l ceei etidere l Z rel$iei de recure$ dc e iu c
terei ii$ili i 9 u 8 i 9 7 Eelul Fie rel$i de recure$ irului lui Fibocci N Rezult ) : 8 Dc rel$i de recure$ ete cri î for i î e d lui vlorile: ob$ie relugire egtiv irului lui Fibocci: Prelugire l Z irului lui Fibocci ete: ) { K 8 Z 8 K} Se ote oberv c îtreg relugire l Z irului lui Fibocci e ote ob$ie de l rel$i de recure$ coreuztore irului l cre e dug vlorile doi terei de rg coecutiv rbitrri lei Sre eelu ) Z e ob$ie di ude i Mi oberv c tereii di ) Z ietrici f$ de ut egli î vlore bolut Urrid Teore i relugire l Z irului lui Fibocci vo d o forul uic etru uterile îtregi le urului Teore Orice utere Z ote fi cri liir î for i fiid terei coecutivi di relugire l Z irului lui Fibocci Deotrie Art i îtâi ri iduc$ie c etru orice tere N di irul lui Fibocci re loc eglitte ) Urrid relugire l Z irului lui Fibocci e oberv c: ) ) ) S reuue c eglitte e verific decrector de l rgul â l rgul Îe c i ) ) ) ) Kiâd e de rel$i de recure$ irului lui Fibocci rezult ) ) ) ) ) ) ) Deci eglitte ete devrt N S urri jutificre eglit$ii Z Petru eglitte e verific etru orice Petru N eglitte ete deotrt î ri rte Teoreei Coider cu utere cu eoet egtiv N Cofor r$ii dou Teoreei e ob$ie ) ) ) ) ) ) Pri teore cre urez etide rezulttul referitor l liirizre uterilor îtregi le
rdciilor ecu$iei l rdciile uei ecu$ii rbitrre de grdul doi Teore Oricre r fi rdci ecu$iei uterile liir ri N e ot eri Deotrie Di ftul c ete rdci ecu$iei di eu$ ve Îul$id cet eglitte cu ob$ie: ) ) Coider i eglitte cee ce erite crie ) Îul$id di ou rezulttul i îite ob$iut ri ve ucceiv: ) ) ) ) ) ) R$ioâd iductiv reuue c etru N ve ) Atuci ) ) ) Deci re ceei for c i Cofor riciiului iduc$iei rezult c etru orice N ve: ) Obervi Petru irurile { K K} i { K K} ut fiecre ditre ele irul lui Fibocci Eelul Coider ecu$i cu ± i 7 rdciile i otâd ri u di rdcii e roue deteri erei liir ri 7 uterii Di ecu$ie ob$ie 8 8 6
8 6 8 6 9 6 6 6 6 Deci 7 9 6 Bibliogrfie Herz-Fichler R A Mtheticl Hitory of the Golde Nuber New-Yor: Dover 988 Kott R Fibocci Nuber d the Golde Sectio htt://wwwcurreycu/perol/rk ott/fibocci/fibhtl Well D The Pegui Dictiory of Curiou d Iteretig Nuber Middlee Egld: Pegui Boo 986 6-9 Poecu E Tiuri de curbe irle utilizte î deig Lucrrile Siozioului PRASIC