Elemente de geometie computţionlă. Sisteme de coodonte. Tnsfomăi 3D. Sistem de e de coodonte ientt dept: su ientt stâng: su Punct Un punct P din R 3 se pote peci pin: Coodonte cteiene: P) Coodonte omogene: Pu) Coodonte cilindice: Pα ) Coodonte sfeice: P α β) Pα ) P α β) P) β α α cteiene cilindice sfeice
Convesi de l coodonte cteiene l cele omogene: ) > ) Convesi de l coodonte omogene l cele cteiene: u) > /u/u/u) pentu u 0 vntjele folosiii coodontelo omogene după cum se v vede în continue): desciee unită tnsfomăilo o succesiune de tnsfomăi se pote descie cu jutoul unei singue mtice In pengl un vâf dint-o pimitivă de desene se pecieă stfel: b s i glvete 3 f [ v] coodonte) 4ub us ui unde număul şi tipul gumentelo se pecieă în comndă. Cu două dimensiuni în comndă se peupune că vloe 0 i cu 4 vloi se pecieă coodontele omogene. Eemple: glvetei 0); glvete3f0.0f.5f.0f); In difeitele clcule ce p un punct dt pin coodonte omogene) se epeintă pint-o mtice colonă: P w Vecto Un vecto este detemint de două vâfui şi un sens Un vecto e: oigine diecţie supot şi sens) lungime. Fie vectoul: B ) B ) Vectoul B este plel şi de ceeşi lungime cu vectoul P unde P - - - ). P B Fie v b c) tunci b c) sunt pmetii diectoi i vectoului i v b c este lungime vectoului Fie u b c) v ' b' c') doi vectoi.
w Podusul scl: scluv) 'bb'cc' u. v.cos t) unde t este unghiul dinte cei doi vectoi. Cu podusul scl se pote clcul unghiul dinte doi vectoi. Dcă podusul scl este nul tunci cei doi vectoi sunt pependiculi. Podusul vectoil: vectuv) este un vecto w pependicul pe plnul detemint de vectoii u w şi v şi pentu ce tiedul uvw) este dept i ' j b b' k c i bc' b' c) j c' ' c) k b' ' b) c' deci w bc' b' c c' ' c b' ' b) lte opetii utile cu vectoi: o dune doi vectoi o podusul unui vecto cu un scl o scădee doi vectoi o combinţi liniă doi su mi mulţi vectoi Pln Un pln se pote peci în umătoele modui:. Plnul ce tece pin punctul Pbc) şi este pependicul pe vectoul v B C): B C D 0 unde D --Bb-Cc punctul P pţine plnului) deci coeficienţii vibilelo din ecuţi plnului sunt pmetii diectoi i nomlei l pln: t v u B C) Pbc). Plnul detemint de tei puncte P i i i i ) i3 ecuţi plnului sub fomă de deteminnt) este: 3 3 3 0 3. Plnul detemint de tei puncte P i i i i ) i3 ecuţi plnului sub fomă pmetică) este:
) ) ) ) ) ) 3 3 3 v u v u v u unde R v u Pobleme utile: Detemine distnţei de l un punct P b c) l plnul α) BCD0 Detemine unghiului dinte două plne Condiţi c două plne să fie pependicule Dept. deptă pecită pin intesecţi două plne: 0 0 D C B D C B su echivlent: q p n m. deptă ce tece pin două puncte P i i i i ) i e ecuţi: su pmetic mi uşo de folosit): R t t t t ) ) ) 3. deptă ce tece pin punctul P 0 0 0 ) şi e diecţi dtă de vectoul v b c): c b 0 0 0 su sub fomă pmetică mi utilă): R t tc tb t Tnsfomi 3D de b Un punct P) se pote tnsfom înt-un punct P'' ' ') pint-o mtice 44 dcă P şi P' se pecieă în coodonte omogene: P) ---> P'' ' ') ) ) ' ' ' unde: 44 43 4 4 34 33 3 3 4 3 4 3 su ' ' ' T unde T t tnspus lui ). In pengl se foloseşte dou vintă de pecie tnsfomăii cu un vecto colonă pentu coodontele omogene le unui punct. In continue se v detemin mtice T pentu divese tnsfomăi de bă.
Tnslţi Tnslţi este tnsfome pin ce tote punctele unui obiect se deplseă în ceeşi diecţie şi cu ceeşi distnţă. Pecie cestei tnsfomăi se pote fce în tei modui:. Pin indice deplsăilo pe cele tei e de coodonte d d d) deplsăi poitive su negtive necese pentu tnsfom un punct P ) în punctul P ): d d d Lungime cu ce se fce tnslţi este: d d d. Pin pecie diecţiei un vecto: v b c) şi lungimii deplsăii: d. Ecuţi deptei ce tece pin P ) punctul ce se tnsfomă) şi e diecţi v este: t bt ct. Deoece punctul P )P d d d) v fi pe cestă deptă i distnţ dinte P şi P v fi d se detemină: d t d / d d b / t d d / b c deci: d d c / b c 3. Pin coodontele ) în ce se tnslteă ) deci: b b c c d - d - d -. Folosind vloile d d d) ce se pot detemin pentu fiece c mtice de tnslţie este: 0 0 d 0 0 d T d d d) 0 0. d 0 0 0 In pengl cestă tnsfome se pecieă pin comnd: gltnslte{f d}ddd) Rotţi in juul unei e Rotţi se fce cu un unghi în juul: unui punct - dcă tnsfome e loc în pln epeenttă în figu de mi jos) unei depte d) - dcă tnsfome se fce în spţiu Pentu otţi în spţiu unui punct P fie α unghiul de otţie şi Π) plnul ce tece pin punctul P şi este pependicul pe dept de otţie d) i B punctul de intesecţie dinte d) şi Π). Punctul P ce nu este pe dept de otţie d) se tnsfomă înt-un punct P' stfel încât punctele P şi P' sunt situte în plnul Π) distnţele de l dept de otţie l P şi P' sunt egle BPBP') şi unghiul PBP' e măsu α..
B α P' P Π) d) Pentu început vom nli o otţie în pln. Consideăm un sistem de e în pln şi un punct P) ce se oteşte în juul punctului. După o otţie de unghi α se obţine un punct P'''). ' P''') ' α β P) bţinem succesiv elţiile: cos β ); sin β ) ' cos α β ) cos α ) cos β ) sin α) sin β ) cos α) sin α ) *) ' sin α β ) sin α ) cos β ) sin β ) cos α) sin α) cos α); Folosim elţiile de mi sus pentu obţine fomulele de tnslţie în R 3. Pentu o otţie în spţiu în juul ei un punct P) devine punctul P'' ' ') unde ' şi ' se clculeă după fomulele *) de mi sus i '. Pentu o otţie în juul ei obţinem: α ' ; ' cos α) sin α) ' sin α ) cos α );
Pentu o otţie în juul ei obţinem: ) α ' cos α) sin α ) ' ; ' sin α ) cos α); ) Folosind coodontele omogene pentu otţiile mintite mi sus se obţin umătoele mtici de tnsfome: 0 0 0 0 cos α ) sin α) 0 Rotţie în juul ei : T RX α ) 0 sin α ) cos α ) 0 0 0 0 cos α) 0 sin α ) 0 0 0 0 Rotţie în juul ei : T RY α ) sin α ) 0 cos α ) 0 0 0 0 cos α ) sin α) 0 0 sin α ) cos α ) 0 0 Rotţie în juul ei : T RZ α) 0 0 0 0 0 0 In pengl otţi se pecieă pin comnd: glrotte{f d}pq) ce pecieă o ottie de unghi "" dt în gde în juul deptei specificte de pmetii diectoi pq). Pentu difeite vloi pticule le pmetilo diectoi pq) se obţin otţiile pticule descise mi sus. Scle Scle pesupune înmulţie coodontelo cu numite constnte numiţi fctoi de scă. Dcă ceste constnte sunt f f f coespunăto celo tei e de coodonte) tunci mtice de tnsfome este: f 0 0 0 0 f 0 0 T 0 0 0 SCf f f ) f 0 0 0 Simeti Vom peci simeti eflei) pentu: oigine ele de coodonte plnele de coodonte. ceste tnsfomăi se pot descie unit pin mtice de tnsfome:
0 0 0 0 b 0 0 T SIM b c). 0 0 c 0 0 0 0 Cui pticule de tnsfomăi obţinem stfel: bc- se obţine simeti fţă de oigine; b c- se obţine simeti fţă de plnul ; b- c se obţine simeti fţă de plnul ; - bc se obţine simeti fţă de plnul ; bc- se obţine simeti fţă de ; - b c- se obţine simeti fţă de ; b- c se obţine simeti fţă de ; bsevţie: Din mtice de tnsfome pentu scle şi simetie se obsevă că ceste se pot descie unit pint-o singuă mtice deci scle şi simeti se pot peci în plel pint-o singuă mtice de tnsfome. In pengl ultimele două tnsfomăi se pecieă pin comnd: glscle{f d}) Fofece she) cestă tnsfome modifică dimensiune şi fom obiectelo. In imgine umătoe se dă un eemplu de stfel de tnsfome unde pimul obiect cilindu) este tnsfomt în l doile obiect. Tnsfome se pote fce în diecţi ei ei ei două su tei e. In umătoe figuă se pecieă fptul că un punct ) din pln se tnsfomă în punctul '') unde vloe coodontei este popoţiontă cu vloe lui. Umătoe figuă pecieă un ptt ce se tnsfomă în diecţi ei poi i în finl în diecţi mbelo e.
In cul în ce cestă tnsfome se fce în spţiu în diecţi elo şi cu coodont neschimbtă fomul de clcul este: ' ' b ' In pengl nu eistă comeni pentu pecie cesto tipui de tnsfomăi. Ele se pot specific pin folosie comenilo: gllodmti{f d}mtice d) - se înccă o mtice pecită de gument se iu dtele începând cu o numită desă) glmultmti{f d}mtice d) - mtice cuentă se înmulţeşte din gument Eemplu: flot M[] {000000000000}; //mtice unitte M[4]; //'* M[]b; //'b* gl.glmultmtifm0); //colon dup colon Reumt tnsfomăi 3D oiginl tnsltie scle ottie she Tnsfomi 3D compuse
Fie T şi T două tnsfomăi ce tnsfomă succesiv P) în P ) poi P în P ). Fie şi mticile coespunătoe cesto două tnsfomăi. In cest c obţinem fomul de clcul pentu punctele P şi P : ;. Din ultim elţie se obsevă că podusul mticelo de tnsfome deci şi pecie lo în pengl) se fce în odine invesă efectuăii tnsfomăilo ). Deoece podusul mticelo nu este comuttiv eulttul succesiunii de tnsfomăi T umtă de T este în genel) difeit de tnsfome T umtă de tnsfome T. In continue este un eemplu în pln din ce se vede o justifice cestei fimtii. Tnsfomăile din cest eemplu sunt: E.: - tnslţie pe ; - otţie de 90 0 ; E.: - otţie de 90 0 ; - tnslţie pe ; Tnsfomăile complee pot să fie descompuse în tnsfomăi de bă descise mi sus). C eemplifice vom lu câtev stfel de tnsfomăi.. Simeti fţă de un punct Pbc) oece: T : Tnsltăm P în oigine: T--b-c); T : Deteminăm simeti fţă de oigine: SIM---); T 3 : Tnsltăm în P: Tbc). De ici se deduce o mtice pentu tnsfome: T--b-c) SIM---) bc) T.. Rotţi în juul unei depte oece: E. E.
d') d'') ) P P B α v ' v β ) Ppq) P 3 ) v Ө d ) M M' 3) Pesupunem că dept ) de otţie d) tece pin punctul bc) şi e pmetii diectoi v pq). Se cee efectue unei otţii de unghi Ө în juul deptei d). Fie M un punct oece pentu ce se fce cestă otţie. modlitte de educee cestei tnsfomăi l tnsfomăi de bă mintite mi sus este descisă în continue nu este singu vintă). Se v duce dept d) peste un din ele de coodonte pin tnsfomăi de bă i în juul cestei e de coodonte se v efectu otţi de unghi Ө. După cestă otţie se v educe dept d) l locul ei iniţil. T : Tnslţi lui în descisă de mtice TT--b-c). După cestă tnsfome dept d) se v tnslt înt-o deptă plelă d') i vectoul v se v tnslt în vectoul P plel cu v. T : Rotţie în juul ei stfel încât vectoul v să jungă în plnul deci vectoul v se tnsfomă în vectoul v ' P 3. După cestă otţie punctul P junge în punctul P 3 punctul P junge în P i dept d') se tnsfomă în d'') inclusă în plnul. Unghiul de otţie α se pote detemin din tiunghiul P B. Tnsfome stfel pecită este TRXα). T 3 : Rotţie în juul ei stfel încât dept d'') se suppune peste vectoul v ' se suppune peste ). Unghiul de otţie β se pote detemin din tiunghiul P P 3. Rotţi în juul ei se fce de l spe deci tnsfome de bă ş cum este descisă mi sus ce este descisă de l spe ) se fce cu unghiul -β). Tnsfome stfel elită este T3RY-β). T 4 : In juul ei se fce otţi de unghi Ө deci tnsfome este T4RZӨ). T 5 : Se efectuee tnsfome invesă de l T 3 deci o etţie de unghi β în juul e. Tnsfome stfel descisă este T5RYβ). T 6 : Se fce o otţie de unghi -α) în juul ei deci vem tnsfome T6 RX-α) este tnsfome invesă de l T. T 7 : Se fce o tnslţie T7Tbc) invesă tnsfomăii T.
Din cele descise mi sus eultă că mtice de tnsfome pentu otţi în juul unei e oece este: TTbc) RX-α) RYβ) RZӨ) RY-β) RXα) T--b-c). Pecie tnsfomăilo succesive în pengl: l pecie unui punct dint-o pimitivă se foloseşte o mtice cuentă de tnsfome pin ce se detemină poiţi punctului cuent în spţiu pentu stbilie mticei cuente de tnsfome se folosesc umătoele comeni: o se pecieă o mtice iniţilă pin gllodidentit) su gllodmti{f d}mtice d) o mtice cuentă se pote înmulţi l dept) cu o mtice dtă pin comnd glmultmti{f d}mtice d) su pint-o mtice detemintă de un din tnsfomăile descise mi sus: glrotte glscle gltnslte. o comenile gllodmti şi glmultmti se folosesc pentu tnsfomăi pticule de e. fofece) o odine de pecie comenilo este invesă odinii de efectue tnsfomăilo ultim comndă/mtice pecită coespunde l pim tnsfome ce se plică). In pengl se pote gestion o stivă de mtici de tnsfome cu jutoul două comeni: o glpushmti) - ce slveă mtice cuentă o memoeă în vâful stivei) o glpopmti) - ce înlocuieşte mtice cuentă cu mtice fltă în vâful stivei i cestă poiţie se elimină din stivă). Iehii de tnsfomăi S pesupunem că doim să viuliăm o figuă semănătoe cu ce din imgine lătută un obot). Pentu constuie cestui obiect se pote poced stfel se pcug mi mulţi pşi).
Psul : Se plecă de l un ptt. Psul : Se fce o scle. Psul 3: Se fce o tnslţie. Psul 4: Se dugă un nou ptt. Psul 5: Se fce o scle. Psul 6: Se fce o otţie. Psul 7: Se fce o tnslţie. Psul 8: Se dugă un nou ptt. Psul 9: Se fce o tnslţie. Psul 0: Se fce o scle. Tnsfomăile se pot fce sup: Integului obiect după constuie lui) Fiecăei componente în momentul în ce se dugă cest pentu fiece componentă se foloseşte o mulţime de tnsfomăi independente de tnsfomăile celollte componente) Uno componente din obiect dcă ele se memoeă eficient şi se pot fce stfel de tnsfomăi pentu un gup de componente). stfel de memoe eficientă este ce iehică boescentă) sugetă în continue: Integul obiect. Cpul obotului.. Gu obotului.. Nsul obotului.3. chiul stâng l obotului
.4. chiul dept l obotului. Copul obotului 3. Bţul stâng l obotului 3.. Bt infeio 3.. Bt supeio 4. Bţul dept l obotului 4.. Bt infeio 4.. Bt supeio 5. Picioul stâng l obotului 5.. Pte infeioă 5.. Pte supeioă 6. Picioul dept l obotului 6.. Pte infeioă 6.. Pte supeioă L fiece dinte ceste componente nodui din boe) se pote soci o mulţime de tnsfomăi