Curs 8 Derivbilitte şi diferenţibilitte pentru funcţii rele 8.1 Derivt şi diferenţil unei funcţii rele. Propriet¼ţi generle De niţi 8.1.1 (i) Fie f A R! R şi 2 A 0 \ A Spunem c¼ f re derivt¼ în punctul dc¼ eist¼ în R it f() (8.1) Vom not cest¼ it¼ cu f 0 () şi o vom numi derivt funcţiei f în punctul. Dc¼ f 0 () 2 R, spunem c¼ f este derivbil¼ în punctul (ii) Spunem c¼ funcţi f A R! R este derivbil¼ pe mulţime D A; dc¼ f este derivbil¼ în ecre punct din D. Funcţi nott¼ f 0 ; f 0 D! R; cre sociz¼ ec¼rui punct 2 D derivt f 0 () se numeşte derivt funcţiei f pe mulţime D De niţi 8.1.2 (i) Fie I R un intervl deschis şi f I! R. Spunem c¼ f este diferenţibil¼ în 2 I dc¼ eist¼ A 2 R şi I! R, cu () = () = 0; stfel încât = f() + A( ) + ()( ); (8.2) pentru orice 2 I În cest cz, plicţi linir¼ R 3h 7! A h 2 R se notez¼ cu df() şi se numeşte diferenţil funcţiei f în punctul (ii) Spunem c¼ f este diferenţibil¼ pe I dc¼ f este diferenţibil¼ în orice punct 2 I. Observţi 8.1.3 Anlizând de niţi nterior¼, observ¼m c¼, în czul unei funcţii f diferenţibile în ; diferenţ f() este proimt¼ locl de funcţi linir¼ A( ) S¼ observ¼m cum c¼, în czul funcţiilor rele, noţiunile de derivt¼ şi de diferenţil¼ sunt echivlente. Teorem 8.1.4 Dc¼ I R este un intervl deschis, tunci f I! R este diferenţibil¼ în 2 I dc¼ şi numi dc¼ f este derivbil¼ în. În cest cz, df()(h) = f 0 () h; 8h 2 R. (8.3) 1
2 CURS 8. DERIVABILITATE ŞI DIFERENŢIABILITATE PENTRU FUNCŢII REALE Demonstrţie. \ ) " Presupunem c¼ f este diferenţibil¼ în punctul 2 I Atunci eist¼ A 2 R şi I! R cu () = () = 0; stfel încât = f() + A( ) + ()( ); pentru orice 2 I Luând 2 I n fg şi împ¼rţind prin vem Obţinem eistenţ itei dic¼ f este derivbil¼ în f() = A + () f() = A 2 R; \ ( " Invers, s¼ presupunem c¼ f este derivbil¼ în ; deci eist¼ f 0 () 2 R Fie funcţi 8 < f() f () = 0 (); dc¼ 2 I n fg 0; dc¼ = Observ¼m c¼ () = () = 0 şi din de niţi lui vem pentru 2 I n fg; = f() + f 0 ()( ) + ()( ) f() = Evident, eglitte de mi sus re loc şi pentru = ; cee ce însemn¼ c¼ f este diferenţibil¼ în şi df()(h) = f 0 () h. Observţi 8.1.5 S¼ observ¼m c¼, în czul funcţiei g R! R, g() = ; obţinem din teorem nterior¼ c¼, pentru orice 2 R, Folosind cest¼ relţie şi (8.3), vom scrie d(h) = dg()(h) = g 0 () h = h; 8h 2 R. df() = f 0 () d (8.4) c eglitte de funcţii. De semene, vând în vedere eglitte nterior¼, uneori derivt unei funcţii mi este nott¼ şi f 0 = df d (8.5) Interpretre geometric¼ derivtei şi diferenţilei Pentru o funcţie derivbil¼ într-un punct, gr cul funcţiei dmite tngent¼ în punctul (; f()); ir vlore f 0 () reprezint¼ pnt tngentei l gr cul lui f în punctul (; f()) Astfel, tngent respectiv¼ re urm¼tore ecuţie y f() = f 0 ()( ) De semene, vem c¼ df()( ) = f 0 ()( )
8.1. DERIVATA ŞI DIFERENŢIALA UNEI FUNCŢII REALE. PROPRIET ¼AŢI GENERALE3 Figur 8.1 Interpretre geometric¼ derivtei şi diferenţilei Cu lte cuvinte, gr cul diferenţilei df() este trnslţi tngentei l gr cul funcţiei f în origine. Desigur, pentru puncte diferite din domeniul funcţiei f în cre cest este derivbil¼, tngentele pot ve pnte diferite, şi implicit trnslţiile lor în origine. În cest fel, putem observ c¼ diferenţil unei funcţii f de neşte, pentru ecre punct în cre eist¼, câte o plicţie linir¼, l c¼rei gr c este trnslţi tngentei duse în punctul corespunz¼tor l gr cul funcţiei în origine. Urm¼tore propoziţie ne d¼ o condiţie necesr¼ pentru derivbilitte. Propoziţi 8.1.6 Dc¼ funcţi f A R! R este derivbil¼ în punctul 2 A 0 \A; tunci f este continu¼ în Demonstrţie. Pentru 2 A; 6= re loc eglitte = f() + f() ( ) Trecând l it¼ cu! şi ţinând cont de operţiile cu ite de funcţii, obţinem eistenţ itei şi în plus Obţinem deci c¼ f este continu¼ în = f() + f 0 () 0 = f() Observţi 8.1.7 Reciproc propoziţiei nteriore nu este dev¼rt¼. Astfel, funcţi f R! R; = jj este continu¼ în punctul = 0, dr nu este derivbil¼ în cest punct. Introducem cum conceptele de derivt¼ şi derivbilitte lterl¼. De niţi 8.1.8 (i) Spunem c¼ funcţi f A R! R re derivt¼ l stâng în punctul 2 A 0 s \ A dc¼ eist¼ în R it < f() (8.6)
4 CURS 8. DERIVABILITATE ŞI DIFERENŢIABILITATE PENTRU FUNCŢII REALE Vom not cest¼ it¼ cu fs() 0 şi o vom numi derivt l stâng funcţiei f în punctul Dc¼ fs() 0 2 R, vom spune c¼ f este derivbil¼ l stâng în. (ii) Spunem c¼ funcţi f A R! R re derivt¼ l drept în punctul 2 A 0 d \A dc¼ eist¼ în R it > f() (8.7) Vom not cest¼ it¼ cu fd 0 () şi o vom numi derivt l drept funcţiei f în punctul Dc¼ fd 0 () 2 R, vom spune c¼ f este derivbil¼ l drept în. Folosind crcterizre itei prin intermediul itelor lterle, putem deduce urm¼torele. Teorem 8.1.9 Funcţi f A R! R este derivbil¼ în punctul 2 A 0 s \ A 0 d \ A dc¼ şi numi dc¼ f este derivbil¼ l stâng şi l drept în şi fs() 0 = fd 0 () În cest cz derivtele lterle sunt egle şi cu f 0 () Formul¼m în continure rezultte referitore l operţii şi reguli de clcul cu funcţii derivbile. Propoziţi 8.1.10 (Reguli de clcul pentru derivte) Fie f; g A R! R; 2 R şi 2 A \ A 0 Dc¼ f şi g sunt derivbile în ; tunci funcţiile f + g; f; f g sunt derivbile în şi (f + g) 0 () = f 0 () + g 0 (); (f) 0 () = f 0 (); (f g) 0 () = f 0 ()g() + f()g 0 () Dc¼, în plus, g() 6= 0; tunci funcţi f g este derivbil¼ în şi 0 f () = f 0 ()g() f()g 0 () g g 2 () Demonstrţie. Vom demonstr rmţi dor în czul rportului, celellte rezultând nlog, cu demonstrţii chir mi simple. Dc¼ g() 6= 0; ir g ind derivbil¼ este continu¼ în ; rezult¼ c¼ g() 6= 0 pentru orice dintr-o vecin¼tte U lui Atunci, pentru orice 2 (U \ A) n fg ; vom ve f () g f () g = = g() f() g() g() g() ( ) f() g() f() g() g() g() g() f() Cum = f 0 g() () 2 R; din continuitte funcţiei g; ne rezult¼ c¼ eist¼ g() = g 0 () 2 R şi g() = g() 6= 0 f () g f () g = f 0 ()g() f()g 0 () g 2 () 2 R, deci f g este derivbil¼ în şi re loc formul enunţt¼ mi sus.
8.1. DERIVATA ŞI DIFERENŢIALA UNEI FUNCŢII REALE. PROPRIET ¼AŢI GENERALE5 Teorem 8.1.11 (Derivbilitte funcţiilor compuse) Fie I; J R intervle. Dc¼ funcţi f I! J; este derivbil¼ în 2 I; ir funcţi g J! R este derivbil¼ în punctul b = f() 2 J; tunci compus lor g f I! R este derivbil¼ în şi (g f) 0 () = g 0 (f()) f 0 () Demonstrţie. Fie funcţi h J! R; de nit¼ prin 8 < g(y) g(b) ; y 2 J n fbg h(y) = y b g 0 (b); dc¼ y = b Cum g este derivbil¼ în b; eist¼ y!b h(y) = g 0 (b) = h(b) Prin urmre, h este continu¼ în b Este clr c¼ pentru orice y 2 J; de unde, g(y) g(b) = h(y) (y b) g() g(f()) = h() ( f()) pentru orice 2 I Pentru 2 I n fg putem scrie g() g(f()) = h() f() Deorece compunere h f este continu¼ în (din teorem de continuitte compunerii), prin trecere l it! obţinem c¼ eist¼ (g f) 0 () = h(f())f 0 () = g 0 (f())f 0 () Teorem 8.1.12 (Derivbilitte funcţiei inverse) Fie I; J R intervle şi funcţi f I! J; continu¼ şi bijectiv¼. Dc¼ f este derivbil¼ în 2 I şi f 0 () 6= 0; tunci funcţi invers¼ g = f 1 este derivbil¼ în b = f() 2 J şi (f 1 ) 0 (b) = 1 f 0 () Demonstrţie. Deorece f este continu¼ şi bijectiv¼ rezult¼ c¼ este strict monoton¼ ir g = f 1 este monoton¼ şi continu¼. Pentru y 2 J nfbg lu¼m 2 I nfg stfel încât = y Avem g(y) g(b) g() g(f()) = = y b f() f() = 1 f() Când y! b vem g(y)! g(b); deci! b Prin trecere l it¼ în eglitte de mi sus obţinem g 0 (b) = 1 f 0 () Desigur, în virtute Teoremei 8.1.4 şi formulei (8.3) putem deduce reguli de clcul pentru diferenţilele funcţiilor rele. Propoziţi 8.1.13 (Reguli de clcul pentru diferenţile) Fie I R un intervl deschis şi f; g I! R; 2 R şi 2 I Dc¼ f şi g sunt diferenţibile în ; tunci funcţiile f + g; f; f g sunt diferenţibile în şi d(f + g)() = df() + dg(); d(f)() = df(); d(f g)() = df() g() + f() dg()
6 CURS 8. DERIVABILITATE ŞI DIFERENŢIABILITATE PENTRU FUNCŢII REALE Dc¼, în plus, g() 6= 0; tunci funcţi f g este diferenţibil¼ în şi f d () = df()g() f()dg() g g 2 () Teorem 8.1.14 (Diferenţil funcţiilor compuse) Fie I; J R intervle deschise. Dc¼ funcţi f I! J; este diferenţibil¼ în 2 I; ir funcţi g J! R este diferenţibil¼ în punctul b = f() 2 J; tunci compus lor g f I! R este diferenţibil¼ în şi d(g f)() = dg(f()) df() (8.8) Demonstrţie. Ştim din Teorem 8.1.11 c¼ g f este derivbil¼, deci diferenţibil¼ în S¼ r¼t¼m (8.8). Avem, pentru orice u 2 R deci pentru orice h 2 R vom ve dg(b)(u) = g 0 (b) u; dg(f())(u) = g 0 (f()) u; [dg(f()) df()](h) = dg(f())(df()(h)) = dg(f())(f 0 () h) = g 0 (f()) f 0 () h = (g f) 0 () h = d(g f)()(h); de unde rezult¼ relţi ce trebui r¼tt¼. 8.2 Teoremele fundmentle le clculului diferenţil rel Acest¼ secţiune conţine unele propriet¼ţi importnte le funcţiilor derivbile, precum şi plicţii le cestor în studiul diverse specte legte de comportmentul cestor, cum r monotoni, proimre, punctele de etrem etc. Pentru cest, introducem mi întâi noţiune de punct de etrem. De niţi 8.2.1 Fie f A R! R. Spunem c¼ 2 A este (i) punct de minim locl pentru f dc¼ eist¼ o vecin¼tte V punctului stfel încât f() ; pentru orice 2 A \ V ; (ii) punct de mim locl pentru f dc¼ eist¼ o vecin¼tte V punctului stfel încât f() ; pentru orice 2 A \ V ; (iii) punct de etrem locl pentru f dc¼ e punct de minim su de mim locl; (iv) punct de minim globl pentru f dc¼ f() ; pentru orice 2 A; (v) punct de mim globl pentru f dc¼ f() ; pentru orice 2 A; (vi) punct de etrem globl pentru f dc¼ e punct de minim su de mim globl. Observ¼m imedit c¼ orice punct de minim (respectiv, mim) globl este punct de minim (respectiv, mim) locl, dr reciproc nu este dev¼rt¼. Teorem 8.2.2 (Fermt) Fie I R un intervl şi 2 I. Dc¼ f I! R este derivbil¼ în ; ir este punct de etrem locl pentru f; tunci f 0 () = 0
8.2. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL REAL 7 Demonstrţie. S¼ presupunem c¼ este punct de minim locl. Eist¼ o vecin¼tte V lui stfel încât pentru orice 2 V \ A s¼ ib¼ loc f() Cum 2 I; putem presupune c V A Deci dc¼ 2 V; < ; frcţi f() este pozitiv¼, ir dc¼ 2 V; < ; frcţi este negtiv¼. Prin trecere l it¼ în ecre cz în prte, obţinem fs() 0 0 şi fd 0 () 0 Cum f este derivbil¼ în ; cele dou¼ derivte lterle sunt egle, deci sunt egle cu 0 Observţi 8.2.3 1. Reciproc teoremei lui Fermt nu este devrt¼ de eemplu derivt funcţiei f R! R; = 3 se nulez¼ în 0 f¼r¼ c cest punct s¼ e punct de etrem. 2. Condiţi c s¼ e interior intervlului I este esentil¼, dic¼ în lips cestei ipoteze concluzi nu se mi p¼strez¼ de eemplu f [0; 1]! [0; 1]; = re în = 0 un punct de minim în cre derivt nu se nulez¼. 3. Teorem lui Fermt precizez¼ condiţii necesre pentru c un punct s¼ e de etrem locl. Aş cum m v¼zut mi sus, ceste condiţii nu sunt şi su ciente. Deci, în plicţii, rezolvând ecuţi f 0 () = 0 obţinem ş-numitele puncte critice, cre sunt cndidţii pentru punctele de etrem. Pentru decide dc¼ un punct critic este şi punct de etrem trebuie studit¼ vriţi funcţiei în jurul respectivului punct ( se vede consecinţele Teoremei lui Lgrnge de mi jos). Teorem 8.2.4 (Rolle) Fie ; b 2 R; < b şi f [; b]! R o funcţie continu¼ pe [; b]; derivbil¼ pe (; b) stfel încât f() = f(b). Atunci eist¼ c 2 (; b) stfel încât f 0 (c) = 0 Demonstrţie. Dc¼ f este constnt¼ pe [; b]; tunci f 0 (c) = 0 pentru orice c 2 (; b); deci re loc concluzi. Presupunem c¼ f nu este constnt¼. Cum f este continu¼ pe mulţime compct¼ [; b]; este m¼rginit¼ şi îşi tinge mrginile conform Teoremei lui Weierstrss. Fie ; 2 [; b] stfel încât f() = inff j 2 [; b]g şi f() = supf j 2 [; b]g Este clr c¼ f() < f() şi deci c¼ nu putem ve simultn = şi = b (prin ipotez¼, f() = f(b)). Eist¼ şdr un punct de etrem locl (chir globl) în interiorul intervlului [; b] şi f este derivbil¼ în cel punct. Utilizând Teorem lui Fermt, rezult¼ concluzi. O funcţie f [; b]! R cu propriet¼ţile c¼ este continu¼ pe [; b] şi derivbil¼ pe (; b) se mi numeşte funcţie Rolle. Trecem l un rezultt, forte importnt în specil dtorit¼ consecinţelor sle. Teorem 8.2.5 (Lgrnge) Fie ; b 2 R; < b şi f [; b]! R o funcţie continu¼ pe [; b]; derivbil¼ pe (; b) Atunci eist¼ c 2 (; b) stfel încât f 0 (c) = f(b) f() b Demonstrţie. Consider¼m funcţi uilir¼ g [; b]! R de form g() = + f() f(b) b Funcţi g stisfce ipotezele Teoremei lui Rolle şi deci eist¼ c 2 (; b) stfel încât g 0 (c) = 0 Obţinem f 0 (c) + f() f(b) = 0; b de unde concluzi.
8 CURS 8. DERIVABILITATE ŞI DIFERENŢIABILITATE PENTRU FUNCŢII REALE Observţi 8.2.6 Dc¼ d¼ug¼m condiţi f() = f(b); obţinem din Teorem lui Lgrnge concluzi Teoremei lui Rolle. Aşdr, cum demonstrţi Teoremei lui Lgrnge s- bzt pe Teorem lui Rolle, deducem c¼ ceste dou¼ rezultte sunt, de fpt, echivlente. Observţi 8.2.7 Interprette geometric¼ Teoremei lui Lgrnge este urm¼tore dc¼ f stisfce condiţiile precizte, tunci eist¼ cel puţin un punct c interior intervlului [; b] pentru cre tngent l gr cul funcţiei în (c; f(c)) este prlel¼ (su coincide) cu drept determint¼ de punctele (; f()) şi (b; f(b)) O generlizre Teoremei lui Lgrnge este urm¼tore. Teorem 8.2.8 (Cuchy) Fie ; b 2 R; < b şi f; g [; b]! R sunt dou¼ funcţii continue pe [; b]; derivbile pe (; b) stfel încât g 0 () 6= 0; pentru orice 2 (; b) Atunci g(b) g() 6= 0 şi eist¼ c 2 (; b) stfel încât f 0 (c) g 0 (c) = f(b) f() g(b) g() Demonstrţie. Dc¼ g(b) = g(); din Terorem lui Rolle obţinem c¼ g 0 se nulez¼ într-un punct din (; b); în contrdicţie cu ipotez. În continure proced¼m c în czul Teoremei lui Lgrnge, considerând funcţi uilir¼ h [; b]! R de form h() = + f() g(b) f(b) g() g() Funcţi h stisfce ipotezele Teoremei lui Rolle şi deci eist¼ c 2 (; b) stfel încât h 0 (c) = 0 Obţinem f 0 (c) + f() f(b) g(b) g() g0 (c) = 0; de unde concluzi. Observţi 8.2.9 Teorem lui Lgrnge se pote obţine din Teorem lui Cuchy pentru g() =. De semene, cum demonstrţi Teoremei lui Cuchy se bzez¼ tot pe Teorem lui Rolle, deducem c¼, de fpt, tote cele trei teoreme sunt echivlente. Urm¼torele consecinţe le Teoremei lui Lgrnge sunt importnte, deschizând cle studiului monotoniei funcţiilor prin intermediul derivtelor. Propoziţi 8.2.10 Fie I R un intervl şi f I! R; derivbil¼ pe I (i) Dc¼ f 0 () = 0 pentru orice 2 I; tunci f este constnt¼ pe I (ii) Dc¼ f 0 () > 0 pentru orice 2 I; tunci f este strict cresc¼tore pe I. (iii) Dc¼ f 0 () 0 pentru orice 2 I; tunci f este cresc¼tore pe I. (iv) Dc¼ f 0 () < 0 pentru orice 2 I; tunci f este strict descresc¼tore pe I (v) Dc¼ f 0 () < 0 pentru orice 2 I; tunci f este strict descresc¼tore. Demonstrţie. (i) Fi¼m 2 I şi lu¼m 2 I rbitrr. Aplicând Teorem lui Lgrnge pe intervlul de cpete şi deducem c¼ eist¼ c stfel încât f() = f 0 (c)( ) Cum f 0 (c) = 0; vom ve c¼ = f() şi deci f este constnt¼ pe I (ii) Fie 1 ; 2 2 I cu 1 < 2 Conform Teoremei lui Lgrnge, eist¼ c 2 ( 1 ; 2 ) stfel încât f( 2 ) f( 1 ) = f 0 (c)( 2 1 ) Cum f 0 (c) > 0 şi 2 > 1 ; deducem c¼ f( 2 ) > f( 1 ) Rezult¼ f strict cresc¼tore pe I Celellte czuri se demonstrez¼ similr.
8.2. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL REAL 9 Observţi 8.2.11 Evident reciproc rmţiei de l (i) este devrt¼. În celellte czuri sunt dev¼rte reciprocele dor pentru monotonie nestrict¼ (şi ineglitti nestricte). Strict monotonie nu implic¼ în generl strict pozitivitte derivtei din cuz fptului c¼, prin trecere l it¼, ineglit¼ţile stricte nu se p¼strez¼ între ite. De eemplu funcţi f R! R, = 3 este strict cresc¼tore pe R, dr derivt s se nulez¼ în 0 Urm¼tore consecinţ¼ Teoremei lui Lgrnge pote util¼ uneori în studiul derivbilit¼ţii funcţiilor. Propoziţi 8.2.12 Fie I R; un intervl, 2 I, f I! R; f continu¼. Dc¼ f este derivbil¼ pe I n fg şi eist¼ f 0 () ( nit¼ su in nit¼), tunci eist¼ derivt funcţiei f în, f 0 (); şi f 0 () = f 0 () Demonstrţie. Fie ( n ) I n fg un şir descresc¼tor cu it Aplic¼m Teorem lui Lgrnge pe intervlul [; n ] Eist¼ tunci c n 2 (; n ) stfel încât f 0 (c n ) = f( n) n f() Cum n! ; v rezult c¼ c n! Deorece eist¼ it f 0 () = ` 2 R; v rezult folosind crcterizre cu şiruri itei c¼ f 0 (c n )! ` Rezult¼, folosind crcterizre cu şiruri itei l stâng, c¼ eist¼ < f() = f 0 s() = ` Anlog se rt¼ c¼ eist¼ fd 0 () = ` Propoziţi este demonstrt¼. Eemplul 8.2.13 S¼ plic¼m propoziţi nterior¼ l studiul derivbilit¼ţii funcţiei f R! R; = 2 ; dc¼ < 0 3 ; dc¼ 0 Observ¼m c¼ f este derivbil¼ pe R n f0g c funcţie elementr¼ şi c¼ f 0 () = De semene, eist¼ f 0 () = 0 =!0 <0!0 >0 2; dc¼ < 0 3 2 ; dc¼ > 0 f 0 (); deci!0 f 0 () = 0 Rezult¼ conform propoziţiei precedente c¼ eist¼ f 0 (0) = 0; deci f este derivbil¼ în 0; deci pe R. Observţi 8.2.14 Conform rezulttului precedent, dc¼ eist¼ şi este nit¼ f 0 (); tunci f este derivbil¼ în şi funcţi derivt¼ este continu¼ în Propoziţi de mi sus precizez¼ conditii su ciente, dr nu şi necesre pentru eistenţ derivtei în De eemplu, funcţi f R! R; = 2 sin 1 ; dc¼ 6= 0 0; dc¼ = 0
10CURS 8. DERIVABILITATE ŞI DIFERENŢIABILITATE PENTRU FUNCŢII REALE este derivbil¼ conform de nitiei în = 0 Într-dev¼r,!0 f(0) 0 =!0 2 sin 1 Clculând derivt funcţiei f pentru 6= 0; vem =!0 sin 1 = 0 f 0 () = 2 sin 1 cos 1 ; deci nu eist¼!0 f 0 () Aşdr, nu putem plic Propoziţi 8.2.12 pentru deduce derivbilitte funcţiei f în 0 Observţi 8.2.15 În generl, derivt unei funcţii derivbile nu este continu¼. De eemplu, m r¼tt mi sus c¼ funcţi f R! R; = 2 sin 1 ; dc¼ 6= 0 0; dc¼ = 0 este derivbil¼ pe R, dr 2 sin f 0 1 cos 1 ; 6= 0; dc¼ 6= 0 () = 0; dc¼ = 0 nu este continu¼ în 0 Teorem 8.2.16 (Cuchy) Fie I R un intervl şi f; g I! R, 2 I, cre veri c¼ ipotezele (i) f() = g() = 0; (ii) f; g sunt derivbile în ; (iii) g 0 () 6= 0. Atunci eist¼ V 2 V() stfel încât g() 6= 0; pentru orice 2 V nfg şi g() = f 0 () g 0 () Demonstrţie. Cum g 0 () 6= 0; eist¼ o vecin¼tte V lui stfel încât, pentru orice 2 V n fg; g() g() 6= 0; de unde g() 6= g() = 0 pentru orice 2 V n fg Fie 2 V n fg. Atunci g() = f() g() g() f() = g() 1 g() În ipotezele noste deducem c eist¼ g() = f 0 () g 0 () Teorem 8.2.17 (Regul lui L Hôpitl) Fie f; g (; b)! R; unde 1 < b 1 Dc¼ (i) f; g sunt derivbile pe (; b) cu g 0 6= 0 pe (; b); f 0 () (ii) eist¼ g 0 () = L 2 R; >
8.2. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL REAL 11 (iii) = g() = 0 su > > (iii) 0 g() = 1; > tunci eist¼ g() > = L (8.9) Demonstrţie. S¼ observ¼m c¼, pentru r¼t (8.9), este su cient s¼ demonstr¼m c¼, dc¼ 1 L < 1 şi L 1 > L; eist¼ 1 > stfel încât g() < L 1; 8 2 (; 1 ); (8.10) ir dc¼ 1 < L 1 şi L < L 2 ; c¼ eist¼ 2 > stfel încât g() > L 2; 8 2 (; 2 ) (8.11) Într-dev¼r, dc¼ L 2 R, pentru orice " > 0; vom g¼si = min f 1 ; 2 g > stfel încât, folosind cele dou¼ relţii nteriore cu L 1 = L + " şi L 2 = L ", vom ve c¼, pentru orice 2 (; ); L " < g() < L + "; deci g() = L > S¼ r¼t¼m c¼ re loc (8.10). Alegem 2 (L; L 1 ) rbitrr. Conform ipotezei (ii), g¼sim > stfel încât f 0 () g 0 () < ; 8 2 (; ) Fie cum ; y stfel încât < < y < Putem plic Teorem lui Cuchy pe intervlul [; y] (; ); şi g¼sim c 2 (; y) stfel încât f(y) g(y) g() = f 0 (c) g 0 (c) < (8.12) Dc¼ este stisf¼cut¼ ipotez (iii), ţinem y t şi fcem & în (8.12) pentru junge l < f(y) g(y) g() = f(y) g(y) < L 1; 8y 2 (; ); dic¼ (8.10) este stisf¼cut¼. S¼ presupunem cum c¼ (iii) este îndeplinit¼. Din g() = 1 ne rezult¼ eistenţ unui 1 > stfel încât, > g() > 0 şi g() > g(y); 8 2 (; 1 ); 8y > 1
12CURS 8. DERIVABILITATE ŞI DIFERENŢIABILITATE PENTRU FUNCŢII REALE Înmulţind (8.12) cu g() g(y) ; vom obţine, pentru orice 2 (; 1 ); y > 1 ; g() f(y) g() g(y) < ; g() g() f(y) g() g() < g(y) g() ; g() < f(y) g(y) g() f(y) g(y) Având în vedere c¼, pentru y t, vom ve c¼ g() < stfel încât f(y) g(y) g() Luând 1 = min f; 1 ; 2 g ; vom ve < L 1 ; 8 2 (; 2 ) = 0; v eist 2 > g() < L 1; 8 2 (; 1 ); (8.10) este stisf¼cut¼ şi în cest¼ situţie. Cum (8.11) se rt¼ l fel, teorem este demonstrt¼. Observţi 8.2.18 Teorem nterior¼ se pote reformul, vând demonstrţii forte sem¼n¼tore, considerând în loc de!b ; su punând în loc de (iii) 0, un din ipotezele >b < (iii) 00 g() = 1; respectiv < (iii) 000 g() = 1!b >b Dc¼, în plus, punctul considert în Teorem lui L Hôpitl este punct de cumulre pentru domeniile funcţiilor f; g (şi nu dor punct de cumulre l drept), combinând teorem în form prezentt¼ şi observţi nterior¼ pentru, re loc Regul lui L Hôpitl pentru Eerciţiul 8.1 Clculţi it e cos 1!0 sin(sin ) > Observ¼m c¼ sunt îndeplinite condiţiile Teoremei lui L Hôpitl. Clcul¼m (e cos 1) 0!0 (sin(sin )) 0 Rezult¼ c¼ it c¼utt¼ re vlore 1 e cos e sin =!0 cos(sin ) cos = 1 1 1 0 1 1 Limite fundmentle. Einre nedetermin¼rilor S¼ remrc¼m fptul c¼ Teorem lui L Hôpitl ofer¼ un instrument puternic de einre nedetermin¼rilor în czul clculului itelor de funcţii, i.e. czurilor eceptte în Teorem??. Urm¼torele ite sunt considerte fundmentle (i) 1 + 1 = e;!1 = 1
8.2. TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL REAL 13 (ii)!0 (1 + ) 1 = e; (iii)!0 ln(1 + ) (iv)!0 1 sin (v)!0 = 1; = 1; = ln ; > 0; tg (vi)!0 = 1; rcsin (vii) = 1;!0 rctg (viii) = 1;!0 ln (i)!1 = 0; () = 0; n 2 N; > 1 (i) ln = +1; ln = 1;!1!0!1 n >0 (ii) rctg =!1 2 ; rctg =! 1 2 ; (iii) tg = +1; tg = 1!=2 <=2!=2 >=2 Einre nedetermin¼rilor se fce, de obicei, stfel (i) Czurile 0 0 ; 1 se ein¼ e folosind itele fundmentle, e cu Regul lui 1 L Hôpitl. (ii) Czurile 0 1; 0 ( 1) se reduc l czurile 0 0 ; 1 1 stfel e f; g A! R; 2 A0 ; stfel încât eist¼ = 0; g() = 1( 1) şi eist¼ U 2 V() stfel încât 6= 0; g() 6= 0; 8 2 U n fg; putem scrie g() = 1 şi stfel nedeterminre dt¼ se g() reduce l o nedeterminre 0 g() su g() = 1 şi vom obtine o nedeterminre de tip 1 0 1 (iii) Czul 1 1 se reduce, de obicei, l czul 0 1 stfel e f; g A! R; 2 A 0 ; stfel încât eist¼ = 1; g() = 1 şi eist¼ U 2 V() stfel încât 6= g() g() 0; 8 2 U n fg; putem scrie ( g()) = 1 Dc¼ = 1, tunci g() nedeterminre dt¼ se reduce l o nedeterminre 0 1; dc¼ > 1(< 1), tunci ( g()) = 1 (+1). (iv) Czurile 0 0 ; 1 0 se reduc l czul 0 1 stfel e f; g A! R; 2 A 0 ; stfel încât eist¼ = 0 (+1), g() = 0 şi e-ist¼ U 2 V() stfel încât > 0; 8 2 U \ A n fg Putem scrie g() = e g() ln şi it de l eponent este o nedeterminre de tip 0 ( 1) (respectiv 0 1). (v) Czul 1 1 se reduce tot l czul 01 e prin metod de l punctul iv), e stfel dc¼ f; g A! R; 2 A 0 ; stfel încât eist¼ = 1, g() = 1 şi eist¼ U 2 V () stfel încât 6= 1; 8 2 U n fg; tunci vom scrie g() = f[1 + ( 1)] 1 g g()( 1). 1 Avem [1 + ( 1)] 1 = e; ir g()( 1) este o nedeterminre de tip 0 1 1
14CURS 8. DERIVABILITATE ŞI DIFERENŢIABILITATE PENTRU FUNCŢII REALE 8.3 Derivte şi diferenţile de ordin superior. Formul lui Tylor Dup¼ cum m v¼zut în secţiune nterior¼, în czul unei funcţii rele f; derivbil¼ (su, echivlent, diferenţibil¼) într-un punct ; vlorile funcţiei într-o vecin¼tte lui pot proimte prin f() + f 0 () ( ) Pe prcursul cestei secţiuni vom r¼t c¼ cest tip de proimre se pote r n în czul funcţiilor derivbile de ordin mi mre decât unu. În cest scop, s¼ d¼m pentru început câtev de niţii. De niţi 8.3.1 Fie A R; o mulţime deschis¼. (i) Spunem c¼ funcţi f A! R este derivbil¼ de dou¼ ori în punctul 2 A (respectiv pe A) dc¼ f este derivbil¼ într-o vecin¼tte punctului şi funcţi derivt¼ f 0 este derivbil¼ în (respectiv pe A). În cest cz, derivt lui f 0 în se numeşte derivt dou lui f în şi se notez¼ f 00 (); su f (2) () (ii) Spunem c¼ funcţi f A! R este diferenţibil¼ de ordinul l doile în punctul 2 A; dc¼ f este derivbil¼ într-o vecin¼tte punctului şi funcţi derivt¼ f 0 este diferenţibil¼ în În cest cz, funcţi d 2 f() R! R dt¼ prin su, echivlent, prin d 2 f() = f 00 ()(d) 2 = f 00 ()d 2 d 2 f()(h) = f 00 () h 2 ; 8h 2 R se numeşte diferenţil dou lui f în S¼ observ¼m c¼, potrivit Teoremei 8.1.4 plict¼ funcţiei f 0, o funcţie este de dou¼ ori derivbil¼ în punctul (respectiv pe A) dc¼ şi numi dc¼ este diferenţibil¼ de ordinul l doile în (respectiv pe A). De niţi 8.3.2 Fie A R; o mulţime deschis¼, n 2 N, n 2 (i) Spunem c¼ f este de n ori derivbil¼ în 2 A (respectiv pe A) dc¼ f (n 1) este derivbil¼ într-o vecin¼tte punctului şi funcţi derivt¼ f (n 1) este derivbil¼ în În cest cz, derivt lui f (n 1) în se numeşte derivt de ordin n lui f în şi se notez¼ f (n) () (n 1) (ii) Spunem c¼ f este de n ori diferenţibil¼ în 2 A (respectiv pe A) dc¼ f este derivbil¼ într-o vecin¼tte punctului şi funcţi derivt¼ f (n 1) este diferenţibil¼ în (respectiv pe A). În cest cz, funcţi d n f() R! R dt¼ prin su, echivlent, prin d n f() = f (n) ()(d) n = f (n) ()d n d n f()(h) = f (n) () h n ; 8h 2 R se numeşte diferenţil de ordinul n lui f în De niţi 8.3.3 Fie D R o mulţime deschis¼ şi f D! R Spunem c¼ f este de cls¼ C n pe D (n 2 N ) dc¼ f este de n ori derivbil¼ pe D; ir derivt de ordin n, f (n) ; este continu¼ pe D Not¼m C n (A) = ff A! R j f este de cls¼ C n pe Ag; n 2 N şi, prin conventie, C 0 (A) = ff A! R j f continu¼ pe Ag
8.3. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR. FORMULA LUI TAYLOR15 De semene, vom not prin convenţie f (0) = f Spunem c¼ f este de cls¼ C 1 pe D dc¼ f este derivbil¼ de orice ordin pe D Vom not C 1 (A) = ff A! R; f este de cls¼ C 1 pe Ag Teorem 8.3.4 (Formul lui Leibniz) Fie f; g A! R de n ori derivbile în 2 A. Atunci f g este de n ori derivbil¼ în şi re loc formul (f g) (n) () = nx Cnf i (i) ()g (n i) () (8.13) i=0 Demonstrţie. Vom fce demonstrţi prin inducţie. Pentru n = 1; rezulttul este r¼tt în Teorem 8.1.10. S¼ presupunem rezulttul dev¼rt pentru n = k 1 Ştim şdr c¼ f g este de k 1 ori derivbil¼ în şi Xk 1 (f g) (k 1) () = Ck i 1f (i) ()g (k 1 i) () i=0 Cum toţi membrii sumei sunt funcţii derivbile (folosind ipotez), ne rezult¼ c¼ (f g) (k este derivbil¼ în Eist¼ şdr (f g) (k) () şi re loc 1) () (f g) (k) () = Xk 1 Ck i 1f (i) ()g (k 1 i) () i=0 Xk 1 = Ck i 1 f (i+1) ()g (k 1 i) () + f (i) ()g (k i) () = i=0 kx i=1 C i 1 k 1 f (i) ()g (k i) () + Xk 1 = f (k) () + g (k) () + = kx Ckf i (i) ()g (k i=0 Am folosit mi sus identitte i=1 i) ()! 0 Xk 1 Ck i 1f (i) ()g (k i) () i=0 (C i 1 C i k = C i 1 k 1 + Ci k 1 k 1 + Ci k 1)f (i) ()g (k i) () Am r¼tt şdr c¼ rezulttul este dev¼rt pentru n = k Conform procedeului inducţiei mtemtice, ne rezult¼ concluzi. Formul lui Tylor Fie P () = 0 + 1 + + n n un polinom de grd n cu coe cienti reli ( n 6= 0 şi i 2 R; i = 1; n). Dorim pentru început s¼ r¼t¼m c¼ putem scrie polinomul de mi sus în mod unic în form P () = A 0 + A 1 ( ) + + A n ( ) n
16CURS 8. DERIVABILITATE ŞI DIFERENŢIABILITATE PENTRU FUNCŢII REALE pentru un 2 R t. Un mod de r¼t cest lucru este urm¼torul. Este clr c¼ termenul liber A 0 este egl cu P (). Mi deprte, prin derivre, obţinem P 0 () = A 1 + 2A 2 ( ) + + A n ( ) n 1 ; de unde A 1 = P 0 () În mod nlog, derivând în continure, obţinem A k = 1 k! P (k) (); pentru k = 1; n Asdr, P () = P () + 1 1! P 0 ()( ) + + 1 P (n) ()( ) n Dorim cum s¼ etindem formul precedent¼ l situţi mi generl¼ când în locul polinomului P vem o funcţie f I! R, unde I R este un intervl deschis. Vom numi polinomul T n () = f() + f 0 () 1! ( ) + f 00 () 2! ( ) 2 + + f (n) () ( ) n polinomul Tylor de ordin n socit funcţiei f în punctul Problem cre se pune este în ce m¼sur¼ cest polinom proimez¼ funcţi f Am v¼zut c¼ în czul în cre f este un polinom de grd mi mic su egl cu n, tunci T n = f S¼ not¼m R n () = T n () pentru orice 2 I Tocmi comportre lui R n m¼sor grdul de proimre l funcţiei f prin polinomul Tylor. Teorem 8.3.5 (Formul lui Tylor cu restul lui Peno) Fie I R; un intervl deschis şi n 2 N. Dc¼ f I! R este o funcţie de n ori derivbil¼ în 2 I; tunci eist¼ o funcţie I! R cu propriette () = () = 0; stfel încât pentru orice 2 I = f() + f 0 () 1! + f (n) () ( ) n + () ( ) + f 00 () ( ) 2 + 2! ( )n ; Demonstrţie. Fie T n polinomul Tylor de ordin n socit funcţiei f în De nim urm¼tore funcţie I! R dt¼ prin 8 < T n() ; dc¼ 2 I n fg () = ( ) n 0 dc¼ = Evident, pentru orice 2 I; = T n () + () ( )n Este su cient s r¼t¼m continuitte lui în 0 Fie funcţiile F; G I! R; F () = G() = ( ) n T n () şi
8.3. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR. FORMULA LUI TAYLOR17 Se observ¼ imedit c¼ F şi G sunt de n ori derivbile în şi F (k) () = 0 pentru k = 1; n şi G (k) () = 0 pentru k = 1; n 1 În plus, G (n) () = 6= 0 Aplicând Teorem lui Cuchy (form generlizt¼, i.e. Teorem??), obţinem c¼ eist¼ Rezult¼ concluzi. () = 0 = 0 Teorem 8.3.6 (Formul lui Tylor cu restul lui Lgrnge) Fie I R un intervl deschis, 2 I şi n 2 N. Dc¼ f I! R este o funcţie de (n + 1) ori derivbil¼ pe I; tunci pentru orice 2 I; 6= eist¼ c 2 (; ) su c 2 (; ) stfel încât = f() + f 0 () 1! Demonstrţie. S¼ c¼utm restul de form Fie funcţi ' I! R dt¼ prin '(t) = f(t) + f 0 (t) 1! ( ) + f 00 () ( ) 2 + 2! + f (n) () ( ) n + f (n+1) (c) (n + 1)! ( )n+1 R n () = A( ) n+1 ; 2 I ( t) + f 00 (t) 2! ( t) 2 + + f (n) (t) ( t) n + A ( t) n+1 Funcţi ' este derivbil¼ pe I şi '() = ir '() = T n () + R n () = Suntem în condiţiile teoremei lui Rolle pe [; ] su [; ] şi deci eist¼ c 2 (; ) su c 2 (; ) stfel încât ' 0 (c) = 0 Dr ' 0 (t) = f (n+1) (t) pentru orice t 2 I Cum c 6= ; obţinem ( t) n A(n + 1)( t) n de unde rezult¼ concluzi. A = f (n+1) (c) (n + 1)! Prticulrizând = 0 se obtine formul lui McLurin. Propoziţi 8.3.7 (Formul lui McLurin) Fie I R un intervl deschis, 0 2 I şi n 2 N. Dc¼ f I! R este o funcţie de (n + 1) ori derivbil¼ pe I; tunci pentru orice 2 I; 6= 0 eist¼ c 2 (; 0) su c 2 (0; ) stfel încât = f(0) + f 0 (0) 1! + f 00 (0) 2 + 2! + f (n) (0) n + f (n+1) (c) (n + 1)! n+1
18CURS 8. DERIVABILITATE ŞI DIFERENŢIABILITATE PENTRU FUNCŢII REALE Eemplul 8.3.8 În formul lui McLurin, cum c 2 (; 0) su c 2 (0; ) putem s¼ lu¼m c de form c = unde 2 (0; 1) Astfel se obţin dezvolt¼rile de mi jos. 1. Fie f R! R; = e Acest¼ funcţie este de cls¼ C 1 şi scriind formul lui McLurin cu restul de ordin n obţinem c¼ pentru orice 2 R eist¼ 2 (0; 1) stfel încât e = 1 + 1! + 2 2! + + n + n+1 (n + 1)! e 2. Fie f R! R; = sin Acest¼ funcţie este de cls¼ C 1 şi pentru orice n 2 N re loc f (n) () = sin( + n ) Scriind formul McLurin de ordin 2n + 1 vem pentru orice 2 2 R un 2 (0; 1) stfel încât sin = 1! 3 3! + + ( 1)n 1 2n 1 + ( 1) n 2n sin (2n 1)! (2n)! Anlog, pentru f R! R, = cos obţinem pentru orice 2 R un 2 (0; 1) stfel încât 2 cos = 1 2! + 4 4! + + ( 1)n 2n + ( 1) n+1 2n+1 cos (2n)! (2n + 1)! 3. Fie f ( 1; 1)! R; = ln( + 1) Are loc dezvoltre ln( + 1) = 1 2 2 + 3 3 4 4 + + ( 1)n 1 n n + ( 1 n + 1 (1 + ) n+1 n+1 1)n pentru orice 2 ( 1; 1); unde 2 (0; 1). Formulele de mi sus pot folosite pentru determinre unor ite. Eempli c¼m cu urm¼torul eerciţiu. Eerciţiul 8.2 Pentru ce vlori le lui n 2 N eist¼, este nit¼ şi nenul¼ it 6 sin 3 + 3 ( 6 6)?!0 n Conform teoriei de mi sus, pentru orice 2 R eist¼ 2 (0; 1) stfel încât sin 3 = 3 9 6 + 15 120 18 720 sin Înlocuind în it de mi sus obţinem n = 15 şi vlore itei De semene, derivtele de ordin superior pot utile în determinre punctelor de etrem. Teorem 8.3.9 (Puncte de etrem) Fie I R un intervl deschis, f I! R o funcţie de n ori derivbil¼ în 2 I; (n 2 N; n 2); stfel încât 1 20 f 0 () = 0; f 00 () = 0; ; f (n 1) () = 0; f (n) () 6= 0 (8.14) (i) Dc¼ n este pr, tunci este punct de etrem, mi ect punct de mim locl dc¼ f (n) () < 0 şi punct de minim locl dc¼ f (n) () > 0. (ii) Dc¼ n este impr, tunci nu este punct de etrem.
8.3. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR. FORMULA LUI TAYLOR19 Demonstrţie. Cum f este de n ori derivbil¼ în ; putem scrie formul lui Tylor cu restul lui Peno, dic¼, pentru orice 2 I; = f() + f 0 () 1! + f (n) () ( ) n + () ( ) + f 00 () ( ) 2 + 2! ( )n ; unde I! R; () = () = 0 Folosind (8.14), obţinem f() = ( )n [f (n) () + ()] Dr [f (n) () + ()] = f (n) () Dc¼ f (n) () > 0; eist¼ o vecin¼tte V lui stfel încât f (n) () + () > 0 pentru orice 2 V; ir dc¼ f (n) () < 0; eist¼ o vecin¼tte V lui stfel încât f (n) () + () < 0; pentru orice 2 V (i) Dc¼ n este pr şi f (n) () > 0, tunci, cum ( )n 0 pentru orice ; vem c¼ f() = ( )n [f (n) () + ()] 0; 8 2 V Czul n pr şi f (n) () < 0 rezult¼ nlog. (ii) Dc¼ n este impr şi f (n) () > 0, legem " > 0 su cient de mic stfel încât ( ( )n ( )n "; ") V Atunci < 0 pentru orice 2 ( "; ) şi > 0 pentru orice 2 (; + "); de unde f() < 0; 8 2 ( "; ) şi f() > 0; 8 2 (; + ") Aşdr, nu este punct de etrem. Czul cel¼llt rezult¼ nlog.