LABORATOR 9 - VECTORI ŞI VALORI PROPRII INTERPOLAREA FUNCŢIILOR Vectori Şi vlori rorii Metod rotţiilor lui Jcobi Fie A o mtrice ¼trtic¼ Un vector x R n se numeşte vector roriu în rort cu A dc¼ x 6= 0 şi exist¼ un num¼r (rel su comlex) stfel încât Ax = x Num¼rul se numeşte vlore rorie Vlorile rorii le mtricii A sunt r¼d¼cinile olinomului crcteristic P () = det(a I) şi sunt invrinte l trnsform¼rile de similitudine le lui A; cest lucru însemn¼ c¼ vlorile rorii le mtricii A coincid cu vlorile rorii le mtricii C AC; oricre r mtrice nesingulr¼ C Dc¼ mtrice A este simetric¼, tunci vlorile sle rorii sunt rele şi exist¼ o bz¼ ortonorml¼ formt¼ din vectori rorii, deci cu roriette Av i = i v i ; i = ; n; în rort cu cre mtrice A se reduce l form digonl¼ D = 6 4 0 0 0 0 0 0 n 7 5 Bz v ; ; v n se ote lege stfel încât n Dc¼, în lus, A este şi ozitiv de nit¼, tunci n > 0 şi hax; xi = kak = su x6=0 hx; xi Fie V mtrice de trecere de l bz cnonic¼ sţiului R n l bz v ; ; v n Mtrice V este ortogonl¼, şi re loc relţi D = V T AV În rctic¼, vlorile rorii le mtricii A nu se rezolv¼ rezolvând numeric ecuţi crcteristic¼ det(a I) = 0; deorece r¼d¼cinile olinomelor sunt forte "sensibile" l orice modi cre coe cienţilor olinomului Metod recomndt¼ este s¼ se duc¼, rintr-un rocedeu orecre, mtrice l form digonl¼ şi tunci vlorile rorii se determin¼ globl, ele ind elementele de e digonl rincil¼ Se urm¼reşte şdr c rin trnsform¼ri de similitudine, cre nu modi c¼ vlorile rorii, s¼ micşor¼m, eventul ân¼ l nulre, elementele nedigonle le mtricii, stfel c în nl s¼ obţinem mtrice digonl¼
Fie A o mtrice simetric¼ Metod Jcobi const¼ în efecture unei suite de trnsform¼ri de similitudine le mtricii A utiliz¼nd cele mi simle mtrici ortogonle netrivile (mtricile de rotţie) de form 0 0 0 0 0 0 cos ' sin ' 0 () U = 0 sin ' cos ' 0 6 0 0 7 4 5 0 0 0 q Aşdr, elementele mtricii U sunt u ii = dc¼ i 6= şi i 6= q >< u () = cos '; u q = sin ' u q = sin '; u qq = cos ' > u ij = 0; în rest O semene mtrice este ortogonl¼ şi rerezint¼ din unct de vedere geometric o rotţie de unghi ' în lnul determint de direcţiile e şi e q Not¼m cu A 0 = U T A şi cu A 00 = A 0 U = U T AU În czul rticulr n = 5; = şi q = 4; mtrice A 00 rt¼ stfel cos ' 4 sin ' cos ' 4 sin ' cos ' 4 sin ' cos '+ 44 sin ' cos ' 4 sin ' sin ' + 4 cos ' ( 44 ) sin ' cos ' + 4 cos ' cos ' sin ' 4 sin ' + 4 cos ' sin ' ( 44 ) sin ' sin ' sin '+ + 4 cos ' cos ' + 4 cos ' + 4 cos ' 4 sin ' cos '+ 44 cos ' 5 cos ' 5 5 sin ' 54 sin ' 5 + 54 cos ' În generl, elementele mtricii A sunt < 0 ij = ij; dc¼ i 6= şi i 6= q () 0 j = j cos ' qj sin ' ; 0 qj = j sin ' + qj cos ' 5 5 cos ' 45 sin ' 5 5 sin ' + 45 cos ' 55
ir cele le mtricii A 00 sunt < 00 ij = 0 ij ; dc¼ j 6= şi j 6= q (4) 00 i = 0 i cos ' 0 iq sin ' 0 iq = 0 i sin ' + 0 iq cos ' Din () şi (4) rezult¼ >< 00 = cos ' q cos ' sin ' + qq sin ' (5) 00 qq = sin ' + q cos ' sin ' + qq cos ' > 00 q = ( qq ) sin ' cos ' + q cos ' 00 q = 00 q Cum intenţi nostr¼ este c elementul nedigonl cel mi mre (în vlore bsolut¼) s¼ se nuleze în urm rotţiei, vom lege liniile şi q stfel încât q s¼ e cel mi mre element (în vlore bsolut¼) de desur digonlei rincile şi vom une condiţi c 00 q = 0 Ţinând sem de (5) rezult¼ şi mi derte ( qq ) sin ' + q cos ' = 0 (6) ctg ' = qq q q Aşdr, unghiul de rotţie se ¼ din relţi (6) Introducem notţiile (7) = qq q q şi tg ' = t Cum ctg ' = tg ' tg ' ; din (6) şi (7) rezult¼ t + t = 0 Rezolvând cest¼ ecuţie obţinem t ; = + = + Pentru evit c numitorul s¼ e mic, lu¼m ( ; dc¼ 6= 0 () t = +sgn() + ; dc¼ = 0 Conform unor clcule elementre de trigonometrie vem ( c = cos ' = (9) +t s = sin ' = t +t Din () şi (9) rezult¼ c¼ jtj ; c ; jsj ' h 4 ; 4 i şi deci c¼ Dc¼ not¼m cu S(B) sum ¼trtelor elementelor nedigonle le unei mtrici B orecre, tunci din () şi (4) un clcul direct ne conduce l relţi S(A 00 ) = [S(A) q] + 00 q Aşdr, dc¼ legem unghiul de rotţie ' conform () şi (9), rezult¼ (0) 00 q = 0 şi deci S(A 00 ) = S(A) q
4 Deorece ij q entru i 6= j; vom ve () S(A) n(n ) q su Din (0) şi () rezult¼ () S(A 00 ) S(A) n(n ) S(A) q < S(A); entru n n(n ) S¼ consider¼m cum un şir de rotţii în urm c¼ror se obţin mtricile A 0 ; A ; A ; ; A k ; unde A 0 = A; A = A 00 ; A = A 00 etc Din () rezult¼ k () S(A k ) S(A) n(n ) Cum n(n ) (0; ) entru n ; din () rezult¼ lim k! S(A k) = 0 Aşdr, l limit¼ şirul (A k ) tinde l mtrice digonl¼ Se ote demonstr urm¼tore teorem¼ Teorem Fie i ; i = ; n vlorile rorii le mtricii A şi e (k) jj digonle le mtricii A k Atunci (k) jj j S(Ak ) elementele Deorece (k) q este cel mi mre (în vlore bsolut¼) element nedigonl l mtricii A k ; rezult¼ S(A k ) (n n)( (k) q ) < n ( (k) q ) Din Teorem obţinem (4) (k) jj j < n (k) q Ineglitte (4) ote lut¼ dret criteriu de orire Din ineglitte n (k) q < " v rezult num¼rul k l rotţiilor necesre entru roxim vlorile rorii j le mtricii A cu elementele digonle (k) jj le mtricii A k Şirul de mtrici A k se clculez¼ recursiv Ak = Uk T A k U k ; k A 0 = A D¼m în continure lgoritmul MATLAB entru metod rotţiilor lui Jcobi clc formt short % Introducere A,n k=0; es=inut( Dti ordinul erorii, es= ) nmx=; while(nmx>es) k=k+ S=0; U=eye(n); mx=0;
5 =;q=; for i=n for j=i+n if (mx<norm(a(i,j))) mx=norm(a(i,j)); =i; q=j; nmx=mx*n q omeg=(a(q,q)-a(,))/(*a(,q)) if (omeg==0) t= else t=/(omeg+sign(omeg)*sqrt(omeg^+)) c=/sqrt(t^+) s=t/sqrt(t^+) U(,)=c;U(q,q)=c;U(,q)=s;U(q,)=-s; U A=U *A*U dis( Vlorile rorii sunt elementele de e digonl urmtorei mtrici ) A Exemlul Fie mtrice Avem A = 4 q = = ; = ; q = ; = 0; t = ; c = s = U = 4 0 0 0 0 0 5 0 0 5 ; A = U T AU = 4 0 4 0 5 ; = ; = ; q = ; = 4 = ; + = 9 ; t = ; + t = ; c = ; s = ; 0 0 6 U = 4 0 7 5 ; A = U T A U = 4 0 0 0 5 0 5 0 0
6 Rezult¼ = ; = 5; = Interolre funcţiilor Fie f [; b]! R şi e x 0 ; x ; ; x n (n + ) uncte distincte din intervlul [; b]; numite noduri Problem interol¼rii funcţiei f în nodurile x i ; i = 0; n; const¼ în determinre unei funcţii g [; b]! R dintr-o cls¼ de funcţii cunoscut¼, cu roriette g(x i ) = f(x i ); i = 0; n Pus¼ sub cest¼ form¼ generl¼, roblem ote s¼ nu ib¼ soluţii su s¼ ib¼ o in nitte de soluţii Ce mi utilizt¼ cls¼ de funcţii de interolre este cls olinomelor, dtorit¼ uşurinţei cu cre se integrez¼ şi derivez¼ Interolre funcţiilor rezint¼ o imortnţ¼ deosebit¼ tunci când funcţi nu este de nit¼ rintr-o relţie nlitic¼, ci rintr-un tblou de vlori ce rerezint¼, de exemlu, rezulttele unei exerienţe Chir tunci cân funcţi este dt¼ rintr-o relţie nlitic¼, dr cest¼ relţie este comlict¼, se ote lege interolre în locul clculului direct Polinomul de interolre l lui Lgrnge Teorem Fie f [; b]! R şi x 0 ; x ; ; x n (n + ) noduri din intervlul [; b] Atunci exist¼ un olinom unic P n ; de grdul n; cre interolez¼ funcţi f în nodurile x i ; i = 0; n (P n (x i ) = f(x i ); i = 0; n) Acest olinom se numeşte olinomul de interolre l lui Lgrnge Demonstrţie C¼ut¼m un olinom P n sub form urm¼tore P n (x) = L 0 (x) f(x 0 ) + L (x) f(x ) + + L n (x) f(x n ); unde L i sunt olinome de grdul n ce urmez¼ s¼ e determinte Deorece dorim c P n (x i ) = f(x i ); vom une condiţiile ; dc¼ i = j L i (x j ) = ij = 0; dc¼ i 6= j Deorece L i (x j ) = 0 entru i 6= j; rezult¼ c¼ L i dmite r¼d¼cinile Aşdr, x 0 ; x ; ; x i ; x i ; ; x n L i (x) = i (x x 0 ) (x x i )(x x i+ ) (x x n ) Cum L i (x i ) = ;rezult¼ i = (x i x 0 ) (x i x i )(x i x i+ ) (x i x n ) În concluzie vem () P n (x) = unde () L i (x) = nx L i (x)f(x i ); i=0 ny j=0;j6=i x x j x i x j
7 Evident olinomul () re grdul n şi re roriette P n (x i ) = f(x i ); i = 0; n Fie Q n un lt olinom de grdul n cu roriette Q n (x i ) = f(x i ); i = 0; n şi e R = P n Q n Deorece grd R n şi R(x i ) = 0; i = 0; n rezult¼ c¼ R este olinom identic nul, deci c¼ P n = Q n Exemlul Fie nodurile x 0 = ; x = şi x = şi f(x 0 ) = ; f(x ) = f(x ) = Atunci (x )(x ) (x + )(x ) (x )(x + ) P (x) = + + ( )( ) ( + )( ) ( )( + ) Efectuând clculele obţinem P (x) = 6 (x x + ) În continure vom not erore în ecre unct cu () E(f; x) = f(x) P n (x) Evident E(f; x i ) = 0; i = 0; n Introducem de semene notţi ny (4) U n+ (x) = (x x i ) Teorem Dc¼ f C n+ [; b]; tunci entru orice x [; b]; exist¼ x [; b] stfel încât i=0 (5) E(f; x) = f (n+) ( x ) U n+ (x) (n + )! Demonstrţie Consider¼m funcţi uxilir¼ E(f; x) g(t) = f(t) P n (t) U n+ (x) U n+(t); t [; b]; x 6= x i Observ¼m c¼ g se nulez¼ în (n+) uncte distincte x 0 ; x ; ; x n ; x Din teorem lui Rolle rezult¼ c¼ exist¼ x (; b) stfel încât g (n+) ( x ) = 0 Cum rezult¼ g (n+) (t) = f (n+) (t) E(f; x) (n + )!; U n+ (x) E(f; x) = f (n+) ( x ) U n+ (x) (n + )! Corolrul 4 Dc¼ exist¼ M > 0 stfel încât f (n+) (x) M entru orice x [; b]; tunci je(f; x)j M (n + )! ju n+(x)j ; x [; b] Observţi Dc¼ f = Q este un olinom de grd cel mult n; tunci E(f; x) = 0; oricre r x [; b] A rmţi rezult¼ din Teorem, deorece în cest cz f (n+) (x) = 0 Observţi E(f + g; x) = E(f; x) + E(g; x) Într-dev¼r, dc¼ P f n este olinomul de interolre entru f şi P g n este olinomul de interolre entru g; tunci P f n + P g n este olinomul de interolre entru f + g şi deci E(f + g; x) = f(x) + g(x) P f n (x) P g n(x) = E(f; x) + E(g; x)
În continure vom resuune c¼ nodurile sunt echidistnte, deci c¼ x i = x 0 + i h; i = 0; n; unde (6) h = x n x 0 n Consider¼m de semene schimbre de vribil¼ (7) x = x 0 + th Înlocuind (6) şi (7) în () obţinem Folosind notţi ~L i (t) = L i (x 0 + th) = ny j=0;j6=i () n+ (t) = t(t )(t ) (t n) = t j i j ny (t i); obţinem ~L i (t) = ( )n i n+ (t) = ( )n i C i n+ (t) n i!(n i)! t i n! t i Obţinem stfel exresi olinomului lui Lgrnge entru noduri echidistnte (9) Pn ~ (t) = n+(t) nx ( ) n i C i f(x i ) n n! t i Erore devine i=0 (0) ~ E(f; t) = n+ (t) (n + )! hn+ f (n+) ( t ) Se rt¼ c¼ entru orice sistem de noduri (x (n) i ); i = 0; n din intervlul [; b]; dt dininte, exist¼ o funcţie continu¼ f [; b]! R stfel încât şirul olinomelor lui Lgrnge (P n ) cre interolez¼ funcţi f în ceste noduri nu converge uniform l f e [; b] Convergenţ uniform¼ re loc dc¼ f C (R) şi se dezvolt¼ în serie Tylor e R În generl, entru o funcţie f [; b]! R continu¼, entru orice " > 0; exist¼ un olinom Q " stfel încât i=0 kf Q " k = sufjf(x) Q " (x)j j x [; b]g < " Algoritmul MATLAB entru olinomul de interolre Lgrnge este urm¼torul % Introducere x,y - nodurile si vlorile functiei in noduri % Introducere, unctul in cre se fce interolre S=0; n=size(x); for i=n L=; for j=n if (j~=i) L=L*(-x(j))/(x(i)-x(j)); S=S+y(i)*L;
frintf( nnvlore roximtiv functiei f in %g este %gnn,,s) 9