I20 Conrolul asulu În unele cazur ese necesară enru obţnerea une eror dae folosrea unu as varabl în rezolvarea numercă Meodele numerce care folosesc un as varabl se numesc meode adave Penru conrolul asulu vom folos meodele mbrcae descrse aneror Fe o meodă n numercă unas de ordn O ( ) de forma: + + φ ( ) 2 (I93) aaşaă une robleme cu valor nţale: ~ '( ) ~ ( a) f ( ~ ) a a b
Se une roblema găsr unu număr mnm de nodur ş a une grle varable { } asfel încâ enru o oleranţă daă ε > 0 eroarea globală ~ ( ) să nu deăşească aceasă eroare Penru esmarea eror consderăm o nouă meodă smlară cu rma (de exemlu ambele meode sun de Runge-Kua) dar de ordn de n+ exacae ( ) O : ( ) 2 + + φ (I94) O esmare a eror ese daă de (I9) r ( ) [ φ( ) φ ( ) ] (I9) 2
3 ar legăura cu eroarea locală de runcere ese daă de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + O r O T τ (I95) Dar (I95) ese ecvalenă cu ( ) K T (I96) Aunc eroarea locală de runcere enru un nou as q oae f esmaă în modul urmăor: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] q r q T q K q q K q T (I9) (I95) (I96) φ φ (I97) Dacă munem ca eroarea lu ( ) q T să fe mărgnă de ε aunc dn
4 (I97) găsm: ( ) ( ) q ε φ φ ε (I98) unde am folos (I93) ş (I94) De obce în formula (I98) se nroduce un facor θ (de exemlu 8 0 θ ) num facor de sguranţă asfel încâ: q ε θ (I99) Penru a calcula dferenţa ( ) ( ) φ φ se folosesc de obce meode mbrcae enru a reduce numărul de evaluăr ale funcţe f Una
dnre cele ma cunoscue enc ese meoda Runge-Kua-Feleberg care combnă o meodă de ordn aru cu o meodă de ordn cnc ş care are abela Bucer: 0 0 4 4 0 3 3 9 8 32 32 0 2 932 7200 7296 3 297 297 297 0 439 3680 845 26-8 53 404 0 8 3544 859 2 27 2 2565 404 40 0 25 408 26 0 297 2565 404 5 6 6656 2856 9 2 35 0 2825 56430 50 55 ar asul varabl ese da de: 5
q 084 ε 4 (I00) În general asura aşlor varabl obţnuţ cu (I00) se ma une o condţe de mărgnre de forma mn enru a eva consumul rea mare de m cu calculul în regunle în care dervaa lu f reznă neregularăţ ş enru a eva aş rea mar care nu ar uea analza varaţ locale ma mc max O ală encă foare cunoscuă ese meoda Bogack-Samne ce combnă o meodă de ordnul do cu o meodă de ordn 3 ş să la baza 6
funcţe ode23 dn Malab Ea are are abela Bucer: 0 0 2 2 0 3 3 4 0 4 0 2 3 4 9 9 9 0 2 3 4 9 9 9 7 24 4 3 8 Vom da în connuare un exemlu în care vom folos o meodă cu as varabl calcula e baza meode mbrcae Euler-Heun cu abela 7
Bucer: 0 0 0 0 /2 /2 Preczăm că meoda folosă în exemlul urmăor are un sco ur ddacc în raccă fnd necesară o encă Bogack-Samne sau Runge-Kua-Feleberg Exemlul : Rezolvaţ roblema nţală 8
9 (0) 4 0 ) sn( d d π folosnd un as varabl curns înre 00 ş 0cu o eroare esmaă 3 < e ε Soluţa exacă ese ( ) ) cos( e Alcăm în connuare meoda mbrcaă Euler-Heun ) ( ) ( K f K + + ş ( ) ( ) 2 2 2 ) ( ) ( ) ( K K K f K f K + + + + + dec uem evalua în ecuaţa (I99) ( ) 2 5 0 K K
În urma alcăr algormulu s-a obţnu asul mnm mn 00 asul maxm 0 ar numărul de nodur necesare negrăr ese 567 max Programul Malab ese: %exemlu as varabl Euler-Heun clear all forma sor a0;b2;%caeele nervalulu max0;mn00; ole-3; (); %conda nala T()a; ; a; wle <b 0
KfPasVar(()); K2fPasVar(+()); R05abs(K-K2); f R<ol T(+)T()+; (+)()+05(K+K2); +; +; max; else q08(ol/r)^025; q; f <mn mn; end f >max max; end end f(+>b)
b-; end end %wle lo(t'k') %rerezenam grafc solua numerca old on lo(tex(-cos(t))'r'); Am rezolva roblema ş enru asul curns înre 000 ş 0 cu o eroare esmaă ε < e 4 soluţa numercă fnd mul îmbunăăţă S-a obţnu 0009 mn 00437 ş 736 max 2
Fgura Varaţa asulu enru 00 0 ş ε < e 3 3
Fgura 2 Soluţa numercă ş soluţa analcă enru 00 0 ş ε < e 3 4
Fgura 3 Soluţa numercă ş soluţa analcă enru 000 0 ş ε < e 4 5
I20 Probleme sff 6
(I0) (I0) (I0) (I0) (I03) Fe o meodă cu un as aaşaă robleme (I0) de forma: 7
(I04) : (I05) (I06) 8
(I0) (I03) (I07) (I08) (I08) (I09 (I02) 9
: (I04) (I0) (I06) (I0) Aroxmare Padé 20
: (I) (I2) (I2) 2
9: : (I3) (I4) (I5) 0: (I04) 22
Meoda mlcă a lu Euler (I6) (I0) (I7) (vez (I06)) 9 Meoda mlcă a lu Euler a fos raaă ş în cursul 23
Meoda mlcă a raezulu (I8) (I0) (I9) 24
Exemlul : Rezolvaţ roblema nţală 2 0 3/ 4 (0) Soluţa exacă ese ( ) /( ) d d Programele Malab sun: %meoda mlca a rezulu a0;b075; %caeele nervalulu 005; %asul reele Nround((b-a)/)+; %numarul de nodur ezeros(n);%nalzam vecorul solue enru meoda lu Euler zeros(n);%nalzam vecorul solue enru e(); (); ex(); %conda nala a::b; 25
for 2:N e()e(-)+e(-)^2; %meoda Euler exlca ()fnew((-)(-)e-5);%meoda raezulu ex()-/(()-); %solua exaca end lo('k') %rerezenam grafc solua numerca(euler) old on lo('r')%rerezenam grafc solua numerca(raez) lo(ex'b') %rerezenam grafc solua exaca funcon fnew(0ol) err; 0; wle(err>ol) 0-fra(0)/fra(0); errabs(-0); 0; end funcon fra() --05(^2+^2); funcon fra() -; 26
Fgura 4 Soluţ numerce ş soluţa analcă 27
28 Formule Runge-Kua mlce O formulă Runge-Kua mlcă cu r sad are forma: ( ) ( ) r s s s f K c f φ (I20) r s K a f K r j j sj s s 2 ) ( + + µ Se oae arăa că meoda ese de ordnul r r 2 dacă [ ] ( ) d b a C f R ş
(I2) (I22) (I2) Formulele (I2) ş (I22) o f rve ca nşe formule de cuadraură (I2 ) (I22 ) 29
(I22 ) Se oae arăa că o formulă Runge-Kua cu ordnul maxm 2 r ese A sablă (vez Trambţaş ş celalţ 200) 30