Exameul de lceţă Domeul de lceţă ZCĂ promoţa 8 Valabl petru sesule de lceţă ule 8 ş septembre 8 (durata studlor 3 a Exameul de lceţă costă î (două probe: - proba scrsă de cuoştţe geerale de fzcă - prezetarea lucrăr de lceţă Proba scrsă va coţe câte o îtrebare de la fecare d dscplele meţoate (toate dscplele sut oblgator fecăru răspus alocâdu--se câte u puct u puct va f acordat d ofcu Dscplele sut: Mecacă clască zcă moleculară ş căldură 3 Electrctate ş magetsm 4 Optcă ş zca atomulu ş molecule 5 Mecacă teoretcă 6 Electrodamcă 7 Termodamcă ş zcă Statstcă 8 Mecacă cuatcă ş troducere î teora câmpulu 9 zca soldulu ş semcoductor PROPUNER DE SUBECTE PENTRU EAMENUL DE LCENŢĂ Dscpla D: MECANCĂ CLASCĂ Teorema varaţe mometulu cetc petru u puct materal (forma dfereţală forma ftă: euţ demostraţe Legea coservăr mometulu cetc petru u puct materal: deducere e S u sstem de referţă ş P u puct fx (umt pol faţă de acest sstem de referţă Defm mometul cetc M al puctulu materal faţă de polul P ca produsul vectoral dre vectorul de pozţe r al acestua faţă de polul cosderat ş mpulsul p mv al puctulu materal faţă de sstemul de referţă cosderat M r p Alegâd P î O (orgea sstemulu de referţă cosderat relaţa ateroară deve M r p Defm mometul forţe K faţă de polul O pr relaţa K r ude este forţa care acţoează asupra puctulu materal Dervâd î raport cu tmpul relaţa de defţe a mometulu cetc obţem dm ( t dr dp p+ r dt dt dt olosd defţa vectorulu vteză dr dt v ş prcpul fudametal al damc dp r( t r( t t dt ajugem la forma dfereţală a teoreme de varaţe a mometulu cetc petru u puct materal: dm K dt Euţ: Varaţa î utatea de tmp a mometulu cetc al uu puct materal faţă de u pol este egală cu mometul rezultate forţelor ce acţoează asupra acestua î raport cu acelaş pol tegrâd ultma relaţe pe ervalul de tmp [ t t ] obţem forma ftă a teoreme de varaţe a mometulu cetc petru u puct materal t M M ( t M ( t ( r ( t ( r ( t r ( t t dt t Euţ: Varaţa mometulu cetc al uu puct materal pe u erval temporal este egală cu egrala temporală a mometulu rezultate forţelor ce acţoează asupra puctulu materal pe acel erval temporal Petru a obţe legea coservăr mometulu cetc cosderăm cazul câd mometul rezultate forţelor ce acţoează asupra puctulu materal este ul la orce momet de tmp adcă K Atuc d forma dfereţală a teoreme varaţe mometulu cetc rezultă că
Obţem astfel dm t dt M t cost M t t ( ( Ultma relaţe repreză legea coservăr mometulu cetc petru u puct materal Euţ: Dacă mometul rezultate forţelor ce acţoează asupra puctulu materal este ul la orce momet de tmp atuc mometul cetc al puctulu materal este mărme vectorală coservatvă Teorema varaţe eerge cetce petru u puct materal (forma dfereţală forma ftă: euţ demostraţe Legea coservăr eerge cetce petru u puct materal: deducere Porm de la defţa lucrulu mecac elemetar (ftezmal corespuzător varaţe dfereţale a pozţe puctulu materal đ L r( t r( t t dr dv Prcpul fudametal ma ş defţa vectorulu acceleraţe a e coduc la dt dv dv đ L m dr mv dt dt dt Ţâd cot de faptul că dv d v v dt dt ş că eerga cetcă T a puctulu materal de masă m ş vteză v se defeşte faţă de u sstem de referţă ca mv T obţem forma dfereţală a teoreme de varaţe a eerge cetce mv d Euţ: Dfereţala eerge cetce a puctulu materal este egală cu lucrul mecac elemetar al rezultate forţelor ce acţoează asupra acestua Petru obţerea forme fte a aceste teoreme egrăm ultma relaţe pe ervalul de tmp [ ] t t : đl t t mv mv dr T r( t r( t t dt r( t r( t t vdt dt t t Euţ: Varaţa eerge cetce a uu puct materal pe u erval temporal este egală cu lucrul mecac al rezultate forţelor care acţoează asupra puctulu materal pe acel erval temporal Cosderăm cazul câd lucrul mecac elemetar este ul la orce momet de tmp Rezultă d mv t dt dt ceea ce coduce la expresa matematcă a leg coservăr eerge cetce a puctulu materal: ( ( ( mv t cost mv t Euţ: Dacă lucrul mecac elemetar este ul la orce momet de tmp atuc eerga cetcă a puctulu materal este mărme scalară coservatvă 3 Propretăţ geerale ale forţelor ere: euţ demostraţe Teorema varaţe mpulsulu petru u sstem de pucte materale: euţ demostraţe Legea coservăr mpulsulu petru u sstem de pucte materale: deducere ( ab Notăm cu forţa eră cu care puctul materal a acţoează asupra puctulu materal b Coform prcpulu al trelea al damc avem că ( ab ( ba + ( ab ( ab ( ab ( b Notăm pr // r r ( b ( ab a r rezultata forţelor ere ce acţoează asupra partcule b ş cu b ab ( b ( ab rezultata tuturor forţelor ere care acţoează asupra sstemulu Propretatea : Rezultata tuturor forţelor ere care acţoează asupra sstemulu de pucte materale este ulă Demostraţe: Pord de la relaţa ajugem la ( ab ( ba ab ab r
( ( ( ab ab ba ( ab ( ba + + ( ab ab ab ab Propretatea : Mometul rezultat al forţelor ere este ul Demostraţe: Notăm pr K K r ( b ( b ( b mometul forţe ce acţoează asupra partcule b ş cu K K r r ( b ( b ( b ( b ( ab b b ab mometul rezultat al forţelor ere ce acţoează asupra sstemulu de pucte materale Pord de la relaţa găsm că r r ( b ( ab ( ba ab ab K r + r ( b ( ab ( ba ab ab Coform prcpulu al trelea al damc avem ( ab ( ab Atuc deducem că deoarece K r r r ( b ( ab ( ab ( ab ( ab ab // r ( ab ( ab Teorema varaţe mpulsulu petru u sstem de pucte materale Notăm cu P p mv a a mpulsul total al sstemulu de pucte materale Puctul de start îl costtue prcpul fudametal al damc petru partcula a dp dt ude + ext Sumâd după a î prcpul fudametal ajugem la dp ( ( + a ( ( ( ( ext ( ext a a a a dt a a a a a 3 Ţâd cot că dp dt d p dt a a dp dt obţem forma dfereţală a teoreme de varaţe a mplsulu petru u sstem de pucte materale: dp ext dt Euţ: Varaţa î utatea de tmp a mpulsulu total al sstemulu de pucte materale este egală cu rezultata forţelor extere care acţoează asupra sstemulu tegrâd pe ervalul de tmp [ ] varaţe a mpulsulu petru sstemul de pucte materale: t t î ultma relaţe obţem forma ftă a teoreme de Euţ: Varaţa mpulsulu total al sstemulu de pucte materale pe u erval temporal este egală cu egrala temporală a rezultate forţelor extere care acţoează asupra sstemulu pe acel erval Cosderăm cazul câd rezultata forţelor extere care acţoează asupra sstemulu este ulă la orce momet de tmp Atuc P t P t dt ext t ext t ( ( a dp dt Ultma relaţe e coduce la legea coservăr mpulsulu petru u sstem de pucte materale: ext ( ( P t cost P t Euţ: Dacă rezultata forţelor extere care acţoează asupra sstemulu este ulă la orce momet de tmp atuc mpulsul total al sstemulu de pucte materale este mărme vectorală coservatvă 4 Propretăţ geerale ale mşcăr î câmp cetral: euţ demostraţe Câmpul cetral este u câmp de forţe petru care eerga poteţală depde uma de dstaţa de la puctul materal la u puct fx umt cetrul câmpulu Petru smpltate cosderăm puctul fx orgea sstemulu de referţă astfel îcât U U r (
r r x + x + x 3 modulul vectorulu r î tmp ce x x ş ude am otat pr x 3 repreză coordoatele cartezee ale puctulu materal î sstemul de referţă cosderat Propretatea : orţa care acţoează asupra uu puct materal care evoluează î câmp cetral are forma ( r f ( r r r Demostraţe: Câmpul cetral fd u câmp poteţal avem că ( r U( r Calculâd separat ( ( ( ( U r U r U r du r du r du r U r e + e + e e + e + e respectv 3 3 x x x3 dr x dr x dr x3 r x r x r x3 x r x r x3 r obţem du r ( r dr r D ultma relaţe detfcăm du f ( r dr Propretatea : Eerga totală a puctulu materal î câmp cetral este mărme scalară coservatvă Etot mv + U ( r cost Demostraţe: Câmpul cetral este u câmp poteţal Neavâd forţe epoteţale care să acţoeze asupra puctulu materal rezultă că lucrul mecac al forţelor epoteţale este ul ş dec eerga totală se coservă Propretatea 3: Mometul cetc al uu puct materal care evoluează î câmp cetral este mărme vectorală coservatvă M ( t cost M ( t Demostraţe: 4 Îlocud î teorema de varaţe a mometulu cetc expresa forţe care acţoează asupra puctulu materal aflat î câmp cetral ş ţâd cot de faptul că r r obţem: dm M t dt ( M ( t Propretatea 4: Mşcarea î câmp cetral este o mşcare plaă plaul mşcăr coţâd cetrul câmpulu (orgea sstemulu de referţă Demostraţe: Îmulţd scalar relaţa matematcă a leg coservăr mometulu cetc î câmp cetral obţem cu vectorul de pozţe r( t Ţâd cot că rezultă M ( t r ( t M ( t r ( t M t r t r t p t r t ( ( ( ( ( ( M ( t r( t Descompuâd vector după baza ortoormată ( e e e 3 asocată sstemulu de referţă cosderat obţem că ultma ecuaţe este ecuaţa uu pla a căru ormală are drecţa lu M ( t M( t x( t + M( t x( t + M3( t x3( t Ma mult orgea sstemulu de referţă ( t x ( t x ( t plaulu Propretatea 5: 3 x verfcă ecuaţa Vteza areolară a puctulu materal aflat î câmp cetral este mărme scalară coservatvă Dscpla D: ZCĂ MOLECULARĂ Ş CĂLDURĂ Să se defească procesul poltrop sa se scre ecuata sa petru u gaz perfect sa se scre expresa dcelu poltropc s sa se detfce petru γ s ± tpul procesulu partcular s valoarea capactat calorce a sstemulu termodamc procesul partcular Se umesc procese poltrope acele procese termodamce care schmbul elemetar de caldura δ Q CdT care capactatea calorca C a sstemulu proces are valoare costata Ecuata procesulu poltrop petru u gaz perfect: pv costat
dcele poltropc: Cazur partculare pcost (proces zobar CC p Tcost (proces zoterm C Scost (proces adabatc sau zetrop C Vcost (proces zocor CC V Scret ecuata dferetala Clausus-Clapeyro a traztlor de faza de speta fucte de saltul etrope s fucte de caldura molară de trazte Dscutat varata relatvă a presu s temperatur de trazte la caldură molară de trazte poztvă la cresterea s mcsorarea volumulu molar Ecuata Clausus-Clapeyro este: ude Caldura molara de trazte este: Astfel Petru p presuea T- temperatura - etrople molare ale celor doua faze (trazte cu absorbte de caldura - volumele molare ale celor doua faze - cad - temperatura de trazte creste la cresterea presu (de exemplu evaporarea uu lchd - cad - temperature de trazte scade la cresterea presu (de exemplu toprea ghet 3 Sa se scre ecuata Va der Waals petru u mol de gaz real s ecuata de stare petru u mol de gaz perfect specfcad corectle aduse ecuate de stare a gazulu perfect cazul gazulu real Ecuata Va der Waals: Ecuata de stare a gazulu perfect: pvrt b corecta de volum (covolumul care este de patru or volumul propru al moleculelor dr-u mol - corecta de presue (presuea era care se datoreste fortelor de atracte re molecule gazulu s care se scade d presuea pe care ar exercta-o gazul abseta acestor forte 4 Ce repreza formula barometrca care este expresa sa s care sut semfcatle marmlor care erv aceasta formula? ormula barometrca arata ca presuea fludele compresble aflate campul gravtatoal scade expoetal cu altmea sau altmea Z corespude velulu mar la care presuea este p ar destatea aerulu (gaz perfect este g este accelerata gravtatoală este masa molara a gazulu perfect (aer R este costata uversală a gazulu perfect ar T este temperatura absolută Dscpla D3: ELECTRCTATE Ș MAGNETSM a Euțaț ș screț expresa leg lu Gauss sub formă egrală petru electrostatcă î vd b Stablț legea lu Gauss î vd sub formă locală (dferețală c Determaț estatea câmpulu electrc î vd creat de o sarcă electrcă statcă Q dstrbută uform î erorul ue sfere de rază R a luxul estăț câmpulu electrc prr-o suprafață îchsă S este egal cu sarca electrcă totală d erorul acele suprafețe raportată la permtvtatea electrcă a vdulu ( b Petru o dstrbuțe cotuă de sarcă electrcă de destate volumcă sarca d eorul suprafețe S se determă pr egrala de volum Gauss sub formă egrală ( se rescre sub forma Legea lu 5 Utlzâd î (3 teorema dvergețe (Gauss-Gree (
se obțe (3 (4 Observațe:Dstrbuțía sfercă (uformă se comportă î exteror smlar ue sarc electrce puctforme aflată î cetrul sfere Sarca acestea este egală cu sarca totală a dstrbuțe Î erorul dstrbuțe de sarcă Suprafețele Gauss S(r sut eroare suprafețe sferce de rază ce mărgește dstrbuța de sarcă Î acest caz Deoarece suprafața îchsă S ș mplct volumul V(S sut arbtrare d (4 se obțe legea lu Gauus sub formă locală (dferețală sau (5 sub forma Legea lu Gaus ( se scre țâd cot de (6 (9 c Dstrbuța de sarcă electrcă ( are o smetre sfercă ș pot f utlzate suprafețe Gauss sferce cocetrce cu cetrul de smetre S(r ca î fgură Datortă smetre dstrbuțe de sarcă ș țâd cot de (5 se trage cocluza că vectorul drecțe radală ca ș vectorul suprafață elemetară (fgura de ma jos luxul lu pr suprafețele sferce S(r se determă astfel are (6 D (9 se obțe ș deoarece are drecțe radală vectorul estate a câmpulu electrc (î erorul dstrbuțe de sarcă electrcă are expresa ( a Defț dpolul electrc ș mometul electrc dpolar corespuzător Determaț (b poteţalul electrc ș (c estatea câmpulu electrc creat de u dpol electrc la dstațe mar de acesta S(r a Dpolul electrc este u sstem format d două sarc electrce puctforme egale ş de seme cotrare (-q ş +q plasate î vd Vectorul de pozţe al sarc poztve î raport cu R Q r cea egatvă este (ca î fgură Î exterorul dstrbuțe de sarcă Suprafețele Gauss S(r sut exteroare suprafețe sferce de rază ce mărgește dstrbuța de sarcă Î acest caz ș țâd cot de (6 legea lu Gauss sub formă egrală ( se scre (7 D (7 se obțe ș deoarece are drecțe radală expresa vectorulu estate a câmpulu electrc (î exterorul dstrbuțe de sarcă electrcă are forma (8 Mometul dpolar se defește pr relațía ( Obs: Mometul dpolar u depde de alegerea sstemulu de referță (este rsec b Pe baza prcpulu superpozţe poteţalul câmpulu electrostatc creat de sstemul celor două sarc electrce este ( 6
S-a ales orgea sstemulu de referță î mjlocul segmetulu determat de cele două sarc La dstațe mar de dpol ș smlar se folosesc urmăoarele aproxmaț: (3 (4 troducâd (3 ș (4 î ( ș țâd cot de defța ( se obțe expresa potețalulu cîmpulu electrc creat de u dpol electrc (la dstațe mar î aproxmața dpolară Această lege permte determarea ducțe câmpulu magetc creat de u curet electrc statoar de esatate ce parcurge u coductor flform descrs de curba C este vectorul de pozțe î care se determă este vectorul elemet de lugme taget la curba C î puctul ( fgura de ma jos î cazul partcular b b Se aplcă legea Bot-Savart ( Îtr-u u sstem de coordoate ales ca î fgura de ma jos vector ș se scru sub forma sut verosor axelor cartezee ( (3 (5 c testatea câmpulu electrostatc se determă pr relața adcă (6 Calcule smple de aalză vectorală coduc la egaltățle: (7 (8 Utlzâd ( ș (3 se obțe olosd ( (3 ș (4 se determă (4 (5 Țâd cot de (7 ș (8 î (6 se obțe expresa estăț câmpulu electrc creat de u dpol electrc (î aproxmața dpolară care are forma (9 Legea Bot-Savart ( se scre î acest caz partcular sub forma (6 3 a Screț expresa leg Bot- Savart petru o dstrbuțe flformă de curet electrc stațoar b Determaț ducța câmpulu magetc îtr-u puct de pe axa ue spre crculare de rază R parcursă de u curet electrc stațoar de estate a Legea Bot- Savart petru o dstrbuțe flformă de curet electrc stațoar are expresa ( sau pe compoete cartezee (7 (8 7
După efectuarea egralelor se obțe expresa vectorulu ducțe a câmpulu magetc îtr-u puct de axa spre crculare Î cetrul spre ( câmpul magetc este dat de relața (9 ( 4 a Euțaț ș screț expresa leg lu Ampere sub formă egrală petru magetostatcă î vd b Stablț legea lu Ampere î vd sub formă locală (dferețală c Determaț ducța cîmpulu magetc î vd creat de u curet electrc stațoar dstrbut uform î erorul uu coductor cldrc de rază R prezupus (teoretc ft lug a Crculața vectorulu ducțe a câmpulu magetc pe o curbă îchsă este egală cu estatea curetulu electrc stațoar ce trece prr-o suprafață mărgtă de curba îmulțtă cu permeabltatea magetcă a vdulu ( b Petru o dstrbuțe cotuă estatea curetulu electrc pr suprafața este fluxul vectorulu destate de curet pr acea suprafață Legea lu Ampere sub formă egrală ( se rescre sub forma Utlzâd î ( teorema rotorulu (Stoes ( Cofgurața câmpulu magetc este la fel î orce secțue trasversală (fg S-a otat cu dstața de la puctele î care se determă la axa de smetre Aceasta repreză ș raza curbelor crculare C(r Țâd cot de (5 ș de smetra dstrbuțe de cureț putem trage cocluza că vectorul ducțe magetcă este mereu taget la curbele crculare C(r R Crculața vectorulu C(r fg fg pe aceste curbe crculare se determă astfel (6 Î exterorul dstrbuțe de curet curbele Ampere C(r sut exteroare suprafețe cldrce de rază R ce mărgește dstrbuța de curet electrc Î acest caz ș legea lu Ampere sub formă egrală ( se scre țâd cot de (6 astfel (7 D (7 obțem expresa modulululu vectorulu ducțe magetcă ( exteror de forma (8 Î erorul dstrbuțe de curet curbele Ampere C(r sut eroare suprafețe cldrce de rază R ce mărgește dstrbuța de curet electrc Î acest caz R r se obțe (3 (4 forma ș țâd cot de (6 legea lu Ampere ( se scre sub Deoarece curba îchsă ș mplct suprafața sut arbtrare d (4 se obțe legea lu Ampere sub formă locală (dferețală sau (5 c Dstrbuța de cureț (fg cu are o smetre cldrcă (axală ș poate f utlzată legea lu Ampere sub formă egrală ( Curbele Ampere sut curbe crculare C(r cu cetrul pe axa de smetre curbe aflate î plae perepedculare pe această axă 8 (9 D (9 obțem expresa modulululu vectorulu ducțe magetcă (î eror de forma (
Dscpla D4: OPTCĂ ş ZCA ATOMULU Ş MOLECULE Să se costruască magea uu puct stuat pe axa optcă prcpală a ue oglz sferce cocave Î acelaș cotext să se determe pozța mag ș să se stablească ecuața puctelor cojugate Costrum magea solctată ca î fgura alăturată Î acest ses cosderăm două raze de lumă care au ca sursă puctul : prma pe drecța axe optce V ar cea de a doua după o A drecțe oarecare A magea puctulu [puctul ] este dată de ersecța razelor reflectate ș asocate celor cdete A V ș respectv A Ma mult dacă p avem p f ceea ce exprmă faptul că focarul este pe axa optcă î care coverg razele provete de la u puct de pe axa optcă stuat la ft Dspoztvul Youg e ș două zvoare scroe de ude armoce de aceeaș lugme de udă [dec de aceeaș frecveță] s Cosderăm puctul M stuat pe dreapta care trece pr ș este ortogoală pe [ca î fgura alăturată] Aalzâd ughurle trughurlor A C s A C stablm relațle ( Î stablrea ultme relaț d ( am utlzat legea reflexe coform cărea ughul de cdeță este egal cu ughul de reflexe [ ] Elmâd ughul de cdeță î relațle ( obțem ( Î codțle î care raza cdetă este foarte apropată de axa optcă [ ] A ughurle ș pot f exprmate ca troducâd rezultatele (3 ecuața ( deducem relața apelată ca ecuața puctelor cojugate Observăm că petru o pozțe dată a puctulu obect (CA se obț î fucțe de parametr ș a [sau î fucțe de pozța puctulu de cdetă pe ogldă] o ftatea de pozț ale puctulu A Aceasta arată că oglda sfercă este astgmatcă: magea orcaru puct A va f u u puct c o pata lumoasă ma mult sau ma put să î fucțe de deschderea a fasccululu cdet (3 (4 9 Î cotextul cosderat vbrațle î puctul geerate de cele două zvoare au expresle Pr calcul drect se obțe dfereța de fază drefazele celor două vbraț î puctul Mărmea d defța de ma sus se umește dfereța de drum Vbrața rezultată î puctul este suma algebrcă a vbrațlor geerate de cele două zvoare î puctul cosderat (3 ude Pe baza relațe de proporțoaltate dre estatea vbrațe ș a prmulu rezultat d (4 deducem că: ( ( (4 ș pătratul ampltud (5
Dacă ϕ π [sau echvalet δ λ ] atuc estatea vbrațe [î puctul cosderat] deve maxmă ( J a + a (6 Î partcular dacă a a a (7 atuc pe baza relațe (6 obțem J 4 a (8 Dacă ϕ ( + π [sau echvalet λ δ ( + ] atuc estatea vbrațe [î puctul cosderat] deve mmă ( J a a (9 Î partcular dacă a a a ( atuc pe baza relațe (9 obțem J ( Dscuța ateroară evdețază faptul că pe ecraul de proecțe [stuat î plaul P care trece pr puctul M pla paralel cu ] este surprs feomeul de erfereță Î puctul M dfereța de drum optc ître udele care erferă este lx δ M M L l s l tg ( D Î partcular petru puctul O determat de ersecța plaulu P cu perpedculara dusa pr mjlocul segmetulu dfereța de drum optc este ulă δ (3 ș dec î puctul preczat se oțe u maxm de erfereță Ma mult smetrc față de acesta vor apare maxme ș mme de îterfereță Coform dscuțe ateroare maxmele de erfereță de vor obțe petru dferețe de drum optc de tpul lx dec petru puctedepartatede O cu λd δ λ x (4 D l Dstața dre două maxme succesve se umește erfrajă ș pe baza rezultatulu (4 are expresa λd x+ x (5 l D puct de vedere feomeologc î plaul P vor apărea regu fâș lumoase ș îtuecoase lare î reguea plaă d jurul puctulu O perpedculare pe plaul fgur ș care se umesc fraje de erfereță Cu alegerea (7 estatea ude rezultate îregstrate pe ecraul de proecțe [mărme proporțoală cu pătratul ampltud ude rezultate A (4] deve πlx J A a ( + cos ϕ 4a cos λd - ZCA ATOMULU Ş MOLECULE 8πν dν dnν c Std ca 3 repreza umarul de ude electromagetce statoare d utatea de volum a ce cu frecvetele cuprse ervalul (ν ν +d ν deducet formula lu Plac Plac postuleaza ca eerga E a uu osclator armoc lar mcroscopc de frecveta ν este u multplu reg al ue valor date ε umta cuata de eerge: E ε 3 ( Presupuad o dstrbute boltzmaaa a eerge osclatorlor valoarea mede a eerge uu osclator are forma: (6 E / KT Ee < ε ( ν T > ( E / KT e / KT Notad β s folosd relata ( expresa ( deve: βε ε e d βε d < ε ( ν T > l( l( e βε βε dβ dβ e e locud pe β cu /KT d relata (3 rezulta: ε ( ν T > ε / e < KT ε βε e ε (4 Plac obte urmatoarea exprese petru destatea spectrala volumca de eerge: ρ ν T dν 8πν < ε ( ν T > 3 c e ( dnν ε / KT (5 ε dν Petru ca formula (5 sa fe cocordata cu datele expermetale trebue ca lm ρ( ν T Pr urmare ε trebue sa fe o fucte crescatoare de frecveta ν Plac a cosderat ε hν h 6 (6 34 ude 6 J s este costata lu Plac poteza lu Plac ( coform carea eerga uu osclator armoc lar mcroscopc este cuatfcata: (3
E hν 3 (7 arata ca eerga osclatorulu varaza dscret cu frecveta D relatle (6 s (5 deducem formula lu Plac: 8πν hν ρ( ν T dν dν 3 hν / KT c e (8 Deducet cadrul teore atomce a lu Bohr expresle razelor vtezelor s eerglor corespuzatoare olor hdrogeoz (cazul ucleulu ft greu ude c cetrfuga Relata ( coduce la egaltatea: Deoarece masa M a ucleulu este mult ma mare decat masa m a electroulu se poate cosdera ca ucleul este ft greu raport cu electroul Nucleul se cosdera repaus stuat orgea sstemulu de coordoate Electroul se va msca jurul ucleulu pe o traectore crculara de raza r cu vteza v Am otat +Ze sarca ucleulu s cu e sarca electroulu Codta de stabltate a electroulu pe orbta crculara este: ( c + cf este forta coulombaa de eracte electro-ucleu ar cf mv r Ze 4πε r este forta ( Codta de cuatfcare a mometulu cetc este: Lmvrћ 3 (3 Relatle ( s (3 costtue u sstem de ecuat cu ecuoscutele r s v D (3 obtem v ћ/mr (4 troducad aceasta exprese a lu v ( obtem razele orbtelor Bohr petru o hdrogeoz: ude 4πε r Z me 4πε ( h / π a 59 me ( h / π A Z a Z 3 (5 repreza raza prme orbte Bohr atomul de hdroge Relata (5 arata ca razele orbtelor Bohr sut cuatfcate s sut proportoale cu s vers proportoale cu Z troducad (5 (4 se obt vtezele electroulu pe orbtele Bohr: ude e Z Z v Z v 4πε ( h / π e 6 v m / s 4πε ( h / π (6 este vteza electroulu pe prma orbta Bohr atomul de hdroge Observam ca vteza electroulu atom este cuatfcata s este proportoala cu Z s vers proportoala cu Eerga totala (E a oulu hdrogeod este data de suma eerge cetce a electroulu s eerga potetala de eracte coulombaa electro-ucleu: E troducad (5 (7 obtem: ude 4 e m Z E Z E 8ε h 4 e m 3 8ε h ( mv Ze Ze 4πε r 8πε r (7 Z E 56eV (8 este eerga atomulu de hdroge starea fudametala ( D (8 rezulta ca eerga este egatva (star legate este cuatfcata s este proportoala cu Z s vers proportoala cu Dscpla D5: MECANCĂ TEORETCĂ Să se scre ecuaţle lu Newto î prezeţa legăturlor ş să se arate că acestea pot f obţute dr-u prcpu varaţoal Să se reformuleze ultmul prcpu varaţoal î coordoate geeralzate ş să se deducă ecuaţle corespuzătoare e u sstem de pucte materale descrs de coordoatele cartezee x a ar 3 care evoluează îtr-u cîmp de forţe poteţale aptul că sstemul evoluează îtr-u câmp poteţal mplcă exsteţa ue fucţ V x umtă eerge poteţală ( astfel îcât compoetele forţelor care acţoează asupra puctelor materale au expresle V Evoluţa sstemulu are loc astfel îcât coordoatele cartezee legăturlor: φ ( ude 3 x A A x x satsfac ecuaţle
ucţle φ au fost alese astfel îcât să satsfacă codţa de regulartate φ ( x rag A x Ecuaţle lu Newto î prezeţa legăturlor au forma: φ ( x o A V φ mx a λ a a x φ ( x A ( ( x a ude am otat pr λ multplcator Lagrage Ecuaţle ateroare repreză u sstem ( a de 3+A ecuaţ cu tot atâtea ecuoscute ( λ Ecuaţle lu Newto î prezeţa legăturlor pot f obţute d prcpul varaţoal L ude acţuea Lagragaă capătă forma x δs x λ ( a ( a x ( δ t δx ( t ( x λ λ ( ( ( ( λφ( t 3 A a a λ a t a L S x dt m x V x x t t dtl x U sstem de 3-A de fucţ de tmp ( 3 q A se umeşte sstem de coordoate geeralzate petru sstemul de partcule supus la A legătur î cazul î care coordoatele a a cartezee exprmate î fucţe de acestea pr relaţ de tpul x x q satsfac detc ecuaţa legăturlor ( ( x a ( q φ Acţuea Lagragaă î coordoate geeralzate capătă forma ( a ( a ( ( ( ( ( ( t ( ( t 3 L a t a t S q dt m x q V x q dtl q q t Î ultma formulă u ma apare depedeţa de λ datortă relaţlor Reformulâd prcpul varaţoal ateror î coordoate geeralzate ( ( x a ( q φ L δ S q δq ( t δq ( t obţem ecuaţle Lagrage (sstem de (3-A ecuaţ dfereţale ordare de ordul al dolea cu ecuoscutele q : ( d ( L q q t L q q t q dt q q q tc c(3 A Soluţa ecuaţlor Lagrage este dată de ( c c(3 A se determă d codţle ţale q ( t c c(3 A q q ( t c c(3 A q ude costatele Soluţa ecuaţlor Lagrage determă complet mşcarea sstemulu de pucte materale supus la A legătur Să se euţe teorema Noether Să se deducă cosecţa teoreme Noether refertoare la coservarea eerge totale Teorema Noether stableşte legătura dre trasformărle de smetre ale uu sstem ş egralele prme ale acestua Defţe: Spuem că o fucţe este egrală prmă a mşcăr descrse de ecuaţle Lagrage q ( t ( d ( L q q t L q q t q dt q ϕ î care costatele de egrare sut fxate avem ( ( ( ϕ t ϕ t t c cost dacă petru orce soluţe Trasformărle de smetre (lare î parametrul ε ε sub formă ftezmală ale uu sstem sut de forma ude a a a a q Q q R ε + R a a a Q ( q ε Euţ: Dacă acţuea uu sstem este varată la trasformărle de smetre ftezmale cu N parametr ε atuc sstemul posedă N egrale prme depedete de forma
( T ( L q q t L q q t Q ( q q t L( q q t q + q ε q ε ude N Cosderăm Lagragaul 3 A L( x x λ λ ma ( x V ( x λφ ( x a al uu sstem de pucte materale supuse la A legătur depedete de tmp Putem găs îtotdeaua u sstem de coordoate geeralzate q astfel îcât relaţle dre coordoatele cartezee ş cele geeralzate să fe de forma a a x x q ( ( ( Dervâd ultma relaţe î raport cu tmpul obţem dx dt x q q Substtud ultmele două relaţ î Lagragaul cosderat obţem Lagragaul sstemulu î coordoate geeralzate (umt ş Lagragaul atural J L( q q gqq j V ( q ude 3 x x r r J ( a J a J a q q a q q g q m m Ultma relaţe evdeţază că fucţle ( J g q sut smetrce g ( q g ( q J Prmul terme al Lagragaulu atural repreză eerga cetcă a sstemulu ar al dolea eerga sa poteţală astfel îcât eerga totală î fucţe de q ş q are forma J E( q q gqq j + V( q Cosderăm traslaţle temporale t T t+ε q Q q Avem u sgur parametru ε coform teoreme Noether vom avea o sgură egrală prmă D ultmele relaţ găsm că T Q ε ε Corespuzător traslaţlor temporale meţoate deducem următoarea egrală prmă J 3 ( ( q q L q q q D Lagragaul atural rezultă pr calcul drect ( q L q q g J ( q L q q ( q q relaţe care îlocută î egrala prmă e coduce la J ( q q gj ( q qq + V( q Cosecţă: Dacă acţuea uu sstem este varată la traslaţle temporale atuc eerga totală a sstemulu este egrală prmă 3 Să se euţe ş să se demostreze teorema Posso refertoare la egralele prme Hamltoee Defm egrala prmă Hamltoaă ca fd orce observablă clască care se reduce ( detc la o costată ϕ ( t t c ude ( t q ( t p ( t ecuaţlor caoce Hamlto O observablă clască ( q J ( ϕ este soluţa p t este egrală prmă Hamltoaă dacă ş uma dacă + [ H ] t Euţ: Dacă ş sut egrale prme Hamltoee ale uu sstem atuc parateza lor Posso [ ] este egrală prmă a aceluaş sstem Demostraţe: Dacă ş sut egrale prme Hamltoee atuc acestea satsfac relaţle Trebue să demostrăm că t + [ H] t + [ H] t [ ] [ ] + H Utlzăm comportarea parateze Posso la dervarea parţală cu tmpul Îlocum î relaţa de ma sus egrală prmă Hamltoaă ş obţem [ ] + t t t ş t t d codţa ca o observablă clască să fe
t Pe baza dettăţ Jacob găsm că [ ] [ H] [ H] [ ] [ ] [ ] H H H Substtud ultma relaţe î cea ateroară obţem ceea ce trebua demostrat 4 Să se scre ecuaţa Hamlto Jacob ş să se defească oţuea de egrală completă Să se euţe ş să se demostreze teorema Jacob refertoare la ecuaţa Hamlto-Jacob Ecuaţa Hamlto Jacob are forma S S + H q t t q Ecuaţa Hamlto-Jacob este o ecuaţe cu dervate parţale fucţa ecuoscută fd S Soluţa ecuaţe este de forma S S( tq c c f ude c cf sut costate arbtrare S q β t a ecuaţe Hamlto-Jacob se umeşte egrală completă dacă O soluţe ( S( q β t rag f q β j r gradelor de lbertate ale sstemulu Teorema Jacob S q β t o egrală completă a ecuaţe Hamlto-Jacob Atuc fucţle e ( q q ( t β ş p ( p t β obţute pr explctare d relaţle ( β t S q p q S q β ( β t sut soluţ ale ecuaţlor caoce Hamlto Demostraţe: Aplcâd dervata totală î raport cu tmpul î amb membr a relaţe ( β t S q β obţem S S + j q t β q β j 4 Dervâd parţal î raport cu β amb membr a ecuaţe Hamlto-Jacob deducem că S H S + j βt pj βq Scăzâd ultmele două relaţ ajugem la sstemul omoge de f ecuaţ algebrce Necuoscutele sstemulu sut fucţle S H q j q β p j j j H u q p completă ajugem la cocluza că sstemul ateror are doar soluţa baală j j H u q p dec q p verfcă prmul set de ecuaţ Hamlto Vom demostra î cele ce urmează că îl verfcă ş pe al dolea Aplcăm dervata totală î raport cu tmpul î amb membr a relaţe Obţem S S t q q q j p + q j Dervăm parţal ecuaţa Hamlto-Jacob î raport cu q ş obţem S H H S + + j qt q pj qq j j Ţâd cot că S este egrală ( β t S q p q Scăzâd ultmele două relaţ (ș tâd cot de faptul că varablele q p verfcă prmul set de ecuaț Hamlto obţem H p q Pr urmare q p verfcă ş cel de-al dolea set de ecuaţ Hamlto
Dscpla D6: ELECTRODNAMCA Se cosderă o partculă relatvstă lberă cu masa de repaus m ce se deplasează cu vteza v Să se defească ş să se calculeze efectv mpulsul masa ş eerga partcule pord de la expresa fucţe Lagrage care descre acest sstem mpulsul ue partcule lbere se defeşte pr relaţa: L p v Ţâd cot de expresa Lagrageaulu L m c v v p mc v c Dacă luăm î calcul defţa geerală mşcare a partcule: m Masa partcule depde de vteză m v c / v v / p mv c m v v c obţem: vom putea detfca masa de Să se euţe legea ducţe electromagetce ş să se verfce pr calcul drect valdtatea forme e dfereţale pe baza defţlor estăţ câmpulu electrc E ş ducţe magetce B î fucţe de poteţalele vector A ş scalar ϕ Legea ducţe electromagetce afrmă că u flux magetc varabl care străbate o suprafaţă S geerează î orce curbă îchsă Γ S care îcojoară suprafaţa o tesue electromotoare egală ş de sem opus cu vteza de varaţe a fluxulu magetc: e Γ S Φ d B dt Sub formă dfereţală legea se poate exprma pr relaţa: S B E t testatea câmpulu electrc E ş ducţa magetcă B se defesc î fucţe de poteţalele vector A ş scalar ϕ pr relaţle: A E ϕ ; B A t Utlzăm defţle ateroare petru E ş B tâd î plus cot că ϕ Î aceste codţ relaţa matematcă petru legea ducţe deve dettate Eerga partcule este dată de relaţa: Adcă: E v p L m c E v c Relaţa ateroară exprmă echvaleţa dre masa ş eerga partcule mc 5 3 Să se scre ecuaţle Maxwell î vd sub formă dfereţală ş pord de la acestea să se deducă ecuaţa de cotutate petru sarca electrcă Să se puă ecuaţa de cotutate sub formă egrală ş să se preczeze semfcaţa e fzcă Sub formă dfereţală cele patru ecuaţ Maxwell scrse petru vd au expresle: - legea fluxulu electrc (teorema lu Gauss: - legea fluxulu magetc: - legea ducţe electromagetce: - legea crcutală a lu Ampere: E ε B ρ B E t B ε c j + c E t
D prma ş d ultma ecuaţe se obţe ecuaţa de cotutate petru sarca ρ electrcă: + j t Semfcaţa fzcă a aceste ecuaţ deve evdetă dacă ea se pue sub formă egrală: V ρ jdv dv t V adca d dt Q V S V jda Varaţa sarc electrce dru volum V este dată de fluxul sarc electrce pr suprafaţa care mărgeşte volumul respectv 4 Să se obţă pord de la sstemul ecuaţlor Maxwell î vd forma dfereţală petru ecuaţa udelor electromagetce Petru soluţa de tp udă plaă moocromatcă a aceste ecuaţ să se deducă apo relaţa de dsperse dre vectorul de udă ataşat drecţe de propagare ş pulsaţa ω a ude moocromatce Deducerea ecuaţe dfereţale a udelor electromagetce presupue rezolvarea ecuaţlor Maxwell î abseţa surselor care geerează câmpul electromagetc mpuâd ρ j sstemul ecuaţlor Maxwell petru vd deve: E ; B ; B E ; t B c E t Pr aplcarea rotorulu asupra ultmelor două ecuaţ explctarea dublulu produs vectoral ş utlzarea prmelor două ecuaţ sutem coduş la o ecuaţe dfereţală de ord de tp D Alembert: u u c u t Aceasta este ecuaţa dfereţală a udelor electromagetce Mărmea scalară u d E B relaţa ateroară poate reprezeta orcare dre compoetele vectorlor Spuem că o udă electromagetcă este udă plaă moocromatcă ce se propagă pe o drecţe dată de vectorul de udă dacă mărmea specfcă u( r t se exprmă prr-o relaţe de forma: u Ae ( r ωt Se poate uşor vedea că expresa ateroară este soluţe a ecuaţe udelor dacă se verfcă relaţa de dsperse de forma: ϖ / c ϖ c x + y + z 6 Dscpla D7: TERMODNAMCĂ Ş ZCĂ STATSTCĂ Postulatele formulăr Gbbs a termodamc de echlbru Postulatul : Exstă stăr macroscopce partculare ale sstemelor fzce umte stăr de echlbru termodamc care pot f parametrzate mmal ş complet de următoarele mărm: - U (eerga era - (parametr extesv care descru toate eracţle mecace la care poate partcpa sstemul Postulatul : Exstă o fucţe de stare umtă etrope S cu următoarele propretăţ: ( este uvocă ş dfereţablă pe mulţmea stărlor de echlbru termodamc; ( etropa este fucţe omogeă de ordul (î ses Euler î raport cu parametr de stare adcă satsface relaţa ; ( după rdcarea uu set de costrâger ere ale uu sstem termodamc complet zolat acesta ajuge îtr-o stare de echlbru descrsă de valoarea maxmă a etrope ( raport cu valorle etrope pe toate stărle compatble cu costrâgerle ere rămase erdcate; (v etropa se aulează î starea de echlbru î care Ecuaţa Euler Ecuaţa fudametală î reprezetarea etropcă are forma ( U S S î tmp ce î reprezetarea eergetcă deve U U ( S Postulatele formulăr Gbbs evdeţază că etropa este fucţe omogeă de ordul (î ses Euler de parametr de stare ( U λ λ S( U S λ λ Deoarece este parametru extesv eerga eră va avea aceeaş propretate Utlzîd otaţle ( S λ λ U ( S U λ λ ( U ( S propretăţle de omogetate capătă forma ( λ λs( S
( λ λu ( U Dervăm ultmele două relaţ î raport cu parametrul λ ş găsm Alegem S U ( λ ( λ ( λ ( λ ( λ λ ( λ λ S U λ î ultmele ecuaț Rezultă că S( S Ţâd cot de faptul că ( ( ( ( U U ( P S ( U ( β β obţem î fal ecuaţa Euler î reprezetarea etropcă S ( respectv ecuaţa Euler î reprezetarea eergetcă sau echvalet S U ( P T ( U U + U ( S TS + P Atuc câd cuoaştem ecuaţa fudametală putem deduce toate ecuaţle prmare de stare Ecuaţa Euler (î orcare dre reprezetăr arată că dacă ştm toate ecuaţle prmare de stare atuc putem costru ecuaţa fudametală î orcare dre reprezetăr Presupuem că ştm ecuaţle prmare de stare sau î mod echvalet ( U 7 T T ( U ( U Substtud ultmele relaţ î ecuaţa Euler î reprezetarea etropcă găsm ecuaţa fudametală î această reprezetare sau echvalet S ( ( S T ( U ( U U + ( U Smlar procedăm ş î reprezetarea eergetcă Presupuem cuoscute ecuaţle prmare de stare ( S P P sau echvalet T T ( S P P ( S Substtud ultmele relaţ î ecuaţa Euler î reprezetarea eergetcă găsm ecuaţa fudametală î această reprezetare sau echvalet U ( P ( U S T S S P S ( ( ( + Cocluze: Ecuaţle Euler e arată cum putem costru ecuaţa fudametală atuc câd cuoaştem toate ecuaţle prmare de stare 3 Prcpul varatoal fudametal al fzc statstce de echlbru cazul sstemelor clasce etropa (statstca S este defta pr relata: S( ρ l ρ ( ude este costata lu Boltzma ar l ρ d s x ρ ( xl ρ ( x ( Γ este meda fucte l ρ ( x pe asamblul statstc statoar Am ales sa lucram cu marm stelate ( va urma s sstemele de partcule detce ρ s ( x d x petru a putea globa aalza care
fucte de codtle care se realzeaza echlbrul termodamc destatea de probabltate ρ ( x satsface codt suplmetare umte costrager O prma costragere care este otdeaua prezeta este codta (costragerea de ormare: s f [ ρ ] d x ρ ( x (3 Γ Celelalte costrager care pot sa apara r-o teore depd geeral de codtle de preparare a star de echlbru Ele vor f otate pr: f (4 [ ρ ] [ ρ ] f (5 Prcpul fudametal al fzc statstce de echlbru U asamblu statstc de echlbru este descrs de o destate de probabltate ρ ( x care realzeaza maxmul etrope statstce S[ Γ ρ (6 s ] d x ρ ( xl ρ ( x raport cu valorle etrope pe toate fuctle ρ ( x care satsfac costragerle Prcpul fudametal eutat ateror e coduce la o problema de extremum cu legatur O astfel de problema se rezolva folosd metoda multplcatorlor lu Lagrage Ma exact extremul lu S [ ρ ] prezeta legaturlor (3 (4 (5 se exprma pr extremul fuctoale S [ ρ ] S[ ρ ] f[ ρ ] f[ ρ ] (7 ude sut multplcator Lagrage Codta ecesara de extrem petru fuctoala (7 este: δs [ ρ ] (8 ude δ d S [ ρ + uδρ ] S (9 du u ultma relate u este u parametru care u depde de x (sau de ρ ar δρ sut ste varat arbtrare ale lu ρ olosd relatle (6 (3 (4 (5 etc gasm Γ ds [ ρ + uδρ ] d ( d s x ( ( ρ + uδρ l( ρ + uδρ du du Γ ( ρ + u δρ f[ ρ + uδρ ] f [ ρ + uδρ ] d s x ( δρ l( ρ + uδρ ( ρ + uδρ δρ δρ ρ + uδρ 8 df [ ρ + uδρ ] df [ ρ + uδρ ] + du du ( Evaluam ( petru u s df[ ρ + uδρ ] d x ( l du u Γ u ds [ ρ + uδρ ] δs ρ δρ du df [ ρ + uδρ ] ( du troducem ( (8 s obtem: u df [ ρ + uδρ ] df [ ρ + uδρ ] ( l s d x ρ δρ du du Γ u u Cuoasterea tuturor costragerlor f f care apar ultma ecuate e permte sa determam complet ρ ( x pe baza aceste ecuat 4 Asamblul caoc clasc Pr defte asamblul caoc clasc starea de echlbru se prepara pr cotactul de echlbru al sstemulu de studat cu u termostat care fxeaza temperatura sstemulu (T la valoarea temperatur termostatulu (T r : TT r Deoarece u avem eract mecace tot parametr mecac a sstemulu sut fxat xarea parametrlor (T va determa complet starea de echlbru reprezetarea potetalulu Helmholtz (eerga lbera partcular fxarea parametrlor (T fxeaza eerga era U U T ( fxata detfcad eerga era U cu meda pe asamblul statstc a Hamltoaulu H : U fxarea eerge ere va coduce la fxarea mede Hamltoaulu: H H E valoare fxata Des meda Hamltoaulu este fxata datorta eracte dre sstem s thermostat eerga U va f o varabla aleatoare xarea mede Hamltoaulu este o oua costragere care apare alatur de costragerea de ormare cazul asamblulu caoc clasc: s f [ ρ ] d x ρ ( x (costragerea de ormare ( Γ s f [ ρ ] d x H ( x ρ ( x E (costragerea de fxare a mede eerge( Γ Alte costrager suplmetare u ma apar cazul asamblulu caoc clasc Aplcam prcpul fudametal al fzc statstce de echlbru petru a determa destatea de probabltate ρ ( x Costrum fuctoala S [ ρ ] S[ ρ ] f [ ρ ] f [ ρ ] (3
Costrum ds ( ρ + uδρ s δ d x ( l ρ H( x δρ ( x du S D codta δ Care e coduce la troducem otata u S obtem ecuata: l ρ ( x Z astfel cat ultma relate poate f scrsa sub forma ρ ( x e Z H ( x ρ ( x e e H ( x e H ( x (4 Z se umeste egrala de stare caoca s cote toata formata ( x Marmea termodamca cu prvre la sstem D codta de ormare petru ρ dat de (4 obtem: Z Γ d s x e H ( x Petru a determa complet destatea de probabltate s mplct egrala de stare caoca trebue sa determam multplcatorul Lagrage Petru aceasta vom calcula etropa statstca S Vom avea olosm faptul ca Z Z (deoarece S l Z + U de ude exprmam l Z S U l ρ l Z H l ρ l Z + S Z u depde de x s H H U (5 Dervam ultma relate raport cu Petru membrul stag vom avea: ( l Z (l Z Z Z Z Z Z Γ d s Atuc x ( H ( x e H ( x Γ H ( x s s d x H ( x e d x H ( x ρ ( x H U Z Dervam raport cu membrul drept al relate (5: ( S U U U Γ S (7 D (5 (6 s (7 se obte: S U U U adca S U S / S U / U T ceea ce e coduce la (7 coseca destatea de probabltate asamblul caoc are forma: ( x Z e H ( x T ρ (8 Costrum acum termodamca statstca asamblul caoc Plecam de la relata (5 care substtum cu /T Vom avea: T l Z U TS (9 Stm ca U TS este char trasformata Legedre a eerge lbere raport cu S adca eerga lbera (T Astfel relata (9 se poate scre sub forma ( T T l Z ( T ( Am ajus la cocluza ca asamblul caoc classc termodamca statstca se costrueste cu ajutorul eerge lbere Petru a putea determa eerga lbera trebue sa determam egrala de stare Z care apare depedeta de pr depedeta Hamltoaulu de acest parametr: HH(x Dscpla D8: MECANCĂ CUANTCĂ Prcple de descrere ale mecac cuatce: a Prcpul (descrerea starlor b Prcpul al -lea (descrerea observablelor a Prcpul : Starea orcaru sstem cuatc la u momet dat este descrsa de u ψ p care ψ sut vector ormat sstem cel mult umarabl { } [ ψ ψ ] dr-u spatu Hlbert separabl asocat sstemulu cuatc ar (6 9
sut umere poztve [umte poder asocate vectorlor ] care satsfac codta de ormare Cometar Spatul Hlbert separabl asocat uu sstem cuatc se umeste spatul starlor petru acel sstem O stare se umeste pura daca este descrsa de u sgur vector ormat caz care poderea asocata este egala cu utatea rezulta ca tot vector d raza utara asocata lu [Tad cot s de celelalte prcp descru aceeas stare pura] O stare care u este pura se umeste mxta dec o stare mxta este descrsa de cel put do vector ormat s cel put doua poder poztve subutare avad suma egala cu utatea
Dscpla D9: ZCA SOLDULU ş SEMCONDUCTORLOR Deducet expresa umarulu de vacate (defecte Schotty s preczat semfcata marmlor: Presupuem u crstal cu N umăr de atom ş umăr de vacaţe (defecte Schotty Presupuem că eerga de formare a ue vacaţe este E V ş eerga eră are expresa: UU o + E V ( î care U o este eerga eră a crstalulu deal corespuzător Numărul total de dstrbuţ a vacaţelor î erorul uu crstal este: W (N! / (!(N-! olosd relaţa lu Boltzma de defre a etrope: S S o + B l W (3 obţem: S S o + B l [N! / (!(N-!] (4 Îlocud relaţa (4 î expresa eerge lbere U TS (5 vom avea: U o + E V ST o B T l [N! / (!(N-!] (5 Petru a calcula dstrbuţa vacaţelor le echlbru mpuem codţa de mm (d /d Vom utlza formulele lu Strlg: l N! N l N N ; l! l ; l ( N! (N l( N ( N- (6 Îlocud formulele (6 î relaţa (5 vom obţe: U o + E V S o T B T [ N l N l ( N l ( N ] (7 Notăm cu o U o S o T (8 eerga lberă a crstalulu deal Dervâd relaţa (7 î rsaport cu vom obţe: E v B T l [ (N /] (8 sau [( N / ] exp( E V / B T î Vom cosdera că fecare atom d laţul udmesoal de atom detc eracţoează uma cu vec ce ma apropaţ ş otăm cu forţa de atracţe cu m masa ue partcule / a costata de forţă otăm cu u deplasarea atomulu d pozţa de echlbru respectve cu u + u - deplasărle corespuzătoare ale veclor ce ma apropaţ Asupra partcule acţoează două forţe drjate î ses cotrar astfel îcât ecuaţa de mşcare a partcule se scre: m ü ( / a [(u + u ( u u ] sau m ü ( / a (u + + u - u ( Această ecuaţe se scre petru orce partculă d reţea cu excepţa celor plasate la capetele laţulu petru care trebue să preczăm codţle la lmtă Ecuaţa ( pue î evdeţă faptul că deplasarea ue partcule depde de deplasărle partculelor vece î cosecţă exstă u cuplaj ître osclaţle partculelor Soluţa cea ma gemerală o alegem sub forma ue ude plae progressve: u (t A exp [ - (ω t a] ( î care ω π ν π / λ ω / v Dervăm de două or î raport cu tmpul relaţa ( ü ( t - ω u ( t ş roducem î relaţa ( de ude rezultă: - mω Aexp[-(ω t a] (/a{exp [ ωt ( + a] + exp [ωt (- - exp[-( ωt-a]} (3 sau - m ω (/a[exp(a + exp ( -a -] (/a( cos a - - (4/a s (a/ de ude rezultă: otăm cu ş obţem: Dacă dec repreză ervalul fudametal de varaţe a lu umăr de udă; a costata reţele; frecveţa ughulară fal: Ude umarul de vacate N umarul total de atom d retea E V eerga ecesara formar ue vacate B costata Boltzma T temperature absoluta Deducet expresa relate de dsperse cazul udmesoal al ue retele formată d N atom detc cu masa m separaţ ître e prr-o dstaţă egală cu costata reţele a preczaţ semfcaţa termelor s reprezetaţ grafc
3 Deduceţ expresa capactăţ calorce a gazulu electroc Dacă îcălzm proba îcepâd de la u orce electro câştgă eerga aşa cum era de aşteptat d puct de vedere clasc Numa ce care se găsesc î stărle dr-u erval de eerge de lărgme măsurat de la velul erm sut exctaţ termc aceşt electro câştgă o eerge de ordul de mărme Dec dacă este umărul total de electro uma o fracţue de ordul lu poate f exctată termc la temperatura deoarece uma aceşta se găsesc î ervalul de eerge de ordul Astfel eerga termcă electrocă totală este de ordul de mărme NT E T ( T B Capactatea calorcă electrocă este dată de ( E N T C θ B ( T T Observăm d ( că C θ este proporţoal cu ca î datele expermetale La temperatura cemere C θ d formula de ma sus este ma mcă decât valoarea clască 3 N B cu u factor de ordul petru o valoare tpcă a raportulu E 4 T 5 B K Deducem o exprese T B << E Creşterea E cattatvă petru C θ valablă la temperatur joase a eerge totale a uu sstem format d electro datortă îcălzr de la la este E E Eg ( E f ( E de Eg ( E de d 3 ude f ( E este fucţa erm-drac ar ( (3 stăr eergetce Dacă îmulţm umărul de partcule ( ( ( ( g E este destatea de de N g E f E de E cu E obţem E N E g E f E de (4 Dfereţem relaţle (3 ş (4 obțem ( E f ( T f ( E E T E ( g E de T ( E Cθ T Eg E de N Scăzâd a doua relaţe d prma obţem capactatea calorcă electrocă de forma ( E f ( ( (5 T Cθ E E g E de Dar ţâd cot de expresa fucţe erm-drac avem 3 E E exp exp + T B E E de E x dx ar petru E x T T T f E E T B T T B E E Notăm B Îlocud (6 î (5 E E exp Cθ g E de exp + T B B E E T B B ( (7 T B E E preză eres doar î jurul valor dec putem scoate î afara egrale d (7 pe evaluat î ş cu otaţle de ma sus avem e C g E T x de θ ( Deoarece factorul feroară a egrale cu e x ( e + x ( e + B (6 x B E (8 T B e x este egljabl petru π 3 dar x E putem îlocu lmta T B x x dx (9 Îlocud (9 î (8 obţem ( C g E T ( θ 3 π B
4 Screţ expresa destăţ curetulu termoelectroc (formula lu Rchardso explcaţ semfcaţa termelor euţaţ potezele smplfcatoare ş factor egljaţ petru stablrea aceste expres Destatea curetulu termoelectroc are următoarea exprese care se umeşte ş formula lu Rchardso Φ j T jx AT exp T B Mărmea poartă umele de lucru de eşre termodamc a electrolor d metal El este umerc egal cu lucrul mecac ecesar petru eşrea d metal a uu electro aflat pe velul erm A este o costată cu expresa A πem h ( 4 B 3 T este temperatura absolută a crstalulu ar B costata lu Boltzma ormula de ma sus a fost dedusă î codţle uor poteze smplfcatoare ş rămâe valablă atât tmp cât sut îdeplte aceste codţ: aplcarea uu câmp electrc exter care să îdepărteze sarca spaţală formată de termoelectro emş ş compesarea perder de sarcă a metalulu Codţle de ma sus sut satsfăcute îtr-u tub electroc cu do electroz Se observă că depde puterc de temperatură Astfel petru ş ar petru acelaş dar la adcă a crescut de aproxmatv or! La verfcarea expermetală a relaţe ( s-au costatat abater mportate cea ma evdetă fd valoarea ma mcă a costate Aceste abater se datoresc faptulu că la deducerea formule lu Rchardso s-au egljat aumţ factor asupra cărora e vom refer cotuare pe scurt: a Reflexa la suprafaţa de emse La suprafaţa de separaţe metal-vd pr care părăsesc metalul electro capabl d puct de vedere eergetc are loc o reflexe caracterzată pr coefcetul de reflaxe medu troducâd coefcetul de trasmse medu formula ( a forma Φ Φ jt ADT exp A' T exp T B T B b Sarca spaţală La deducerea formule ( s-a presupus că electro emş sut îdepărtaţ de suprafaţa de emse Î abseţa uu câmp exter acest lucru u este posbl electro emş formâd o sarcă spaţală care va dmua curetul termoelectroc Câmpul electrc exter Dacă estatea câmpulu electrc la suprafaţa de emse are valor sufcet de mar el flueţează cosderabl estatea curetulu termoelectroc datortă modfcăr îălţm ş forme barere de poteţal ( 4