Tem 5 Etensini le integrlei Riemnn Modll 5. - Integrle definite, c prmetr. Integrle improprii. Integrle definite, c prmetr Stdil integrlelor definite c prmetr rel este intim legt de reprezentre integrlă fncţiilor rele de o riilă relă cre pre în descriere mtemtică mltor fenomene din: economie, fizică, tehnic etc. Fie [, ] R n interl mărginit şi A R o mlţime orecre, fncţi relă f : [, ] A R depinde de doă riile rele: [, ] şi A. Dcă f este ine definită în rport c pe [, ] şi integrilă Riemnn dpă, tnci eistă integrl definită: f (, cre depinde de prmetrl rel, A. Fncţi: ( R ( ( F : A ; F f,, A este dtă printr-o integrlă definită cre depinde de prmetrl rel, tnci când f stisfce condiţiile precizte. Vom stdi proprietăţile fncţiei F din (: eistenţ limitei pentr A R ( pnct de cmlre pentr A, continitte, deriilitte şi integrilitte. Dcă F n este simpl clclilă din (, om preciz în ce condiţii loc trnsferrile de proprietăţi de l f : [, ] A R l F dtă prin (. Definiţi 5. Fncţi f : [, ] A R tinde niform pe [, ] către fncţi g : [, ] R pentr c A' R, dcă şi nmi dcă em: ε >, δ( ε >.î. Ac < δ( ε şi A' R ( f (, g( <ε, [, ] nott: f [, ] g pentr s lim f (, g(, [, ]. Teorem 5. (Trnsfer de trecere l limită Fie f : [, ] A R fncţie contină pe [, ] pentr A. Dcă eistă limit g lim f, c A' R şi f tinde niform către g pe [, ] în, tnci ( ( em: F f f g ( 3 lim ( lim (, lim (, ( 3
ε Demonstrţie. Se plică ( c ( > şi în ipotezele teoremei, em: ε f g f g ε, (, ( (, ( < ( [ ] ( ( Ac <δ ε şi, lim F g. Teorem 5. (Trnsfer de continitte Fie f : D R R c D [, ] [c, d] o fncţie contină pe D, tnci F este contină pe [c, d]. Demonstrţi reine l doedi că [c, d] eistă lim F( F(. În ipotez f contină pe D compctă (închisă şi mărginită, rezltă f niform contină pe D şi conform definiţiei, em: ' '' <δ( ε ε >, δ( ε >.î. ( ', ', ( '', '' Dc ' '' <δ ( 4 ( ε ε f ( ', ' f ( '', '' <, ( >. În ipotezele din ennţ şi folosind (4, se oţine: ( ( (, (, F F f f (, (, (, (, f f f f < ε < ε pentr - <δ( ε eistă lim F( F(, [ c, d] F contină pe [ c, d]. Teorem 5.3 (Trnsfer de deriilitte Dcă f : [, ] [c, d] R este contină şi eistă f ' (derit prţilă li f în rport c fncţie contină pe D [, ] [c, d], tnci F este deriilă pe [c, d] şi em: ( 5 F' ( f '(,, [ c, d] Demonstrţie. F este deriilă pe [c, d], dcă pentr [c, d] F( F( eistă lim F' ( R. Derit prţilă li f în rport c în [c, d] este dtă prin: 4
f ( (, (, f f ', lim R integrilă în rport c pe [, ]. Folosind teorem 5., oţinem: F( F( (, (, lim lim f f şi cm f ' este contină pe D este şi fncţie f (, f (, f ( F ( [ c d] F lim ', ' R, este deriilă pe [c, d] şi re loc forml (5., Teorem 5.4 (Trnsfer de integrilitte Dcă f : [, ] [c, d] R este fncţie contină pe compctl D [, ] [c, d], tnci F este integrilă pe [c, d] şi em: ( 6 d d d F ( d f (, d f (, d c c c. Demonstrţi formlei (6 - în iliogrfie ([5], [], [4], [7]. Czl mi generl de fncţii definite prin integrle Riemnn cre depind de n prmetr este tnci când şi limitele de integrre, snt fncţii de cest prmetr. Fie, β : [c, d] [, ] contine, em: β( ( 7 G: [ c, d] R, G( f (, ( Teorem 5.5 (Forml de derire li Leiniz Fie f : [, ] [c, d] R şi, β : [c, d] [, ]. Dcă snt îndeplinite condiţiile: f contină pe D [, ] [c, d] eistă f ' contină pe D, 3, β C ( [c, d], tnci G este deriilă şi re loc forml li Leiniz: ( 8 G' ( f β( β' ( f ( '( + f '(,, [ c, d] β ( (. Demonstrţi în iliogrfie ([5], [], [4], [7]. Teorem 5.6 (Trnsfer de integrilitte Fie f : [, ] [c, d] R o fncţie contină şi, β : [c, d] [, ] contine pe [c,d], tnci G din (7 este integrilă pe [c, d] şi em: d d β( ( 9 G( d f (, d c c ( Demonstrţi în cpitoll Integrl dlă şi în iliogrfie ([5], [], [4], [7]. 5
Eemple. ( ( ( + R ( o F sin sin c F cos( cos cos cos 4 4 cos F(, R 4 + ( ( ( ( + o F,, F ln + ( + > ln ln ln, ( ( ( 3 o G c, schimre de riilă t t t+ t şi dt ( (, (, G t dt t t t t dt rcsin + t t t dt t t G t Integrle improprii şi prin Integrl Riemnn s- definit pe interle compcte din R şi orice fncţie integrilă în mod necesr este mărginită. O etensine integrlei Riemnn se oţine înlătrând n dintre ceste doă condiţii: interl de integrre compct (închis şi mărginit, fncţi de integrt mărginită. Vom defini n lt concept de integrlă considerând fncţii de integrt ritrre (dică mărginite s nemărginite în ecinătte ni pnct şi interle de integrt ritrre (mărginite, nemărginite s închise, neînchise. Sensl geometric l noli concept de integrlă este determint de clcll riilor nor mlţimi din pln mărginite de grficl nei fncţii, simptote orizontle, simptote erticle, drepte prlele c O şi O. Acest no concept de integrlă se nmi integrlă improprie s integrlă generliztă s integrlă pe interl necompct. 6
Să clclăm ri mlţimilor din pln mărginite de grficl nei fncţii contine, pozitiă şi o simptotă orizontlă, em czrile: f : [, R contină, f > şi simptotă orizontlă f : (, ] R contină, f > şi simptotă orizontlă A ( f ( şi cercetăm dcă eistă: lim A ( ( lim f R [ ] A(, M(, ( f ( A şi cercetăm dcă eistă: ( f ( lim A lim R. N(, B(, [ N(, ] M(, f : R R, f contină, f > şi simptotă orizontlă A (, f( şi cercetăm dcă eistă f ( A (. + lim lim, R + Fie f : I {c} R şi pnctl c I este pnct singlr l li f dcă eistă V V (c. î. f este nemărginită pe V I; în cest cz grficl li f dmite simptotă erticlă c. Vom consider interle necompcte din R de form: [, c c c +, (c, ] c c şi (, c, +. Să clclăm ri mlţimilor din pln mărginite de grficl nei fncţii contine, pozitiă, O şi o simptotă erticlă; em czrile: [ A(, ] M(, c f : [, c R, c pnct singlr şi drept c simptotă erticlă A (, f( şi cercetăm dcă eistă 7
( [ [ N(, N(, ] M(, ] B(, ( ( lim A lim f R c c < c < < c f : (c, ] R, c pnct singlr şi drept c simptotă erticlă ( f ( A şi cercetăm dcă eistă lim Eemple. o f : [, R, f ( +, G f re simptot (, orizontlă şi ri de clclt: A ( rctg rctg + A lim A( lim rctg R o f : [, R, f ( re pnct singlr şi drept simptotă l grficl li f; ri de clclt: A( rcsin rcsin A lim A( lim rcsin R < ( lim A ( f R c c c > c > > c f : (, R,, pncte singlre şi dreptele şi simptote erticle A (, f( şi cercetăm dcă eistă ( ( lim A, lim f R <<< <<< M(, M(, 8
Oserţii t( ϕ ϕ c t ϕ: c,, şiϕ C c, se plică interll necompct şi mărginit [, c. Prin schimre de riilă ( t, ( t ( [ [ [ pe interll închis şi nemărginit [,.. Din cest moti om stdi n singr tip de integrlă improprie pentr f : [, R c interl de integrre nemărginit (tip I; czl f : [, c R c c pnct singlr (tip II se redce prin ϕ t l priml cz. ( 3. Dpă discţi precedentă şi eemplele rezolte se consttă cerinţ oligtorie pentr f de fi locl integrilă (integrilă pe orice compct din mlţime s de definiţie pe mlţime s de definiţie. 4. Dcă f : [, R este locl integrilă pentr > sociem li f integrl prţilă: not ( f ( F(, > cre este o integrlă Riemnn. L fel pentr f : (, ] R, em: ( ' G( f (, < şi czl f : R R, ( '' H (, f( pentr, R c <. Definiţi 5. ] Fie f : [, R locl integrilă şi >. Dcă eistă limit finită ( ( ( lim f limf I R prin definiţie, integrl improprie din f pe [,, nottă, f ( este conergentă s re sens în R şi lore ei este ( ( n eistă s este infinită integrl improprie f ( I f. Dcă limit este diergentă s n re sens. ] Fie f : (, ] locl integrilă şi < riil. Dcă eistă limit finită: ( 3 lim f ( limg( V I V R este prin definiţie, integrl improprie din f pe (, ], nottă f ( conergentă s re sens în R şi lore ei este 9
( I f. Dcă limit (3 n eistă s este infinită integrl improprie f ( este diergentă s n re sens. 3] Fie f : R R locl integrilă şi, R riili c <. Dcă eistă limit finită ( 4 lim f ( lim H(, I3 R, + + este prin definiţie, integrl improprie din f pe R (,, nottă, f (. conergentă s re sens în R şi lore ei este f ( I3 Definiţi 5.3 o ] Fie f : [, c R c c pnct singlr, f locl integrilă şi riil c < < c. Dcă eistă limit finită: 5 lim lim R c c ( f ( F( J < c < c prin definiţie, integrl improprie din f pe [, c, nottă, f ( este conergentă s re sens în R şi lore ei este f ( J (5 n eistă s este infinită, integrl improprie f (. Dcă limit este diergentă s n re sens. o ] Fie f : [, c R c, pnct singlr, f locl integrilă şi riil c < < c. Dcă eistă limit finită: c 6 lim lim R ( f ( G( J > > prin definiţie, integrl inproprie din f pe (, c], nottă, f ( conergentă s re sens în R şi lore ei este f ( J n eistă s este infinită, integrl improprie f ( c este + c. Dcă limit (6 + c este diergentă s n + re sens. 3o ] Fie f : (, c R c, c pncte singlre, f locl integrilă şi, (, c riili c < < < c. Dcă eistă limit finită: 3
7 lim lim, R ( f ( H( J3 c c <<< c prin definiţie, integrl inproprie din f pe (, c, nottă, f ( conergentă s re sens în R şi lore ei este f ( J n eistă s este infinită, integrl improprie f ( re sens. Eemple. + este +. Dcă limit (7 + este diergentă s n o e ; e lim e lim ( e ' lim( e ( e e lim conergentă c lore e. + ( o e; e lim e lim e lim( e e e este diergentă. 3 o ln ; ln lim ln lim ( ln ( ( lim ln + lim ln ln + este diergentă. 4 o ; lim lim rctg + 4 + 4 + 4 lim rctg rctg rctg ( rctg ( + 5 o ; lim lim ( < lim +. este conergentă c 3
+ + > 6 o ln ; ln lim ln lim ( ln [ ] + lim ln + ln este conergentă c ln. + 7 o ; lim lim lim + + + + + > > este diergentă. 8 o c şi ; lim > > ln ; ln ln ; lim lim + ; ; lim[ ln ln ] ; ; lim F( ; << lim ; ; > ( este conergentă pentr > c lore şi diergentă pentr. ( λ c λ> lim c 9 o λ ( ( λ c < c ( ( c ( c ln ln ; λ ln ( c ; λ ( ; λ λ λ ( ( lim ln ( c ln ( c ; c λ lim F( c < c lim ; c λ λ λ λ ( ( lim lim c λ+ c ; λ < c λ λ 3
; λ lim F( ; λ> c este conergentă pentr λ< λ < c ( ; λ< λ λ ( c lore λ λ λ şi este diergentă pentr λ. ( ( Oserţii.. Integrlele improprii s pe interl necompct c f : [, c R, c + snt de doă tipri: I pentr c, em f ( de tip I s integrlă pe interl nemărginit II pentr c R finit şi c pnct singlr l li f, em f ( de tip II s integrlă improprie din fncţie nemărginită (în c limit sperioră. t(. Prin schimre de riilă ϕ( t, ϕ ( t c ϕ C ([, c t interll [, c este plict pe [, şi l fel t ( c ϕ plică [, + c pe [, c. Se stdi nmi teori integrlelor improprii c interl nemărginit (de tip I. 3. Pentr ( I f conergentă prin schimre de riilă t se oţine f ( t dt I cre este de form f ( 4. Prin teorem de redcere: Teorem 5.7 (Teorem de redcere Fie f : R R o fncţie locl integrilă pe R. (i Dcă (. I f este conergentă, tnci pentr R snt conergente 3 I f I f şi re loc forml de redcere: 3 + integrlele: ( şi ( ( 8 f ( f ( + f ( ( I I I (ii Dcă eistă R.î. integrlele improprii ( I f şi 33
I f ( snt conergente tnci f ( I3 este conergentă şi re loc forml de redcere (8. Demonstrţi în iliogrfie ([5], [6]. 5. Dintre integrlele improprii c interl nemărginit se or stdi nmi cele de nott f I. tipl ( 6. Integrlele improprii mite, c interll de integrre nemărginit şi integrndl re cel pţin n pnct singlr se or descompne în integrle improprii de tip I şi de tip II, izolând pnctl singlr. Eemple. c f : (, R, ( + ( + pnct singlr şi se consideră δ >, deci: f ( f ( de tip I definite prin: δ J re în δ de tip II şi + δ δ δ lim lim rctg + ( + ( > + ( lim rctg δ rctg rctg δ I lim lim rctg δ δ ( + δ ( + ( lim rctg rctg δ rctg δ + ( + J + I rctg δ + rctg δ. Definiţi 5.4 Fie f : [, R fncţie locl integrilă. ] Integrl improprie f ( este prin definiţie solt conergentă dcă şi nmi dcă, integrl improprie f ( este conergentă. 34
] Integrl improprie f ( este prin definiţie simpl conergentă s semiconergentă, dcă şi nmi dcă, f ( solt conergentă ( f ( este diergentă. este conergentă şi n este Teorem 5.8 (Criteril generl l li Cch s teorem li Cch Fie f : [, R fncţie locl integrilă. Integrl improprie f ( este conergentă ε >, ( ε ( oricât de mre dorim.î. ', '' [, c ( 9 '' < ' < '' f ( ε ' Demonstrţi în iliogrfie ([5], [6], [], [6]. Consecinţ 5. Fie f : [, R fncţie locl integrilă şi cre re limit l (+. Dcă f ( este conergentă, tnci (în mod necesr f ( lim. Demonstrţi este o consecinţă imedită teoremei li Cch (5.8. Consecinţ 5. Fie f : [, R fncţie locl integrilă. Dcă integrl improprie f ( este solt conergentă, tnci e este conergentă. Demonstrţie. Aplicând teorem li Cch şi folosind o propriette integrlei definite, em: ', '' > c ' < '', em '' '' f ( f ( '. ' Oserţii lim f l,. Dcă f : [, R fncţie locl integrilă şi eistă ( este diergentă (condiţie sficientă. tnci f (. În czl [, ] R interl compct re loc sitţi: f integrilă pe [, ] f integrilă pe [, ]. În czl [, R interl compct re loc sitţi: f ( conergentă ( f conergentă; reciproc n este în generl deărtă, conform definiţiei 5.4 o integrlă simpl conergentă n este şi solt conergentă. 35
Teorem 5.9 Dcă integrl f ( este conergentă, tnci pentr orice şir ( n [, crescător şi c lim ( n> n n n n + f ( este conergentă şi re loc eglitte: n n f f. n n n+ ( ( ( + < < seri nmerică Demonstrţi în iliogrfie ([5], [6], [], [6]. Oserţii. Teorem 5.9 pne în eidenţă legătr dintre Teori integrlelor improprii şi Teori seriilor nmerice.. Din cest moti se pne în eidenţă o nlogie între criteriile de conergenţă pentr integrle improprii şi criteriile de conergenţă pentr serii nmerice. 3. Stdil integrlelor improprii cprinde doă proleme: I ntr integrlei improprii: fie conergentă, fie diergentă II lore nmerică nei integrle improprii conergentă. Modll 5. - Criterii de conergenţă pentr integrle improprii şi metode de clcl. Integrle improprii remrcile Criterii de conergenţă pentr integrle improprii Vom prezent criterii de conergenţă pentr integrle improprii c integrntl de semn constnt (poziti şi c integrntl de semn orecre pe interll de integrre. Fie f, şi f locl integrilă pe [, ; tnci f f şi conergenţ f coincide c conergenţ soltă. În cest cz pentr > riil, integrl prţilă F( f ( şi <, em: ( ( ( F f f ( + ( ( + ( ( f f F f F, deci F este fncţie monoton crescătore. Eistă lim F( F fncţie crescătore este mărginită sperior (mjortă pentr. Teorem 5. Fie f : [, R pozitiă şi locl integrilă. Integrl improprie f ( este conergentă dcă şi nmi dcă, integrl prţilă F( este mărginită sperior pe [, pentr. Demonstrţie. f ( conergentă lim F ( I R F monoton crescătore pe [, este mărginită sperior. def 36
Teorem 5. (Criteril de comprţie c ineglităţi Fie f, g: [, R pozitie şi locl integrile. Dcă em ( : f ( g(,, tnci loc firmţiile: g ( conergentă f ( conergentă; f ( diergentă g ( diergentă. Demonstrţie. Din f ( g(, F( f G(, > g. Dcă g ( conergentă G( mărginită sperior pentr şi F( G(, > F( mărginită sperior pentr def T. f ( conergentă. f ( diergentă lim F (, F( crescătore şi pozitiă F( nemărginită sperior şi cm F( G(, > G( nemărginită sperior pentr, G( crescătore şi pozitiă lim G ( def g ( diergentă. Teorem 5. (Criteril de comprţie c limită Fie f, g: [, R pozitie şi locl integrile. Dcă eistă limit ( f( lim ll, [, g ( ] tnci loc firmţiile: pentr l finit (l < şi g ( conergentă f ( conergentă; pentr l nenl (l > şi g ( diergentă f ( diergentă; 3 pentr < l < +, integrlele f ( şi g ( ceeşi ntră. Demonstrţie. Ipotez ( ( ε>, ε > şi ε >. î. > ε > ( l ε g( < f( ( l+ε g( şi folosind teorem se oţin firmţiile din ennţ ([5], [], [6]. Teorem 5.3 (Criteril în Fie f : [, R pozitiă şi locl integrilă. (i Dcă eistă >. î. (3 lim f( l < tnci: f ( conergentă; (ii Dcă eistă. î. (4 lim f( l > tnci: f ( diergentă. Demonstrţie. Se plică teorem 3 c g (, > şi conergentă pentr > şi diergentă pentr (eempll 8. 37
Teorem 5.4 (Criteril în λ Fie f : [, c R c c pnct singlr şi f pozitiă şi locl integrilă pe [, c. λ (i Dcă eistă λ < stfel încât (5 lim ( f( l < tnci: f ( este conergentă; c < c λ (ii Dcă eistă λ stfel încât (6 lim ( f( l > tnci: ( c f este > diergentă. c Demonstrţie. Se plică teorem 3 c g ( şi c ( λ conergentă pentr λ< şi diergentă pentr λ (eempll 9. c ( λ Teorem 5.5 (Criteril integrl l li Cch Fie f : [, R o fncţie descrescătore şi pozitiă, tnci integrl improprie f ( şi seri nmerică f ( n ceeşi ntră. n Demonstrţi în iliogrfie ([5], [6], [], [6]. Teorem 5.6 (Criteril tip Ael - Dirichlet Fie f, g: [, R locl integrile. Dcă snt îndeplinite condiţiile: f este contină şi re o primitiă mărginită F pe [, ( M sp F( ; g C ([, şi g este monoton descrescătore c lim g ( tnci f ( g ( este conergentă. Demonstrţi în iliogrfie ([5], [6], [], [6]. Consecint 5.3 Fie f, g: [, R locl integrile. Dcă snt îndeplinite condiţiile: f este conergentă; g este monoton descrescătore şi lim g ( l R, tnci f ( g ( este conergentă. Consecinţ 5.4 Fie f, g: [, R locl integrile. Dcă snt îndeplinite condiţiile: f ( re integrlele prţile mărginite; g este monoton descrescătore şi lim g (, tnci f ( g ( este conergentă. 38
Eemple. sin, > em : F ( sin cos cos, > descrescătore c lim g ( sin sin, >, > conergentă, deorece F ( sin cos cos, şi g( ( lim g (. ( şi g (. ( este conergentă. > > descrescătore c. ceeşi ntră dpă criteril integrl l li Cch 3. şi n n(ln n( ln (teorem 6. Aem, dpă criteril de condensre l li Cch, n n n n n n ( ln ln n conergentă pentr > şi diergentă pentr şi snt conergente pentr > şi diergente pentr. 4 7 + 3 + ( ln n n(ln (conergentă dp criteril în c 5. 5. (conergentă dp criteril în c. 3 6. ln + e conergentă > ( lim e, >. e e 7. diergentă; lim f( lim pentr. 4 4 + + λ 8. conergentă (eistă lim f( l şi λ ; eistă + ( + ( > lim( λ f( l şi λ. < 9. < λ conergentă (eistă ( + ( + > λ lim ( f( c λ. 3. diergentă (eistă lim λ f( c λ. > + lim + f( c λ ; eistă Metode de clcl pentr integrle improprii Vom reforml metodele de clcl pentr integrl Riemnn în czl integrlelor improprii. 39
Teorem 5.7 (Forml Leiniz - Newton. Fie f : [, R locl integrilă şi cre dmite o primitiă φ. Integrl f ( este conergentă, dcă şi nmi dcă, eistă în R limit: ( lim φ ( not φ R şi re loc forml Leiniz Newton: (7 f ( φ ( φ ( φ ( ( lim φ( φ(. Consecinţ 5.5 Fie f : [, R este fncţie contină, tnci pentr orice primitiă s φ, not f ( este conergentă eistă lim φ φ ( R şi re loc forml (7. Teorem 5.8 (Forml de integrre prin părţi Fie f, g : [, R c f, g C ([, şi stfel încât lim( fg( R ir gf ( '( este conergentă tnci şi ( '( f g este conergentă şi re loc forml de integrre prin părţi:. (8 f ( g '( lim f ( g ( f ( g ( f '( g ( Teorem 5.9 (Schimre de riilă într-o integrlă improprie Fie f : [, R o fncţie contină şi ϕ : [, β [, - < < β +, ϕ ijectiă şi ϕ C ([, β, tnci f ( este conergentă, dcă şi nmi dcă, β ( f ϕ ϕ ' dt este conergentă şi re loc forml schimării de riilă: β (9 f ( ( f ϕ( t ϕ'( tdt. Demonstrţiile de l teoremele 5.7 5.9 pornesc de l plicre formlelor de clcl pentr F( f ( cre este integrlă Riemnn şi folosind ipotezele, rezltă formlele de clcl (7, (8 şi (9. Eempl. este conergentă ( lim( λ f( l c λ. Fie ( + 4 cos t ϕ( t c ϕ: [,, şi em: ( + 4 sintdt dt d,tg t t φ ( rctg, dt + 4cos t + ( + 4cos t sint c φ :, [, < şi em: ( + 4 dt 4cos + t 4
dt d rctg lim rctg rctg + + 4 + + 5 5 5 5 5 5 5 Integrle improprii remrcile sin I. Integrl Dirichlet:, c > fit şi considerăm: sin sin sin I, I +. Aem: I cos cos cos cos cos lim + cos cos şi + + + cos cos + este solt conergentă ( c + + + I sin este conergentă pentr >. Pentr I sin este conergentă, eistă limită + conergentă sin ;<< lim ; > şi în sin czl (, eistă limită lim. În conclzie sin > este conergentă pentr (, şi diergentă pentr, sin sin, I diergentă pentr ; >. + II. Integrlele li Fresnel: sin şi cos snt conergente, prin sstitţi sint t (t > se oţine: sin dt t şi cost cos dt conergente c t. p III. Integrlele li Eler. Fncţi et: β (, ( p p e + q p q şi fncţi gm Γ (. Aplicând criteril în λ (teorem 5 se rtă că β(p, q este conergentă pentr p> şi q>; plicând criteril în (teorem 4 se rtă că Γ(p este conergentă pentr p>. (Biliogrfie [5], [], [6]. Folosind metod integrării prin părţi (teorem II se dedc rmătorele proprietăţi le fncţiilor β(p, q şi Γ(p: ( β(p, q β(q, p; p >, q>; 4
( β(p, q ( p! ( q!, pq, N ( p+ q! ( Γ(p + pγ(p, p ; Γ(n + n!, n N. Γ( p Γ( q 3. β ( pq,, p>, q> Γ ( p+ q < p < β ( p, p 4. β, şi sin < q < < p < 5. Γ( p Γ( p ; < p< ; Γ ( p sin ( p IV. Integrl Eler Poisson. Integrl Gss. (Integrl Eler Poisson t e t e dt, Γ c sstitţiile: ( dt t >, t,, lim e, >. t (Integrl Gss t e e + e e ( t c sstitţiile: e t e dt Γ, (Poisson dt t >, t,. t Oserţie. Fncţi f e ( * ( c ( + fi ţi R R, R se nmeşte în Teori proilităţilor densitte normlă. Folosind conenil integrl Poisson e se rtă că f ( şi cest se nmeşte integrl proilităţilor [7]. 4