Capitolul 3 - Trasformata 05 06 CAPITOLUL 3 TRANSFORMATA BIDIMENSIONALĂ Defiim trasformata bidimesioală astfel: obţiem trasformata Fourier. (, e ω (3. şi (3. e ω Suprafaţa î plaul, defiită de şi va fi ( umită suprafaţă uitară bidimesioală. e ω e ω Regiuea de covergeţa este regiuea puctelor, petru care ceea ce implică ( S < ( (3.3, ( <, (3.4 3. Fucţia de trasfer, ( (3.5 ude (, h( k k y (3.6, k k ( h k, k ( (3.7, k k (, h( k, k k k e ω (3.8 şi (3.9 e ω fucţia de trasfer devie răspusul î frecveţă deci Folosid ecuaţia cu difereţe fiite ω ( ω e, e ( ω, ω (3.0 ( k, k y( k, k a( r, r ( r, r k k b (3. r r ( ( r ( r, b k, k a r, r k k (3. ( r, r r r r r a r r (, b( k, k k k (, (3.3 A B 0, 0 i rest (, (, (3.4
Capitolul 3 - Trasformata 07 08 (, N N a r 0 r 0 N N ( r, r b( k, k k 0 k 0 r r r r (3.5 M M (, N N (3. Limitele de sumare sut fiite. Suma coverge petru orice valoare fiită a lui,. ( Spuem că fucţia de trasfer are u ero la ( A ( 0 şi ( 0, Spuem că fucţia de trasfer,, dacă B (3.6, dacă are u pol la ( A ( 0 şi ( 0, B (3.7, (, b, b 0 B (3.8 polul este dat de b (3.9 echivalet cu a spue că toate puctele cu proprietatea sut poli a lui., b /, 0 (3.0 ( 3. Eemple de trasformate Eemplu (, 0, 0 i rest (, 0 0 (3.3 (3.4 puctul ( 0 sut î oa de covergeţă toate puctele cu proprietatea (, ce satisfac sut î sut î oa de covergeţă. Eemplu (, 0 0 (3.5 Eemplu (, trasformata devie N M, N i rest M (3. Fie sistemul bidimesioal (, a δ( u( (3.6,
Capitolul 3 - Trasformata 09 0 Trasformata este dată de (3.7 (, a Codiţia de eisteţă este a < (3.8 echivalet cu l a < l + l (3.9 Eemplu L > 0 şi (, 0 L defiim l + L / L, 0 i rest (, (, (3.30 (3.3 l+ L ( (, l L, 0 l 0 0 l 0 l L ( l L [ ], (3.3 (3.33 Secveţa ( l L, are suportul limitat la primul cadra. puctul ( 0 sut î oa de covergeţă toate puctele cu proprietatea (, ce satisfac: 0 (3.34 L 0 L 0 (3.35 echivalet cu şi l l 0 (3.36 { l L } l (3.37 Ll + 0 l 0
Capitolul 3 - Trasformata 3.3 Proprietăţile trasformatei bidimesioale Defiim, (, ( v w, (, V (, (, w ( (3.38a (3.38b (3.38c (, av(, bw( +, (3.40 (, av (, bw ( +, (3.4 U puct (, este î oa de covergeţă a lui (, î oa de covergeţa a lui V (, şi W (,. c Teorema deplasării dacă este a Separabilitatea ( v( w(, (3.39a ( V ( W (, (3.39b U puct (, este î oa de covergeţă a lui (, dacă este î oa de covergeţa a lui V ( şi este î oa de covergeţa a lui W (. b Liiaritatea (, v( + m m, + (3.4 m m, (, V ( U puct (, este î oa de covergeţă a lui (, î oa de covergeţa a lui V (,. d Teorema modulaţiei (, a b w( (3.43 dacă este, (3.44 (, W ( a b, (3.45
Capitolul 3 - Trasformata 3 4 U puct (, este î oa de covergeţă a lui (, î oa de covergeţa a lui W ( a, / b /. dacă este Zoa de covergeţă este petru toate trasformatele oa de covergeţa a lui (,. e Teorema difereţierii g Teorema refleiei (, w(, (3.46 (, (, δ W δδ U puct (, este î oa de covergeţă a lui (, î oa de covergeţa a lui W (,. e Teorema cougării (3.47 dacă este (, (, (, (, (, (, (, ( (3.5 (3.5 (3.53, (3.54 Zoa de covergeţă este petru toate trasformatele oa de covergeţa a lui (,. şi Re Im (, (, [ ( ], (, + (, [ (, ] (, (, (3.48 (3.49 (3.50 h Teorema covoluţiei y (, ( k, k h( k, k (3.55 k k (, (, ( Y, (3.56
Capitolul 3 - Trasformata 5 6 U puct (, este î oa de covergeţă a lui (, oa de covergeţa a lui (, şi (,. i Teorema Multiplicării Y dacă este î l Teorema legăturii liiare Im + Jm w ( ( m,,, m Km + Lm (3.6 0, i rest π v v (, y(,, Y ( v, v dv dv C C v v (3.57 cu I, J, K şi L îtregi şi IL KJ 0, I K J L ( W (,, (3.63 Teorema Parseval π (, y (, (, d d Y, C C (3.58 3.4 Trasformata iversă bidimesioală Trasformata iversă este dată de π dd C C (, (, (3.64 k Teorema valorii iiţiale lim lim, (3.59 (, ( 0 0 (3.60 (, (, lim (, ( 0 (3.6 Eemplu Fie fucţia de trasfer dată de: (3.65 (, a b O posibilă codiţie de eisteţa este a + b < (3.66
Capitolul 3 - Trasformata 7 8 aplicăm formula petru trasformata iversă h(, π C π C C dd C a b dd ( b [ a /( b ] ude coturul de itegrare este dat de şi. Polul este î iteriorul coturului de itegrare petru că şi Aplicâd teorema reiduurilor h (, a u( (3.67 a (3.68 < b + d + π C ( b h ( (! u( u(, + a b!! 3.5 Defiirea oţiuii de cepstrum (3.69 (3.70 Fie (, o secveţă D cu o trasformată dată de (, care coverge î câteva pucte reale de covergeţă. Atuci cepstrumul D, otat cu (, ( ( π este defiit astfel:, l (, dd (3.7 Se observă că epresia aterioară implică u logaritm comple. Petru a putea calcula trasformata iversă, fucţia l(, trebuie să fie aalitică cel puţi î uele regiui. Fie y (, h( k, k y( k k, k k (, (, ( (3.7 Y, (3.73 (, l (, l ( ly +, (3.74 aplicăm trasformata iversă, observăm că y, (, h(, + ( (3.75 Di caua acestei proprietăţi cepstrumul este folosit î studierea fucţiilor de trasfer care sît de forma h A (, B (, C (, (, D (,, (, a(, b(, + c(, d( Petru o fucţie de trasfer separabilă de forma ( F ( G ( (3.76 (3.77 (3.78, Poate fi arătat că cepstrumul are forma h (, f ( δ ( + g ( δ ( (3.79 Nu orice secveţă D (, va avea u cepstrum.