Curs 9 Integrre Numerică Clculul Numeric l Integrlelor cu plicții în Ingineri Electrică Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL Lortorul de Cercetre în Metode Numerice Deprtmentul de Electrotehnică, Inginerie Electrică E-mil: Levente.Czumil@ethm.utcluj.ro
În domeniul ingineriei electrice eistă situţii prctice când este necesră evlure numerică vlorilor derivtelor şi/su integrlelor deinite le unor uncţii l cre nu se cunoşte epresi nlitică uncţiei cre treuie derivtă su integrtă, ci dor vlorile ei în numite puncte determinte eperimentl su prin clcule su derivre/integrre nlitică este greoie su chir imposiilă Treuie ţinut cont că în tehnică de oicei nu se cunoşte epresi nlitică uncţiei cre treuie derivtă, ci dor vlorile ei în numite puncte determinte eperimentl su prin clcule. Se doreşte determinre proimtivă derivtei/integrlei în punctele unde se cunoşte vlore uncţiei, cât şi în lte puncte.
Evlure suprtensiunilor induse dtorită trăsnetelor pe LEA H H dz z I c R j z z r G z r B ' ', ep ',,, 4,, 0 3 / ' ' ',,, z z r c r j z z r r z z r G Cuntiicre eectelor de suprtensiuni induse în LEA porneşte de l epresiile deduse pentru câmpurile electrice şi mgnetice generte de trăsnet, epresii cre pr în cdrul unor integrle complee.
Plniicre investiţiilor în cpcităţile de generre, în rport cu preţul introdus pentru emisiile de CO ; Evlure indictorilor speciici de crcterizre curelor de srcină l un consumtor industril, pentru încdrre în limitele prognozte de putere sorită; Studiul eectului de stimulre mgnetică ţesuturilor nervose; Predicţi deectelor în rotorele cu colivie l motorele electrice sincrone; Proiectre regultorelor de turtie şi cuplu, în convertizorele de recvenţă; Testre l deect de scăpări unor conductore, prin injecţi de impulsuri şi evlure numerică prin integrre densităţii de energie;
Stilire cntităţilor de energie consumte, pe z înregistrărilor de putere cur de srcină zilnică prelucrre curelor de srcină prin integrre numerică Se consideră un receptor de energie electrică pentru cre se cunoşte cur de srcină zilnică reeritore l putere ctivă consumtă. W zi 4 0 P t dt Se cere să se determine energi ctivă zilnică consumtă de receptor, pe z prelucrării curei de srcină prin integrre numerică.
Studiul perormnţelor trnsormtorelor trizte de putere, când limenteză srcini dezechilirte şi nelinire; Proiectre mşinilor electrice utilizând circuite mgnetice: reluctnţe şi permenţe; Se consideră un receptor de energie electrică pentru cre se cunoşte cur de srcină zilnică reeritore l putere ctivă consumtă. Clculre pierderilor de energie în rotorul unei mşini electrice; se plică integrle din uncţii hiperolice, deduse din epresiile nlitice le intensităţii câmpului mgnetic; În proiectre cuptorelor cu inducţie de utilizre industrilă, se impune c pierderile de energie în pereţi, dtorită curenţilor turionri, să ie minime; evlure cestor pierderi se relizeză prin clculul numeric l unor integrle semiininite;
Aceste metode se numesc cudrturi cre înlătură nejunsurile dtorte uncţiilor cre nu dmit primitive şi relizeză determinre proimtivă riei domeniului de su cur y =!!! Cudrtur este o procedură numerică prin cre vlore unei integrle deintite d este proimtă olosind inormţii despre integrnd numi în numite puncte se cunosc vlorile uncţiei în puncte pe z unor măsurători eperimentle: i i 0,1,...,n ; y i În mjoritte plicţiilor cele n+1 puncte distincte sunt echidistnte în [,], psul de discretizre iind i h i 1 i, i 0,1,..., n 0, n
Formulele de integrre cre utilizeză vlorile uncţiei l cpetele intervlului de integrre, y 0 =, y N = sunt denumite ormule închise. Forte uzule sunt metodele cre utilizeză interpolre polinomilă pe o diviziune echidistntă intervlului de integrre { = 0, 1,, N = } cu psul: h i 1 1 N ormulele oţinute iind denumite ormule de cudrtur de tip Newton-Côtes. Demonstrti 1 pe tlă
Oservţie: Metodele concrete de tip Newton-Côtes se dierenţiză între ele prin vlore dopttă pentru ordinul metodei n şi prin modul de considerre limitelor intervlului de integrre. În continure se vor consider czurile în cre ormulele se deduc utilizând uncţiile Lgrnge de interpolre de ordinul I ormul trpezului şi de ordinul II ormul lui Simpson cu nodurile echidistnte. Formul trpezelor este surprinzător de eicientă chir şi pentru intervle ininite. Amele reguli se oţin plicând cele mi simple tipuri de interpolre suintervlelor diviziunii: 0 1 N 1 N h N i h i i 0, N
Este o plicţie directǎ interpolǎrii linire Lgrnge în douǎ puncte. Se cunoște uncți în două puncte:, ; h 0, 1 0 1 Se doreşte clculul proimtiv l integrlei deinite: d utilizând polinomul linir de interpolre Lgrnge: L R 1 1 d L1 d R1 d R1 ''! Demonstrti pe tlă
Pentru creştere preciziei clculului, intervlul [,] pote i divizt în N suintervle prin punctele echidistnte i, i 0, N : h i 1 i 0 0 1 N 1 N i h i N pe cre se plică repett ormul trpezului, dică: d N 1 i0 i1 i d Deci ormul trpezelor generliztă este: I Trpez Demonstrti 3 pe tlă N 1 d i N 1N i1 3 '' Formul pote i îmunătăţită ţinând cont de ptul că erore este proporţionlă cu 1/N, dică dcă dulăm numărul de noduri în cre este dtă uncţi, tunci erore scde de ptru ori, dr timpul de clcul v creşte. Geometric însemnă că s- proimt cu N segmente de drept, dică integrl rezultă prin însumre riilor N trpeze.
Formul clsică trpezelor rezultă prin prticulrizre ce mi simplă versiunii clsice metodei Newton-Côtes, pentru n=1. Deci este o plicţie directǎ interpolǎrii linire Lgrnge în douǎ puncte. Se cunoşte uncţi în două noduri, ; h, şi se doreşte clculul proimtiv l integrlei 0, 1 0 1 deinite d L R 1 1, utilizând polinomul linir de interpolre Lgrnge dică scriind uncţi. Deci integrl clcultă cu ormul trpezului este: d ITrpez 1 L1 d R d ITrpez L1 EroreTrpez Deci integrând polinomul Lgrnge şi restul se oţine ormul trpezului: I Trpez d Deci ormul trpezelor generliztă cu, I TrpezGen, este: '' 1 n1 3 Erore Trpez d i n i1 '' 1 n 3 Erore TrpezGen
Fie uncţi, e sin deinită pe intervlul [, ] ; :[, ] R. Se cere clculul vlorii integrlei deinite pe intervlul [, ], utilizând ormul trpezelor şi evlure erorii de clcul cestei ormule. Psul 1. Se introduce uncţi : Psul. Se deinesc cpetele intervlului de deinire uncţiei, numărul N de puncte intermedire de clcul şi se ieză psul de integrre h distnţ dintre două puncte intermedire vecine pentru i lungime suintervlelor echidistnte pe intervlul [, ] : Psul 3. Se introduce vectorul cărui elemente sunt vlorile sciselor i cre reprezintă cpetele suintervlelor echidistnte în cre ost împărţit intervlul [, ]. Elementele cestui vector se deinesc utilizându-se tst [ pentru indicele i l vriilei.
Psul 4. Se clculeză vlore integrlei deinite pe intervlul [, ] utilizând ormul trpezelor. Indicele orml trpez se introduce cu tst., ir sum prin intermediul comenzii Summtion din toolr-ul Clculus shortcut: Ctrl #: Psul 5. Se evlueză erore metodei conorm ormulei: Psul 6. Se clculeză integrl deinită pe intervlul [, ] cu jutorul opertorului de integrre din Mthcd prin pelre comenzii Deinite Integrl toolr-ul Clculus &:
O îmunătăţire integrrii numerice ţă de regul trpezelor: prin utilizre polinomelor de interpolre de grd mi mre. Acest r i psul logic urmǎtor pentru gener o regulǎ de cudrtură pentru integrre pornind de l interpolre ptrticǎ dică utilizre polinomelor lgerice de grdul doi pentru proimre unei uncţii între trei noduri consecutive. În cest el se pote pune în evidenţă un dintre cele mi uzule ormule de integrre numerică, ormul lui Simpson. În czul în cre numărul nodurilor prin cre este deinită uncţi de su integrlă este pr tunci pe primul su pe ultimul intervl se plică ormul trpezului. Se cunoşte uncţi în trei noduri: 0, 1 c, 0, 1, 1 h, h ir polinomul de interpolre Lgrnge de ordin II este cel cu cre se proimeză uncţi de su integrl deinită.
Oservţie: Interpretre geometrică ormulei lui Simpson, prezenttă în igură, indică proimre riei de su cur y = cu ri de su prol deinită de polinomul de interpolre Lgrnge cre proimeză uncţi. Se presupune interpolre uncţiei de integrt cu un polinom pǎtrtic P în nodurile 0, 1,. L R d L d R d Formul lui Simpson: Demonstrti 4 pe tlă I Simpson d 4 c ''' h 3 Cu cât lungime intervlului [,] este mi mică cu tât resturile sunt mi mici. 5 h 90
Dte iind clităţile sle şi simplitte plicării prctice, ormul generliztă se utilizeză orte des, Mthcdul utilizând ormul lui Simpson plictă repett pe un număr tot mi mre de suintervle până l tingere preciziei dorite. Pentru creştere preciziei clculului, intervlul [,] pote i divizt în N suintervle de lungimi egle h, cu psul h pe cre se plică ormul lui Simpson pe iecre intervl [ i, i+ ]. 1 0 1 4 3 n i i i i i SimpsonGen h d I N h Pentru : h, i h i k j N j k N i i SimpsonGen h h I 4 3... 4... 4 4 3 0 1 3 1 0 1,,3, 1 N k,,4, N j
Anlog însumând se oţine relţi erorii în ormul lui Simpson generliztă: Erore SimpsonGen N h 90 5 ''' h 180 4 ''',, Dcă presupunem că eistă M 3 > 0 stel încât ''' M 3,, Erore SimpsonGen h 180 4 M 3 Erore SimpsonGen M 3 880 N 4 5
Fie uncţi, e sin deinită pe intervlul [, ] ; :[, ] R. Se cere clculul vlorii integrlei deinite pe intervlul [, ], utilizând ormul lui Simpson şi să se evlueze erore de clcul cestei ormule. Psul 1. Se deineşte uncţi : Psul. Se deinesc limitele intervlului, numărul N de puncte intermedire de clcul şi se determină psul de integrre h : Psul 3. Se introduce vectorul cărui elemente sunt vlorile sciselor i cre reprezintă cpetele suintervlelor echidistnte în cre ost împărţit intervlul [, ]. Psul 4. Se clculeză vlore integrlei deinite pe intervlul [, ] utilizând ormul lui Simpson. Sumele se introduc prin intermediul opertorului Rnge Vrile Summtion din toolr-ul Clculus $:
Stilire cntităţilor de energie consumte, pe z înregistrărilor de putere prelucrre curelor de srcină prin integrre numerică. Se consideră un receptor de energie electrică pentru cre se cunoşte cur de srcină zilnică reeritore l putere ctivă consumtă. Se cere să se determine energi ctivă consumtă de receptor, pe durt unei zile, pe z prelucrării curei de srcină prin integrre numerică. E zi 4 0 P t dt
Cur de srcină ctivă zilnică unui receptor de energie electrică, eprimă vriţi în timp puterii ctive consumte pe durt unei zile. Determinre curei de srcină s- relizt prin înregistrre vriţiei în timp puterii ctive consumte P cu instrumente înregistrtore su prin măsurre puterii l numite momente ine determinte, de regulă echidistnte de eemplu, din sert în sert de oră. Se cere c pe z curei de srcină să se determine energi ctivă consumtă de receptor pe durt unei zile. Energi ctivă se clculeză cu relţi: E zi 4 0 P t dt unde t este timpul, ir uncţi Pt, reprezentând vriţi în timp puterii ctive consumte, este deinită, de regulă, prin puncte. În consecinţă, clculul integrlei se pote ce numi cu metode numerice, considerând că lui îi corespunde t, uncţiei y = îi corespunde Pt, ir or 0, respectiv 4, sunt limitele intervlului de integrre [,]
În continure se plică metod generliztă trpezelor, ce ztă pe ormul lui Simpson şi ormulele de cudrtură de tip Newton-Côtes de ordinul III tote comptiile cu numărul de puncte dte. Rezulttele oținute sunt prezentte în telul de mi jos: Pe z rezulttelor se pote estim mi ect energi ctivă consumtă pe durt unei zile, c iind proimtiv 9.8 9.9 kwh Dcă se doreşte o determinre şi mi precisă vlorii energiei ctive consumte, tunci psul de discretizre măsurătorilor treuie să ie mi mic dică citirile să se eectueze l iecre jumătte su l iecre sert de oră,
Se dă uncți,y= y ++1. Să se determine ri supreței generte de cestă unție pe discul delimitt de inecuți +y < r, unde r este o constntă. Psul 1. Se deinește unți,y și constnt r=5: Psul. Se reprezintă gric suprță genertă de unți,y:
Psul 3. Se deinește uncți uiliră F,y olosită supreței generte de uncți,y: pentru evlure Psul 4. Se clculeză ri supreței generte de uncți,y pe discul delimitt de inecuți +y < r, prin pelre opertorului de integrre pe uncți uiliră F,y: Psul 5. Se vizulizeză vlore riei clculte: Ari 85.044
Fie zt o cură în plnul comple -y: Să se determine vlore integrlei pe cestă cură din uncți: t y j t t z sin 3 t t cos 4 t t y 1 1 z z z Psul 1. Se deinește cle de integrre, cur zt: 3 0, t
Psul. Se deinește uncți z ce urmeză i integrtă după cur zt: Psul 3. Se deinesc limitele de integrre: t i 0 t 3 Psul 4. Se clvuleză integrl curilinie:
Se consideră un loc ormt din mi multe strturi de mterile dielectrice imperecte, de grosimi orte mici, l iecre strt iind cunoscută conductivitte electrică. Se du ceste vlori le consuctivității electrice pentru iecre strt. De semene, se igureză locul, cu mențiune că dimensiune perpendiculră pe pln este λ. Se cere determinre rezistenței electrice între ețele rcuite BA, respectiv CD presupuse metlizte, su unghiul α dt. 45 deg 0. 65 m r1. 5 cm r 8 cm K 0.510 4 S m -- constnt de mteril N 500 -- numărul de strturi i 1, N i K i i 1 -- dependenț conductivității pentru iecre strt i
Între cele două ețe curte le locului considert, din construcți cestui, pot i echivlte un număr de N rezistențe electrice cu o rezistență totlă dependentă de secțiune vriilă și de conductivittile celor N strturi de dielectrici. În czul în cre nu se ține cont de cpcitățile cre pr în loc între strturile de mteril dielectric imperect, vlore rezistenței totle pote i oținută din ormul integrlă legii lui Ohm. Pentru lege lui Ohm, orm integrlă numerică se eprimă : c model mtemtic pentru rezolvre dr grosime iecărui strt Si suprț iecărui strt Psul 1. Se deinește suprț proimtivă iecărui strt: În consecință, treuie eectută integrl scrisă mi sus, printr-o proimre numerică su ormă de sumre, cu speciicți că numărul de elemente din sumă relectă numărul de strturi de dielectrici imperecți situți între ețele rcuite le locului.
Psul. Evlure sumei se opereză cu ormul trpezelor, ir epresi de su integrlă se noteză cu o uncț ie numerică Y i : ormul trpezelor rezistenț electrică totlă Fiindcă nu se precizeză grosime strturilor de mteril din loc, nu este posiilă clculre rezistenței iecărui strt și poi înseriere lor. De cee, posiilitte de integrre numerică se plică în Mthcd dor cu ormule rezultt l metodelor numerice de proimre. Nu eistă un opertor predeinit în Mthcd, de integrre uncțiilor dte numeric.