C A P I T O L U L III PROBLEME DE OPTIMIZARE DE DIMENSIUNI MARI. Proble dieniunii în rezolvre efectivă probleelor de optiizre prctice Principl cuză genertore de dificultăţi în rezolvre probleelor de optiizre rele ete dieniune: o eene probleă ete pur şi iplu "pre re". În progrre tetică, ărie unei problee ete o chetiune reltivă, depinzând de ulţi pretri cu r fi: nuărul de vribile şi nuărul de retricţii; copleitte epreiilor funcţiei obiectiv şi retricţiilor; perfornţele echipentului de clcul: hrdwre şi oftwre. Utilizre odelelor tetice în tudiul unor ituţii rele - în pecil din doeniul econoic - condu l progre tetice cre uprolicită şi cele i puternice clcultore.din fericire, re oritte probleelor de optiizre "ri" u o "tructură pecilă" cre, în progrre liniră de eeplu, înenă: denitte ică contntelor nuerice nenule; grupre eleentelor nenule în blocuri şezte "pe digonlă"; nuăr forte re de vribile şi reltiv puţine retricţii u inver, ulte retricţii şi puţine vribile. Trebuie pu că dcă un progr linir re nu re o tructură pecilă, rcin colectării dtelor ete prctic prope ipoibil de relizt; tfel pentru un progr cu 4 retricţii şi 6 vribile, trice coeficienţilor r ve intrări şi în czul unei denităţi de % r neceit dte nuerice de dunt, ortt şi prelucrt!! Pentru progrele nelinire, copleitte şi tructur pecilă e crcterizeză ult i greu.. Clificre etodelor de rezolvre progrelor linire ri În principiu etodele de rezolvre progrelor ri e îprt în două ctegorii: etode directe: cete pecilizeză o procedură generlă dptând-o l pecificul unei nuite cle de problee de optiizre. Eeplul tipic îl contituie lgoritul iple; ete ştiut că principl probleă de clcul cre pre în plicre lui o contituie odul de nipulre inverei bzei curente. În czul unei "tructuri pecile" ete poibil c dieniune cetei trici ă e reducă enifictiv. Să conideră czul unui progr linir cu vribile uperior ărginite:
n i bi i,..., u,..., n n () f c Abordre "clică" preupune trnforre condiţiilor de liitre uperioră în eglităţi: n i bi i,..., n u,..., n,..., n n () f c Rezult un progr cu n retricţii şi n vribile, le cărui bze eru trici de ordinul n. Totuşi for prticulră retricţiilor de liitre uperioră putut fi eplottă eficient într-o pecilizre lgoritului iple în cre inver bzei curente re dieniune eglă cu nuărul l retricţiilor propriu zie. etode indirecte, bzte pe decopunere probleei ri în ubproblee i ici, interconectte. Subprobleele pot fi rezolvte independent (şi dcă ete poibil chir iultn) dr fptul că ele intercţioneză iplică eitenţ unui ecni (probleă) de coordonre. Atfel, rezolvre probleei originle ri e fce "l două nivele": l priul nivel - inferior - e rezolvă ubprobleele; rezulttele unt "counicte": l l doile nivel - uperior - cre "nlizeză" cete rezultte şi trnite nivelului inferior noi pretri. L nivelul unu re loc o relure clculelor (reoptiizre); noile rezultte unt triie nivelului uperior cre le nlizeză ş...d. Iportnt ete fptul că cet proce itertiv ete convergent în enul că într-un nuăr finit de pşi ( diloguri între cele două nivele), nivelul coordontor "nunţă" găire oluţiei optie.. Decopunere în progrre liniră. Principiu Conideră un progr linir în foră tndrd: T t ( P) în cre: () f c T trice n; colon celor n vribile; t colon celor tereni liberi; c lini celor n coeficienţi din funcţi obiectiv.
Pentru oent, nu vo fce nici o ipoteză upr "ăriii" progrului (P) u upr tructurii le. Şti că (P) pote fi rezolvt "dintr-o dtă" cu utorul lgoritului iple. Ne propune ă rătă cu pote fi rezolvt (P) prin decopunere în i ulte ubproblee i ici, intercorelte. Vo îpărţi iteul Tt l retricţiilor în două blocuri (prtiţionre ete deocdtă rbitrră): T t blocul Ab cu < retricţii; blocul Md cu - retricţii Conideră ulţie oluţiilor diibile le iteului linir Ab: A M b d A { R n A b, } Ete bine cunocut fptul că A ete o ulţie conveă şi chir poliedrlă (dică o interecţie finită de eipţii din R n ). E re un nuăr finit de vârfuri v,v,...,v cre e identifică cu oluţiile diibile de bză le iteului A b. Pentru iplitte epunerii, vo preupune în continure că ulţie A ete ărginită (cetă ipoteză ete îndeplinită în i tote czurile prctice). Un rezultt clic l nlizei convee rtă că orice punct l ulţiii poliedrle şi ărginite A e crie c o cobinţie conveă vârfurilor ei: unde: Înlocuind Cu notţiile: λ v v ( ) A λ v λ v... λ λ, λ,..., λ şi λ λ... λ în blocul M d şi în funcţi obiectiv f c obţine: M d λ ( Mv ) d f c f λ ( cv ) Q Mv, γ cv,..., progrul (P) e crie echivlent: λ ( PM) λ λ Q d λ () f γ λ,..., în cre vribilele unt clrii λ, λ,..., λ Dcă (,,..., ) ete o oluţie optiă progrului (PM) tunci λ v ete o oluţie optiă progrului originl (P).
Progrul (PM) e nueşte progr coordontor (ter progr) şi re urătorele proprietăţi: re i puţine retricţii decât (P): dor fţă de ; re în generl un nuăr forte re de vribile, câte un pentru fiecre vârf l ulţiii A şi, după cu e ştie nuărul cetor vârfuri ette de obicei "ipreionnt"; rezolvre progrului (PM) neceită - cel puţin l pri vedere - cunoştere vârfurilor v,v,...,v fără de cre nu e pot evlu colnele Q şi clrii γ, γ,..., γ. Or, cunoştere priorică vârfurilor v,v,...,v ete o rcină etre de gre şi prctic ipoibil de făcut în i tote czurile! Din fericire, rezolvre progrului (PM) nu neceită cunoştere priorică vârfurilor v,v,...,v. După cu vo vede în ecţiune 5, pe prcurul plicării lgoritului iple cetui progr, vârfurile ulţiii A bolut necere în optiizre vor fi generte (clculte) "l cerere" prin rezolvre unor progre linire de for: A b Pu ( ) () ~ f ( cum) în cre u ete un vector linie le cărui coponente e tbilec şi e odifică în funcţie de tdiul rezolvării progrului (PM). În eenţă, rezolvre progrului originl (P) - redu l: rezolvre progrului coordontor (PM); şi l: rezolvre i ultor problee de for P(u) tote de dieniuni i ici decât cele le progrului (P); vezi figur. trnite oluţi optiă cre ete un vârf l ulţiii Nivelul Progrul coordontor (PM) Nivelul Progrul ubordont P(u) Figur. trnite vectorul de pretri u în cz că nu - un l oluţi optiă progrului (PM) Cele de i u contituie eenţ principiului de decopunere Dntzig - Wolfe. El pote fi foloit tunci când progrul (P) re un nuăr forte re de retricţii. Decopunere devine şi i trctivă în czul în cre ubtrice A re o tructură digonlă A A A.. A p
Figur. în cre A,A,...,A p unt trici de diferite dieniuni.pentru iplificre epunerii ă preupune că A re dor două blocuri A şi A. Eleentele contitutive le progrului (P) pot fi prtiţionte tfel: A b T t M { A c c d b b M M A Figur. Progrul (P) re deci for: c f t T P () ) ( (), c c f d M M b A b A Se obervă uşor că în cetă ituţie, proble P(u) e prge în două ubproblee independente (cre pot fi rezolvte iultn!): ) ( ~ () ) ( um c f b A u P ) ( ~ () ) ( um c f b A u P Sche de rezolvre l două nivele progrului (P) din figur. devine: Nivel u oluţii optie u Subproble P (u) Subproble P (u) Progrul coordontor (PM)
Nivel Figur.4 4. O interpretre econoică principiului de decopunere Să conideră o econoie cu i ulţi genţi. Fiecre gent opereză un nuăr de ctivităţi de pe ur căror obţine un venit. Operre ctivităţilor iplică utilizre unor reure diponibile în cntităţi liitte. Fireşte, obiectivul fiecărui gent ete iizre venitului propriu. Ete clr că dcă fiecre gent r deţine controlul upr tuturor reurelor necere lui tunci iizre venitului l cr întregii econoii -r reduce l iizre venitului fiecărui gent în prte. În relitte lucrurile tu ltfel. Fiecre gent deţine controlul upr nuitor reure: cpcităţi proprii de producţie, forţ de uncă ngtă, reure finncire proprii, unele terii prie utilizte în ecluivitte.acete vor fi nuite reure pecifice. Pe lângă reurele pecifice, fiecre gent utilizeză şi lte reure cre nu unt l dipoziţi ecluivă; cete reure unt procurte de pe piţă, l concurenţă cu ceillţi genţi, dtorită fptului că unt diponibile în cntităţi liitte. Acete vor fi denuite reure coune. În cet contet, proble principilă cre e pune ete de tbili cu vor fi reprtizte reurele coune între genţi tfel încât, l cr întregii econoii, venitul ă fie i. Într-o econoie centrliztă, reprtizre reurelor coune ete făcută de tt cre indică fiecărui gent ce şi cât ă producă. Ne propune ă rătă cu e fce reprtizre coune într-o econoie decentrliztă în cre utoritte centrlă nu i deţine controlul upr cţiunilor genţilor. Ne vo itu în czul idel l unei econoii linire, crcterizte prin urătorele ipoteze: pentru fiecre ctivitte, conuurile de reure şi venitul unt direct proporţionle cu nivelul l cre ete opertă ctivitte; nivelul de operre l unei ctivităţi pote fi reprezentt de orice nuăr rel nenegtiv; veniturile genţilor nu e condiţioneză reciproc şi unt egle cu u veniturilor ctivităţilor fiecărui. Venitul l cr întregii econoii ete u veniturilor genţilor. Pentru iplitte epunerii vo preupune că în econoi tudită eită nui doi genţi. Introduce notţiile:, vectorii (colonă) nivelelor de operre le ctivităţilor celor doi genţi; b, b vectorii (colonă) cntităţîlor diponibile din reurele pecifice; A, A tricile conuurlor unitre de reure pecifice; M, M tricile conuurilor unitre din reurele coune; d vectorul (colonă) cntităţilor diponibile de reure coune; c, c vectorii (linie) veniturilor unitre corepunzătore celor doi genţi. Evident, nivelele de operre le ctivităţilor genţilor unt condiţionte de diponibilele de reure pecifice: A b A b (4.) şi în plu:
(4.) Vectorii, cre tifc relţiile 4. - 4. e vor nui progre poibile de ctivitte. Un cuplu de progre poibile (, ) devine relizbil nui dcă necerul de reure coune e încdreză în diponibilul dt dică: Venitul totl pe econoie re eprei: Reunind (4. - 4.4) obţine progrul linir: M M d (4.) f c c (4.4) ( P) A A b b M M d, () f c c (4.5) cre odeleză proble reprtizării reurelor coune în vedere iizării venitului pe întreg econoie. Obervă că trice progrului (4.5) re tructur bloc digonlă cu retricţii de cuplre, identică cu tructur pe cre - prezentt, în ecţiune precedentă, principiul de decopunere Dntzig - Wolfe. Din punct de vedere forl, proble reprtizării reurelor coune într-o econoie decentrliztă înenă rezolvre progrului (P) în condiţiile în cre nici genţii nici utoritte centrlă nu u inforţii coplete upr cetui. Atfel: gentul controleză (cunoşte) b, A, M, c ; gentul controleză (cunoşte) b, A, M, c ; utoritte centrlă controleză (cunoşte) d. Miizre venitului fiecărui gent, ţinând e nui de reurele le pecifice, revine forl l rezolvre progrelor: A b A b ( P ) ( P ) () f c () f c dr nu rezolvă proble reprtizării reurelor coune deorece, dcă şi optie le progrelor din (4.6), ete poibil c: M M d unt oluţiile În continure vo răt - în principiu - cu pote fi rezolvt progrul (P) din (4.5) în ituţi în cre nici utoritte centrlă şi nici genţii nu deţin inforţii coplete upr progrului!
Vo preupune că: între utoritte centrlă şi genţi eită o cooperre în enul unui chib de inforţii privind "intenţiile"de cţiune; utoritte centrlă îşi uă rolul de rbitru în urătorul en: e "nunţă" un ite de preţuri pe reurele coune ir genţii iu cete peţuri c dte şi îşi diinueză veniturile cu vlore reurelor coune olicitte.fie u vectorul (linie) l cetor preţuri.atunci: gentul, pentru uţinere unui progr poibil (poibil A b, ),v trebui ă "plătecă" vlore um tfel că venitul ău "net" v fi: ~ f c um ( c um ) nlog, venitul gentului, rezultt din progrul poibil (A b, ), v fi: ~ f c um ( c um ) Miizre cetor venituri nete înenă rezolvre progrelor odificte: A b P ( u) () ~ f ( c um ) A b P ( u) () ~ f ( c um ) Agenţii counică utorităţii centrle propunerile optile ~ şi ~. În principiu,utoritte centrl nlizeză oportunitte luării în coniderre cetor propuneri pentru iizre venitului pe econoie şi pote decide odificre iteului de preţuri, ărind preţurile reurelor coune "inten" olicitte. Noile preţuri unt counicte genţilor; ceşti vor căut noi oluţii cre ă le iizeze veniturile nete "corectte". Evident, prin creştere preţurilor l nuite reure coune, cererile "eceive" din cete reure vor fi "teperte". Forl, cele pue înenă relure progrelor P (u), P (u) cu u odifict! Iportnt ete că într-un nuăr finit de eene "diloguri chiburi de inforţii" între genţi şi utoritte centrlă, vor rezult oluţiile şi cre iizeză venitul totl pe econoie. În generl, şi nu coincid cu un u lt dintre propunerile genţilor ( propuneri făcute în cdrul dilogului u intit) ci unt cobinţii convee le cetor. Tot odtă v rezult şi un ite u * de preţuri pe reurele coune în rport cu cre şi iizeză veniturile nete individule le genţilor! Spuune că tripletul (,,u * ) reprezintă un echilibru pentru econoi (liniră) conidertă. Dilogul dintre utoritte centrlă şi genţi pote fi reprezentt tfel: Nivel Propuneri de progre de ctivitte Autoritte centrlă u Propuneri de progre de ctivitte Agent Preţuri pe reurele coune Agent
Nivel Figur 4. Coprând cetă cheă cu ce din figur.4 e conttă că cele pue i u contituie o interpretre econoică principiului de decopunere Dntzig - Wolfe. 5. Algoritul de decopunere Dntzig - Wolfe În cetă ecţiune vo răt cu e rezolvă efectiv progrul principl (PM) din ecţiune. Să dite pentru oent că cunoşte tote contntele progrului (PM). Vo plic cetui progr veriune revizuită lgoritului iple. Să preupune cunocută o bză diibilă B; în rport cu cetă bză prtiţionă vectorul λ l vribilelor: λ λ B S λ unde λ B ete vectorul vribilelor bzice ir λ S l celor nebzice. Soluţi λ ocită bzei B v ve for: B B λ λ B λ cu S d λ S λ B fiind preupuă diibilă, λ B. Fie: π γ B B vectorul ultiplictorilor iple ociţi bzei B (γ B ete vectorul fort din coeficienţii γ i vribilelor bzice λ din λ B ) Vlore funcţiei obiectiv f în oluţi de bză λ ete: f π d Eleentele nuerice B -, λ B, f şi π unt reunite în urătorul tbel iple redu: λ B λ B B - f f π Tbelul 5. Din neceităţi cre vor deveni evidente iedit, prtiţionă π tfel: π (π,u) π fiind pri coponentă din π ir u reunind pe celellte. Tetre optilităţii oluţiei λ neceită clculre coturilor redue:
γ π γ π u γ π uq γ df Q [, ] Q π umv cv π ( c um) v,..., După cu ete bine ştiut, dcă γ,..., tunci λ ete o oluţie optiă progrului (PM). Pentru vede dcă e întâplă cet lucru evluă: Se obervă că,..,,..,,.., in γ in [ π ( c um) v ] π ( cum) v ( c um) v,.., ~ ete vlore iă funcţiei linire f ( c um) pe vârfurile ulţiii poliedrle ărginite A. Confor teoreei centrle progrării linire [9], evlure cetui i nu neceită cunoşter priorică vârfurilor v,...,v ; ete uficient ă e rezolve progrul linir: Fie v * o oluţie optiă progrului P(u) şi vârfurile ulţiii A şi pute crie: A b Pu ( ) () ~ f ( cum) ~ f ~ vlore funcţiei obiectiv f în v *. v * ete unul din tfel că: ~ f ( c um) v ( c um) v in,..,,.., ~ γ π f Dcă π ~ ~ f ( în fpt π f!) tunci oluţi λ ete optiă. ~ Dcă π f < e clculeză Q * Mv *, cv şi e introduce în bz curentă colon. Q După evlure colonei B e deterină colon cre părăeşte bz ctulă şi e pivoteză Q tbelul iple redu curent, intrându-e într-o nouă iterţie. Din decriere făcută rezultă clr că eliorre oluţiei diibile de bză λ - preupuă dtă - nu neceitt cunoştere de l început tuturor vârfurilor ulţiii A ; vârful necer în proceul de optiizre - obţinut rezolvând un progr linir de for P(u) cu un vector u decvt. În ceece priveşte obţinere unei oluţii de bză iniţile λ pentru progrul (PM), cet e pote obţine în nier uzulă. Se plecă de l o bză unitră le cărei colone corepund: (unele) unor (eventule) vribile de btere eitente în blocul M d; γ
(ltele) unor vribile rtificile introdue în nuite ecuţii le blocului M d şi/u λ în ecuţi de conveitte. În czul în cre u fot efectiv foloite vribile rtificile, într-o priă fză e v iniiz u w cetor. Colonele cre vor intr în bză e vor gener după che generlă de i u, funcţi f fiind înlocuită cu funcţi w cre e iniizeză!! Eeplu 5. Se conideră o econoie liniră decentrliztă cu doi genţi, fiecre oprând câte o ctivitte. Fie şi nivelele de operre le celor două ctivităţi. Reurele pecifice controlte de către cei doi genţi liiteză nivelele ctivităţilor după cu ureză: 4, Suţinere ctivităţilor neceită două reure coune R şi R l căror diponibil ete liitt şi controlt de o "utoritte centrlă". L un nivel de operre egl cu unitte, vectorii conuurilor din reurele R şi R unt: pentru pri ctivitte şi pentru dou. Vectorul cntităţilor 9 diponibile din reurele R şi R ete. În fine, veniturile unitre unt de 7 u.. (unităţi 7 onetre) în pri ctivitte şi de 6 u.. în dou. Fiecre gent cută ă obţină un venit cât i re, dr ei nu deţin controlul upr reurelor coune. Pe de ltă prte, econoi fiind decentrliztă, utoritte centrlă nu pote ipune genţilor nivelele l cre ă opereze ctivităţile proprii. Obiectivul urărit ete iizre venitului totl pe econoie. Forl, proble contă în rezolvre progrului linir: ( P) 9 4 7, (f 7 6 în ituţi încre nici genţii, nici utoritte centrlă nu deţin "inforţii coplete" upr progrului (P). După cu văzut, rezolvre ete poibilă prin cooperre dintre genţi şi utoritte centrlă, pe bz lgoritului de decopunere Dntzig - Wolfe. Prtiţionă iteul retricţiilor în două blocuri: 4 A b 9 7 9 M d M d unde, 7
Principiul de decopunere propune rezolvre progrului: λ λ () f γ λ λ Q 9 d ` 7,..., în cre: Q Mv γ cv [ 76, ] v,..., unde v,...,v unt vârfurile ulţiii poliedrle: A b A (, ) 4. Ete evidentă ărginire ulţiii A. O dtă obţinută oluţi optiă {λ,,..., progrului originl (P) v rezult din forul: } progrului propu, oluţi optiă λ v Aplică lgoritul iple revizuit forei tndrd: ( PM) y λ Q ` y 9 7,..., ; y, y λ () f λ γ λ Vribilele de btere y, y rtă ce cntităţi din reurele coune R, R răân nefoloite. Progrul (PM) re trei retricţii şi e vede uşor că trice conţine colonele unitre şi corepunzătore vribilelor y, y. Pentru o bză unitră de trt ne-r trebui şi
colon cre nu ete tot ş de "vizibilă". A pute introduce o vribilă rtificilă în retricţi de conveitte λ, dr pute proced, i iplu, şi tfel: Se obervă că vectorul nul ete unul din vârfurile v,...,v le ulţiii A (nu întotdeun ete ş!); pute preupune că v.atunci Q Mv şi. γ cv În concluzie, trice progrului (PM) conţine colon unitră. Q Atfel, pentru (PM) dipune de bz unitră corepunzătore vribilelor λ, y şi y. Tote cete vribile u coeficienţi nuli în funcţi obiectiv ş că : γ B (,, ). În conecinţă, vectorul ultiplictorilor iple ociţi bzei unitre indicte ete: B π γ B γ [,, ] din cre rezultă π, u [,]. Vectorul vlorilor vribilelor bzice re coponentele: B Vlore funcţiei obiectiv ete: λ B f B λ 9 9 y 7 7 y B B γ λ π 9 7 Tote cete eleente foreză tbelul iple redu de trt: λ (T ) y 9 y 7 f Tbelul 5. Coniderre vârfului v ugereză că, l iniţiere dilogului între genţi şi utoritte centrlă, e plecă de l ituţi în cre cele două ctivităţi nu unt operte:,. y 9, y 7 rtă că reurele R şi R nu unt deocdtă olicitte. A văzut în ecţiune 4 că vectorul u re enificţi de ite de preţuri pe reurele coune.acete preţuri unt nunţte de către utoritte centrlă genţilor, cre l rândul lor, îşi vor iiz veniturile plătind pentru reurele coune olicitte. Propunerile de progre de ctivitte unt counicte de genţi utorităţii centrle. Acet prei propunerile şi încercă, pe
bz lor şi propunerilor i vechi, ă contruică o itură cre ă e încdreze în diponibilul liitt de reure coune şi ă conducă l un venit totl cât i re. Iterţi Autoritte centrlă nunţă iteul de preţuri u (,), ltfel pu oferă reurele coune pe grti. Agenţii rezolvă progrul: 6 7 ~ (), 4 (,)) ( f u P cu oluţi optiă evidentă: 46 6 4 7 ~ () ~,, 4 f f pe cre o triit c propunere de progr de ctivitte utorităţii centrle. Deorece: 46 ~ < f π oluţi din tbelul (T ) nu ete optiă; bz curentă trebuie chibtă prin introducere unei noi colone din trice progrului (PM). Acetă colonă e genereză tfel: Vectorul - nott în teori preergătore cu v 4 * - ete un lt vârf l ulţiii A, ă zice v. Clculă: 46 4 [7,6], 7 4 4 cv γ Mv Q v Colon cre intră în bză v fi:. 7 Q Clculele uzule le unei iterţii din lgoritul iple revizuit unt indicte i o 7 B - λ λ 8/7 -/7 y 9 7 (T ) λ 9/7 /7 y 7 y /7 -/7 f -46 π f 44/7 46/7 Q Q f ~ u π
Tbelul 5. Iterţi Autoritte centrlă nunţă noul ite de preţuri: u (46/7, ). După cu e vede, reur R ete încă oferită pe grti, deorece y /7 rtă că itur : ~ λ v λ v 8 7 9 7 4 6 /7 /7 nu utilizeză integrl cetă reură. Clculă vectorul veniturilor unitre nete : c um 46 [7,6], 7 7 9 7, 6 8 7, 7 7 6 7 Agenţii vor ve de rezolvt progrul: 4 46 P ( u (,)), 7 ~ 7 () f 7 6 7 cărui oluţie optiă ete: ~ ~ 7 4,, f () f 4 7 8 7 ( L preţurile ctule gentul re un venit net pozitiv; el îşi pote perite ă procure reurele R şi R în cntităţile necere pentru operre ctivităţii le l nivelul i poibil 4. Pentru gentul, reur R ete "pre cupă": oricât de ic r fi nivelul de operre l ctivităţii proprii, cotul reurelor R şi R depăşeşte venitul ău brut tfel că, pentru gentul, decizi v fi ă nu fcă niic.) Deorece : ~ 8 π f < 7 oluţi din tbelul (T ) dică itur ~ decriă i u, nu ete optiă. 4 Nou propunere genţilor ete un lt vârf, ă zice v, l ulţiii A, vârf cre v produce colon ce îbunătăţeşte bz curentă: v 4 8, Q Mv 8 γ cv 4 4 [7,6] 8 Intră în bză colon:
Pivotă tbelul curent (T ): Q 8 8 B - Q 8 8 Q λ 8/7 -/7 9/7 λ /4 /6 -/6 λ 9/7 /7 8/7 (T ) λ / /6 -/6 y /7 -/7 48/7 λ 5/ -/48 7/48 f 44/7-8/7 π ~ f f 7 5/4 9/4 Tbelul 5.4 π u Iterţi Noul ite de preţuri pe reurele coune nunţt de utoritte centrlă v fi: Veniturile unitre nete le genţilor devin: u (5/4, 9/4) 5 9 c um [ 7,6], [7,6] [7,6] [,] 4 4 ~ Atfel, funcţi obiectiv progrului P(u (5/4, 9/4)) ete contntă: f ( c um ) şi în ~ ~ conecinţă vlore ei iă v fi f. Deorece π f oluţi din tbelul (T ) ete oluţi optiă progrului (PM). Soluţi optiă progrului originl (P) ete itur conveă celor trei propuneri v,v,v : 4 5 4 λv λv λv 4 ir venitul i totl re vlore ()f 7. 6. Metod generării de colone pentru proble croirii După cu văzut, principiul de decopunere Dntzig - Wolfe rezolvă un progr linir cu ulte retricţii înlocuindu-l cu un ltul - nuit progr principl - cu i puţine retricţii dr cu forte ulte colone (vribile) cre nu unt diponibile de l început! În orice fză rezolvării progrului principl, un nuăr reltiv ic de colone unt cunocute, colonele necere îbunătăţirii oluţiilor interedire fiind generte l "cerere". Scopul cetei ecţiuni ete cel de răt cu e plică tehnic generării de colone în rezolvre ltor problee de optiizre iilre cu ete de eeplu proble croirii introduă în cpitolul II,. În continure vo vede că cetă tehnică neceită lure în coniderre unei problee de optiizre forte iple c tructură dr deoebit de iportntă în optiizre
cobintorilă - proble ruccului. Pentru cetă ubprobleă, în ecţiune urătore, v fi prezenttă o etodă pecifică de rezolvre bztă pe progrre dinică. 6. Proble croirii unidienionle. Enunţ şi odel tetic Un nuăr de repere cu lungiile l,l,...,l trebuiec croite din uporţi cu lungie coună L în cntităţile b,b,...,b.obiectivul contă în tifcere cererilor cu un conu ini de uporţi. Preupune că L şi l,l,..., l unt eprite prin nuere întregi, pozitive şi că L > l >l >..>l. A nuit reţetă de croire o odlitte de tăiere unui uport în repere cu lungiile cerute. Forl, o reţetă de croire e identifică cu un vector (,,..., ) cu coponente nuere întregi nenegtive în cre i reprezintă nuărul reperelor cu lungie l i rezultte din tăiere uportului. Su lungiilor reperelor tfel obţinute nu depăşeşte lungie uportului, tfel că: l l... l L Nuărul cetor reţete ete finit şi ordonându-le într-un fel orecre, de eeplu leicogrfic,obţine lit: n,,..., unde (,,..., ) (pentru nevoi ulteriore reţetele vor fi crie în colonă). Dcă notă cu nuărul de uporţi tăiţi după reţet ( e i nueşte şi ultiplicitte reţetei ) odelul tetic l probleei de croire ete: S e deterine,,..., n cre iniizez functi: z... n cu retrictiile: ( P ) n n... n b i bi i,..., i conditiile eplicite ipue vribilelor:,,..., n intregi Deorece pritre reţetele,,..., n e nuără şi reţetele unitre: (,,,...,), (,,,...,),..., (,,,...,) proble (P) re oluţii diibile (cu coponente) întregi şi chir oluţie optiă. În czul - frecvent întâlnit în prctică - în cre ne liită l utilizre nui ş nuitelor reţete ile - dică celor reţete (,,..., ) pentru cre retul: w ( ) L ( l l... l ) ete i ic decât lungie celui i ic reper - proble de croire e forlizeză tfel: T
S e deterine y, y,..., yn cre iniizez functi: Z y y... y N cu retrictiile : ( P' ) N A y A y... A y N b i conditiile eplicite ipue vribilelor: y, y,..., yn, intregi unde A, A,..., A N ete (ub)lit reţetelor ile, ir y,y,...,y N unt ultiplicităţile cetor. Obervţie: Dcă în odelul (P) tote retricţiile eru eglităţi (cet înenând croire reperelor "ect" în cntităţile cerute) în noul odel (P') nu i pute ipune ceeşi condiţie deorece,prin retrângere odlităţilor de croire unui uport, ete poibil c iteul N A y b ă nu ibe oluţii întregi nenegtive! Ită de ce, pentru igur coptibilitte noului odel unte nevoiţi ă dite că nuite repere pot fi croite "în ece". Progrele întregi (P) şi (P') unt în eenţă echivlente în enul că u celşi opti întreg ir oluţi optiă progrului (P) utilizeză cu prioritte reţete ile; în conecinţă, în cele ce ureză vo tudi progrul "i generl" (P). Eeplul 6. Conideră czul croirii trei repere cu lungiile l, l 7, l 4 din uporţi cu lungie L 9. În urătorul tbel unt indicte tote reţetele de croire şi unt pue în evidenţă reţetele ile. Reţet A A 4 5 A 6 7 A 4 8 9 A 5 4 l l 7 l 4 4 Ret 4 8 5 4 8 7 5 Pentru cererile b, b 8, b : Tbelul 6. lure în coniderre tuturor reţetelor de croire - ile şi neile - conduce l odelul: ( P), intregi (in) z 4 5 5 6... 4 7 7 8 8 9 9 4 vând în vedere nui reţetele ile obţine odelul: 4 8
y y y y y4 8 ( P' ) y y y4 4y5 y, intregi (in) Z y y y y4 y5 C orice probleă de progrre în nuere întregi,(p) ete forte greu de rezolvt. În re oritte plicţiilor prctice vo fi fericiţi ă obţine - în tip util şi cu un efort coputţionl rezonbil - o oluţie "bună" nu nepărt optilă. Aş cu - indict în cpitolul I,,o eene oluţie -r pute obţine rotunind convenbil oluţi optiă probleei relte (PL) deduă din (P) prin eliinre cerinţei c vribilele ă i nui vlori întregi. Acetă tctică conduce l rezultte forte bune în pecil în czurile în cre cererile b,b,...,b unt ri; într-devăr în cete czuri, coponentele oluţiei optie frcţionre vor fi uficient de ri tfel că pierderile dtorte rotunirii vor fi ici şi neenifictive. În continure ne vo ocup de rezolvre reltei (PL) probleei de croire (P): n (in) z n ( PL) b Dificultte rezolvării cetei problee rezidă în nuărul forte re de colone (reţete) pe cre le pote ve (i cu eă în ituţile rele) şi cre - în czul rezolvării "obişnuite" - r trebui i întâi generte. Vo vede în continure cu e pote evit cet ipedient. 6. Teori etodei generării de colone Vo plic probleei (PL) veriune revizuită lgoritului iple.. L trt, e pote plec cu bz fortă din cele reţete unitre: T T T e (,,...,), e (,,...,),..., e (,,...,) cu tbelul redu: e b e b M M O e b f Σb i K Tbelul 6. Cel i bine ete ă e plece cu bz fortă din cele reţete unict: K r K r K r ) T T T (,,...,), (,,...,),..., (,,..., în cre: r L, l r L,, r l L l
şi cu tbelul iple redu: K b /r /r K b /r /r M M O K b /r /r f Σb i /r i /r /r /r Tbelul 6. Fie B bz diibilă curentă, S B b oluţi ocită bzei B. Preupune diponibil tbelul iple corepunzător; vezi tbelul 6.4 Reinti că: b b B c f B B c b B b B B π π,,...,] [ După cu e ştie, oluţi v fi optiă dcă, pentru tote colonele ve: n,...,, n c B c c B,..., π Pentru tet îndeplinire condiţiei de i u ete uficient ă clculă: ]... [,.., n π π π π şi cu fiecre ete o oluţie cu coponente întregi nenegtive inecuţiei v fi uficient ă rezolvă progrul uilir: L l l l... intregi,...,,...... ) ( L l l l R π π π π Dcă iul funcţiei obiectiv din R(π) ete ete clr că c π pentru toţi,,n şi oluţi ocită bzei B ete optiă. Dcă iul din R(π) ete > tunci oluţi optiă progrului R(π) ete o reţetă, fie e, din lit tuturor reţetelor, cu propriette: n,...,, > c π. Introduce în bz curentă colon urând intrucţiunile lgoritului iple revzuit. Obţine o nouă bză diibilă B, o nouă oluţie probleei (PL) în generl i bună decât oluţi veche şi un nou tbel iple redu în cre opre un nou vector π de ultiplictori iple.pentru tet optilitte noii oliuţii rezolvă progrul R(π ) etc. Proceul itertiv e încheie într-un nuăr finit de pşi cu găire oluţiei optie probleei (PL).
bz curentă vlorile vribilelor bzice curente B b B - inver bzei curente f f π ultiplictorii iple ociţi bzei B vlore funcţiei obiectiv în oluţi curentă Tbelul 6.4 6. Rezutul procedurii Generre de Colone pentru rezolvre reltei probleei de croire Strt Se plecă cu bz fortă din reţetele unict(6.) şi cu tbelul iple redu 6.. Fie B bz curentă şi π c B B - vectorul ultiplictorilor iple corepunzători. Conţinutul unei iterţii: Pul Se rezolvă proble uiliră: π ii i R( π ) l i i L i i intregi i,..., (vezi ecţiune urătore în ceece priveşte odul lgoritic de rezolvre l probleei R(π). Pul Dcă iul funcţiei obiectiv din R(π) ete top: oluţi curentă probleei (PL) ete optiă. Altinteri: Pul Fie oluţi optiă probleei R(π). Se introduce în bz curentă B colon (reindetă eventul cu nuărul de ordine l iterţiei) urând intrucţiunile lgoritului iple revizuit. Se revine l pul în cdrul unei noi iterţii. Eeplul 6. Vo rezolv relt (PL) probleei de croire (P) din eeplul 6. (fătui cititorul ă ignore fptul că genert de tote reţetele de croire le probleei...de ltfel, diferitele reţete foloite de lgorit vor ve o notre diferită de ce din tbelul 6.) Strt. Plecă cu bz fortă din reţetele unict: T T T K (,, ), K (,, ), K (,, 4)
B [ K, K, K ] ete o trice digonlă cărei inveră ete : B. 4 4 Soluţi ocită bzei B [K,K,K ]: ultiplicitte retetei K B b 8 9 ultiplcitte retetei K 4 5 ultiplicitte retetei K (celellte reţete - pe cqre de fpt nu le şti - nu e foloec). Multiplictorii iple ociţi bzei [K,K,K ]unt: B π c B [,,] [,, 4 ] 4 Vlore funcţiei obiectiv în oluţi contruită ete: f π b 8 4 8 Tbelul iple redu de trt: Iterţi Se rezolvă proble : K K 9 / K 5/ /4 f 57/ / /4 Tbelul 6.5 () ρ 4 4 ( 4 ) R( π ) 7 4 9,, intregi Prin iplă inpecţie (în czul de fţă) u plicând un lgorit decvt dcă nuărul reperelor ete re (vezi ecţiune urătore) e găeşte ()ρ / > şi oluţi optiă (,,) cre ete o reţetă ilă. Renotă : A (,,) T şi introduce A în bz curentă: colon B - A A K pivot A K 9 / / K -/ / K 5/ /4 K 5/ /4 f 57/ / /4 / ()ρ- f 45/ / / /4 Tbelul6.6 Tbelul 6.6b Iterţi Rezolvă proble:
() ρ 4 4 ( ) R( π ) 7 4 9,, intregi l cărei opti, ()ρ 5/4 >, e tinge pe reţet ilă (,,) T,renottă A. Introduce A în bz curentă: colon B - A A A A K -/ / pivot A -/ / K 5/ /4 /4 K 7/4 /8 -/8 /4 f 45/ / / /4 /4 ()ρ- f 87/4 5/8 /8 /4 Tbelul6.7 Tbelul 6.7b Iterţi Acu e rezolvă proble: () ρ 5 8 8 4 8 ( 5 ) R( π ) 7 4 9,, intregi Se găeşte ()ρ 9/8 > şi oluţi optiă (,,) T,renottă A. Introduce A în bz curentă: colon B - A A A A 6/5 4/5 /5 -/5 A -/ / -/ A 4/5 -/5 /5 /5 K 7/4 /8 -/8 /4 5/8 pivot A 54/5 /5 -/5 /5 f 87/8 5/8 /8 /4 /8 ()ρ- f /5 /5 /5 /5 Tbelul6.8 Tbelul 6.8b Iterţi 4 Rezolvă proble: () ρ 5 5 5 5 ( ) R( π ) 7 4 9,, intregi De cetă dtă ()ρ tfel că oluţi curentă,încriă în tbelul 6., ete optiă. În concluzie, oluţi optiă frcţionră probleei de croire dte utilizeză:
reţet ilă A (,,) T cu ultiplicitte 6 ; 5 5 reţet ilă A (,,) T cu ultiplicitte 4 5 reţet ilă A (,,) T cu ultiplicitte 54 5 8 ; 5 4. 5 Nuărul uporţilor "conuţi" ete :. 5 5 Obervţie: Reîntorcându-ne l proble de croire generlă (P) şi l relt cetei e conttă iedit că optiul întreg ete cel puţin egl cu rotunire uperioră optiului frcţionr! În czul de fţă rezultă că oluţi optiă întregă v utiliz cel puţin 5 uporţi. Să vede cu cu e deterină o oluţie "bună" pentru proble de croire tudită. Etp Se rotunec inferior ultiplicităţile reţetelor din oluţi optiă probleei relte (PL): 6 5 ; 4 8 5 ; 54 5 Etp Se deterină cntităţile de repere ce pot fi croite cu reţetele din oluţi optiă frcţionră dr cu ultiplicităţile rotunite inferior: b A 8 A A 8 7 8 Etp Se deterină cntităţile de repere cre i unt de croit: b b b 8 7 8 Etp 4 Pentru "cerere rezidulă" b' e plică urătore euritică, nuită FFD (Firt Fit Decreing): e deterină pri reţetă în en leicogrfic cre "încpe" în b'; e ctulizeză b' prin etrgere reţetei găite şi e rei pul precedent. În czul notru pri reţetă cuprină în b' ete (,,) T A.Actuliză cerere rezidulă: b Au i ră două repere cu lungie l 4 căror croire neceită conure unui uport.
Recpitulând, o oluţie "bună" pentru croire cntităţilor de repere cerute r fi urătore: e foloeşte reţet A (,,) de ori; e foloeşte reţet A (,,) de 8 ori; e foloeşte reţet A (,,) de ori; e i tie dintr-un uport două repere cu lungie l 4 dică e foloeşte reţ neilă (,,). În totl e conuă 8 uporţi şi în bz unei obervţii nteriore oluţi contruită ete chir optiă! Concluzii finle. În oluţi optiă probleei relte e utilizeză nui reţete ile;. După plicre euriticii FFD upr cererii rezidule, pot pre şi câtev reţete neile - de regulă un ingură;. Nueroele eperiente nuerice u rătt că optiul întreg l probleei de croire unidienionle ete de regulă egl cu rotunire întregă uperioră optiului frcţionr şi nui în rre czuri ete i re decât cet cu ect o unitte! 7 Progrre dinică În cetă ecţiune ne vo opri upr probleei : ( R) l ρ π l,,..., π... l L, intregi... π în cre L > l > l >... > l unt întregi pozitivi. În ecţiune precedentă, (R) părut c ubprobleă în rezolvre reltei probleei de croire unidienionle prin etod generării de colone. Ete clr că eficcitte etodei intite depinde de perfornţele lgoritilor utilizţi pentru rezolvre probleei (R). (R) ete un prog linir în nuere întregi forte iplu, vând o ingură retricţie. În litertur de pecilitte ete cunocută ub nuele de proble ruccului dtorită urătorei interpretări: i ete nuărul pieelor de echipent de greutte l i şi utilitte π i cre trebuie lute într-o ecurie într- un rucc ce uportă o greutte iă L. Întrebre: ce piee de echipent trebuie lee şi în câte eeplre vor fi cete introdue în rucc tfel încât utilitte încărcăturii ă fie iă? Fireşte, (R) pote fi rezolvtă prin etodele pecifice progrării în nuere întregi (plne de ecţiune, Brnch & Bound etc). Fptul că (R) re o ingură retricţie perite bordre ei prin progrre dinică. Mi preci, pentru fiecre,, şi fiecre întreg λ,,,l conideră proble: R ( λ ) l π, l,..., π... l, intregi... π λ
l cărei opti îl notă cu ρ (λ). Ete clr că R R (λ) şi căiul funcţiei obiectiv din R ete ρ (L). Obervă că, pentru fit ρ ete o funcţie de o ingură vribilă le cărei vlori diibile unt,,,l. Funcţiile ρ, ρ,, ρ -, ρ pot fi deterinte tfel: λ ρ( λ) { π l λ} π λ,,,l (7.) l pentru > ve forul de recurenţă: λ ρ ( λ) { ρ ( λ l ) π,,..., } (7.) l pentru ete uficient ă găi nui vlore funcţiei ρ în L: λ ρ ( L) { ρ ( L l ) π,,..., } l Relţi (7.) rtă că funcţiile ρ,,ρ -,ρ unidienionle. rezultă din nişte procee de optiizre Să preupune cunocute funcţiile ρ, ρ,, ρ - şi vlore ρ (L) şi ă notă cu (λ) vlore vribilei cre pentru λ dt relizeză iul din forul de recurenţă (7.). λ Pentru ve ( λ ). Atunci, o oluţie optiă probleei (R) e găeşte tfel: l ( L) Pentru,...,,: unde : S l ( L S )... l Obervţii: ) În terenii probleei ruccului ρ (λ) ete vlore iă unei încărcări ruccului ce nu depăşeşte în greutte plfonul λ şi cre ete fortă nui din priele tipuri de echipent. ) Prin progrre dinică rezolvre probleei de optiizre ultidienionlă (R) ete înlocuită cu o ecvenţă de optiizări unidienionle bzte pe forul de recurenţă (7.). ) Ecuţi funcţionlă (7.), prin cre funcţiile ρ, ρ,, ρ -, ρ e deduc un din lt forlizeză în czul probleei (R) principiul centrl l progrării dinice dtort lui R. BELLMAN : O trtegie (ecvenţilă) optiă re propriette că oricre r fi tre iniţilă şi decizi iniţilă, deciziile răe contituie o trtegie optiă în rport cu tre cre rezultă din pri decizie. Deontrţi forulei (7.)
λ Fie o vlore întregă,, dtă vribilei. Fie (,,..., ) o oluţie l optiă probleei R ( λ l ). Prin urre: ρ ( λ l ) π... π l... l λ l Deorece l... l l λ rezultă că (,...,, ) ete o oluţie diibilă probleei R (λ) cre dă funcţiei obiectiv vlore:... π π ρ ( λ l ) π π În conecinţă: ρ ( λ l ) π ( λ) ρ şi cu fot rbitrr leă (între şi L ) ureză că: l λ ρ ( λ) { ρ ( λ l ) π,,..., } l Pe de ltă prte fie (,...,, ) o oluţie optiă probleei R ( λ ).Prin urre: Din l... l λ l R l... l l λ ρ ( λ) π... π π rezultă că (,..., ) ( λ l ) şi deci: π π... ρ ( λ l ) ete o oluţie diibilă probleei Să rătă că în ulti relţie ve eglitte. Preupunând prin burd contrriul fie (,..., ) o oluţie optiă probleei R Prin urre (,...,, ) (λ l ). În conecinţă vo ve: π... π ρ ( λ l ) > π... π l... l λ l l... l l λ ete o oluţie diibilă probleei R ( λ ) şi deorece π... π π > π... π π ρ ( λ) trge concluzi că (,...,, ) În definitiv: nu ete oluţie optiă probleei R ( λ ) contrr ipotezei.
tfel că: π... π ρ ( λ l ) ρ ( λ) π... π π ρ ( λ l ) π { ρ ( λ l ) π L,,..., } l Eglitte (7.) ete deontrtă. Eeplul 7. Vo plic procedur decriă probleei: ρ 6 5 ( R ) 5 4,, intregi λ Iterţi Deterină vlorile funcţiei ρ( λ) π λ 6 l 5 pentru λ,,..., Ele unt încrie în tbelul 7. λ 4 5 6 7 8 9 ρ (λ) 6 6 6 6 6 (λ ) Tbelul 7. Iterţi În continure clculă vlorile funcţiei λ ρ ( λ ) { ρ( λ l ) π,,..., } l { ρ( λ 4 ) λ,,..., 4 } unde λ,,..., Atfel, pentru λ,,, ρ (λ) ρ (λ) ; pentru λ 4,5,6,7 vo ve: ρ ( λ ) { ρ( λ 4 ), } { ρ( λ ), ρ( λ 4) } ir pentru λ 8,9,, ρ ( λ ) { ρ ( λ 4 ),, } { ρ ( λ ), ρ ( λ 4), ρ ( λ 8) 4} Rezulttele unt fişte în tbelul 7. λ 4 5 6 7 8 9 ρ (λ) 6 6 6 4 8 (λ )
Tbelul 7. Iterţi În finl vo evlu nui: ρ ( L) ρ ( ) { ρ ( ) 5,,..., 5 } { ρ ( ), ρ ( 9 ) 5, ρ ( 7 ), ρ ( 5 ) 5, ρ ( ), ρ ( ) 5} {,,,, } 8 5 6 5 Deterinre oluţiei optie ("de l fârşit către început") Pul ( ) ; 4 6 6 5 Pul S l L S 9 ( 9) ; Pul S l l l S L S ( 5). Soluţi optiă probleei dte ete:,, ()ρ 8. Întrebări şi problee c.ete cunocut fptul că probleele prctice de optiizre de dieniuni "ri" u o tructură "pecilă". Ce înenă cetă tructură pecilă în progrre liniră?.ce crcteritici re progrul principl (P ) rezultt din plicre etodei de decopunere Dntzig - Wolfe? Ce etodă e utilizeză pentru rezolvre lui?.se conideră un progr linir în foră cnonică de iizre cărui ulţie de retricţii fot prtiţiontă în două blocuri: A b M d ( P ) () f în notţiile tricile le ecţiunii. Să preupune că şi u unt doi vectori nenegtivi de dieniuni convenbile tfel încât: ete oluţi optiă progrului A b Pu ( ) () f' ( cum) M d u( d M) Să e rte că ete oluţi optiă progrului (P)..4. [] Utilizţi lgoritul de decopunere Dntzig - Wolfe l rezolvre urătorelor progre linire cutructură bloc - digonlă şi retricţii de cuplre:
) 6 5 5 4 4 4 4 5 4 7,..., 4 () f 8 5 6 4 4 b ) 4 5 4 4 4,..., 4 () f 4 În rezolvre ubprobleelor de l nivelul e pote foloi etod grfică. 5. Pentru intlţi de pă unui iobil în contrucţie unt necere 8 de ţevi de, 4 de ţevi de,5 şi de ţevi cu lungie de,5. Acete bucăţi e tie din ţevi cu lungie de 9. ) Alcătuiţi lit reţetelor ile de croire; b) Scrieţi un progr linir în nuere întregi pentru iniizre nuărului de ţevi de 9 ce vor fi tăite; c) Rezolvţi progrul relt prin etod generării de colone; d) Plecând de l oluţi optiă frcţionră contruiţi o oluţie "bună" probleei dte;r pute fi optiă oluţi contruită de dv.? 6.Proble ruccului. Forulre şi odel tetic.decrieţi lgoritul de ezolvre l probleei ruccului prin progrre dinică. 7. Rezolvţi probleele de tip rucc: ) ()ρ 5 6 4 5 5 9 4 b ) ()ρ 4 74