Curs - Meode Numerce de Rezolvare a Ecuațlor ș Ssemelor de Ecuaț Derențale Ș.l. Dr. ng. Levene CZUMBIL Laboraorul de Cerceare în Meode Numerce Deparamenul de Elecroencă Ingnere Elecrcă E-mal: Levene.Czumbl@em.uclu.ro
Comporarea dnamcă a ssemelor zce conduce la modele maemace ormae dn ecuaţ derenţale ordnare sau sseme de ecuaţ derenţale care nu po rezolvae pe cale analcă uncţ complcae ca ormă sau uncţ cunoscue doar pe baza unor valor în punce dae abelar ş obţnue pe cale epermenală. Dn aces mov se recurge la rezolvarea numercă a acesora. Meodele numerce de apromare a soluţlor conduc la abele de valor ale uncţe necunoscue. Valorle abelae se calculează ulzând o valoare dea calculaă cu un pas înane meode unpas sau câeva valor calculae dea meode mulpas.
Crcu R-L sere în regm ranzoru. Se consderă un crcu orma dnr-un rezsor de rezsenţă R ş o bobnă de nducvae L almenae în sere la o ensune elecromooare e = E cosω Se sudază varaţa curenulu în crcu la încderea înreruporulu K. cos E R d d L d d L R e e e L R Se scru eoremele lu Krco ş rezulă o ecuaţe derenţală de ordnul I: Crcuul R-L Sere
Ecuaţa lnlor de câmp creae de o sarcnă în mşcare în planul o sub acțunea unu câmp de orțe ese o ecuațe derențală oală eacă; Mşcarea unu elecron supus unu câmp elecrc തE ș a unu câmp magnec ഥH sasace ecuața derențală vecorală: dv d e m E v H Rezolvarea une ecuaţ derenţale asocae unu crcu elecrc de ordn I sau II eca cu un mpuls regm ranzoru; Condensaor de capacae C care se încarcă de la o sursă de ensune connuă E prnr-un rezsor de rezsenţă R. Descărcare unu condensaor de capacae C încărca nţal la ensunea E pe un rezsor de rezsenţă R.
Analza comporăr descarcăoarelor de supraensun daorae comuăr lnlor elecrce cu sarcnă capacvă presupune modelarea lne ca ş crcu ţnând con de prezenţa surse de energe de amplasarea descărcăoarelor surge-arresers ş de naura sarcn elecrce capacvă: Modelul de crcu elecrc Soluţonarea numercă a ecuaţe derenţale corespunzăoare crcuulu cu varablă necunoscuă ensunea la bornele descărcăorulu ndcă varaţle care apar penru dere sarcn capacve:
Curs Meode Numerce de Rezolvare a Ecuațlor Derențale de Ordnul I Aplcaț în Ingnera Elecrcă Ș.l. Dr. ng. Levene CZUMBIL Laboraorul de Cerceare în Meode Numerce Deparamenul de Elecroencă Ingnere Elecrcă E-mal: Levene.Czumbl@em.uclu.ro
Modelul maemac cel ma des înâln al enomenelor care sau la baza maorăţ aplcaţlor elecroence ese ecuaţa derenţală. Rezolvarea eacă a ecuaţlor derenţale ordnare ese posblă penru o clasă oare resrânsă de aplcaț!!! O ecuaţe derenţală ese o ecuaţe care conţne pe lângă varablele ndependene ş uncţle necunoscue ş dervaele acesor uncţ sau derenţalele lor până la ordnul n nclusv numărul n repreznă ordnul ecuaţe derenţale. O ecuaţe derenţală se numeşe ordnară dacă conţne o sngură varablă ndependenă ş are orma generală: n ' ''...
Ecuaţle derenţale cu dervae parţale conţn ma mule varable ndependene ş dervaele parţale ale uncţlor necunoscue. Rezolvarea une ecuaţ derenţale de ordn n mplcă mpunerea a n condţ nţale. Esă urmăoarele suaţ: z z z z z z Dacă oae cele n condţ valor sun dae penru aceeaş valoare a varable ndependene negrarea se ace cu condţ nţale mpuse la începu în problemă problema Cauc. Aunc când nevn dverse valor ale varable ndependene rezolvarea se ace cu condţ la lmă
Fe : I R R o uncțe connuă daă care descre ecuața derențală de ordnul I care urmează a rezolvaă unde I ese un nerval real ar ese valoarea nţală a uncțe care sasace acesă ecuațe derențală provenă dn condța nțală a probleme. Se propune deermnaea uncţe : I R care sasace problema cu valor condţ nţale problemă Cauc adcă evaluarea uncţe în nodurle a = < < < < n- < n = b aparțnând nervalulu de denţe I. ' I a b n n a b I
Demonsraa pe ablă n n n R n!...! '! n n n n R Apromaţa ese cu aâ ma bună cu câ numărul de ermen luaţ în consderare în dezvolarea Talor ese ma mare. Meoda ese drecă înrucâ penru calculul lu + sun necesare normaţ numa despre puncul aneror. Dacă se consderă doar prm re ermen dn descompunerea în sere Talor n = Rn= aunc se obțne urmăoarea ormulă apromavă de calcul:
Fe crcuul R-L sere dn cadrul aplcaţe prezenae penru care avem cunoscue paramer elecrc: E = V R = 4Ω ş L = 3uH. Să se deermne curenul prn bobna de nducvae L după încderea înrerupăorulu K a valor pe nervalul [;4ms] Pasul. Se denesc paramer elecrc a crcuulu R-L sere: E R 4 L 3 6 5 34.59 Pasul. Se scre ecuaţa derenţal ce descre uncţonarea crcuulu R-L sere: Pasul 3. Se erage dervaa curenulu dn ecuaţa derenţală corespunzăoare crcuulu: Pasul 4. Se deneşe uncţa asocaă membrulu drep a ecuaţe derenţale: F L E cos R
Pasul 5. Se F denesc capeele E cos nervalulu R L numărul de punce de calcul ş se deermnă pasul de parcurgere al nervalulu de denţe: 4 3 N 5 8 5 N Pasul 6. Se deermnă şrul de punce nermedare în care se evaluează valoarea curenulu: N Pasul 7. Se denesc dervaele parţale ale uncţe aaşae F ecuaţe derenţale: F d d F F d d F Pasul 8. Dn condţa nţală Cauc a probleme înrerupăorul K descs reese că valoarea curenulu în momenul = s ese egală cu A: I
Pasul 9. Se mplemenează ormula recursvă de calcul a valorlor uncţe pe baza descompuner în I sere Talor până la elemenul de gradul al II-lea: F I I I F I F I F I Pasul. Se vzualzează valoarea curenulu la momenele de mp : I T.94.85.8.848.884 3 I 3...3.4
Ese cea ma smplă meodă de negrare numercă a ecuaţlor derenţale ordnare. Se obţne dn meoda Talor penru n= adcă se reţn numa prm do ermen dn dezvolare rezulând orma eplcă a meode lu Euler:... ''! Inerpreare geomercă: se alege un pas de negrare asel încâ nervalul de denţe [ b] să e împărţ în paş egal: b N Asel avem aceeaş problemă de rezolvare a ecuaţlor derenţale cu condţ nţale: ' ș curba soluțe:
Prn meoda lu Euler soluţa în nodul + se apromează cu ordonaa punculu de nersecţe a angene la curbă în puncul cu dreapa = +. Ecuaţa angene: ' ' rezulă ormula de recurenţă a algormulu Euler: Asel meoda lu Euler se numeşe ş meoda lnlor polgonale penru că curba = se înlocueşe prn lna polgonală M M conorm gur alăurae. Dreapa care rece prn M cu coecenul ungular - conorm poeze prn care ecuaţa derenţală care ormează problema Cauc dă în orce punc pana curbe!!!
Observaţe: În aplcaţle elecroence ulzarea meode lu Euler duce la unele dculăţ dn punc de vedere a precze meode. De aceea se olosesc varane ale meode lu Euler cu precze ma mare care olosesc relaţ de recurenţă de orma: Meoda lu Euler îmbunăăță ormula Euler-Huen ' unde în dezvolarea în sere Talor se reţn prm re ermen: '
Meoda lu Euler modcaă ormula Euler-Cauc ' ' În aceasă meodă ʹ nu se ma apromează pe nervalul [ -] cu valoarea de la începuul nervalulu c cu o apromațe a valor de la mlocul acesu nerval. Meoda lu Euler modcaă predcor corecor Rezulă dn reununea versun meode lu Euler clască relaţa predcor ş a versun modcae relaţa corecor. Cu meoda lu Euler clască se calculează o prmă apromaţe valoarea prezsă a soluţe în puncul urmăor adcă se nţalzează valoarea lu cu o relaţe:
După aceea la un pas = 3 al procesulu erav de calcul noua valoare a lu rezulă prn aplcarea une relaţ de recurență de orma: Calculul se consderă ermna când a os deermna cu o precze mpusă aprorc cu ale cuvne eraţle se repeă până când derenţa dnre două apromaţ succesve ş - ese ma mcă decâ o eroare sablă dnane prmnd aunc ulma valoare calculaă. eroarea mamă admsblă mpusă Observaţe: La aceeaş valoare a pasulu de negrare acese meode modcae îmbunăăţe a meode lu Euler asgură o precze ma bună ş o soluţonare ma rapdă a ecuaţlor derenţale.
Fe ecuaţa derenţală de ordnul I: ' 3 cos 5 9 cu condţa nţală Cauc 7=6 unde a valor pe nervalul [75]. Să se deermne valorle uncţe olosndu-se meoda lu Euler îmbunăăţă Euler-Heun respecv varana modcaă versunea Cauc. Pasul. Se scre ecuaţa derenţală ce urmează a rezolvaă: Pasul. Se erage dervae uncţe necunoscue: Pasul 3. Se deneşe uncţa asocaă ecuaţe derenţale:
Pasul 4. Denrea uncţe caracersce meode îmbunăăţe Euler-Huen: EH Pasul 5. Denrea uncţe caracersce meode îmbunăăţe Euler-Huen: EC a 7 b 5 N Pasul 6. Se denesc capeele nervalulu numărul de punce de calcul ş se deermnă pasul de parcurgere al nervalulu de denţe: b a.8 N Pasul 7. Se deermnă şrul de punce nermedare în care se evaluează valoarea uncţe necunoscue: N a
Pasul 8. Se mpune condţa nţală Cauc 7=5: EH 5 EC 5 Pasul 9. Se evaluează valorle uncţe necunoscue conorm meode lu Euler îmbunăăţe Euler-Heun : EH EH EH EH Pasul. Se evaluează EH valorle uncţe EH necunoscue EH EH conorm meode lu Euler modcaă versunea Cauc : EC EC EC EC Pasul. Se vzualzează valorle uncţe necunoscue deermnae în puncele :
Pasul. Se repreznă grac alura uncţe deermnae cu cele două meode: Pasul 3. Se evaluează abaerea procenuală dnre cele două meode:
Meodele lu Euler mplcă necesaea evaluăr dervaelor de ordn superor ale uncţe respecv ale uncţe care duc la dculăţ în apromarea numercă a dervaelor de ordn superor. În scmb meodele de p Runge Kua evă în oalae ulzarea dervaelor de ordn superor ele olosnd numa dervaele de ordn I ale uncţe adcă valorle uncţe. Se calculează valorle uncţe înr-un număr de punce nermedare ale nervalulu [ + ] penru deermnarea lu cu o eroare mnmă. Cu ale cuvne meodele Runge Kua de negrare numercă a une ecuaţ derenţale înlocuesc calculul dervaelor uncţe prn evaluăr ale sale în dverse punce.
Fe ecuaţa derenţală ordnară cu condţ nţale de orma: ' b a n n N a N a b o dvzune ecdsană a nervalulu [a b]!!! Dn raţun de smplcare a calculelor consderăm combnaţ lnare de valor ale uncţe în anume punce ale nervalulu [ + ] soluţa calculându-se cu o relaţe unpas de orma: n n a a a... unde dn condţa ca dezvolarea în sere Talor a membrulu drep în uncţe de să concdă cu membrul drep al ormule lu Talor de ordnul n+ avem ş ormula dedusa ş oţ coecenţ după parcularzăr:
Parcularzând paramerul n se deermnă dverse ormule: Runge Kua de ornul I n=: -- omula lu Euler clască da Runge Kua de ornul II n=: omula modcaă a lu Euler Euler-Huen da
Runge Kua de ornul III n=: 4 6 da Runge Kua de ornul IV n=3: 3 6 da 3 Acese ormule sun oare ulzae în aplcaţle dn domenul elecroenc - complcae ş preenţoase dn punc de vedere a precze!!!
Curs Meode Numerce de Rezolvare a Ssemelor de Ecuaț Derențale Ș.l. Dr. ng. Levene CZUMBIL Laboraorul de Cerceare în Meode Numerce Deparamenul de Elecroencă Ingnere Elecrcă E-mal: Levene.Czumbl@em.uclu.ro
Sudul perormanţelor dnamce ale mooarelor lnare de nducţe aunc când se realzează compensarea sere ese o problemă sudaă în domenul proecăr maşnlor elecrce acolo unde ese necesar să să obţnă cuplur de pornre ş acceleraţ rdcae. Aplcaţ: ulae ndusrale racţune elecrcă.
Modelul maemac al acesu crcu ese consu dnr-un ssem de ecuaţ derenţale de unde rezulă varaţa curenulu în condţ dnamce. Pe baza eprese numerce a curenulu se deduce varaţa cuplulu în rapor cu reglaul veze maşn lnare:
Calculul regmulu ranzoru al unu moor elecrc asncron; ssem de ecuaţ derenţale; Sudul eeculu de smulare magnecă a ţesuurlor nervoase; Deermnarea caracersclor magnece nelnare ale unor dspozve elecromagnece prn esarea epermenală cu semnale alernave snusodale sau în repe; Caracerzarea comporăr în regm dnamc a mooarelor cu relucanţă varablă SRM în vederea îmbunăăţr paramerlor consrucv penru reducerea varaţlor rapde de cuplu; Reprezenarea ca ş crcu ş smularea uncţonală a une celule nervoase; Proecarea cuplaelor moor maşnă de lucru care ulzează lude magneo-reologce cu propreăţ de orenare sub acţunea unu câmp magnec;
Analza sablăţ la mar perurbaţ a unu generaor elecrc racorda la un Ssem ElecroEnergec SEE Cunoscând paramer elemenelor de ssem ş daele reeroare la un anum regm de uncţonare se cere să se elaboreze un program de calcul penru analza sablăţ la mar perurbaţ a generaorulu sncron GS prn rezolvarea numercă a ecuaţlor derenţale care descru uncţonarea în regm ranzoru a SEE.
Analza sablăţ la mar perurbaţ se ace prn negrarea ecuaţe derenţale de mşcare a ansamblulu rooarelor generaorulu ş urbne: d d M P m P e H rezulând curba de varaţe în mp a ungulu nern al generaorulu curba de osclaţe ş cea a veze ungulare reprezenând de ap abaerea veze ungulare aţă de uraţa sncronă s = 34 rad/s la 5 Hz Analza orme acesor curbe oeră normaţ în prvnţa sablăţ sau a nsablăţ generaorulu la perurbaţa consderaă. M - consana mecancă a ansamblulu urbnă-generaor; P m - puerea mecancă a GS; P e - puerea elecrcă a GS; H - consana de amorzare înglobând eecele uuror surselor de amorzare a osclaţlor.
Se consderă un ssem de ecuaţ derenţale ordnare cu condţle nţale de ma os aceasă problemă nd cunoscuă după cum şm ca problema Cauc sau problema cu condţ nţale: d '... d r r Se cere deermnarea uncţlor care vercă ssemul ş condţle nţale adcă deermnarea valorlor n care să apromează câ ma bne valorle eace n ale uncţlor. Observaţe: Puncele n sun ecdsane pasul nd: = +. Meodele de rezolvare rămân aceleaş ca ş la ecuaţle derenţale no prezenând ac doar o adapare a acesor meode penru ssemele de ecuaţ derenţale.
Meoda lu Euler ormula clască: Se aplcă în n paș valorle corespunzăoare ale uncţlor = r la un pas = n se deermnă cu relațle:... r numărul ecuaţe; numărul nervalulu pasulu punculu de la nele nervalulu. Meoda lu Euler ormula modcaă:... r r
Meoda lu Runge Kua de ordnul IV: 4 3 6... r r r... r r 3... r 3 3 3 4...
Se dă ssemul de ecuaţ derenţale cu condţ nţale Cauc: d sn d 4 d 3 cos d 4 5 3 4 Să se deermne valorle uncţlor pe nervalul [π]. Pasul. Se denesc uncţle caracersce asocae ecuaţle derenţale ce ormează ssemul suda. sn 4 3 4 cos Pasul. Se denesc capeele nervalulu numărul de punce nermedare de calcul ş se deermnă pasul de parcurgere al nervalulu de denţe: a b N b a.34 N
Pasul 3. Se deermnă şrul de nermedare în care se doreşe calcularea valorlor uncţlor necunoscue : N a Pasul 4. Se nroduc condţle nţale Cauc care descru soluţle ssemulu de ecuaţ derenţale: 3 5 4 Pasul 5. Se calculează valoarea uncţlor necunoscue în puncele nermedare olosndu-se meoda lu Euler orma clască: Rez Y Y or Y N Y Y Y Y Y Y Y Y
Pasul 6. Se erag valorle uncţlor necunoscue : Rez 3 4 5 6.68.443.393.469.647.89.5.356.876.383.967.78.667... Rez T Rez T Pasul 7. Se repreznă grac soluţle ssemulu de ecuaţ derenţale: 3 4
Fe ecuaţa derenţală de ordn r: r d r d d d d d d d r... r cu condțle nțale: ' '... r r Se doreșe deermnarea valorlor n care să apromeze câ ma bne valorle eace n ale lu puncele N nd ecdsane.
Se ransormă ecuaţa derenţală de ordn r înr-un ssem de r ecuaţ derenţale ordnare care se rezolvă cu meodele cunoscue dn paragraul preceden: r r r d d d d d d... '... ' ' 3 cu condțle nțale:... ' ' r r r
Se consderă un crcu RLC sere almena de la o ensune oarecare u. Să se deermne varaţa sarcn elecrce ş a nensăţ curenulu elecrc dn crcu în nervalul de mp de 6 ms ce rece de la începerea uncţonăr. L. H C 3 6 F R u 4 sn 5 Se scre eorema a doua a lu Krco penru crcuul RLC sere de ma sus: d L R d u d C Se aplcă legea conservăr sarcn elecrce: d d d q q d ş d d d q
Se rescre ecuaţa negro-derenţală obţnuă dn eorema a doua a lu Krco sub ormă de ecuaţe derenţală de ordnul II: u q C q d d R q d d L Se ransormă ecuaţa derenţală de ordnul II înr-un ssem de ecuaţ derenţale de ordnul I prn aplcarea urmăoarelor noaţ q=q ş q=q u q C q R q d d L q d d q q L q C q R u q d d q q q d d
Pasul. Se deneşe vecorul de uncţ DQ asoca membrulu drep al ssemulu de ecuaţ derenţale. Penru ndc ş se oloseşe asa [ : Q D Q u RQ C Q L Pasul. Se denesc capeele nervalulu de sudu ş numărul de punce nermedare. Indc ş se nroduc cu asa. : 6 3 N Pasul 3. Se deneşe vecorul valorlor nţale: Q Pasul 4. Se apelează uncţa predenă Radap: Sol Radap Q N D Q
Pasul 5. Se separă vecorul puncelor nermedare ş al valorlor uncţlor necunoscue q ş în acese punce dn marcea Sol rezulaă. Separarea vecorlor ş se ace cu auorul comenz Mar Column dn oolbarul Mar combnaţa de ase Crl+6 : Sol q Sol Sol Pasul 6. Se repreznă grac soluţle ssemulu de ecuaţ derenţale: 4 3 3 q 3..4.6..4.6 4 3