Seminr 9 Extreme u legături. Integrle improprii Extreme ondiționte Atuni înd domeniul de definiție l unei funții de mi multe vribile onține, l rîndul său numite euții (numite, generi, legături, problemele de extrem se studiză folosind metod multiplitorilor Lgrnge. E se bzeză pe următorele onepte: Definiţie.: Fie f(x, y), u x R n, y R m, ir f : U R o funție de n + m vribile rele, u vlori rele, de lsă C pe un deshis U R n+m. E se numește funție-sop (obietiv). Presupunem ă există m legături între vribilele x, y, diă m relții de form: g (x, y) =,..., g m (x, y) =, g i : U R, fiere legătură fiind o funție de lsă C (U). Fie M = {(x, y) U g i (x, y) =, i m} mulțime puntelor din U re verifiă legăturile. Se numește punt de extrem lol l funției f u legăturile g i orie punt (x, y ) M, pentru re există o veinătte W U, stfel înît diferenț f(x, y) f(x, y ) să ibă semn onstnt pentru orie (x, y) M W. Teorem pe re se bzeză metod multiplitorilor lui Lgrnge este: Teoremă. (J. L. Lgrnge): Cu notțiile și ontextul de mi sus, presupunem ă (x, y ) este un punt de extrem lol l lui f, u legăturile de mi sus și ă det J g (x, y ) not. === D(g,..., g m ) D(y,..., y m ) (x, y ). Atuni există m numere rele λ,..., λ m, numite multiplitori Lgrnge stfel înît, dă definim funți: F = f + λ g + + λ m g m, puntul (x, y ) să verifie în mod neesr sistemul de n + m euții: u n + m neunosute, λ, x, y. F = F =, g l =, j n, k m, l m, x j k Exemplu: Să se determine extremele lole le funției f(x, y, z) = xyz, u legătur x + y + z =. Soluție: Folosim metod multiplitorilor Lgrnge. Definim funțiile: g(x, y, z) = x + y + z F(x, y, z) = f + λg = xyz + λ(x + y + z ). Extremele erute verifiă sistemul: F x = F = F z = g = yz + λ = xz + λ = xy + λ = x + y + z =
Soluți sistemului este dtă de: λ = 9 (x, y, z ) = ( 3, 3, ) 3 (x, y, z ) = (,, ) λ = (x 3, y 3, z 3 ) = (,, ) (x 4, y 4, z 4 ) = (,, ) În ontinure, studiem ntur puntelor de extrem pentru funți F, fie u mtrie hessină, fie u diferențil totlă de ordin. Găsim ă (x, y, z ) este mxim lol, ir elellte punte nu sînt de extrem. Integrle improprii. Criterii de onvergență Integrlele improprii reprezintă zul în re funți re se integreză nu este mărginită l el puțin unul dintre petele domeniului de integrre. Fie, b R și f : [, b) R o funție lol integrbilă (i.e. integrbilă pe orie intervl ompt [u, v] [, b)). Integrl improprie (în b) f(x) se numește onvergentă dă limit: t lim f(x) t b există și este finită. Vlore limitei este vlore integrlei. În z ontrr, integrl se numește divergentă. Dă f : [, ) R este lol integrbilă, tuni integrl improprie (l ) onvergentă dă limit: t lim f(x) t există și este finită. Vlore limitei este eglă u vlore integrlei. Integrl improprie f(x) se numește bsolut onvergentă dă integrl f(x) se numește f(x) este onvergentă. Criteriile de onvergență pentru integrlele improprii sînt forte semănătore u ele pentru serii (mintiți-vă, ă, de fpt, integrlele definite se onstruies u jutorul sumelor infinite, diă serii, v. sumele Riemnn). Așdr, vem: Criteriul lui Cuhy (generl): Fie f : [, b) R lol integrbilă. Atuni integrl onvergentă dă și numi dă: ε >, b ε [, b).î. x, y (b ε, b), y x f(t)dt < ε. f(t)dt este Criteriul de omprție ( termen u termen ): Fie f, g : [, b) R stfel înît f g. Dă Dă integrl g(x) este onvergentă, tuni și integrl f(x) este divergentă, tuni și integrl g(x) este divergentă.
Criteriul de omprție l limită: Fie f, g : [, b) [, ), stfel înît să existe limit: Dă l [, ), ir Dă l (, ) su l =, ir l = lim x b f(x) g(x). g(x) este onvergentă, tuni g(x) este divergentă, tuni și f(x) este divergentă. Criteriul de omprție u x : Fie R și f : [, ) [, ) lol integrbilă, stfel înît să α existe: l = lim x α f(x). x Dă α > și l <, tuni Dă α, ir < l, tuni f(x) este divergentă. Criteriul de omprție u (b x) α : Fie < b și f : [, b) [, ), lol integrbilă, stfel înît să existe: l = lim x b (b x) α f(x). Dă α < și l <, tuni Dă α și < l, tuni f(x) este divergentă. Criteriul lui Abel: Fie f, g : [, ) R, u proprietățile: f este de lsă C, lim x f(x) =, ir g este ontinuă, ir G(x) = Atuni integrl 3 Integrle u prmetri x f(x)g(x) este onvergentă. f (x) este bsolut onvergentă; f(t)dt este mărginită pe [, ). Fie A și [, b] R un intervl ompt. Considerăm funți f : [, b] A R, stfel înît, pentru orie y A, funți [, b] x f(x, y) R să fie integrbilă Riemnn. Funți definită prin: F : A R, F(y) = se numește integrlă u prmetru. Proprietățile pe re le vom utiliz sînt ele de mi jos. 3 f(x, y)
Continuitte: Dă f : [, b] A R este ontinuă, tuni integrl u prmetru F(y) definită mi sus este funție ontinuă. Formul de derivre (Leibniz): Fie f : [, b] (, d) R o funție ontinuă, stfel înît derivt prțilă f există și este ontinuă pe [, b] (, d). Atuni integrl u prmetru F(y) definită mi sus este derivbilă și re lo: F f (y) = (x, y), y (, d). Formul generlă de derivre: Dă f : [, b] (, d) R este o funție ontinuă, stfel înît derivt prțilă f să existe și să fie ontinuă pe [, b] (, d), definim ϕ, ψ : (, d) [, b) două funții de lsă C. Atuni funți G(y) = ψ(y) ϕ(y) f(x, y) este derivbilă și re lo formul de derivre: G (y) = ψ(y) ϕ(y) f (x, y) + f(ϕ(y), y)ψ (y) f(ϕ(y), y)ϕ (y), y (, d). Shimbre ordinii de integrre: Dă f : [, b] [, d] R este o funție ontinuă, tuni re lo: ( d ) d ( ) f(x, y)dy = f(x, y) dy. 4 Integrle improprii u prmetri Putem onsider um integrle improprii, definite u prmetri, stfel. Luăm o funție f : [, b) A R, stfel înît pentru orie y A, pliți [, b) x f(x, y) R este lol integrbilă și integrl f(x, y) onverge. Atuni putem defini funți: F(x, y) = re se numește integrlă improprie u prmetru. f(x, y), Definiţie 4.: Integrl F(x, y) de mi sus se numește uniform onvergentă (UC) (în rport u y) pe mulțime A dă: ε >, b ε (, b).î. t f(x, y) < ε, t (b ε, b), y A. Pentru este integrle, se pot dpt proprietățile integrlelor u prmetri din sețiune nterioră: Continuitte: Dă f : [, b) A R este ontinuă, ir integrl funți F(x, y) definită mi sus este ontinuă. f(x, y) este UC pe A, tuni Derivre: Fie f : [, b) (, d) R o funție ontinuă, stfel înît derivt prțilă f există și este ontinuă pe [, b) (, d) și pentru orie y (, d) fixt, integrl F(y) = onvergentă. 4 f(x, y) este
f Dă integrl (x, y) este UC pe (, d), tuni integrl improprie u prmetru F(y) de mi sus este derivbilă și re lo: F (y) = f (x, y), y (, d). Shimbre ordinii de integrre: Dă f : [, b) [, d] R este ontinuă și integrl F(y) = f(x, y) este UC pe (, d), tuni re lo: d ( ) f(x, y) dy = ( d ) f(x, y)dy. Criteriul de omprție pentru UC: Fie f : [, b) A R o funție u propriette ă, pentru orie y A, pliți [, b) x f(x, y) R este lol integrbilă. Fie g : [, b) R, stfel înît f(x, y) g(x), x [, b), y A. Dă integrl 4. Funțiile lui Euler g(x) este onvergentă, tuni integrl Următorele integrle improprii u prmetri se numes funțiile lui Euler: Γ(α) = B(p, q) = x α e x, α > x p ( x) q, p >, q >. Proprietățile lor, pe re le vom utiliz în lule, sînt: B(p, q) = B(q, p); f(x, y) este UC. B(p, q) = Γ (p)γ (q) Γ (p+q) ; B(p, q) = Γ() = ; Γ(α + ) = α Γ(α); y p dy; ( + y) p+q Γ(n) = (n )!, n N; Γ ( ) = π; Γ ( n + ) = (n )!! n π, n N; Γ(α)Γ( α) = π sin(απ), α (, ). 5
5 Exeriții. Folosind riteriile de omprție, să se studieze ntur integrlelor improprii: () (b) () (d) (e) (f) (g) x + x x sin x x x x 3 ln x x 3 x x x(ln x) α, α > (D); (C); (D); (C x =, D x D); (C); (C x, D x = D); (D); sin x. Să se rte ă integrl este onvergentă, dr nu este bsolut onvergentă. x Indiție: Pentru x, onvergenț rezultă din riteriul lui Abel. Pentru x =, putem prelungi funți prin ontinuitte, deoree limit s este finită. Pentru AC, se pliă riteriul de omprție. 3. Să se luleze integrlele, folosind derivre sub integrlă: () I(m) = (b) I() = Indiții: π π ln(os x + m sin x), m > ; ln( + os x), < ; os x () Derivăm în rport u m sub integrlă, poi integrăm u shimbre de vribilă tn x = t; (b) Derivăm în rport u sub integrlă și poi integrăm u shimbre de vribilă tn x = t. 4. Să se luleze, folosind funțiile Γ și B, integrlele: () (b) () e xp, p > ; x 4 (x + ) ; x 3 + ; 6
(d) (e) (f) (g) (h) π sin p x os q x, p >, q > ; x p+ ( x m ) q, p, q, m > ; x p e xq, p >, q > ; ln p x, p > ;, n N. ( x n ) n Indiții: () Fem shimbre de vribilă x p = y și obținem Γ( p ); + ) (b) Folosind proprietățile, obținem B( 5 4, 3 4, pe re îl sriem în funție de Γ. Răspuns: π 4 ; ( ) () Fem shimbre de vribilă x 3 = y și găsim 3 B 3, 3 ; (d) Fem shimbre de vribilă sin x = y și sriem în funție de B; (e) x m = y și sriem în funție de B (f) x q = y și sriem în funție de Γ; (g) ln x = y și sriem în funție de Γ; (h) x n = y și sriem în funție de B. 5. Să se determine extremele funțiilor f, u legătur g în zurile: () f(x, y) = x + y 6x y +, g(x, y) = x + y ; (b) f(x, y) = x + y 6x y +, g(x, y) = x + y x y + ; () f(x, y) = 3x + 4y, g(x, y) = x + y + 5. 6. Să se găsesă puntul din plnul x + y z = 5, situt l distnță minimă fță de origine. 7. Să se determine puntele ele mi depărtte de origine re se flă pe suprfț de euție 4x + y + z 8x 4y + 4 =. 8. Să se determine vlorile extreme le funției: pe mulțime {(x, y, z) R 3 x + y + z = }. f : R 3 R, f(x, y, z) = x + y + 3z, 9. Să se determine vlorile extreme le produsului xy, înd x și y sînt oordontele unui punt de pe elips de euție x + y =. 7