Captolul Cuvnte-chee Sstem de puncte materale, Legătur blaterale, Legătur unlaterale, Legătur geometrce, Legătur cnematce, Legătur olonome (ntegrable), Legătur neolonome (nentegrable), Legătur stațonare (scleronome), Legătur nestațonare (reonome), Legătur deale, Legătur reale, Legătur nteroare, Legătur eroare, Grade de lbertate, orțe nteroare, orțe eroare, Ecuațle de mșcare, Impulsul unu sstem de puncte materale,teorema mpulsulu pentru un sstem de puncte materale, Momentul cnetc al unu sstem de puncte materale, Teorema momentulu cnetc pentru un sstem de puncte materale, Energa cnetcă a unu sstem de puncte materale, Lucrul mecanc elementar total, Lucrul mecanc elementar al forțelor eroare, Lucrul mecanc al elementar forțelor nteroare, Puterea forțelor, Teorema energe cnetce pentru un sstem de puncte materale, Teorema conservăr energe mecance pentru ssteme de puncte materale. ND... Noțun generale. Prn sstem de puncte materale se înțelege un număr de corpur rgde modelate ca puncte materale, ale căror mșcăr sunt nterdependente datortă legăturlor exstente între corpur. Legăturle fzce exstente între corpurle unu sstem de puncte materale sunt modelate matematc prn relaț algebrce între parametr de pozțe a corpurlor ș, eventual, dervatele acestora. Se consderă un sstem format dn n puncte materale având masele m ale căror coordonate în raport cu un reper fx R (,,, k ) sunt x, y, z,, n. Legăturle la care pot f supuse corpurle sstemulu pot f împărțte în șase categor, după cum urmează. ) Legătur blaterale ș legătur unlaterale. Legătura blaterală este tpul de legătură ce nu poate f părăstă pe o drecțe normală la curba sau suprafața de sprn, adcă pe o drecțe perpendculară pe vteza punctulu. Legătura blaterală este modelată matematc prntr-o relațe algebrcă între parametr de pozțe a punctelor exprmată prntr-o egaltate de tpul: f x, y, z, x, y, z ). (.) ( n n n Legătura unlaterală poate f părăstă pe drecțe normală sub acțunea unu sstem corespunzător de forțe. legătură unlaterală este modelată matematc prntr-o relațe algebrcă între parametr de pozțe a punctelor exprmată prntr-o negaltate de tpul: ) Legătur geometrce ș legătur cnematce. f x, y, z, x, y, z ). (.) ( n n n Legătura geometrcă este legătura care mpune restrcț numa parametrlor de pozțe nu ș dervatelor acestora. Legătura geometrcă este modelată matematc prntr-o relațe algebrcă între parametr de pozțe a punctelor, care, în cazul legătur blaterale, este de tpul: f x, y, z, x, y, z ). (.3) ( n n n Dacă legătura este unlaterală, egaltatea devne negaltate. 54
Legătura cnematcă este legătura care mpune restrcț atât parametrlor de pozțe cât ș dervatelor acestora. Legătura cnematcă este modelată matematc prntr-o relațe algebrcă între parametr de pozțe a punctelor ș dervatele lor, care, în cazul legătur blaterale, este de tpul: f ( x, y, z, x, y, z, xn, yn, zn, x n, y n, z n ). (.4) Dacă legătura este unlaterală, egaltatea devne negaltate. 3) Legătur olonome (ntegrable) ș legătur neolonome (nentegrable) Această categore de legătur se referă la legăturle geometrce. Dacă o legătură cnematcă poate f transformată, prntr-o operațe de ntegrare, într-o legătură geometrcă, atunc această legătură se spune că este ntegrablă sau olonomă. În caz contrar legătura geometrcă este nentegrablă sau neolonomă. 4) Legătur stațonare (scleronome) ș legătur nestațonare (reonome) legătură este stațonară sau scleronomă dacă în relața algebrcă care o modelează nu apare explct tmpul. De exemplu legăturle modelate de relațle (.), (.) ș (.3) sunt stațonare sau scleronome. legătură este nestațonară sau reonomă dacă tmpul t apare explct în relațle algebrce care o modelează matematc. De exemplu legătura modelată cu relața: f ( x, y, z, x, y, z, xn, yn, zn, x n, y n, z n, t) (.5) este o legătură geometrcă, blaterală ș nestațonară (reonomă). 5) Legătur deale ș legătur reale. Legătura deală este acea legătură în al căre model matematc nu se țne cont de frecăr deoarece acestea se neglează. Dacă frecărle nu se pot negla ș apar în modelul matematc atunc legătura se numește reală. 6) Legătur nteroare ș legătur eroare Legăturle dntre corpurle sstemulu se numesc legătur nteroare ar legăturle dntre corpurle sstemulu ș medu se numesc legătur eroare. legătură face parte dn ma multe categor, de exemplu poate f legătură nteroară, geometrcă, scleronomă, deală ș blaterală. Un sstem format dn n puncte materale are 3n parametr de pozțe varabl în tmp. Dacă între aceșt parametr exstă l relaț de legătură olonome ndependente exprmate prn egaltăț, atunc rămân ndependenț numa p 3 n l parametr de pozțe ș se spne că sstemul are p grade de lbertate. Se face preczarea că arcurle elastce nu mcșorează numărul parametrlor de pozțe ndependenț dec nu reduc numărul gradelor de lbertate ale sstemulu. orțele care acțonează asupra corpurlor unu sstem se împart în două categor ș anume în forțe nteroare ș forțe eroare. orțele nteroare nclud numa forțele dntre corpurle sstemulu ele fnd consecnța nteracțunlor recproce ale corpurlor ce compun sstemul. orțele nteroare satsfac prncpul acțun ș reacțun. orțele eroare nclud forțele date ș forțele de nteracțune ale corpurlor dn sstem cu medul eror acestua. 55
Se consderă două puncte arbtrare ale sstemulu P ș P (, n,, n, ) având vector de pozțe r ș respectv r în raport cu polul. Dacă se notează cu forța cu care acțonează punctul P asupra punctulu P ș cu atunc, datortă prncpulu acțun ș reacțun, au loc egaltățle: forța cu care acțonează punctul P asupra punctulu, (.6) r r, (.7) ceea ce arată că forțele nteroare sunt formate dn perech de vector drect opuș care, după cum s-a arătat, au torsorul nul. Asupra punctulu P acțonează o forță rezultantă nteroară celelalte puncte ale sstemulu: nt datorată numa nteracțun cu nt. (.8) Momentul rezultant în polul al forțe rezultante nteroare care acțonează asupra punctulu P este: P, M nt M ( nt ) r. (.9) Torsorul forțelor nteroare pentru întregul sstem este nul ș are componentele: M nt nt ; (.) n nt M nt. (.) Mșcarea unu sstem de puncte materale este cunoscută atunc când se poate determna mșcarea orcăru punct al sstemulu. Ecuațle de mșcare ale punctelor P ( ma, n ) ale sstemulu sunt:,, n. (.) nt Ca necunoscute ale acestu sstem de ecuaț sunt coordonatele punctelor prezente prn dervatele lor de ordnul al dolea în raport cu tmpul adcă prn accelerațle punctelor ș reacțunle legăturlor eroare ș nteroare. Pentru a putea rezolva sstemul de ecuaț (.) acesta trebue completat cu ecuațle de legătură ș cu condțle nțale pentru momentul t : ( ) r r, r ( ) v,, n. (.3) 56
Prn proectarea relațlor vectorale de ma sus pe axele unu reper unc sau, cel ma adesea, pe axele ma multor repere fxe alese convenabl ș cu pozțle recproce bne preczate, se obțn relaț scalare cu autorul cărora se rezolvă problema dnamc sstemulu. ND... Impulsul unu sstem de puncte materale. Teorema mpulsulu pentru un sstem de puncte materale Se consderă un sstem format dn n puncte materale P având masele pozțe în raport cu un reper fx R (,,, k ) sunt r ș care au vtezele v m a căror vector de r,, n. Impulsul H al unu sstem de puncte materale se defnește ca fnd egal cu suma mpulsurlor (, n ) ale punctelor sstemulu: n n H H mv. (.4) Centrul de masă G al sstemulu de puncte materale are vectorul de pozțe r n n H r m r m, (.5) n M m G unde M este masa întregulu sstem egală cu suma maselor punctelor materale. Dn relața (.5) se obțne egaltatea: MrG r m, (.6) care, prn dervare în raport cu tmpul, conduce la: Mv G v m, (.7) în care v G notează vteza centrulu de masă al sstemulu de puncte materale. Țnând cont de relața (.4), se obțne egaltatea: H Mv G, (.8) care arată că mpulsul unu sstem de puncte materale este egal cu mpulsul centrulu său de masă, ca ș cum în centrul de masă ar f concentrată întreaga masă a sstemulu de puncte materale. Teorema mpulsulu scrsă pentru fecare punct al sstemulu conduce la un sstem de n relaț de forma: H nt,, n (.9) 57
Dacă se sumează aceste relaț, atunc în membru stâng se obțne dervata mpulsulu întregulu sstem: n n n dh d H dt dt H dh dt H, (.) ar în membrul drept, pe baza faptulu că suma forțelor nteroare pentru întregul sstem este zero, se obțne vectorul rezultant al forțelor eroare pentru întregul sstem: n În fnal rezultă egaltatea: n n n t nt. (.) H, (.) care exprmă teorema mpulsulu pentru un sstem de puncte materale care se enunță astfel: Dervata în raport cu tmpul a mpulsulu unu sstem de puncte materale este egală cu vectorul rezultant al forțelor eroare care acțonează asupra sstemulu. Pe de altă parte, dervând în raport cu tmpul relața (.8), se obțne: H Ma G. (.3) Pe baza egaltățlor (.) ș (.3), se poate scre teorema mșcăr centrulu de masă: care se enunță astfel: Ma G, (.4) Centrul de masă al unu sstem de puncte materale se mșcă la fel ca un punct materal a căru masă este egală cu întreaga masă a sstemulu ș asupra cărua acțonează o forță egală cu vectorul rezultant al forțelor eroare. La fel ca ș în cazul unu sngur punct materal, ș în cazul sstemelor de puncte materale poate să abă loc conservarea mpulsulu în cazul în care, adcă atunc când: H. (.5) Aceasta înseamnă că mpulsul se conservă, adcă are, pe tot parcursul mșcăr, aceeaș valoare H ca la momentul nțal t : ceea ce se ma scre: H H constant, (.6) M v Mv constant. (.7) G G 58
În acest caz se poate trage concluza că vteza centrulu de masă v G este constantă ș egală cu vteza v G a acestua dn momentul nțal, ceea ce înseamnă că centrul de masă va avea o mșcare rectlne ș unformă dacă v G sau va rămâne în repaus dacă v G. Trebue mențonat faptul că poate să se producă conservarea mpulsulu numa pe una sau două drecț ale axelor sstemulu de refernță, caz în care, pe acele drecț, vteza centrulu de masă al sstemulu de puncte materale are valoare constantă, dfertă de zero sau egală cu zero. ND..3. Momentul cnetc al unu sstem de puncte materale. Teorema momentulu cnetc pentru un sstem de puncte materale Se consderă un sstem format dn n puncte materale P având masele pozțe în raport cu un reper fx R (,,, k ) sunt r ș care au vtezele v m a căror vector de r,, n. Momentul cnetc al sstemulu de puncte materale K, calculat în raport cu polul, se defnește ca suma momentelor cnetce K (, n ) ale tuturor punctelor sstemulu calculate în raport cu acelaș pol : K n K n r m v. (.8) Teorema momentulu cnetc în raport cu polul scrsă pentru fecare punct al sstemulu conduce la un sstem de n relaț de forma: K M M nt,, n. (.9) Dacă se sumează aceste relaț, atunc în membru stâng se obțne dervata momentulu cnetc al întregulu sstem calculat în raport cu polul : n n dk n d K dt dt K dk dt K, (.3) ar în membrul drept, pe baza faptulu că suma momentelor forțelor nteroare în raport cu polul pentru întregul sstem este zero, se obțne vectorul moment rezultant în raport cu polul al forțelor eroare pentru întregul sstem: n n n n M M M M M M nt nt În fnal, dn (.3) ș (.3) se obțne egaltatea K M (.3) (.3) ce exprmă teorema momentulu cnetc în raport cu polul pentru un sstem de puncte materale care se enunță astfel: 59
Dervata în raport cu tmpul a momentulu cnetc, calculat în raport cu un pol fx, al unu sstem de puncte materale este egală cu vectorul moment rezultant al forțelor eroare calculat în raport cu acelaș pol fx. La fel ca în cazul unu sngur punct materal ș în cazul sstemelor de puncte materale poate să abă loc conservarea momentulu cnetc în raport cu polul în cazul în care M, adcă atunc când: K. (.33) Aceasta înseamnă că momentulu cnetc în raport cu polul se conservă, adcă are, pe tot parcursul mșcăr, aceeaș valoare K ca la momentul nțal t : K K constant. (.34) Trebue mențonat faptul că poate să se producă conservarea momentulu cnetc în raport cu polul numa pe una sau două drecț ale axelor sstemulu de refernță. ND..4. Energa cnetcă, lucrul mecanc ș puterea pentru un sstem de puncte materale. Teoremele energe cnetce Se consderă un sstem format dn n puncte materale P având masele pozțe în raport cu un reper fx R (,,, k ) sunt r ș care au vtezele v m a căror vector de r,, n. Energa cnetcă a unu sstem de puncte materale se defnește ca fnd suma energlor cnetce ale punctelor sstemulu: Lucrul mecanc elementar E n efectuat atât de rezultanta forțelor eroare acțonează asupra punctulu : E n mv n m v. (.35) dl corespunzător punctulu P pentru o deplasare elementară cât ș de rezultanta forțele nteroare d r d r este nt care dl dl dlnt d r nt d r nt,, n. (.36) Lucrul mecanc elementar total, pentru întregul sstem, este dat de suma lucrurlor mecance elementare corespunzătoare fecăru punct al sstemulu: n n dl dl n n dl dlnt dl dlnt dl dlnt Lucrul mecanc elementar al forțelor eroare pentru întregul sstem este:. (.37) dl dr. (.38) 6
Lucrul mecanc elementar al forțelor nteroare pentru întregul sstem este: dlnt nt dr. (.39) Lucrurle mecance elementare (.38) ș (.39) nu sunt, de regulă, dferențale totale exacte. Rezultanta forțelor nteroare care acțonează asupra punctulu P este dată de relața (.8), dec vectorul rezultant al forțelor nteroare pentru întregul sstem este: n n n nt nt (.4) Lucrul mecanc elementar al forțelor nteroare pentru întregul sstem se scre acum: dl n n n d r nt t d r. (.4) Cu această exprese a lucrulu mecanc elementar al forțelor nteroare, lucrul mecanc elementar pentru întregul sstem devne: n n n n n dl d r d r d r. (.4) Pe de altă parte, asupra punctulu P al sstemulu acțonează o forță rezultantă nteroară datorată numa nteracțun cu celelalte puncte ale sstemulu de forma: nt nt. (.43) Lucrul mecanc elementar al forțelor nteroare pentru întregul sstem se scre, folosnd relața de ma sus, astfel: dl n n n n n d r d r nt t d r (.44) unde s-a țnut cont de faptul că, egaltate care rezultă dn prncpul acțun ș reacțun. Relațle (.4) ș (.44) exprmă aceeaș canttate, prn urmare lucrul mecanc al forțelor nteroare pentru întregul sstem reprezntă umătate dn suma lor: 6
dl nt n n d r n n Relața de ma sus se ma scre, pe baza nterschmbabltăț ordn de sumare, sub forma: d r (.45) dlnt n n dr r (.46) care reprezntă o altă formă a lucrulu mecanc elementar al forțelor nteroare. Cu notața: relața (.46) devne: d r r d r, (.47) n n dl nt d r. (.48) altă varantă de screre a lucrulu mecanc al forțelor nteroare pentru întregul sstem se bazează pe faptul că atunc când se elmnă automat umătate dntre termen sume duble (.48), ceea ce revne la o altă formă a exprese lucrulu mecanc al forțelor nteroare pentru întregul sstem: n n n n dlnt dr r dr. (.49) În general lucrul mecanc al forțelor nteroare pentru întregul sstem nu este nul. Un caz partcular mportant îl reprezntă stuața în care sstemul este rgd. Deoarece pătratul dstanțe dntre două puncte P ș P este dferențala aceste mărm este zero: ( r r ) ș reprezntă o mărme constantă, rezultă că d ( r r ) ( r r ) d( r r ). (.5) Pe de altă parte, forța de nteracțune dntre puncte este colnară cu vectorul r r f scrsă k r r ), unde k este o constantă reală. Înlocund această exprese a forțe de ( nteracțune în relața (.46) ș pe baza relațe (.5) se obțne egaltatea: n n dl nt k( r r d r r ), adcă poate =. (.5) Relața de ma sus arată că atunc când sstemul este rgd, lucrul mecanc al forțelor nteroare este nul. 6
Puterea forțelor care acțonează asupra unu punct P al sstemulu de puncte materale este suma dntre puterea forțelor eroare ș puterea forțelor nteroare care acțonează asupra punctulu: P P P v v ) v,, n. (.5) nt nt ( nt Puterea forțelor care acțonează asupra punctelor sstemulu este suma dntre puterea forțelor care acțonează asupra fecăru punct al acestua: P n P n P n P nt P P nt n v n nt v n ( ) v. (.53) Relața anteroară ma arată că puterea forțelor care acțonează asupra sstemulu de puncte materale este egală cu suma dntre puterea forțelor eroare care acțonează asupra punctelor sstemulu nt P n P n ș puterea forțelor nteroare care acțonează asupra punctelor sstemulu v (.54) n n Pnt Pnt v nt. (.55) Teorema energe cnetce pentru un punct materal P al sstemulu este: E P P,, n. (.56) Sumând relațle de ma sus scrse pentru toate punctele sstemulu, se obțne: n n nt n nt n E ( P P ) P P P P. (.57) Pe de altă parte, pe baza faptulu că se poate nversa ordnea dntre operața de dervare ș cea de sumare, prmul termen dn relața anteroară devne: n n n de d E dt dt E d dt nt nt E E. (.58) Relațle (.57) ș (.58) conduc la formularea teoreme energe cnetce pentru un sstem de puncte materale care afrmă că dervata energe cnetce a sstemulu este egală cu suma dntre puterea forțelor eroare ș puterea forțelor nteroare care acțonează asupra punctelor sstemulu: Relața anteroară se poate scre: E P. (.59) P nt de dt P nt care, pe baza relațlor (.36), (.37) ș (.53), conduce la expresa: 63 P, (.6)
n de ( P P dt v nt ) dt dr dl dl ( nt ) ( nt ). (.6) Relața de ma sus exprmă o altă formă a teoreme energe cnetce pentru un sstem de puncte materale care afrmă că dferențala energe cnetce a sstemulu este egală cu lucrul mecanc elementar al tuturor forțelor eroare ș nteroare care acțonează asupra punctelor sstemulu: Dacă se ntegrează relața (.6) se obțne n n de dl dlnt dl. (.6) E E L (.63) ce reprezntă o a trea formă a teoreme energe cnetce care afrmă că varața energe cnetce a unu sstem de puncte materale este egală cu lucrul mecanc efectuat de forțele eroare ș nteroare ce acțonează asupra punctelor sstemulu. În cazul în care forțele eroare sunt conservatve, adcă exstă o funcțe scalară U care depnde numa de pozțe astfel încât lucrul mecanc al forțelor eroare este o dferențală totală exactă, atunc are loc egaltatea: dl du. (.64) Dacă ș forțele nteroare sunt conservatve, adcă exstă o funcțe scalară Unt care depnde numa de pozțe astfel încât lucrul mecanc al forțelor nteroare este ș el o dferențală totală exactă, adcă are loc relața: atunc teorema energe cnetce (.6) se scre: de unde rezultă egaltatea: dlnt du nt, (.65) de dunt, (.66) du d ( E Unt U ). (.67) Pe de altă parte, dacă energa potențală a sstemulu, notată cu V, este defntă ca fnd dată de expresa: V U nt, (.68) U atunc dn relațle (.67) ș (.68) rezultă teorema conservăr energe mecance în cazul unu sstem de puncte materale care afrmă că atunc când forțele eroare ș cele nteroare care acțonează asupra punctelor sstemulu sunt conservatve, atunc energa mecancă totală a întregulu sstem este constantă: E V constant. (.69) 64