Automatic¼a şi Calculatoare, Aaliz¼a matematic¼a SEMINAR 7, semestrul I, 09-00 Limite şi cotiuitate petru fucţii reale de o variabil¼a real¼a. Limite Eerciţiul. S¼a se calculeze limitele 3 + 5 p p + 4 4 5 3 +. lim!. lim + 5 + 6 3 + 5 4 + 3 3 + 3. lim 4 4 4. lim + + 6 3 3 + 4 3 + 3 5. lim 6. lim + 5 3 5 + 4 3 + 3 + 3 6 6 + 4 4 + 7. lim. lim 7 + + 3p p + 3 4 9. lim 0. lim (p 3 + 5 + ) + + 3 3 3 + + 3 5 +3. lim. lim + 3 3 + + 3. lim l(p + + 7 + ) 4. lim cos 3 cos 9 tg(tg ) si(si ) 5. lim 6. lim si 5 tg si cos(tg ) cos(si ) l( + si ) 7. lim. lim (tg si ) tg 3 9. lim. lim! 6 l( + ) l l p tg 3 3 tg 0. lim! 4 si 5 si 3 (tg ) p si Eerciţiul. Calculaţi limitele laterale ale urm¼atoarelor fucţii î puctele precizate (i) f() = e î (ii) f() = î 0 (iii) f() = ( ) (iv) f() = cos î (v) f() = 3+3 î 0 şi Eerciţiul.3 Calculaţi limitele î 0 şi (i) lim cos a (iii) lim +b (ii) lim 3 si si a lim +b!+ lim a +b a b > 0
cos 3 ( (v) lim si ) l(+ ) (vi) lim 3 p + (vii) lim + si arcsi( 4 +) ( +) l p ( + si ) (i) lim p p p () lim +3+ 3 p (i) lim 3 p p + +5+ + +3 3p p +7+ +3 6 (iii) lim p + 3 6 (iv) lim 3 3 + +! + 3 + 5 p p p + 3 + p (vi) lim 5 3 (vii) lim( 3 + 5 3 &0 )l(+si ) ( ) si +cos (i) lim 3 e () lim si cos 3 si (iv) lim (viii) lim (ii) lim (v) lim (viii) lim (i) lim (p + + + 3 p p p + + 4) (ii) lim si( + (iii) lim si si p si cos (iv) lim (v) lim +3 6 + (vi) lim kp p p + 3p +7+ p ) p (vii) lim ( ) tg (viii) lim! (i) lim ( + si ) l () lim ( + cos ) l (i) lim! 4 h si(+ 4 ) si si + e i 6 ( 4) Eerciţiul.4 S¼a se determie umerele reale a b c astfel îcât s¼a e veri cate relaţiile. lim l(p + b + c + a) = 5. lim a + b + 3 + 7 c + 5 = e 3 Eerciţiul.5 S¼a se arate c¼a fucţiile urm¼atoare u au limit¼a î puctele speci cate. f() = si î 0 = 0. f() = cos la + 3. f() = e ( + 3 cos ) la + 4. f() = si( ) l( + ) î 0 = 0 Eerciţiul.6 Folosid regula lui l Hospital, calculaţi limitele tg e si cos. lim. lim si l cos a 3. lim l cos b e cos 3. lim si(si ) tg 5. lim 3 6. lim l 7. lim >0 l. lim( ) tg 9. lim! cos. lim < tg tg 3. lim!e [l( l( l ))] 0. lim(cos p ) cos. lim l( + 4 ) l( + 5 ) 4. lim tg l +
l 5. lim (l ) 6. lim R 4 0 e pt si t dt Eerciţiul.7 Determiaţi asimptotele fucţiei f ( )! R f () =. Cotiuitate Eerciţiul. S¼a se studieze cotiuitatea fucţiilor. Î caz de discotiuitate, precizaţi tipul acesteia cos. f R! R f() = 6= 0 0 = 0 l( + arctg 3) < 0 >< si 3. f R! R f() = = 0 > l 5 5si(3 ) cos > 0 < 6= 3. f R! R f() = + 3 5 = e cos >< dac¼a < 0 si 4. f R! R f() = a dac¼a = 0 ude a R > l( + ) dac¼a > 0 cos 3 cos 7 >< < 0 5. f R! R f() = 3 = 0 > l( + 3 ) > 0 >< 3 [0 ) 6. f R! R f() = = > > 4 >< [0 ) 7. f R! R f() = = cos > > >< [0 ). f [0 )! R, f() = = > e ( ) arctg 9. f R! R, f() = 6= a R a = p < + ( 0) 0. f R! R, f() = a + b [0 ] a b R 4 ( ) 3
. f R! R, f() = ( p ( a) ( 0) be [0 ) a b R >< e ( 0). f R! R, f() = 0 = 0 > l( cos ) (0 ) 3. f R! R, f() = a ( )(si si ) 6= 0 b = 0 Q 4. f R! R f() = R Q 5. f R! R f() = Probleme suplimetare. Limite Eerciţiul. Calculaţi limitele Q + 6 R Q R 06. lim si t dt l( 07 + 06 + + + ). lim t! t 3. lim t! t R t 0 fg05 d 4. lim 06 R 0 [y]05 dy a b R R t 0 jsi j d Eerciţiul. Fie f g (0 )! R dou¼a fucţii astfel îcât lim + g() = 0 şi eist¼a > 0 şi m M > 0 astfel îcât m f() M petru orice > 0 ditr-o veci¼atate a origiii. S¼a se arate c¼a dac¼a lim + g() l = atuci lim + f() g() = e (cosider¼am e + = şi e = 0). Ca aplicaţie, s¼a se calculeze lim si p + p si + Eerciţiul.3 Fie f g R f0g! R dou¼a fucţii astfel îcât lim f() = şi lim g() = + S¼a se arate c¼a dac¼a lim g()(f() ) = atuci lim f() g() = e Ca aplicaţie, s¼a se calculeze lim + e si e 4 Problema.4 Fie f [0 )! R astfel îcât petru orice a 0 lim! f(a + ) = 0 Este adev¼arat c¼a eist¼a lim f()? Problema.5 Fie f [0 )! R astfel îcât petru orice a 0 lim! f(a) = 0 Este adev¼arat c¼a eist¼a lim f()? Problema.6 Fie f [0 )! R astfel îcât petru orice a 0 b > 0 lim! f(a + b) = 0 Este adev¼arat c¼a eist¼a lim f()? 4
. Cotiuitate Eerciţiul.7 Studiaţi cotiuitatea fucţiilor (i) f R! R, (ii) f R! R, (iii) f [0 )! R, f() = lim f() = lim e + e + e + e + + f() = lim + Eerciţiul. Studiaţi cotiuitatea fucţiilor f g R! R date pri f() = ifft j t [ + )g g() = supft j t [ + )g Problema.9 G¼asiţi toate fucţiile cotiue f R! R astfel îcât petru orice R s¼a avem f() + f() = 0 Problema.0 Fie f (0 )! R o fucţie cotiu¼a astfel îcât f () = petru orice (0 ) Ar¼ataţi c¼a f = sau f = Problema. Fie f R! R o fucţie cotiu¼a astfel îcât f r + = f(r) r Q N Ar¼ataţi c¼a f este costat¼a. Problema. Fie f [a b]! R cotiu¼a. S¼a se arate c¼a dac¼a f() 6= 0 petru orice [a b] atuci eist¼a " > 0 astfel îcât petru orice [a b] jf()j " Problema.3 Fie f g R! R cotiue. S¼a se arate c¼a dac¼a f g coicid pe Q atuci coicid pe R (a) S¼a se arate c¼a u eist¼a f [0 ]! (0 ) cotiu¼a şi surjectiv¼a. (b) Daţi eemplu de o fucţie f (0 )! [0 ] cotiu¼a şi surjectiv¼a. Ar¼ataţi c¼a o asemeea fucţie u poate ijectiv¼a. Problema.4 Fie f R! R cotiu¼a astfel îcât f( + ) = f() petru orice R. S¼a se arate c¼a f este m¼argiit¼a şi îşi atige margiile pe R. S¼a se arate c¼a eist¼a R astfel îcât f( + ) = f() Daţi eemplu de o fucţie f R! R cotiu¼a şi m¼argiit¼a care u îşi atige margiile pe R. Problema.5 Fie f [0 ]! R cotiu¼a cu f(0) = f() S¼a se arate c¼a eist¼a c [0 ] astfel îcât f(c) = f(c + ) Problema.6 Fie f [0 ]! R cotiu¼a cu f(0) = f() S¼a se arate c¼a petru orice N eist¼a c [0 ] astfel îcât f(c) = f(c + ) 5
Problema.7 Fie f [0 )! R cotiu¼a. Presupuem c¼a a b R a < b şi eist¼a ( ) (y )! astfel îcât f( )! a f(y )! b S¼a se arate c¼a petru orice c (a b) eist¼a (z )! astfel îcât f(z )! c Problema. Fie f (0 )! ( ) cotiu¼a. Presupuem c¼a eist¼a ( ) (y )! astfel îcât f( )! f(y )! S¼a se arate c¼a eist¼a (z )! astfel îcât f(z )! 0 Eist¼a astfel de fucţii? Problema.9 Fie f R! R o fucţie cotiu¼a şi ijectiv¼a. Fie ( ) u şir diverget de umere reale. S¼a se arate c¼a şirul (f( )) e u are limit¼a, e limita sa u se a ¼a î imagiea fucţiei f Problema.0 Fie K R o mulţime compact¼a şi f K! K cu proprietatea c¼a S¼a se arate c¼a f are puct uic. Problema. Fie f R! R jf() f(y)j < j yj y K 6= y f() = a + b < 0 c + d 0 (i) Determiaţi codiţii asupra parametrilor a b c d astfel îcât f s¼a e strict cresc¼atoare. (ii) Dac¼a a > 0 c > 0 b d ar¼ataţi c¼a f este surjectiv¼a dac¼a şi umai dac¼a f este cotiu¼a, ceea ce revie la b = d Problema. Fie f R! R f() = < 0 a 0 Determiaţi a astfel îcât f s¼a e, pe râd, cotiu¼a, mooto¼a, surjectiv¼a. Problema.3 Fie (a ) u şir de umere strict pozitive, a! 0 Fie f R! R cotiu¼a astfel îcât f(+a ) = f() petru orice R şi orice N. S¼a se arate c¼a f este o fucţie costat¼a. Problema.4 Fie K R o mulţime evid¼a. S¼a se arate c¼a dac¼a orice fucţie cotiu¼a de la K la R este m¼argiit¼a, atuci K este compact¼a. Problema.5 Fie f R! R cotiu¼a. S¼a se arate c¼a f admite pucte e dac¼a şi umai dac¼a f f admite pucte e. Problema.6 Studiaţi cotiuitatea fucţiei f R! R dat¼a pri f() = = m m Z Z (m ) = 0 R Q 6
Problema.7 Fie f R! Rf0g o fucţie astfel îcât f(04) = f(03) şi + f( ) f( ) f( 3 ) f( ) f( ) + f( ) f( 3 ) f( ) f( ) f( ) + f( 3 ) f( ) = 0....... f( ) f( ) f( 3 ) + f( ) ude 3 sut umere reale diferite, iar este u um¼ar atural. Ar¼ataţi c¼a f u este cotiu¼a. Problema. Fie f g [0 ]! [0 ] fucţii cotiue şi bijective. Ar¼ataţi c¼a eist¼a u puct 0 [0 ] astfel îcât g(f( 0 )) = f(g( 0 )). Problema.9 Se cosider¼a fucţia f R f0g! R f() = Precizaţi discotiuit¼aţile fucţiei f şi calculaţi lim f(). Problema.30 f R! R o fucţie cotiu¼a, periodic¼a de perioad¼a (adic¼a f( + ) = f(), R. (i) S¼a se arate c¼a f este m¼argiit¼a şi îşi atige margiile. (ii) S¼a se arate c¼a eist¼a 0 R petru care f( 0 + ) = f( 0 ). Problema.3 S¼a se determie toate fucţiile cotiue f R! R cu proprietatea c¼a oricare ar y R cu y Q, are loc f() f(y) Q. Problema.3 Se d¼a fucţia f R! R. S¼a se arate c¼a f este mooto¼a dac¼a şi umai dac¼a petru orice iterval I R f (I) este iterval. ( f (A) = f R jf() Ag.) Problema.33 Fie f R! R o fuctie cotiua, cu proprietatea ca eista C > 0 astfel icat S¼a se arate c¼a fucţia f este surjectiv¼a. jf() f(y)j C j yj y R 7