Proec PCE-IDEI nr. 241/5.1.211 Tlu: Sseme deermnse ş sochasce cu resrcţ de sare Drecor: Prof. dr. Aurel Răşcanu Rapor şnţfc prvnd mplemenarea proeculu în peroada Ocombre 211 - Decembre 213 În ceea ce urmează vom prezena obecvele eapelor raporae. Preczăm că în cadrul acesor obecve s-au desfăşura acvăţ de documenare ş nformare, de cerceare ş de elaborare de arcole şnţfce rmse spre publcare în revse de specalae ş prezenae la workshop-ur ş confernţe nerne/nernaţonale. De asemenea, în urma saglor de cerceare ale membrlor echpe de cerceare în cenre unversare dn sranaae, au fos demarae, în srânsă legăură cu obecvele şnţfce propuse, no drecţ de cerceare ş au fos elaborae sud prelmnar care urmează a f fnalzae ş rmse spre publcare. Obecvul 1: Problema Skorohod oblcă ş necuaţ varaţonale sochasce asocae O prmă drecţe de cerceare ese sudul probleme exsenţe ş uncăţ soluţe necuaţe varaţonale sochasce IVS) cu reflexe oblcă: 1) dx + HX ) ϕx )d) f, X )d + g, X )db X = x Dom ϕ), >, unde H ese o marce smercă pozv defnă, ϕ ese o funcţe convexă propre.s.c, ar ϕ subdferenţal sa. Prezenţa produsulu HX ) ϕx ) perurbă aâ propreaea Lpschz a prmulu facor câ ş propreaea de monoone a celu de al dolea, problemele rdcae în aceasă suaţe fnd superoare celor dn cazurle clasce deja sudae. Penru începu ese consderaă o problemă Skorohod generalzaă cu npu sngular: 2) dx) + Hx)) ϕx))d) f, x))d + dm) x) = x D := Dom ϕ) = Dom ϕ), >, unde m CR + ; R d ), m) = ş H C 2 b Rd ; R d d ) o marce smercă a.î., x, u: 1 c u 2 Hx)u, u c u 2. O pereche de funcţ x, k) se numeşe soluţe a probleme Skorohod generalzae cu subgradenţ oblc ş screm x, k) SP H ϕ; x, m)) dacă x, k : R + R d sun connue, dk r) ϕ x r)) dr) ş penru orce, x ) + H x r)) dk r) = x + fr, xr))dr + m ). Teoremă. Dacă x, k) SP H ϕ; x, m) aunc exsă C T m T ) crescăoare a.î. s T, x T + k T C T m T ) ş x ) x s) + k k s C T m T ) s + m m s), unde m m repreznă modulul de connuae al funcţe connue m ş f # ) := sup x Domϕ) f, x). Teoremă. In condţ convenable mpuse funcţlor coefcen, IVS??) adme cel puţn o soluţe connuă x, k). Teoremă. Dacă exsă µ L 1 loc R +; R + ) a.î., penru oţ x, y R d, f, x) f, y) µ ) x y, a.e..ş m BV loc R+ ; R d), aunc problema Skorohod generalzaă cu subgradenţ oblc??) adme o uncă soluţe în spaţul CR + ; R d ) CR + ; R d ) BV loc R + ; R d ). Revenm în cele ce urmează la analza calavă a necuaţe varaţonale sochasce generalzae??). Defnţe. I) Daă o bază sochască Ω, F, P, F } ) ş o mşcare Brownană, aunc X, K) : Ω, R d R d de p.s.p.m. connue ese o soluţe are a IVS cu reflexe oblcă??) dacă, P a.s. ω Ω, penru y CR + ; R d ) : X Dom ϕ),, ϕ X ) L 1 loc R +), K BV loc R+ ; R d), K =, 3) X + H Xs) dks = x + f s, Xs) ds + g s, Xs) dbs,, s, s y r) Xr, dkr + s ϕ Xr) dr s ϕ y r)) dr, II) Dacă exsă o bază sochască Ω, F, P, F ), o mşcare Brownană ş X, K ) : Ω R + R d R d p.s.p.m. X ω), K ω)) SP H ϕ; x, M ω)), P a.s. ω Ω, aunc Ω, F, P, F, B, X, K ) repreznă o soluţe slabă a IVS cu reflexe oblcă??). Teoremă. In condţ convenable mpuse funcţlor coefcen, IVS??) adme cel puţn o soluţe slabă. In plus, dacă coefcenţ f ş g sasfac condţ de connuae Lpschz, aunc exsă o uncă soluţe are X, K) S d S d. Exsenţa. Consrum un şr de ecuaţ aproxmane, a căror şr al soluţlor ese gh în C, T ; R 2d+1 ), ceea ce perme aplcarea eoremelor lu Prohorov ş Skorokod. In fnal, ulzând eorema convergenţe domnae a lu Lebesgue puem rece la lmă penru a obţne o soluţe slabă a IVS??). Uncaea. Demonsrăm uncaea raecorală deoarece exsenţa une soluţ slabe împreună cu uncaea raecorală mplcă exsenţa une soluţ ar penru IVS??). Presupunând că X, K), ˆX, ˆK) Sd S d sun două soluţ, consderăm marcea smercă ş src Rezulaele dn cadrul acesu obecv sun pare a lucrăr 1. 1
pozv defnă Q r = H 1 X r) + H 1 ˆX r) ş aplcăm formula de dferenţere a funcţlor compuse penru procesul U r = Q 1/2 r X r ˆX r), ceea ce conduce la fapul că, P a.s., X s = ˆX s penru oţ s. A doua drecţe de cerceare a consa în obţnerea de soluţ slabe aproxmane penru soluţa slabă a une ecuaţ dferenţale sochasce EDS) reflecae precum ş aproxmarea soluţe de vâscosae a unu ssem de ecuaţ cu dervae parţale EDP) cu condţ Neumann la fronera unu domenu need, deschs ş convex G: 4) u, x) + Lu, x) + f, x, u, x)) =, în, T G, u n, x) = h, x, u, x)), pe, T G, u T, x) = g x), x G, = 1, k, unde L ese operaorul dferenţal Lu, x) = 1 2 Trσx) σ x)d 2 u, x)) + b x), Du, x). Ecuaţa de ma sus ese asocaă, prnr-o formulă de p Feynman-Kac, ssemulu forma dnr-o EDS reflecaă ş una rerogradă: X s+ lxr)dk r =x + bxr)dr + σxr)dwr 5) k = 1 X r G}dk r Y s= gx T )+ fr, Xr, Y r)dr U rdm r X hr, Xr, Y r)dkr unde l Cb 2Rd ) a.î. G = x R d : l x) < }, G = x R d : l x) = }, k ese un proces crescăor, ar M X ese parea marngală a procesulu X. Ac b, σ ş g sun funcţ connue, pe când f ş h au un grad ma mare de regularae. Asfel soluţle X, k) ale EDS ş Y, U) ale EDS rerograde sun consderae în sens slab, un pas esenţal consând în verfcarea fapulu că problema ese bne pusă avem exsenţă ş uncae). Scopul ese de a le aproxma cu soluţle unu ssem progresv-rerograd decupla unde ecuaţa progresvă nu ma ese reflecaă: X n s + n δ Xn r ) dr=x + bxn r )dr + σxn r )dw r Ys n= gxn T )+ fr, Xn r, Y n r )dr U n Xn r dmr s hr, Xn r, Y n r )d lxn r ), δxn r ) Ac funcţa δ concde cu I π G înr-o vecnăae a lu G. Un prm rezula de aproxmare ese da de: Teoremă. Şrul X n, Y n ) converge în dsrbuţe la X, Y ) pe spaţul C, T ; R d) C, T ; R m ) înzesra cu produsul opologe convergenţe unforme ş al opologe S. Demonsraţa face apel la o meodă ndrecă, aceea de a arăa ma înâ fapul că şrul ese gh în spaţul Skorohod D, T ; R d+1), înzesra cu opolga S nrodusă de A. Jakubowsk. Folosnd uleror fapul că procesele X n, k n ) ş X, k) sun connue, uncaea soluţe X, k) ş convexaea domenulu G, reuşm să arăăm că X n, k n ) converge la X, k) în dsrbuţe pe C, T ; R d+1). Penru a face conexunea cu EDP??), ese necesar să plasăm ssemul??) înr-un cadru Markovan, permţând ssemulu dnamc să abă ca mp de plecare, T cu condţa nţală X = x. Teoremă. Aplcaţa, x) X,x, Y,x) ese connuă în dsrbuţe. Demonsraţa acesu rezula orgnal face apel la eoreme de compacae de p Prohorov. Ca o consecnţă, funcţa deermnsă u, x) := Y,x ese connuă. Adapând apo un rezula de p Feynman-Kac se araă că: Teoremă. Funcţa u ese soluţe de vâscosae a EDP??), ar şrul soluţlor u n de vâscosae ale urmăoare EDP converge la u: u n, x) + Lun, x) + f, x, u n, x)) lx), nδx) h, x, u n, x)) = u n T, x) = g x),, x), T R d, = 1, k, Obecvul 2: Ecuaţ dferenţale sochasce rerograde cu resrcţ de sare drjae de mşcarea brownană fracţonară) O prmă drecţe de cerceare a consa în sudul IVS rerograde: 6) dy + ϕ Y ) d F, Y, Z ) d Z db, < T Y T = η. Cercearea noasră generalzează rezulaele precedene prvnd exsenţa ş uncaea soluţe IVSR??) prn slăbrea poezelor asupra generaorulu F : asfel se va mpune o condţe de locală mărgnre în locul creşer sublnare),.e. E F # ρ s)ds) p <, unde F ρ # ) def = sup y ρ F, y, ). Fe un spaţu comple de probablae Ω, F, P) ş cu flrarea F : } generaă de o mşcare brownană B : }. Presupunem că η : Ω R m ese F T -măsurabl ar F : Ω, T R m R m k R m sasface poezele sandard de connuae, Lpschzanae) precum ş condţa F ρ # s) ds <, ρ, unde penru ρ, F ρ # ) def = sup F, y, ). Spaţul Sm, p T denoă y ρ p.s.p.m. connue X : Ω, T R m a.î. E sup,t X p <, dacă p >, ar Λ p m, T ) denoă p.s.p.m. X : Ω, T R m a.î. E X 2 d) p/2 < dacă p >. Defnţe. Perechea Y, Z) S m, T Λ m k, T ) de p.s.p.m. ese soluţa penru??) dacă exsă K S m, T a.î. K T + ϕ Y) d + F, Y, Z) d <, a.s. ş dk ϕ Y) d, a.s. Rezulaele dn cadrul acesu obecv sun pare a lucrăr 3. Rezulaele dn cadrul acesu obecv sun pare a lucrăr 7. 2
ş, P-a.s.,, T : 7) Y + K T K = η + F s, Y s, Z s) ds Z sdb s Remarcă. Dacă procesul K ese absolu connuu în rapor cu d aunc exsă p.s.p.m. U a.î. U d <, a.s. ş K = Usds,, T, ar dk ϕ Y ) d înseamnă aunc U ϕ Y ), d-a.e., a.s. Propozţe. În poezele de ma sus dacă Y, Z), Ỹ, Z) sun două soluţ penru??) a.î. E sup e pvs Y s Ỹs p <, aunc C a,p a.î. s,t P-a.s.,, T : ) p/2 8) E F sup e pvs Y s Ỹs p + e 2Vs Z s Z s 2 ds C a,pe F e pv T η η p. s,t Penru a obţne absolua connuae a procesulu K ese necesar să mpunem două condţ suplmenare. Penru u, û ) ϕ fxae, fe 9) Θ a,p def T = C a,pe 2p V T η u p + T p ) û ds) + T p F s, u, ) ds. A 1 ) p 2, β ş b ş κ a.î. Eϕ + η) < ş û, F, u, z) 1 2 û 2 + β + b ) u p + κ z 2 dp d-a.e u, û) ϕ ş z A 2 ) M, L > ş u, û ) ϕ a.î. Eϕ + η) <, η + F s, u, ) ds M, a.s. ş R u + C 1/p a,p e 2 V T M + u + û T cue F # R s)) 2 ds <. Teoremă. În poezele de ma sus, dacă E η p +E F # ρ s)ds) p <, ρ ş dacă una dnre poezele A1 ) sau A 2 ) ese sasfăcuă, aunc exsă o uncă pereche Y, Z) Sm p, T Λ p m k, T ), U Λ2 m, T ) a.î. Y ω) Dom ϕ), dp d- a.e., U ω) ϕ Y ω)), dp d - a.e ş, T 1) Y + U sds = η + F s, Y s, Z s) ds Z sdb s, a.s. Remarcă. Demonsraţa ese împărţă în ma mule eape: consderare ma înâ a probleme aproxmane: 11) Y ε + ϕ ε Ys ε ) ds = η + F s, Ys ε, Zs ε ) ds Zs ε db s, a.s.,, T, unde ϕ ε ese gradenul regularzae Moreau-Yosda a lu ϕ. Apo se va arăa mărgnrea penru Y ε ş Z ε ş penru ϕ ε Y ε s ). Ulmul pas consă în demonsrarea că şrul aproxman ese şr Cauchy ş recerea la lmă. În cazul general înlocum A 2 ) cu poeza In Dom ϕ)). Teoremă. În poezele nţale, dacă E η p + E F # ρ s)ds) p <, ρ, ar In Dom ϕ)), aunc exsă o uncă pereche Y, Z, K) a.î. E K p/2 T < ş, T Y + K T K = η + F s, Y s, Z s) ds Z sdb s, a.s., ş Y T = η, a.s. ş dk ϕ Y ) d, a.s. Remarcă. Demonsraţa, ca ş în cazul preceden, ese împărţă în ma mule eape: consderare ma înâ a probleme aproxmane, demonsrarea exsenţe cu poeza suplmenară: M >, u In Dom ϕ)) a.î. 12) E ϕ η) + η + F s, u, ) ds M, a.s. Apo se va arăa exsenţa fără poeza suplmenară de ma sus. A doua drecţe de cerceare în cadrul acesu obecv ese daă de sudul exsenţe ş uncăţ soluţe urmăoare IVS rerograde de p generalza, consderaă în cadrul spaţlor Hlber: Y + τ τ 13) dks = η + τ τ F s, Ys, Zs) ds + G s, Ys) das τ τ ZsdWs, a.s. dk ϕ Y ) d + ψ Y ) da,, unde W ) ese un proces Wener clndrc, ϕ, ψ sun subdferenţalele a două funcţ nferor semconnue ş connue ϕ ş ψ, procesul A ) ese unul progresv măsurabl, connuu ş crescăor ar τ ese un mp de oprre. Asfel sun obţnue rezulae care generalzează cele dn lucrărle smlare precedene prn consderarea nervalulu de mp aleaor, τ, prn aparţa ermenulu negral de p Lebesgue-Selsjes precum ş prn asumarea une condţ ma slabe) de mărgnre penru generaor F ş G în locul creşer sublneare). Preczăm ca, având în vedere că τ ese un mp de oprre, prezenţa procesulu A ese jusfcaă de posblele aplcaţ ale ecuaţe??) în demonsrarea unor formule probablse de reprezenare a soluţe EDP mulvoce, de p elpc ş cu condţ Neumann la fronera unu domenu dn R d. Vom ma noa cu Q ω) := + A ω). Presupunem că F, G sun monoone în rapor cu a doua varablă ş Lpschz în rapor cu a rea. Defnm Φ, y, z) := 1,τ ) α F, y, z) + 1 α ) G, y) ş Ψ ω,, y) := 1,τ ) α ϕ y) + 1 α ) ψ y). Rezulaele dn cadrul acesu obecv sun pare a lucrăr 4. 3
În rezolvarea probleme avem nevoe ş de poeze de compablae înre ϕ ş ψ scrse cu ajuorul aproxmanelor Yosda ale operaorlor ϕ ş ψ). În poezele de ma sus puem formula acum prmul rezula prncpal. În scopul obţner absolue connuăţ în rapor cu măsura dq a procesulu K care ese pare a soluţe) presupunem în plus că exsă R > a.î. ) 14) E F e 2 sup s Vs η 2 ) + E F τ 2 τ evs Φ s,, ) dq s R, a.s. Teoremă. În poezele de ma sus exsă un uncă soluţe Y, Z, U) a probleme??), care verfcă ecuaţa 15) Y + U sdq s = Y T + Φ s, Y s, Z s) dq s Z sdw s, a.s. cu U Ψ Y ). În ceea ce prveşe demonsraţa sun urmaţ urmăor paş: A. Consderarea probleme aproxmane: 16) Y n + 1,n s) yψ n s, Ys n )dqs = η + 1,n s) Φs, Ys n, Zn s )dqs Zs n dws, P-a.s.,, unde Ψ n ω, s, y) := 1,τω) s) α s ω) ϕ 1/n y) + 1 α s ω)) ψ 1/n y). Şm că exsă o uncă soluţe Y n, Z n ) penru??). B. Rezulae de mărgnre ale lu Y n ş Z n. C. Mărgnrea canăţlor ϕ 1/n Y n) ş ψ 1/n Y n ) pas esenţal în fnalzarea demonsraţe:) Are loc 17) E 1,n τ r) e 2Ṽr ϕ 1/n Yr n ) 2 dr + e 2Ṽr ψ 1/n Yr n ) 2 da r C. D. Ulmul pas consă în demonsrarea propreăţ de şr Cauchy a şrulu Y n, Z n ) ş în recerea la lmă în ecuaţa aproxmană. O problemă mporană consă în rezolvarea probleme de ma sus în lpsa poeze??). Vom obţne asfel noţunea de soluţe slab varaţonală ar al dolea rezula prncpal al sudulu consă în demonsrarea exsenţe ş uncăţ soluţe în aces sens) penru problema consderaă. Având în vedere că IVSR avue în vedere sun consderae în spaţ nfn dmensonale puem alege cazur parculare de funcţ convexe ϕ ş ψ ş obţnem asfel ca o consecnţă a celor două rezulae esenţale ale lucrăr) eoreme de exsenţe ş uncae penru dverse ecuaţ dferenţale sochasce cu dervae parţale EDSDP) de p rerograd: EDSDP cu condţ Drchle la fronera unu domenu, EDSDP cu condţ Neumann la froneră, EDSDP a medlor poroase. A rea drecţe de cerceare în cadrul acesu obecv consă în obţnerea de scheme numerce penru cuplul de EDS progresvrerograde dx = bx )d + σx )dw,, T, 18) dy + F, X, Y, Z ) d ϕ Y ) d + Z dw,, T, X = x, Y T = g X T ), în condţ uzuale Lpschz ş de monoone mpuse coefcenţlor. Rezulae clasce obţnue de căre Pardoux ş Răşcanu în 1998 demonsrează exsenţa ş uncaea soluţe Y, Z, U ),T penru ssemul??). Se demonsrează convergenţa une scheme de aproxmare penru necuaţa varaţonală sochască dn cuplul aneror. Penru o parţe π = = h : n}, cu h := T/n, n N a nervalulu, T, fe X h aproxmarea Euler sandard a procesulu progresv X. Consderăm YT h := gxh T ) drep condţe nţală ş, penru = n 1,, avem, nuv, 19) Y h Y h +1 + h F, X h, Y h, Z h ) ϕ h a Y h ) Z h W +1 W ). Aplcăm meda condţonaă E ) := E F ) ş obţnem că Y h E Y h +1 ) + h F, X h, Y h, Z h ) ϕ h a Y h ). Mulplcăm??) cu W +1 W ) ş aplcăm încă o daă meda condţonaă E penru a obţne că Z h 1 h E Y h +1 W +1 W )). Prn urmare, consrum urmăoarea schema de aproxmare mplcă, care defneşe perechea Ỹ h, Z h ) nducv: ỸT h := gxh T ), Zh T =, 2) Ỹ h := E,h Ỹ h +1 ) + h F, X h, Ỹ h, Z h ) ϕ h a Ỹ h ), Z h := 1 h E,h Ỹ h +1 W +1 W )) ş Ũ h := ϕ h a E,h Ỹ h +1 )), ) unde E,h ) := E F h ş F h := σx h j : j ). Ỹ h ese defn mplc drep soluţa une probleme de punc fx. In plus, penru h > poae f esma numerc înr-un mod efcen. Se poae, de asemenea, defn schema explcă Ỹ h := E,h Ỹ h +1 ) + he,h F, X h, Ỹ h +1, Z h ) ϕ h a Ỹ h +1 ), schemă ce nu necesă aplcarea unu rezula de p punc fx, dar rdcă probleme suplmenare dn punc de vedere al aproxmăr numerce. In connuare ese defnă o versune connuă a scheme de aproxmare??), defnnd, penru fecare, +1, procesul 21) Ȳ h := Ỹ h ) F, X h, Ỹ h, Z h ) ϕ h a Ỹ h ) + Rezulaele dn cadrul acesu obecv sun pare a lucrăr 2. Zh s dw s. 4
Rezulaul prncpal al lucrăr preceda de o sere de esmăr) ese urmăorul: Teoremă. Exsă o consană C >, ce depnde de consanele Lpschz ale coefcenţlor, asfel înca, penru a, 1/2) : sup E Y Ỹ h 2 + E Y Ỹ h 2 + Z Z h 2 d Ch a 1 2a).,T Obecvul 3: Exsenţa ş uncaea soluţlor ecuaţlor dferenţale sochasce cu reflexe generalzaă O prmă drecţe de cerceare a consa în sudul EDS consderae pe domen neconvexe; ma precs avem în vedere EDS mulvocă drjaă de operaorul subdferenţală de p Fréche ϕ unde ϕ ese presupusă doar semconvexă): X + K = ξ + 22) F s, Xs) ds + G s, Xs) dbs,, dk ω) ϕ X ω)) d). Ese mporan să preczăm că în aces caz soluţa X rămâne în domenul Domϕ) care nu ese neapăra mulţme convexă. Reamnm că subdferenţala Fréche ϕ asocaă une funcţ ϕ nferor semconnue.s.c.) ş semconvexe ese defnă de: ϕ x) =, dacă x / Dom ϕ) ş ϕ x) := ˆx R d ϕ y) ϕ x) ˆx, y x : lm nf }. y x y x În scopul demonsrăr exsenţe soluţe penru problema??) vom rezolva ma înâ ecuaţa deermnsă de pul x ) + k ) = x + f s, x s)) ds + m ),, 23) dk ) ϕ x )) d). Observăm că luând în parcular f ş ϕ ca ndcaoarea unu domenu închs, obţnem că??) devne problema clască Skorohod. De asemenea preczăm că în cazul în care ϕ ese char convexă, problema a fos îndelung sudaă; în aces caz domenu de resrcţe Domϕ) devne unul convex. Scopul prncpal ese acela de a exnde aâ problema deermnsă câ ş problema sochască consderae în cazul convex doar) la cazul necuaţlor varaţonale de p non-convex. În ceea ce prveşe poezele să presupunem că x Dom ϕ) = Dom ϕ), npuul m ese o funcţe connuă ar ϕ ese nferor semconnuă ş semconvexă. Mulţmea Domϕ) sasface condţa ble unform exeroare precum ş condţa pcăur unform neroare, adcă, x Domϕ) exsă r, h > a.î. pcăura de vârf x ş de drecţe v, D x v, r ) Domϕ) penru orce v h, unde D x v, r) := conv x, B x + v, r) } = x + u x) : u B x + v, r),, 1 }. Ma presupunem în plus că ϕ x) ϕ y) L + L x y, x, y Dom ϕ). Ma înâ se vor obţne esmăr a-pror ale soluţe de pul urmăor: Teoremă. În poezele de ma sus, exsă o consană C a.î., dacă x, k) ese o soluţe a probleme deermnse??) cu f aunc a) k BV,T ;Rd ) C, x BV,T ;R d ) x + C, b) x ) x s) + k BV s,;rd ) C T,m µ m s), s T, unde, dacă y ese o funcţe connuă, µ y ε) := ε + m y ε), cu m y ε) modulul de unformă connuae asoca lu y. Se va obţne apo prmul rezula prncpal de exsenţă ş uncae a soluţe x, k) penru problema Skorohod generalzaă??) cu f. Se demonsrează că aplcaţa m x : C, T ; R d) C, T ; R d) ese connuă ş, în consecnţă, rezulă exsenţa une soluţ progresv măsurable penru EDS asocaă 24) X ω) + K ω) = ξ ω) + M ω),, ω Ω, dk ω) ϕ X ω)) d). În connuare se vor generalza rezulaele precedene la cazul ecuaţlor ma generale??) ş??), unde f respecv F ) sun connue ş monoone în rapor cu a doua varablă) ş sasface condţa: f # s) ds <, T, unde f # ) := sup f, x) : x Dom ϕ) }. A doua drecţe de cerceare în cadrul acesu obecv ese sudul exsenţe ş uncăţ soluţe penru o problemă Skorohod generalzaă de pul 25) dx ) + ϕ x )) d + C φ x )) d + G, x ))d dm ),, T, x ) = x D C φ) D ϕ), unde C φ ese operaorul subdferenţal Clarke asoca funcţe φ, ϕ ese operaorul subdferenţal clasc asoca une funcţ convexe, propr,.s.c. ϕ, G, x) ese un operaor mulvoc dependen de mp ş m :, T R d ese o funcţe connuă. Vom presupune că exsă consanele pozve c ş M a.î. C φ x) c 1 + x ), penru oţ x R d ş x 1 x 2, y 1 y 2 M x 1 x 2 2, x 1, x 2, y 1, y 2 C φ x ). Funţa ϕ ese convexă, propre,.s.c., cu In Dom ϕ)), ar prvor la funcţa G presupunem exsenţa une funcţ η L 1, T, R +) a.î. x, y R d,, T ş u G, x), v G, y): v u, y x η ) x y 2. Rezulaele dn cadrul acesu obecv sun pare a lucrăr 5. Rezulaele dn cadrul acesu obecv sun pare a lucrăr 8. 5
Defnţe. Un rple de funcţ x, j, l) ese o soluţe a ncluzun dferenţale guvernae de o subdferenţală Clarke??) dacă x, j, l :, T R d sun connue ş ) x ) D ϕ),, ) j, l BV, T ; R d), cu j ) = l ) =, ) x ) + j ) + l ) + β s) ds = x + m ), v) dj ) ϕ x )) d, dl ) C φ x )) d ş β ) G, x )). Teoremă. În poezele menţonae, exsă cel puţn o soluţe x, j, l) a ecuaţe mulvoce??). În plus, dacă M ese o submulţme mărgnă ş echconnuă a spaţulu C, T ; R d), aunc exsă C,M > a.î.: a) Dacă m M ş x, j, l) ese o soluţe a ecuaţe??) aunc x 2 T + j T + l T C,M 1 + x 2). b) Dacă x 1, j 1, l 1 ), x 2, j 2, l 2 ) sun două soluţ, corespunzăoare funcţlor m 1, m 2 ş daelor nţale x 1,, x 2,, aunc x 1 x 2 C,M 1 + x 1, + x 2, ) x 1, x 2, + m 1 m 2 ) 1/2 T. c) Aplcaţa x, m) x : D ϕ) C, T ; R d) C, T ; D ϕ)) ese connuă. În ceea ce prveşe recerea la cazul sochasc, consderăm ecuaţa 26) dx + ϕ X ) d + C φ X ) d + G, X )d Q, X )db,, T, X = ξ D ϕ), în condţ smlare penru funcţle φ ş G. Presupunem că Q.,., x) : Ω, T R d k ese o funcţe Carahéodory ce ese Lpschz în rapor cu x ş Q, ) 2 d <, P-a.s. Rezulaul prncpal al secţun ese enunţa în connuare. Teoremă. Fe ξ L Ω, F, P ; D ϕ)). Dacă M Sd, T, M =, aunc EDS mulvocă 27) dx + ϕ X ) d + C φ X ) d + G, X )d dm,, T, X = ξ. adme o soluţe uncă X, J, K, β) Sd, T S d, T S d, T Lp Ω; L 1, T ; R d)). Dacă, în plus, M se poae reprezena sub forma M = QsdBs, ş, dacă exsă p 2, u In Dom ϕ)) a.î. ) E ξ p p p/2 + E β,u d + E Q, u ) d) 2 < +, cu β G, u,u ), aunc X, K, β) S p d, T Sp/2 d, T L p/2 Ω; BV, T, R d )) L p Ω; L 1, T ; R d )). A rea drecţe de cerceare în cadrul acesu obecv consă în demonsrarea exsenţe ş uncăţ soluţe penru IVS rerogradă cu subgradenţ oblc: 28) dy + H, Y ) ϕ Y ) d) F, Y, Z ) d Z db,, T, Y T = η. Smlar probleme progresve sudae în arcolul 1, ermenul HX) acţonează pe mulţmea subgradenţlor, fap ce va cauza o modfcare a drecţe procesulu feedback. S în aceasă suaţe ermenul H, Y ) ϕ Y ) nu conservă nc propreaea Lpschz a marce H nc maxmala monoone a operaorulu mulvoc ϕ. Sudul va f realza prn consderarea a două probleme care, până la un punc vor benefca de o abordare unară. Penru suaţa în care avem doar o dependenţă de mp penru marcea H demonsrăm uncaea ş exsenţa une soluţ ar penru problema sudaă împreună cu exsenţa unu subgraden feedback de p absolu connuu); în cazul în care H = H, y) vom ulza crer de ghness penru a obţne o soluţe slabă penru ecuaţa??). Defnţe. Daă Ω, F, P, F } ) o bază sochască fxaă ş o mşcare Brownană, spunem că rpleul Y, Z, K) ese o soluţe are penru??) dacă Y, Z, K) : Ω, T R d R d k R d sun p.s.p.m. ş P a.s., Y + H s) dk s = η + dk s ϕ Y s) ds). F s, Y s, Z s) ds Z sdb s,, T, Consderând marcea H ca depnzând ş de sarea ssemulu, puem rescre ecuaţa mulvocă reflecaă aneroară asfel 29) Y + H s, Y s) dk s = η + F s, Y s, Z s) ds M T M ),, T, dk s ϕ Y s) ds), P a.s. unde M ese doar o marngală connuă. Inroducem urmăoare defnţe penru noţunea de soluţe slabă a ecuaţe. Defnţe. Dacă exsă un spaţu de probablae Ω, F, P) ş Y, M, K) a.î. M ese o marngală connuă în rapor cu flrarea F Y,M = σy s, M s : s }) N, Y, K sun p.s.p.m. càdlàg ş are loc ecuaţa??), aunc Ω, F, P, F, Y, M, K ),T repreznă o soluţe slabă penru??). Noăm ν = L s) E Fs η p 1/p ş θ = sup,t E F η p) 1/p ş formulăm în cele ce urmează rezulaele prncpale. Rezulaele dn cadrul acesu obecv sun pare a lucrăr 11. 6
Teoremă. Fe p > 1. In poeze convenabl alese condţ sandard) penru ermen ce apar n??) cu H, y) H ), dacă în plus Ee δθ + E ϕ η) <, penru oţ δ >, aunc??) adme o uncă soluţe are Y, Z, K) Sd, T Λ d k, T ) S d, T a.î., penru oţ δ >, p/2 3) E sup e δpνs Y s p + E e 2δνs Z s ds) 2 <. s,t În plus, exsă o consană pozvă C, ndependenă de T, a.î., P a.s., Y C 1 + E F η p ) 1/p,, T,ar procesul K poae f reprezena prn K = Usds, unde E U 2 d + E ) Z 2 d C E η 2 + E ϕ η) + E F,, ) 2 d. Teoremă. În poeze smlare celor dn rezulaul preceden, ecuaţa??) adme cel puţn o soluţe slabă Ω, F, P, F, B, Y, M, K ),T. Remarcă. Imporanţa suder noţun de soluţe slabă ese jusfcaă de formula de reprezenare Feynman-Kaç. Penru k = 1, se poae demonsra fără dfculae că u, x) = Y,x ese o funcţe connuă ş repreznă o soluţe de vâscozae penru EDP parabolcă semlnară: u, x) + Au, x) + F, x, u, x)) H, u, x)) ϕu, x)),, x), T ) R k ş ut, x) = gx), x R k, unde operaorul A ese generaorul nfnesmal al procesulu Markov Xs,x, s T } ş ese da de A vx) = 1 2 Trσσ ), x)d 2 vx) + b, x), vx). A para drecţe de cerceare în cadrul acesu obecv are drep scop demonsrarea exsenţe ş uncaăţ soluţe Y ), Z )),T penru urmăoarea EDS rerogradă mulvocă ş cu generaor de p me-delayed: dy ) + ϕ Y )) d F, Y ), Z ), Y, Z ) d + Z ) dw ), T, 31) Y T ) = ξ. unde generaorul F, la momenul, T, depnde ş de valorle recue ale soluţe prn nermedul canălor Y ş Z defne de 32) Y := Y + θ)) θ T, ş Z := Z + θ)) θ T,. Menţonăm că vom lua Z) = ş Y ) = Y ) penru orce <. Fe Ω, F, P, F) o bază sochască ş fe o mşcare Brownană sandard în rapor cu baza sochască ş F = F W },T. Impunem poezele sandard de Lpschzanae ale lu F în rapor cu y ş z precum ş F, y, z, y, z ) F, y, z, ȳ, z ) 2 L y + θ) ȳ + θ) 2 αdθ) + L z + θ) z + θ) 2 αdθ) T T ş E T F,,,, ) 2 d <. Daa fnală ξ : Ω R d ese varablă aleaoare F T -măsurablă a.î. E ξ 2 + ϕξ) <. Defnţe. Trpleul Y, Z, K) spunem că ese o soluţe a EDS??) dacă 33) ) Y, Z, K) S 2 T Rd ) H 2 T Rd d ) H 2 T Rd ), ) E T ϕ Y )) d <, ) Y ), K)) ϕ, P dω) d, a.p.. pe Ω, T, v) Y ) + Ks)ds = ξ + F s, Y s), Zs), Y s, Z s)ds Zs)dW s),, T, a.s. În scopul obţner uncă soluţe furnzăm ma înâ esmăr apror ale soluţe. Propozţe. În poezele de ma sus, fe Y, Z, K), Ȳ, Z, K) două soluţ penru??) corespunzăoare daelor ξ, F ) ş ξ, ) F. Dacă orzonul de mp T sau consana Lpschz L sun sufcen de mc aunc exsă anume consane C 1 = C 1 L) > ş C 2 = C 2 L) >, ndependene de L ş T, a.î. Y Ȳ 2 S 2 T Rd ) + Z Z 2 C H 2 T Rd d ) 1e C2T E ξ ξ 2 + E F s, Y s), Zs), Ys, Z s) F s, Ȳ s), Zs), Ȳs, Z s) 2 ds. Rezulaul prncpal al secţun ese urmăorul: Teoremă. În poezele de ma sus, dacă orzonul de mp T sau consana Lpschz L sun sufcen de mc aunc exsă o uncă soluţe Y, Z, K) penru??). Remarcă. Penru a demonsra exsenţa une soluţ penru??) ese ulzaă urmăoarea EDS aproxmană cu generaor de p medelayed: Y ε ) + ϕ ε Y ε s)) ds = ξ + F s, Y ε s), Z ε s), Ys ε, Zε s ) ds Z ε s) dw s). Obecvul 4: Condţ necesare ş sufcene de opmalae penru ecuaţ dferenţale sochasce cu reflexe generalzaă În cadrul acesu obecv sun nvesgae, ma înâ, probleme de conrol opmal asocae, în prncpal, EDS dx) + ϕ X)) d b, X), Θ), Π)) d + σ, X), Θ), Π)) dw ),, T, 34) X) = ξ ), s δ, s Rezulaele dn cadrul acesu obecv sun pare a lucrăr 1. Rezulaele dn cadrul acesu obecv sun pare a lucrăr 6. 7
unde Θ) := δ eλr X+r)dr = e λ δ eλs Xs) ds, Π) := X δ) cu δ o înârzere fxă, λ R ş ξ C δ, ; Dom ϕ) ) arbrar fxa. Fe s, T ), Ω, F, F s} s, P ) o bază sochască. Impunem poeze sandard asupra coefcenţlor Lpschzanae penru b, σ), In Dom ϕ)) ş ξ L 2 Ω; C δ, ; Dom ϕ) )). Defnţe. O pereche de p.s.p.m. connue X, K) : Ω s δ, T R 2d ese soluţe penru??) dacăx L 2 F Ω; C s δ, T ; R d )), X ) Dom ϕ), a.p.. s δ, T, P-a.s., K L 2 F Ω; C s, T ; R d )) L 1 Ω; BV s, T ; R d)), X ) = ξ s), s δ, s ş X ) + K ) = X s) + s b r, X r), Θr), Πr)) dr + 35) ˆ u X r), dk r) + ˆ ϕx r))dr ˆ )ϕu), s σ r, X r), Θr), Πr)) dw r), s, T, P-a.s. u R d, ˆ T, P-a.s. Prmul rezula prncpal ese cel de exsenţă a soluţe: Teoremă. În poezele de ma sus EDS??) are o uncă soluţe. În plus, exsă o consană C = C l, κ, δ, T ) > a.î. E sup X r) 2 + E sup K r) 2 + E K BV δ,t ;Rd ) + E ϕ X r)) dr C 1 + E ξ 2 ) δ, r s,t r s,t s În connuare vom demonsra că funcţa valoare sasface prncpul programăr dnamce PPD) ş că ese soluţe de vâscozae a une ecuaţ cu dervae parţale de p Hamlon-Jacob-Bellman HJB). Menţonăm că în cazul nosru problema de conrol opmal sochasc asocaă unu ssem cu înârzere ese dfcl de raa având în vedere că spaţul daelor nţale ese nfn dmensonal. Touş se poae ca alegând o srucură specfcă de dependenţă de recu, problema de conrol penru ssemele cu înârzere să fe redusă la o problemă fn dmensonală. Clasa U s, T de sraeg de conroale admsble ese defnă sandard ; procesul de conrol u : Ω s, T U ese F-adapa a.î. E f, X), Θ), u)) d + h XT ), ΘT )) <. s Consderăm urmăorul ssem sochasc conrola de pul??) ş funcţonala de cos 36) Js, ξ; u) = E Defnm funcţa valoare asocaă: s ). f, X s,ξ,u ), Θ s,ξ,u ), u) d + h X s,ξ,u T ), Θ s,ξ,u T )) 37) V s, ξ) = nf u Us,T J s, ξ; u), s, ξ), T ) C δ, ; Dom ϕ) ). Teoremă. În poezele de ma sus, penru orce s, ξ) ş u U s, T exsă o uncă pereche X, K) = X s,ξ,u, K s,ξ,u) care ese soluţe a IVS conrolae ş cu înârzere de pul??). Funcţonala de cos ş funcţa valoare vor f bne defne dacă f ş h sun connue ş cu creşere polnomală. Propozţe. Exsă C > a.î. s, ξ), s, ξ ), V s, ξ) C 1 + ξ p δ,, 38) V s, ξ) V s, ξ ) C µ f,h γ, M) + C 1 + ξ p δ, + ξ p δ, 1/2 Γ 1 + s s 1/2 ) 1+ ξ δ, + ξ δ, γ + 1+ ξ δ, + ξ δ, M, unde µ f,h γ, M) ese modulul de connuae al lu f ş h. Penru a demonsra că V sasface PPD vom consdera, penru ɛ >, ecuaţa penalzaă: dxɛ ) + ϕ ɛ X ɛ )) d = b, X ɛ ), Θ ɛ ), Π ɛ ), u )) d + σ, X ɛ ), Θ ɛ ), Z ɛ ), u )) dw ), s, T, 39) X ɛ ) = ξ s), s δ, s, ş vom asoca funcţa valoare penalzaă V ɛ s, ξ). Rezulaul prncpal al acese secţun ese demonsrarea că funcţa valoare V sasface PPD. Având în vedere că V ese defnă pe, T C δ, ; Dom ϕ) ), ecuaţa HJB asocaă va f o EDP nfn dmensonală. În general funcţa valoare V s, ξ) depnde de raecora nţală înr-un mod complca. În scopul smplfcăr probleme, conjecura noasră va f că funcţa valoare V depnde de ξ doar prn nermedul lu x, y), unde x = x ξ) := ξ ) ş y = y ξ) := δ eλr ξ r) dr. Dec problema poae f redusă la o problemă fn dmensonală de conrol opmal lucrând cu noua funcţe valoare Ṽ defnă de Ṽ :, T R 2d R, Ṽ s, x, y) := V s, ξ). Scopul nosru ese să demonsrăm că funcţa valoare Ṽ ese soluţe de vâscozae penru urmăoarea ecuaţe HJB: 4) Ṽ s s, x, y) + sup u U H s, x, y, z, u, D x Ṽ s, x, y), DxxṼ 2 ) s, x, y) x e λδ z λy, D y Ṽ s, x, y) D x Ṽ s, x, y), ϕ x), Ṽ T, x, y) = h x, y) unde H :, T R 3d U R d R d d R ese defn de H s, x, y, z, u, q, p) := b s, x, y, z, u), q + 1 2 Tr σσ ) s, x, y, z, u) p f s, x, y, u). Teoremă. Funcţa valoare Ṽ ese soluţe de vâscozae penru??). A doua drecţe de cerceare în cadrul acesu obecv consă în sablrea condţlor necesare de opmalae sub forma prncpulu de maxm penru conrolul opmal u care mnmzează o funcţonală de cos. Consderăm urmăoarea IVS cu înârzere 41) dx) + ϕx))d b, RX)), u))d + σ, RX)), u))dw ),, T, X) = ξ), δ,, Rezulaele dn cadrul acesu obecv sun pare a lucrăr 9. 8
unde R ese ermenul de înârzere da de Rx)) := x + r)dαr) penru x C δ, T ş, T. Funcţle măsurable b, σ sun δ Lpschz; ϕ : R, + ese o funcţe convexă.s.c. cu n Dom ϕ ; ξ sasface ξ C δ, ş ξ) Dom ϕ. Defnţe. O pereche X, K) de procese connue F-adapae se numeşe soluţe penru??) dacă au loc urmăoarele condţ P-a.s.: K BV,T < ; K) =, δ, ; X) = ξ), δ, ; X) + K) = ξ) + bs, RX)s), us))ds + σs, RX)s), us))dw s),, T ; ş yr) Xr))dKr) + ϕxr))dr ϕyr))dr, y C, T. Teoremă. Fe p > 1. Dacă poezele acese secţun sun sasfăcue, aunc penru orce conrol u, ecuaţa??) are o uncă soluţe X u, K u ). Defnm dervaa de ordnul al dolea a lu ϕ ca unca măsură σ-fnă ş pozvă µ pe BR) a.î. µa, a ) = ϕ + a ) ϕ a), dacă a a. Asupra coefcenţlor ecuaţe de sare ş funcţonale de cos mpunem: b, g, σ ş h sun de clasă C 1 în y, u) R d U cu dervae unform mărgne. Ca ş în cazul EDS, ecuaţa adjuncă asocaă probleme de conrol opmal ese o EDS rerogradă lnară. Inroducem Hamlonanul ssemulu H :, T R d U R R d R prn H, y, u, p, q) = g, y, u) + b, y, u)p + σ, y, u), q. Penru orce conrol u, să consderăm urmăoarea EDSR de p ancpav, pe, T : 42) dp) + p)da u ) = E F F, RX u )), u), p), q))d q), dw ) pt ) = h X u T )), unde F, y, u, p, q) := H +δ H, y), p), q)) + x y s, ys), us), ps), qs))1,t s)λ ds) Teoremă. Dacă u ese un conrol opmal, aunc exsă un proces càdlàg ş cu varaţe mărgnă K)),T a.î. p ) b u, RX )), u )) + q ) σ u, RX )), u )) + g u, RX )), u )), v u ), v U, ddp a.p.., unde p, q ) L 2 F Ω, T ) L2 F Ω, T ; Rd ) ese soluţa ecuaţe 43) dp ) = dk) + E F F, RX )), u ), p ), q )) d q ), dw ) p T ) = h X T )). De asemenea, în cadrul proeculu, a fos elaboraă ş monografa 12. Obecvul acese monograf ese acela de a prezena rezulae mporane dn eora EDS ş a EDSR, împreună cu aplcaţle lor în sudul EDP de ordnul do, lnare ş semlnare, aâ de p elpc câ ş parabolc, cu dverse pur de condţ la froneră. În parcular, nroducem o versune orgnală a celebre formule de reprezenare Feynman Kac. Unul dnre scopurle prncpale ale lucrăr vzează exnder ale acese formule la EDP semlnare, prn nermedul ssemelor cuplae de EDS ş EDSR. Menţonăm ş prezenăm succn capolele monografe: Chaper 1. Background of sochasc analyss pp. 17-92); Chaper 2. Iô s sochasc calculus pp. 93-156); Chaper 3. Sochasc Dfferenal Equaons pp. 157-25); Chaper 4. SDE wh mulvalued drf pp. 251-38); Chaper 5. Backward SDE pp. 381-562); Annexes pp. 563-77). Capolele 1 ş 2 preznă nsrumene ş rezulae unele clasce, alele orgnale) dn eora proceselor sochasce ş de analză nelnară ş analză convexă. Inroducem, oodaă, ehnc specale de demonsraţe ce vor f folose, în mod repea, pe parcursul îneg lucrăr. Capolul 3 furnzează o analză compleă ş dealaă a eore exsenţe ş uncăţ soluţlor ar penru EDS generale, a căror coefcenţ po f aleaor. Analzăm aâ cazul Lpschz câ ş cel în care coefcenţ sasfac condţ de monoone. Consderăm suaţ în care avem condţ de monoone globale dar ş cazul în care sun doar condţ locale. În connuare sudem EDS cu coefcenţ deermnş ş prezenăm propreaea Markov a soluţe. Capolul se închee prn furnzarea legăur cu EDP de ordnul do, elpce sau parabolce, pe înregul spaţu sau cu condţ Drchle la froneră ş ese demonsraă o nouă versune a eoreme de reprezenare Feynman Kac. Capolul 4 sudază EDS mulvoce, coefcenul de drf fnd guverna de operaorul subdferenţal al une funcţ convexe. Consderăm cazul reflexe normale, dar ş cel al reflexe oblce. În connuare ese analzaă dn nou propreaea Markov a soluţe ecuaţe reflecae ş sun sable formule de reprezenare de p Feynman-Kac penru EDP parabolce ş elpce cu condţ Neumann la froneră. Capolul 5 ese dedca sudulu EDSR. Consderăm, dn nou, ecuaţ cu coefcenţ Lpschz sau ce sasfac condţ de monoone. Spre deosebre de cazul progresv, nu exsă o eore generală prvnd exsenţa ş uncaea penru cazul coefcenţlor local Lpschz sau ce sasfac condţ de monoone locale. Consderăm EDSR guvernae de operaorul subdferenţal al une funcţ convexe, fap ce perme sudul EDSR reflecae la fronera unu domenu convex. Sudul EDSR reflecae pe un domenu ne-convex rămâne deocamdaă o problemă deschsă. Rezulae de reprezenare smlare celor dn capolele aneroare sun analzae în aces capol. Ulmul capol conţne rezulae ehnce varae ce sun folose pe parcursul lucrăr. În parcular, sun dscuae câeva rezulae de uncae a soluţlor de vâscozae penru EDP de ordnul do ş penru sseme de EDP. Majoraea rezulaelor de reprezenare probablsce sun furnzae în lmbajul soluţlor de vâscozae, ceea ce perme poeze mnmale mpuse coefcenţlor ecuaţlor. În cadrul proeculu, do membr, respecv Bakarme Domande ş Anouar Gassous, ş-au fnalza ezele de docora sub conducerea d-lu prof. dr. Aurel Răşcanu. Dl. B. Domande a susţnul în şednţă publcă în daa de 18.9.213, eza de docora cu lul Ecuaţ dferenţale sochasce cu înârzere, conrolae, ar dl. A. Gassous a susţnul în cadrul comse nerne în daa de 25.9.213, eza de docora cu lul Reflexa oblcă în modele sochasce, susţnere în şednţă publcă fnd programaă penru daa de 7.11.213. 9
În scopul anger rezulaelor spulae de obecvele şnţfce propuse ş a demarăr unor no drecţ de cerceare s-au efecua sag de cerceare în srănăae ca acva asocae obecvelor menţonae) de căre membr echpe de cerceare: Lucan Macuc ş Adran Zălnescu: deplasăr la Unversé du Sud-Toulon-Var, Franţa, în lunle mare ş noembre 212; colaborare cu Prof. Khaled Bahlal, concrezaa prn rezulae obţnue în arcolul 3; Aurel Răşcanu: deplasare la Unversé de Breagne Occdenale, Bres, Franţa, în peroada 26.4.212-11.5.212; colaborare şnţfcă cu Prof. Raner Buckdahn cerceăor în cadrul acesu proec) în vederea redacăr arcolulu 5; Aurel Răşcanu: deplasare la Unversé du Provence, Marsla, Franţa, în peroada 2.6.212-9.6.212; colaborare şnţfcă cu Prof. Eenne Pardoux în vederea fnalzăr monografe comune 12. Eduard Roensen: deplasare la Unversé Cad Ayyad, Faculé des Scences Semlala, Marrakesh, Morocco, în peroada 2.4.213 2.4.213; colaborare cu Prof. Eddahb M hamed. Obecvele şnţfce au fos realzae în oalae prn publcarea sau rmerea spre publcare a urmăoarelor arcole: 1. A. Gassous, A. Răşcanu, E.-P. Roensen, Sochasc varaonal nequales wh oblque subgradens, Sochasc Processes and her Applcaons IF=.953, SRI=1.666), 122 7), 2668-27, 212. 2. L. Macuc, E.-P. Roensen, Numercal Schemes for Mulvalued Backward Sochasc Dfferenal Sysems, Cenral European Journal of Mahemacs IF=.45, SRI=.625), 1 2), 693-72, 212. 3. K. Bahlal, L. Macuc, A. Zălnescu, Penalzaon mehod for a nonlnear Neumann PDE va weak soluons of refleced SDEs, accepa spre publcare la revsa Elecronc Journal of Probably IF=.785, SRI=1.414) hp://arxv.org/abs/138.2173). 4. L. Macuc, A. Răşcanu, Backward Sochasc Varaonal Inequales on Random Inerval, rms spre publcare la revsa Bernoull IF=.935, SRI=1.816), afla în procesul de recenze dn 7.6.212 hp://arxv.org/abs/1112.5792). 5. R. Buckdahn, L. Macuc, A. Răşcanu, Sochasc Varaonal Inequales on Non-Convex Domans, rms spre publcare la revsa Annals of Probably IF=1.38, SRI=2.545), afla în procesul de recenze dn 3.1.212. 6. B. Domande, L. Macuc, Mulvalued Sochasc Delay Dfferenal Equaons and Relaed Sochasc Conrol Problems, rms spre publcare la revsa Elecronc Journal of Probably IF=.785, SRI=1.414) hp://arxv.org/abs/135.73), afla în procesul de recenze dn 29.3.213. 7. L. Macuc, A. Răşcanu, A. Zălnescu, Backward sochasc varaonal nequales wh locally bounded generaors, accepa spre publcare la revsa Annals of he Alexandru Ioan Cuza Unversy - Mahemacs IF=.188). 8. A. Gassous, A Skorohod problem drven by Clarke subdfferenal and applcaons o SDEs, accepa spre publcare la revsa Annals of he Alexandru Ioan Cuza Unversy - Mahemacs IF=.188). 9. B. Domande, A. Zălnescu, Maxmum prncple for an opmal conrol problem assocaed o a sochasc varaonal nequaly wh delay, rms spre publcare la revsa Elecronc Journal of Probably IF=.785, SRI=1.414), afla în procesul de recenze dn 1.4.213. 1. B. Domande, L. Macuc, Mulvalued Backward Sochasc Dfferenal Equaons wh Tme Delayed Generaors, rms spre publcare la revsa Cenral European Journal of Mahemacs IF=.45, SRI=.625) hp://arxv.org/abs/135.717), afla în procesul de recenze dn 25.4.213. Pe daa de 13.9.213 a fos accepa de căre recenzor ş rebue rmsă versunea revzuă, în urma observaţlor prme. 11. A. Gassous, A. Răşcanu, E. Roensen, Mulvalued backward sochasc dfferenal equaons wh oblque subgradens, rms spre publcare la revsa Probably Theory and Relaed Felds IF=1.394, SRI=2.569), afla în procesul de recenze dn 3.1.213 hp://arxv.org/abs/131.977). De asemenea, în cadrul proeculu, a fos elaboraă ş monografa: 12. E. Pardoux, A. Răşcanu, Sochasc Dfferenal Equaons, Backward SDEs, Paral Dfferenal Equaons, care accepaă spre publcare la edura Sprnger, coleca Sochasc Modellng and Appled Probably, aprox. 73 pagn, nr. conrac 2115 dn 13.6.213. Achzţonarea de echpamene s-a desfăşura conform planfcăr. În ceea ceea ce prveşe dsemnarea rezulaelor obţnue, colaborarea cu alţ cerceăor în domenu precum ş prezenarea ş analza rezulaelor parţale a fos realzaă în cadrul Semnarulu Snţfc de Analză Sochască ş Aplcaţ dn cadrul Faculăţ de Maemacă, Unversaea Alexandru Ioan Cuza Iaş, al lucrărlor şnţfce ale Insuulu de Maemacă Ocav Mayer, Academa Română, flala Iaş. precum ş prn parcparea la manfesăr şnţfce nernaţonale: L. Macuc, Workshop on Deermnsc and Sochasc Dynamcal Sysems and Applcaons, Generalzed BSDE on Random Tme Inerval; Varaonal Weak Formulaon, Vorone, Româna, 3-7 sepembre, 212. L. Macuc, Workshop on Sochasc Analyss and Applcaons, Varaonal Weak Soluon of Backward Sochasc Varaonal Inequales, El Kelaa Mgouna, Maroc, 9-14 aprle 212. A. Răşcanu, Workshop on Deermnsc and Sochasc Dynamcal Sysems and Applcaons, From Deermnsc o Sochasc Varaonal Inequales n Non-Convex Domans, Vorone, Româna, 3-7 sepembre, 212. E. Roensen, 8h World Congress n Probably and Sascs, Qualave and quanave resuls for sochasc varaonal nequales wh oblque subgradens, Isanbul, Turca, 9-14 ule, 212. E. Roensen, Workshop on Deermnsc and Sochasc Dynamcal Sysems and Applcaons, A generalzed Skorohod problem wh oblque reflecon, Vorone, Româna, 3-7 sepembre, 212. A. Zălnescu, Workshop on Sochasc Analyss and Applcaons, A penalzaon mehod for he weak soluon of refleced SDE, El Kelaa Mgouna, Maroc, 9-14 aprle 212. A. Zălnescu, 6h Inernaonal Conference on Sochasc Analyss and Is Applcaons, Sochasc varaonal nequales drven by Posson random measures, Bedlewo, Polona, 1-14 Sepembre 212. Drecor conrac Prof. dr. Aurel Răşcanu 1