NVESAEA VASLE ALECSAND dn BACĂ FACLAEA de NGNEE Conf. unv. dr. ng. MHA P BEZNŢ BAZELE ELECOEHNC Crcue eecrce nare Edura ALMA MAE BACĂ,
eferenţ şnţfc: Prof. unv. dr. ng. Gheorghe HAZ Conf. unv. dr. ng. Şefan ABABE Descrerea CP a Bboec Naţonae a omâne P-BEZNŢ, MHA Bazee eecroehnc : crcue eecrce nare / Puu-Berznţu Mha. - Bacău : Ama Maer, 9 Bbogr. SBN 978-66-57-58-9 6. ehnoredacare: Mha P-BEZNŢ
Prefaţă eora câmpuu eecromagnec, împreună cu eora crcueor eecrce, consue cee două mar părţ ae cursuu de Bazee eecroehnc prn care se asgură pregărea fundamenaă de specaae în domenu eecroehnc ngnereş. Prezenu curs, Crcue eecrce nare, după cum ndcă ş u, se mează a sudu crcueor eecrce nare dar, acoo unde ese cazu, se fac ş referr prvoare a nfuenţa nenarăţ caracerscor unor eemene de crcu reae, înâne frecven în praccă, cum sun condensaoaree reae sau bobnee cu mez de fer. Cursu a fos eabora, în prmu rând, penru uzu sudenţor de a specazăre Energecă ndusraă ş Mecaroncă de a Facuaea de ngnere a nversăţ dn Bacău, dar ese u uuror ceor neresaţ în dobândrea ş aprofundarea cunoşnţeor eorece fundamenae asupra crcueor ş reţeeor eecrce înâne în oae domene ehnc acuae. Baza eorecă necesară reazăr unu sudu rguros fundamena şnţfc a crcueor eecrce ese maerazaă, în mod adecva, în prma pare a cursuu de Bazee eecroehnc Eecromagnesmu eabora de aceaş auor în prma edţe dn anu. Prn urmare, ege ş noţune fundamenae ae eore câmpuu eecromagnec care sau a baza eore crcueor eecrce se mpun a f cunoscue în preaab suduu care se efecuează prn aceasă ucrare. În aceasă prmă edţe cursu ese srucura în op capoe în care sun raae prncpaee pur de crcue eecrce ş regmur de funcţonare ae acesora care preznă neres penru apcaţe ngnereş. Prmu capo ese dedca suduu crcueor eecrce nare de curen connuu, caracerzae de regmu eecrocnec saţonar în care exsă numa curenu eecrc de conducţe în conducore.
În capou do se anazează comporarea prncpaeor eemene de crcu, nare, nenare ş paramerce rezsoru, bobna ş condensaoru în regm varab în mp. În capoee re ş paru sun anazae crcuee eecrce nare cu paramer concenraţ, monofazae ş respecv rfazae, în regm permanen snusoda. În capou cnc sun anazaţ cuadrpo ş free eecrce de frecvenţă în regm permanen snusoda, ar în capou şase sun sudae ecuaţe nor eecrce ung în mărm nsananee ş în regm permanen snusoda. Capou şape ese dedca suduu regmuu perodc nesnusoda în crcuee eecrce nare cu paramer concenraţ. mu capo ese desna suduu regmuu ranzoru a crcueor eecrce. Sun anazae, prn meoda drecă ş prn meoda operaţonaă, prncpaee regmur ranzor înâne frecven în praccă în funcţonarea crcueor eecrce de curen connuu ş de curen aernav. Obecvu urmăr în concepţa ş eaborarea acesu curs a consa în snezarea une părţ a eore crcueor eecrce care să asgure cunoşnţee de bază necesare pregăr de specaae a ngneror dn oae domene eecroehnc. Auoru va f recunoscăor penru evenuaee observaţ ş suges în vederea îmbunăăţr sau compeăr une urmăoare edţ a acesu curs. Auoru 4
C P N S Prefaţă.... CCE ELECCE LNAE DE CEN CONN.. Srucura ş casfcarea crcueor eecrce... 9.. Apcarea eg conducţe eecrce în sudu crcueor eecrce..... Caracersce ensune curen (vo amper) ae eemeneor de crcu....4. Surse de energe (generaoare).....4.. Generaoru de ensune....4.. Generaoru de curen.. 4.5. eoremee u Krchhoff forma opoogcă... 5.6. ransfgurarea crcueor eecrce nare de curen connuu... 7.6.. Echvaenţa ş ransfguraţa crcueor eecrce.... 7.6.. Echvaenţa surseor de ensune ş de curen.. 8.6.. Crcue sere... 9.6.4. Crcue parae (dervaţe)...6.5. ransfgurarea sea pogon compe....7. Noţun de eora grafuror..... 7.7.. Grafur. Eemene opoogce.. 7.7.. Anaza reţeeor eecrce cu eoremee u Krchhoff. Anaza ochuror ş a noduror..... 8.7.. Marcee de ncdenţă ae auror a nodur ş ochur. Formee marceae ae ecuaţor u Krchhoff...8. Meode de anază a reţeeor eecrce nare de curen connuu...8.. Anaza reţeeor eecrce cu eoremee u Krchhoff.8.. Anaza reţeeor eecrce cu meoda curenţor ccc... 6.8.. Anaza reţeeor eecrce cu meoda poenţaeor a nodur. 8.9. eoremee reţeeor eecrce de curen connuu 4.9.. eoremee generaoareor echvaene de ensune ş de curen.. 4.9.. eorema suprapuner efeceor (superpozţe). eorema recprocăţ. 4.9.. eorema ransferuu maxm de puere... 44.9.4. eorema conservăr pueror. Banţu pueror produse ş consumae... 45 5
. CCE ELECCE ÎN EGM VAABL.. poeze de cacu. Casfcare... 47.. Eemene de crcu dpoare... 48... Casfcarea eemeneor de crcu dpoare... 48... ezsoru în regm varab... 49... Bobna (nducoru) în regm varab... 5..4. Condensaoru (capacoru) în regm varab...... 55. CCE ELECCE MONOFAZAE ÎN EGM PEMANEN SNSODAL.. Mărm varabe. Mărm snusodae... 57... Mărm varabe, mărm perodce, mărm aernave. 57... Mărm snusodae (armonce)..... 59.. Puer în crcue monofazae în regm snusoda... 6.. eprezenăr smboce ae mărmor snusodae... 64... eprezenarea geomercă a mărmor snusodae... 64... eprezenarea anacă prn mărm compexe... 7... Caracerzarea în compex a crcueor dpoare în r. p. s.... 7..4. Puerea compexă... 7..5. Forma în compex a eg u Ohm (ecuaţa u Jouber)... 74..6. Anaza în compex a crcuuu LC sere. ezonanţa de ensun... 76..7. Anaza în compex a crcuuu LC parae. ezonanţa de curenţ..... 78.4. Anaza în compex a reţeeor eecrce nare... 8.4.. Anaza în compex a reţeeor eecrce cu eoremee u Krchhoff.. 8.4.. Anaza în compex a reţeeor eecrce cu meoda curenţor ccc. 8.4.. Anaza în compex a reţeeor eecrce cu meoda poenţaeor a nodur 84.5. eorema conservăr pueror compexe, acve ş reacve... 87.6. eorema ransferuu maxm de puere acvă 88.7. Lna monofazaă scură.. 9.7.. Lna monofazaă scură fără efece ransversae.... 9.7.. Lna monofazaă scură cu efece ransversae....... 9 4. CCE ELECCE FAZAE ÎN EGM PEMANEN SNSODAL 4.. Sseme pofazae smerce de mărm snusodae... 9 4.. Sseme rfazae smerce de mărm snusodae...... 95 4.. Conexune ssemeor rfazae...... 97 4... Conexunea în sea a ssemeor rfazae.... 99 4... Conexunea în rungh a ssemeor rfazae..... 4.4. Anaza crcueor eecrce nare rfazae, smerce ş echbrae în regm permanen snusoda...... 4.4.. Crcuu în conexunea sea cu fr neuru.. 4.4.. Crcuu în conexunea sea fără fr neuru.... 5 4.4.. Crcuu în conexunea rungh 7 4.4.4. Puer în reţee rfazae echbrae amenae cu ensun smerce 8 4.5. Crcueor rfazae dezechbrae amenae cu ensun nesmerce în regm permanen snusoda...... 4.5.. Anaza prn meoda drecă a crcueor rfazae dezechbrae amenae cu ensun nesmerce... 4.5... Crcuu în conexunea sea cu fr neuru.. 4.5... Crcuu în conexunea fără fr neuru... 4.5... Crcuu în conexunea rungh..... 6
4.5.. Puer în crcue rfazae dezechbrae amenae cu ensun nesmerce... 4 4.6. Anaza crcueor rfazae dezechbrae prn meoda componeneor smerce...... 5 4.6.. Meoda componeneor smerce....... 5 4.6.. Propreăţ ae componeneor smerce ae ensunor ş curenţor 7 4.6.. Anaza crcueor rfazae echbrae amenae cu ensun nesmerce prn meoda componeneor smerce... 8 4.6... mpedanţe sace ş dnamce. 8 4.6... eceporu rfaza echbra coneca în sea cu fr neuru 9 4.6... eceporu rfaza echbra coneca în sea fără fr neuru. 4.6.4. Anaza crcueor rfazae dezechbrae prn meoda componeneor smerce... 4.6.4.. Prncp generae.... 4.6.4.. Sudu regmuror de avare ae reţeeor rfazae cu meoda componeneor smerce. 4.6.5. Cacuu pueror în crcue rfazae cu auoru componeneor smerce. 7 4.6.6. Fre penru componene smerce.... 7 5. CADPOL ELECC 5.. Generaăţ... 9 5.. Ecuaţe ş paramer cuadrpoor nar, pasv ş recproc în r.p.s... 5... Forma fundamenaă a ecuaţor cuadrpoor. Paramer fundamena... 5... Ecuaţe în mpedanţe... 5... Ecuaţe în admanţe.... 5..4. Ecuaţe hbrde... 5.. mpedanţe caracersce ae cuadrpoor nar, pasv... 5... mpedanţe de nrare... 5... mpedanţe caracersce sau erave... 4 5... mpedanţe magn.. 5 5.4. Scheme echvaene a cuadrpoor... 5 5.4.. Schema echvaenă în... 5 5.4.. Schema echvaenă în π... 6 5.5. Conexune cuadrpoor... 7 5.6. Ecuaţe canonce ae cuadrpoor nar, recproc ş smerc 9 5.7. Fre eecrce de frecvenţă.. 4 6. LN ELECCE LNG ÎN EGM PEMANEN SNSODAL 6.. Ecuaţe nor ung în mărm nsananee. Paramer nec prmar... 45 6.. Ecuaţe nor ung în regm armonc permanen. 48 6.. ndee de ensune ş de curen ae nor ung în regm snusoda.. 5 7. EGML PEODC NESNSODAL 7.. Generaăţ... 5 7.. Anaza armoncă a mărmor perodce.. 5 7... Dezvoarea în sere Fourer a funcţor perodce nesnusodae... 5 7... Forme parcuare ae dezvoăr în sere Fourer... 55 7... Sera Fourer compexă... 56 7..4. Specru de frecvenţă a une mărm perodce... 57 7..5. Propreăţ ae mărmor perodce.... 58 7.. Puer în regm perodc nesnusoda... 59 7.4. Anaza crcueor nare în regm permanen perodc nesnusoda. 6 7.4.. Crcue smpe cu eemene nare în regm nesnusoda...... 6 7.4.. Crcue nare rfazae echbrae sub ensun smerce nesnusodae. 64 7
8. EGML ANZO AL CCELO ELECCE LNAE 8.. Consderaţ generae...... 67 8.. Comuare. eoremee comuăr... 68 8.. Anaza crcueor nare în regm ranzoru prn meoda drecă. 69 8... Crcue eecrce nare de ordnu... 69 8... Crcuu L sere... 69 8... egmu ranzoru a conecarea crcuuu C sere a o sursă de ensune consană... 7 8... Crcue eecrce nare de ordnu... 75 8... egmu ranzoru a conecarea crcuuu LC sere a o sursă de ensune consană.. 75 8... egmu ranzoru a conecarea crcuuu LC sere a o sursă de ensune snusodaă... 8 8.4. Meoda operaţonaă de anază a crcueor eecrce nare în regm ranzoru... 84 8.4.. Meoda ransformae Lapace...... 84 8.4... ransformaa Lapace. Funcţ orgna ş magn Lapace... 84 8.4... eoreme ae ransformae Lapace penru sabrea funcţor magn 86 8.4.. Forma operaţonaă a ecuaţor crcueor eecrce nare... 89 8.4... Preczăr prvnd apcarea ransformae Lapace a sudu crcueor eecrce...... 89 8.4... Crcue eecrce cu condţ nţae dfere de zero. 9 Bbografe... 9 8
. CCE ELECCE LNAE DE CEN CONN.. SCA Ş CLASFCAEA CCELO ELECCE n crcu eecrc ese un ansambu de generaoare (surse de energe) ş recepoare cu egăur eecrce înre ee. n ansambu de crcue cu egăură eecrcă înre ee consue o reţea eecrcă. n crcu eecrc de curen connuu ese consu, în genera, dnr-un ansambu de surse de energe ş rezsoare, paramer care nervn în aces caz fnd rezsenţee rezsoareor ş ensune eecromooare sau curenţ surseor de ensune, respecv de curen, precum ş rezsenţee sau conducanţee neroare ae acesor surse. O aură a une reţee eecrce repreznă o porţune neramfcaă cuprnsă înre două exremăţ nume nodur. O succesune de aur după un conur închs consue un och sau o bucă a reţee eecrce. Srucura orcăre reţee eecrce ese compe deermnaă dacă se cunosc: număru de aur (), număru de nodur (n) ş număru ochuror sau buceor ndependene sau fundamenae (o). Se numeşe och ndependen sau fundamena (bucă ndependenă sau fundamenaă), ace och (bucă) care conţne ce puţn o aură necomună cu ae ochur (buce) ae reţee. Exsă eorema u Euer care dă () număru ochuror (buceor) ndependene: () 4 [] 5 E 5 [] () E 6 [] 6 Fg... (4) o n + (.) Pe schema reţee eecrce de curen connuu dn fgura., s-au noa asfe: (), (), (), (4) nodur, n 4;,,..., 6 aur, 6; [], [], [] ochur ndependene;,,..., 6 rezsoare, E 5, E 6 generaoare de ensune. Cu reaţa (.) se cacuează număru ochuror ndependene: o 6 4 +. Casfcarea crcuee eecrce se poae face după ma mue crer, cee ma mporane fnd prezenae în connuare. a) După naura eemeneor ce nră în srucura crcueor exsă: crcue nare; crcue nenare; crcue paramerce. 9
În crcuee nenare, paramer eemeneor de crcu depnd de curen (ensune), ar în crcuee paramerce aceşa depnd ş de mp. b) După regmu de funcţonare se deosebesc: crcue de curen connuu (c.c.), caracerzae de regmu saţonar în care exsă numa curen eecrc de conducţe în conducoare; crcue de curen aernav (c.a.), caracerzae de regmu cvassaţonar în care exsă curen eecrc de conducţe în conducoare ş curen eecrc de depasare în deecrc condensaoareor dn crcu. c) În rapor cu sursee exsă: crcue acve conţn surse de energe; crcue pasve nu conţn surse de energe. Laure de crcu care conţn surse se numesc aur acve (aure 5 ş 6 dn schema prezenaă în fg..), ar cee care nu conţn surse se numesc aur pasve. d) După dmensune conducoareor po exsa: crcue fforme dmensune ransversae ae conducoareor sun mu ma mc decâ cee ongudnae ş sun caracerzae prn aceea că densaea de curen ese unform reparzaă pe secţunea conducoruu; crcue masve dmensune ransversae ae conducoareor sun comparabe cu cee ongudnae. e) După ocazarea parameror crcuuu po exsa: crcue cu paramer concenraţ; crcue cu paramer dsrbuţ. f) După egăura cu exeroru crcuee po f: zoae nu au borne de egăură cu exeroru, nezoae au borne de egăură cu exeroru. Crcuu care are numa două borne de egăură cu exeroru se numeşe dpo, crcuu care are borne de egăură cu exeroru se numeşe rpo, crcuu care are 4 borne de egăură cu exeroru se numeşe erapo sau cuadrpo, ş.a.m.d... APLCAEA LEG CONDCŢE ELECCE ÎN SDL CCELO ELECCE. ASOCEEA SENSLO DE EFENŢĂ PEN ENSN Ş CENŢ. Laura de crcu pasvă Se consderă un conducor fform, omogen, respecv o aură pasvă de crcu eecrc (fg..,a). Schema eecrcă echvaenă cu paramer concenraţ a aur de crcu se preznă în fgura.,b). Prn negrarea forme ocae a eg conducţe eecrce ( E ρj ) de a ungu conducoruu aur înre exremăţe sae () ş (), se obţne: () u () u () u V () V a) b) Fg...
unde Eds ρjds ρ J A ds A ρ ds A J A ese nensaea curenuu, reparza unform pe secţunea ransversaă de are A a conducoruu, ρ ds ese rezsenţa acesua ş E ds u ese A ensunea eecrcă de-a ungu conducoruu aur. S-a obţnu asfe reaţa u Ohm: u. (.) eaţa (.) ese vaabă, aâ în regm eecrocnec saţonar, câ ş în regm varab în mp. În regm saţonar, câmpu fnd poenţa, ensunea eecrcă nu depnde de curba de-a ungu cărea se face negrarea (de drum), c numa de exremăţe acesea. Dacă negraa de ne a nensăţ câmpuu eecrc se face în ungu une curbe care rece drec prn aer înre bornee aur de crcu, ensunea eecrcă corespunzăoare, egaă cu dferenţa poenţaeor borneor respecve, se numeşe ensune a borne, noaă smpu cu u: u u V V (.) În cazu unu crcu de curen connuu (regm saţonar), forma negraă a eg conducţe eecrce se scre sub forma: (.) În regm varab când, în genera, poae să nervnă, aâ o componenă poenţaă E p, câ ş una soenodaă E s a câmpuu eecrc, ensunea a borne corespunde numa componene poenţae a nensăţ câmpuu eecrc, nemafnd egaă cu ensunea în ungu axe conducoruu fform. În aces caz, forma ocaă a eg conducţe eecrce penru conducoare omogene ese ş prn negrare, ( p + Es ) ds unde E ρjds, se obţne: E p + E ρj (.4) s u + e, (.5) u Epds ese ensunea a borne, ar e Esds ese ensunea eecromooare corespunzăoare părţ soenodae Es a câmpuu eecrc. Laura de crcu acvă. Se consderă o porţune fformă, neramfcaă dnr-un crcu eecrc oarecare, cuprnsă înre bornee () ş () ş în care acţonează un câmp mprma (E ), respecv o sursă de energe eecrcă (fg..,a). Ecuaţa eg conducţe eecrce în forma negraă se scre () () a) () (E ) e u () Fg... b) e
( E E ) e Eds fnd.e.m. a surse. ds ds ρ A +, respecv u + e, (.6) În fgura.,b) se preznă schema echvaenă a aur acve cu rezsenţa conducoruu ca parameru concenra. O probemă mporană a screrea ecuaţor crcueor eecrce ese asocerea sensuror de refernţă penru curenţ ş ensun. Penru fecare dn acese mărm se po aege ndependen câe un sens de refernţă, respecv de negrare. Consderând curenu dnr-o aură de crcu ş ensunea u a bornee acese aur, se po adopa două convenţ de asocere a sensuror de refernţă penru acese mărm, după cum urmează: Convenţa de a recepoare faţă de una dn bornee aur, ensunea a borne ş curenu au aceaş sens sau, afe spus, sensu ensun a borne ese de a borna de nrare a borna de eşre a curenuu, aşa cum se araă în fgura.4. Prn apcarea eg conducţe eecrce auror de () () crcu acve prezenae în aceasă fgură, rezuă ecuaţe: a) u b) u a) u + e, e e b) u e. a) () () u () Fg..4. e b) Fg..5. () () u () e Convenţa de a generaoare faţă de una dn bornee aur, ensunea a borne ş curenu au sensur opuse sau, afe spus, sensu ensun a borne, ese de a borna de eşre a borna de nrare a curenuu, aşa cum se araă în fgura.5. Ecuaţe care se obţn prn apcarea eg conducţe eecrce în aces caz sun: a) u + e, b) u e... CAACESCLE ENSNE CEN (VOL AMPE) ALE ELEMENELO DE CC Prn caracersca ensune curen sau vo amper (V A) a unu eemen de crcu (rezsor, sursă, ec.) se înţeege dependenţa dnre ensunea u a borne ş nensaea curenuu care- srăbae, u u(). u u Caracersce ensune curen po f d > d < nare (fg..6,a) sau nenare (fg..6,b), după cum eemenee de crcu respecve sasfac sau nu egea u Ohm. Corespunzăor, ş eemenee de crcu se împar în nare ş nenare. Pe baza caracersc ensune a) b) curen, penru eemenee de crcu nenare Fg..6. (rezsoare) se defnesc (fg..7):
rezsenţa sacă u u s sgα, (.7) u P rezsenţa dnamcă (dferenţaă) u du d m sgβ d (.8) β α care ese proporţonaă cu pana angene. S-a noa cu Su (V / mm) s raporu scăror grafce penru u ş. Fg..7. S (A / mm) Aâ rezsenţa sacă s, câ ş cea dnamcă d depnd de pozţa puncuu P pe caracerscă, respecv de vaore ensun ş ae curenuu. Spre deosebre de rezsenţa sacă s care ese odeauna pozvă, rezsenţa dnamcă d poae f pozvă (porţune ascendene ae caracersc), sau negavă (porţune descendene ae caracersc, fg..6,b). Caracersce ensune curen rdcae prn punce în curen connuu se numesc caracersc sace, spre deosebre de caracersce dnamce rdcae penru regmur varabe. Deoarece rezsenţa eemeneor de crcu nenare depnde de vaore ensun apcae sau curenuu ce e srăba, penru rezovarea crcueor nenare de c.c. ese necesar să se cunoască caracersce ensune curen ae eemeneor ce nervn. În praccă se înânesc un număr mare de eemene de crcu nenare cu caracersc ensune curen dnre cee ma varae. La unee dnre acesea nenaraea se daorează nfuenţe emperaur rezuae prn recerea curenuu asupra rezsvăţ eecrce (de exempu, ămpe cu ncandescenţă). Exsă ş dspozve a care nenaraea caracerscor se daorează unor procese fzce specfce care au oc (de exempu: arcu eecrc, dfere dspozve eecronce semconducoare, ec.)..4. SSE DE ENEGE (GENEAOAE).4.. Generaoru de ensune Generaoru ndependen de ensune, num ş generaor dea de ensune, ese eemenu acv de crcu a căru ensune a borne nu depnde de nensaea curenuu, ecuaţa caracerscă fnd în genera u e(). (.9) În panu (u,) caracersca de funcţonare ese o dreapă paraeă cu abscsa (fg..8). Ca eemen de crcu, generaoru ndependen de ensune ese caracerza de u modu de varaţe în mp a ensun eecromooare e() u e(). Generaoru ndependen de ensune e() connuă sau generaoru dea de ensune Fg..8. connuă are.e.m. consană în mp, e() E. (.)
Generaoru rea de ensune connuă ese caracerza de ensunea eecromooare E ş de rezsenţa neroară g (fg..9). Varaţa ensun a borne cu nensaea curenuu se daorează căder de ensune pe rezsenţa neroară g. Cu egea u Ohm, se obţne: E g (.) Caracersca de funcţonare ese o dreapă ce nu rece prn orgne. Dacă g, avem generaoru dea de ensune connuă. Înmuţnd amb ermen a ecuaţe (.) cu, se obţne reaţa dnre puere generaoruu rea de ensune connuă E + g, respecv, P g P + P J. (.) Puerea eecrcă oaă, P g E, produsă de generaor ese daă de suma dnre puerea eecrcă P cedaă pe a borne ş puerea eecrcă P J g perduă prn efec Joue pe rezsenţa neroară a acesua..4.. Generaoru de curen g E E E/ g Fg..9. Generaoru ndependen (dea) de curen sau necoru dea de curen ese eemenu acv de crcu care are nensaea curenuu ndependenă de ensune, ecuaţa caracerscă fnd: g () (.) În panu (u,), caracersca de funcţonare ese o dreapă paraeă a axa ensun (fg..). u g () u g () g G g g Fg... Fg... Ca eemen de crcu, generaoru ndependen de curen ese compe caracerza de modu de varaţe în mp a curenuu neca g (). Generaoru dea de curen connuu are curenu consan în mp, ndependen de vaoarea ensun: g () g. (.4) La generaoru rea de curen connuu, curenu varază cu ensunea a borne daoră conducanţe neroare G g nenuă a acesua (fg..). Apcând eorema a -a Krchhoff crcuuu dn fgura., se obţne: 4
g G g. (.5) Generaoru sau necoru rea de curen connuu ese caracerza de curenu neca g ş de conducanţa sa neroară G g. Se poae observa că ecuaţe căder de ensune a generaoru rea de ensune (.) ş reducer curenuu a generaoru rea de curen (.5) sun duae, corespondenţa mărmor duae fnd: E g ; Ι; g G g. (.6) Ca eemene de crcu, sursee de energe eecrcă adm modeee duae ae generaoruu de ensune ş generaoruu de curen..5. EOEMELE L KCHHOFF FOMA OPOLOGCĂ Prma eoremă a u Krchhoff se referă a curenţ dn nodure une reţee eecrce ş ese o consecnţă a eg conservăr sarcn eecrce bere în regm saţonar sau cvassaţonar: nensaea curenuu eecrc prnr-o suprafaţă închsă Σ ese nuă:. (.7) Σ JdA Σ Dacă suprafaţa Σ conţne în neror un nod () a une reţee eecrce (fg..), fnd srăbăuă de conducoaree parcurse de curenţ ce concură în nodu (), reaţa (.7) se scre: Σ () p Fg.... (.8) () Suma agebrcă a curenţor prn aure conecae a nodu () a une reţee eecrce ese nuă. În reaţa (.8), curenţ se au cu semnu "+" sau " " după cum sensu acesora concde sau ese opus sensuu normae pozve a suprafaţa Σ. Afe spus, curenţ se au cu "+" dacă sun orenaţ de a nod ş cu " " dacă sun orenaţ căre nod. Înr-un caz ma genera, suprafaţa închsă Σ poae cuprnde o pare oarecare dnr-o reţea, Σ nersecând un anum număr de aur ae acesea. În aces caz suprafaţa Σ ese numă ş secţune. Penru exempu prezena în fgura., eorema a -a Krchhoff se scre: 4 + + 4. Fg... Înr-o reţea eecrcă cu n nodur, cu eorema a -a Krchhoff se poae obţne un ssem nar ndependen cu n ecuaţ. Prn urmare, eorema a -a Krchhoff se apcă numa a n nodur ae reţee penru a obţne un ssem ndependen de ecuaţ penru curenţ dn aure reţee. 5
A doua eoremă a u Krchhoff se referă a ensune în ungu auror unu och de reţea. Se aege un sens arbrar de negrare, respecv un sens de refernţă a ochuu, reprezena prnr-o săgeaă (fg..4). Se negrează forma ocaă a eg conducţe eecrce pe conuru Γ rasa de-a ungu e auror ochuu: în care Γ ( E E ) + ds ρjds, (.9) Γ Γ E ds, (.) u Fg..4. deoarece E ese parea poenţaă a câmpuu eecrc. În ecuaţa (.9), despărţnd conuru de negrare Γ pe porţun C corespunzăore auror ochuu, se obţne: ş ecuaţa devne Γ E ds E ds [ m] C [ m] ds ρjds ρ e ; A Γ [ m] C [ m] e. (.) [ m] [ m] Suma agebrcă a ensunor eecromooare dn aure unu och de reţea ese egaă cu suma agebrcă a căderor de ensune de pe rezsenţee auror ochuu. Aâ ensune eecromooare e, câ ş cădere de ensune se au cu semnu "+" dacă sensu or concde cu sensu de refernţă aes penru och ş cu semnu " " dacă sensu or ese opus sensuu ochuu. Dacă se efecuează negrarea pe porţun corespunzăoare auror, negraa dn membru sâng a ecuaţe (.) ese: Γ Eds [m] C E ds [m] u, (.) unde u E ds ese ensunea a bornee aur. Ecuaţa (.) devne: C [m] u (.) eaţa obţnuă repreznă forma opoogcă a eoreme a -a Krchhoff: penru un och oarecare [m] a une reţee eecrce, suma agebrcă a ensunor u a bornee auror ese nuă. Deoarece sumarea ensunor dn (.) ese agebrcă, ţnându-se con de sensu or în rapor cu sensu de refernţă a ochuu, se mpune ca penru oae aure reţee să se adope aceeaş convenţe de sabre a sensuror de refernţă penru curenţ ş ensune a bornee acesora. Γ [m] u e Γ 6
De exempu, penru suaţa dn fgura.5, unde s-a adopa convenţa de a recepoare, eorema a -a Krchhoff se scre: u u + u u 4. (.4) u [m] 4 u Penru a obţne un ssem de ecuaţ ndependene penru ensune auror une reţee eecrce, u eorema a -a Krchhoff se apcă ochuror sau buceor ndependene. Prn urmare, penru o reţea cu n Fg..5. nodur ş aur, cu eorema a -a Krchhoff se obţn un număr de ecuaţ ndependene ega cu număru ochuror ndependene: o n +. Ssemu compe de ecuaţ nar ndependene a une reţee eecrce cu n nodur ş aur, obţnu prn apcarea eoremeor u Krchhoff a nodure ş ochure reţee, are un număr de ecuaţ, ega cu număru auror. u (n ) + ( n + ) (.5).6. ANSFGAEA CCELO ELECCE LNAE DE CEN CONN.6.. Echvaenţa ş ransfguraţa crcueor eecrce Bornee prn care un crcu eecrc se poae ega cu ae crcue eecrce se numesc borne de acces sau po. n crcu cu ma mue borne de acces se numeşe crcu eecrc mupo sau mupo. () () V Dpo În parcuar, un crcu cu două borne de V acces se numeşe dpo, cu re borne de acces rpo, ar unu cu paru borne de acces erapo sau cuadrpo (fg..6). n ssem compe de reaţ ndependene înre curenţ ş ensune (sau poenţaee) accesuror unu mupo se numeşe ssem de ecuaţ ae mupouu. Do mupo sun echvaenţ ş se po subsu unu aua dacă au sseme de ecuaţ echvaene. Penru ca două sseme de ecuaţ să fe echvaene ese necesar ca ee să conţnă aceeaş necunoscue (varabe). Prn urmare, ca do mupo să fe echvaenţ ese necesar ca e să abă aceaş număr de accesur. Înocurea unu mupo (crcu) cu un mupo (crcu) echvaen se numeşe ransfgurare. () V () V () rpo V () V V 4 (4) 4 4 4 Cuadrpo () V Fg..6. () V 7
.6.. Echvaenţa surseor de ensune ş de curen Cum s-a văzu, un generaor rea de ensune se compune dnr-o sursă deaă de ensune eecromooare E, având ensunea a borne ndependenă de curenu deba, în sere cu rezsenţa g, reprezenând rezsenţa neroară a generaoruu (fg..7,a). E g G g g a) Fg..7. b) Apcând egea u Ohm, ensunea a borne se scre: E g. (.6) De asemenea, generaoru rea de curen poae f reprezena de o sursă deaă de curen eecrc g, având nensaea curenuu ndependenă de ensunea a borne, egaă în dervaţe cu un rezsor de conducanţă G g, reprezenând conducanţa neroară a generaoruu (fg..7,b). Apcând eorema a -a a u Krchhoff, avem g G g (.7) dn care, ensunea a borne rezuă g. (.8) G G g Ecuaţa (.8) sasfăcuă de ensunea ş curenu de a bornee dpouu dn fgura.7,b) ese echvaenă cu ecuaţa (.6) dacă ş numa dacă G g ş g g E g. (.9) Prn urmare, orce sursă de energe are două scheme (crcue) echvaene: una sere, ca sursă de ensune (fg..7,a) ş aa dervaţe, ca sursă de curen (fg..7,b). Penru ca sursa de ensune să fe echvaenă cu cea de curen ese necesar ş sufcen să fe sasfăcue reaţe (.9). Se observă că sursa de curen devne deaă dacă G g (re..7). De asemenea, se consaă că, curenu generaoruu de curen g ese ega cu curenu de scurcrcu a generaoruu de ensune echvaen, re. (.9). Schemee echvaene ae surseor de energe eecrcă dn fgura.7 a) ş b) se ma numesc ş schema echvaenă sere, respecv schema echvaenă parae sau dervaţe. g 8
.6.. Crcue sere Crcuee ae căror eemene sun conecae asfe încâ oae sun parcurse de aceaş curen, se numesc crcue în conexunea sere sau prescura, crcue sere. Penru a obţne un rezua câ ma genera, se presupune că fecare dn cee n eemene ae crcuuu sere ese o sursă, dec are.e.m. ş rezsenţă, reprezenaă prn schema echvaenă sere (fg..8). E E E E n n n E e e Fg..8. Se vede meda că ensunea a bornee crcuuu sere ese + +... + +... + n. (.) Apcând egea conducţe eecrce, ensunea a bornee eemenuu a crcuuu sere ese: E,,,, n. (.) Înocund în reaţa aneroară, rezuă: n n E (.) Penru dpou echvaen, egea conducţe eecrce dă: Prn denfcare, dn ecuaţe (.) ş (.) rezuă: e n e E e. (.) n n ; E E. (.4) Aşadar, crcuu sere are o rezsenţă echvaenă e egaă cu suma rezsenţeor eemeneor înserae ş o.e.m. echvaenă E e egaă cu suma.e.m. ae eemeneor înserae. În E e însumarea se face agebrc, uându-se cu semnu "+".e.m. care au aceaş sens cu curenu ş cu semnu " " cee care au sens conrar curenuu. Se consderă crcuu sere cu surse echvaene de curen (fg..9), unde e E g ş G. 9
G g G g G g G gn n G e ge Fg..9. Apcând eorema a -a Krchhoff, curenu prn rezsoru de conducanţă G rezuă: g, (.) ar ensunea a bornee dpouu ese g. (.4) G G G Înocund în reaţa ensun a borne, se obţne: n n n g. (.5) G G ensunea a bornee de acces ae dpouu echvaen ese Prn denfcare, dn ecuaţe (.5) ş (.6), rezuă: G e ge. (.6) G G e e n n g ; ge. (.7) n G n e n Fg... În cazu parcuar a crcuuu forma dn n rezsoare conecae în sere (fg..), rezuă evden:
n (.8) e sau, funcţe de conducanţe,. (.9) G G n e Dsrbuţa ensunor pe rezsoaree conecae în sere se face proporţona cu rezsenţa acesora. Asfe, dn reaţa curenuu ensunea a bornee rezsoruu rezuă: n......, (.4) e n. (.4) n caz parcuar, înân frecven în praccă, ese dvzoru rezsv de ensune a căru schemă ese prezenaă în fgura.. ensunea apcaă a nrarea crcuuu ese dvzaă pe cee două rezsoare înserae ş, asfe că ensunea obţnuă a eşre,, se scre meda pe baza reaţe (.4) asfe: ' (.4) + ' Fg....6.4. Crcue parae (dervaţe) Crcuee formae dn eemene cărora se apcă aceeaş ensune ca urmare a fapuu că sun conecae a aceeaş pereche de borne se numesc crcue în conexunea dervaţe, prescura, crcue dervaţe sau parae. Consderăm crcuu forma dn n surse reae reprezenae prn surse de ensune, fgura.. e E E E E e e n E n n Fg... Apcând egea conducţe eecrce, curenu dn aura rezuă: + + E. (.4) E
Cu eorema a -a Krchhoff se obţne: n n n E +. (.44) Penru dpou echvaen, expresa curenuu ese Prn denfcarea ecuaţor (.44) ş (.45) rezuă: e + E e. (.45) e e n n G E ; E e. (.46) n G Se consderă cazu când sursee sun reprezenae prn schema echvaenă cu generaoare de curen, fgura.. Cu eorema a -a Krchhoff se scre ş în aces caz g G g a G g b ge a b G e G n G gn Fg... unde, G + g,,,..., n. n (.47) n n ezuă asfe: G + g. (.48) Penru dpou echvaen curenu ese G e + ge. (.49) Prn denfcare, dn ecuaţe (.48) ş (.49) rezuă: n n G e G ; ge g. (.5)
În cazu parcuar a n rezsoare egae în parae, rezuă în mod evden e n n sau G e Dacă cee n rezsoare au vaor egae, e /n. Penru două rezsoare ş egae în parae,.6.5. ransfgurarea sea pogon compe. (.5) e. + n crcu în care a fecare bornă de acces ese conecaă o sngură aură care o uneşe cu un nod comun (), se numeşe crcu în conexunea sea sau, prescura, crcu sea (fg..4,a). Puncu () comun uuror auror se numeşe punc neuru. n crcu care are înre fecare pereche de borne de acces câe o aură se numeşe crcu în conexunea pogon compe sau crcu pogon compe (fg..4,b). () E E E n n n () G E () n (n) E (n) G m () E m n () E m G m G G m a) b) Fg..4. n E m E () G E a) Crcuu în conexunea sea. nensaea curenuu care nră pe a borna () a crcuuu sea, în baza eg u Ohm se scre: ensunea a bornee aur ese: eorema Krchhoff penru nodu () se scre: G ( + E ) ;,,, n. (.5) V V,,,, n. (.5) m. (.54) Înocund în aceasă reaţe curenu da de re.(.5) ş ensunea daă de re.(.5), se poae deduce poenţau puncuu neuru V asfe:
+ ) E V (V G m. G E G V G V m m m + Înocund V în (.5) scrsă sub forma ( ) [ ] E V V G + ş schmbând ndc, rezuă succesv:,,m,, E G E G V G V G G G E G E G G V G V G m m m m m m m m m + + sau, având în vedere că V V, se poae scre ( ) ( ) ( ) + m m m E E G G G G În fna, expresa curenuu ua de crcuu în sea pe a borna () se pune sub forma: + m ) ( m m ) ( m ) E (E G G G G G G (.55) b) Crcuu cu conexune pogon compe. nensaea curenuu dn aura a crcuuu pogon compe, pe baza eg u Ohm, se scre: G ( + E ). (.56) Expresa curenuu ua de crcuu pogon compe pe a borna () se deduce apcând eorema a -a Krchhoff, asfe: ( ) ( ) ( ) + m m m E G G,,,,m. (.57) Dn denfcarea expresor curenţor (.55) ş (.57) rezuă că cee două crcue, sea ş pogon compe, sun echvaene dacă sun sasfăcue reaţe: m G G G G,,,,, m, (.58) 4
E m m G E m G G G ( E E ),,,,m,. (.59) Se observă că G G ş dec, dacă se dă crcuu sea prn conducanţee sae G ş.e.m. E, se po cacua oae conducanţee G ae auror crcuuu în pogon compe, precum ş sursee acesua E care sasfac reaţe: E E E,,,,, m;. (.6) recerea de a un crcu în pogon compe a crcuu echvaen în sea nu ese odeauna posbă deoarece număru n a ecuaţor ndependene (.58) ese, în genera, ma mare decâ număru m a conducanţeor G (rezsenţeor ) ae crcuuu în sea, cu excepţa cazuu când m. ezuă că, în mp ce ransfgurarea sea-pogon compe ese înodeauna posbă, ransfgurarea nversă, pogon sea ese posbă numa în cazu în care pogonu ese un rungh. În cazu parcuar m, avem ransfgurăre sea rungh ş nvers, rungh sea (fg..5). ransfgurarea sea - rungh. Conducanţee ş ensune eecromooare ae crcuuu echvaen în rungh se deermnă cu reaţe (.58) ş (.6), respecv: () () E E E () E () () E () Fg..5. G GG G G GG, G, G ; G + G + G G + G + G G + G + G (.6) E E E, E E E, E E E. (.6) Cu rezsenţe, reaţe de echvaenţă (.6) po f scrse sub forma: + + + + + + (.6) 5
ransfgurarea rungh sea. Conducanţee sau rezsenţee crcuuu în sea echvaen unu crcu rungh da, se obţn dn ssemee de ecuaţ (.6) ş respecv (.6). Exprese or po f puse sub forma: respecv, G G G G G G + G + G + G + GG G + GG G + GG G,, ; (.64) + + + + + + ; ; (.65) ensune eecromooare se deermnă cu re..59, care penru m, se scru: G E Se ma consderă o condţe de forma G G G ( E E ),,, ; ( E E ) + G( E ) E + GE G E ( E E ) + G ( E ) E + G E G E G E + G E + G E (.66) ş.e.m. ae crcuuu sea echvaen crcuuu rungh da, rezuă: E E E GE+ GE G + G + G GE+ GE G + G + G GE+ GE G + G + G ; ; (.67) sau, GE GE+ GE G E GE+ GE GE GE+ GE (.68) Acese reaţ corespund urmăoareor reaţ înre curenţ de scurcrcu a auror see, respecv runghuu (când pe aur sun generaoare de curen, fg..6): s s s s s s s s s ; ;. (.69) () () s s s G G G G s G () () () s G () s Fg..6 6
.7. NOŢN DE EOA GAFLO.7.. Grafur. Eemene opoogce. În eora crcueor eecrce preznă un neres deoseb propreăţe opoogce ae reţeeor eecrce, respecv modu de nerconecare a dfereor aur ae reţee. Acese propreăţ se po urmăr drec în schema eecrcă sau, ma comod, în grafu crcuuu. Grafu se obţne dn schema eecrcă înocund eemenee componene sau aure acesea prn n smpe. Lne care se obţn se numesc aure grafuu, ar exremăţe acesora se numesc nodure grafuu. Număru a auror ş n a noduror acăuesc paramer opoogc prmar a reţee (crcuuu). eoremee u Krchhoff în formuare opoogcă nu depnd de naura eemeneor, acve sau pasve, nare, paramerce sau nenare. Făcând absracţe de naura eemeneor ş înocundu-e prn segmene orenae în sensu de refernţă a curenuu, se obţne grafu orena G, respecv grafu curenţor (fg..7). () () 4 () () () 4 () 5 6 5 6 (4) Fg..7. (4) Se numeşe bucă, ccu sau crcu închs a grafuu, o curbă închsă prevăzuă cu sens de parcurgere rasaă în ungu auror grafuu, pe a nodur, asfe încâ fecare aură ncusă în bucă ese parcursă o sngură daă ş fecare nod a buce conecează numa două aur ncuse. n graf se numeşe graf pan dacă oae aure po f rasae în pan sau pe o sferă fără să se nerseceze. Bucee unu graf ae căru aur nu sun nersecae de aur ae reţee se numesc ochur. Grafu ce nu poae f rasa pe un pan sau pe o sferă fără ca vreo una dn aur să fe nersecaă de ae aur ae grafuu, se numeşe graf spaţa (fg..8). () () Se numeşe och fereasră, ochu care () (4) conţne în neror aur. O reţea consuă dn două sau ma mue părţ având comun fe numa un nod, fe (6) (5) numa un eemen ae căru borne sun conecae a fecare dn părţ, se descompune în reţee Fg..8. 7
dsnce (fg..9). Fecare dnre părţ se numeşe subreţea. În genera, se numesc subreţee ş acee părţ ae reţeeor ae căror grafur nu conţn nodur ş aur comune, dar fecare subreţea conţne ce puţn o aură cupaă magnec cu ce puţn o aură a ae subreţee. a) b) c) Fg..9. Exempe de subreţee: a) cu un nod comun; b) cu un eemen comun; c) cu aur cupae magnec. O reţea consuă numa dnr-o subreţea se numeşe conexă ş dacă nu ese cupaă în exeror prn conducoare parcurse de curen se numeşe închsă sau zoaă. Dacă subreţeaua ese conecaă prn ce puţn două conducoare cu reţee dn exeror, se numeşe deschsă, ar nodure a care sun egae conducoaree se numesc accese. ne reţee conexe î corespunde un graf conex ce are propreaea că înre orcare două nodur exsă ce puţn o cae, adcă o secvenţă ordonaă de aur. Se numeşe subgraf S G a unu graf G, orcare dn grafure ae căru nodur ş aur aparţn grafuu. n subgraf se obţne dnr-un graf suprmând nodur ş aur..7.. Anaza reţeeor eecrce cu eoremee u Krchhoff. Anaza ochuror ş a noduror. Probema fundamenaă a anaze reţeeor eecrce consă în deermnarea ceor curenţ, prn eemenee reţee, ceor n ensun u a bornee or ş a ceor n poenţae v ae noduror. Ssemu compe de ordnu a ecuaţor penru cacuu curenţor sau ensunor u se obţne apcând eoremee u Krchhoff a nodure ş ochure reţee. eoremee u Euer. eorema a -a. Ssemu nar ndependen de ordnu a ecuaţor penru cacuu ensunor sau curenţor prn eemenee dpoare ae une reţee conexe cu aur ş n nodur ese consu dn n' n ecuaţ de nodur ş o n + ecuaţ de buce. Paramer n' ş o se numesc paramer opoogc secundar a reţee. eorema a -a Euer araă modu cum se aeg nodure ş bucee a care rebue apcae eoremee u Krchhoff. Aegerea număruu de nodur nu preznă dfcuăţ orcâ de compcaă ar f confguraţa reţee. Ese sufcen să se sabească arbrar nodu de refernţă, de exempu nodu (n) ş ssemu de ecuaţ nodae a cee n nodur rezuă nar ndependen. Dacă reţeaua conţne ma mue subreţee, penru fecare subreţea în pare se aege câe un nod de refernţă (presupus ega a pămân). [] [4] [] [] Fg... 8
Penru reţee pane, care conţn excusv ochur, eorema a -a Euer sabeşe: o reţea conexă pană cu aur ş n nodur conţne o n+ ochur neroare dsnce. rasarea drec pe reţea a ssemuu de ochur se face asfe: se verfcă dacă reţeaua ese pană ş se conduc aure grafu-u fără să se nerseceze; ochure neroare acăuesc un ssem dsnc cărua î corespunde un ssem ndependen de ecuaţ de ochur (fg..). Consecnţe ae eoremeor u Euer. Ecuaţe nar ndependene a cee n nodur repreznă n reaţ de dependenţă nară înre curenţ prn aur ş, în consecnţă, b n+ curenţ a reţee sun nar ndependenţ. Deoarece b n+ ecuaţ de buce repreznă b reaţ de dependenţă nară înre ensun ae auror, urmează că n' b n ensun sun nar ndependene. Dacă se aege nodu (n) de refernţă, a care se raporează poenţaee v ae ceorae nodur, v v v n, ensunea u a bornee aur se exprmă în funcţe de poenţaee raporae asfe: u v v +. v v + Poenţaee raporae v se numesc poenţae de nod sau ensun de nod (ensun nodae). ezuă că înr-o reţea conexă cu n nodur, n' n poenţae de nod sun nar ndependene. În conformae cu eoremee u Euer, grafu G a une reţee se descompune în două sseme de subgrafur. Ssemu subgrafuror noduror ndependene G () G, subgrafu G () fnd consu de un nod () având poenţau de nod v ş aure conecae a nod, parcurse de curenţ (fg..), ecuaţe a nodur fnd:. (.7) ( ) () v () 4 () v v 5 6 u G (4) () () 5 4 4 6 G () () 5 6 (4) Nod de refernţă Deermnarea poenţaeor de nod nodaă. Fg... v consue anaza noduror sau anaza Ssemu subgrafuror ochuror ndependene G [m] G, fecare subgraf G [m] (respecv och [m]) fnd consu dnr-un och [m] a reţee. Dacă se consderă fecare och parcurs de un curen m, curenţ prn aure reţee rezuă dn superpozţa curenţor de ochur m,. (.7) m [ m] 9
Deoarece subgrafure ochuror sun ndependene, curenţ de ochur acăuesc un ssem nar ndependen. Curenţ de ochur m se ma numesc ş curenţ ccc. Deermnarea curenţor de ochur consue anaza ochuror..7.. Marcee de ncdenţă ae auror a nodur ş ochur. Formee marceae ae ecuaţor u Krchhhoff. a) Marcea de ncdenţă a auror a nodur. Fe grafu G conex ş orena, cu aur ş n nodur. Se noează cu α coefcenţ defnţ după cum urmează: α, dacă aura conecaă a nodu () ese orenaă de a nod, α, dacă aura conecaă a nodu () ese orenaă căre nod, α dacă aura nu ese conecaă a nodu (). Marcea [A] n, a căre ermen sun coefcenţ α cu n n numeroae în ordnea noduror () ş cooane numeroae în ordnea auror se numeşe marce de ncdenţă a auror a nodur. () () 5 (4) Fg... 6 4 [ A] () nodur K K aur () α α... α... α () α α... α... α n, M.................. (.7) () α α... α... α M.................. (n) αn αn... αn... α n De exempu, marcea de ncdenţă aur nodur a grafuu dn fgura. ese [ ] 4,. A 6 Marcea de ncdenţă a auror a nodur are propreăţe: ) fecăru graf orena G cu aure ş nodure numeroae î corespunde o marce [A]; ) număru coefcenţor α nenu pe na ese ega cu număru auror conecae a nodu (), cu semnu + penru aure orenae de a nod ş cu semnu penru aure orenae căre nod; ) deoarece o aură nu poae ega ma mu de două nodur, pe fecare cooană numa do coefcenţ α sun nenu, unu pozv ş ceăa negav; 4) fecăre marce A care îndepneşe condţe ), ) î corespunde un graf G. Cu marcea [A] n,, ssemu ceor n ecuaţ de nodur se scre sub formă marceaă asfe: [ A ] n, [ ] [ ] n (.7)
în care [] ese marcea cooană cu ermen a curenţor : [ ]. M Dacă se suprmă o ne a marce [A] n, se obţne marcea de ncdenţă redusă aur nodur [A'] n,, cu n n n ş cooane. Suprmarea une n a marce corespunde aeger noduu () nod de refernţă. De exempu, aegând nodu (n) nod de refernţă, marcea A corespunzăoare grafuu dn fg.. ese [ A' ], 6. Ssemu ecuaţor nar ndependene de nodur devne [ A'] n ', [ ] [] n'. (.74) Se noează cu [] n',n marcea de raporare cu n n ş n cooane ş cu [v] n, respecv [v'] n' marcee cooană cu n, respecv n ermen a poenţaeor v ş poenţaeor raporae v. Ecuaţa marcaă: [ v ] (.75) n ' [] n',n[v] n raporează poenţaee a noduu (n). v v v [ ] n n n ae prmeor n nodur a poenţau de refernţă O n cooane M n n (.76) Ssemu ecuaţor de egăură înre ensune a bornee auror u ş poenţaee v se scre marca asfe: [ u] (.77) [A] n, [v] n [A'] n', [v ] n' în care [ A' ] n', ese ranspusa marce de ncdenţă redusă a auror a nodur cu n ş n cooane, ar [u] ese marcea cooană a ensunor auror cu eemene. [v] n v v M v M v n, v u v u M M [v n] v, [u]. u M M v n u
b) Marcea de ncdenţă a auror a ochur. Se consderă un graf conex G cu aur, n nodur ş o n+ ochur neroare. Prn convenţe se consderă aceaş sens penru oae ochure neroare de exempu, ce orar ş sens opus (anorar) penru ochu fereasră de refernţă. Se noează cu β m coefcenţ defnţ asfe: β m - dacă aura aparţne ochuu [m] în aceaş sens, β m - dacă aura aparţne ochuu [m] în sens opus, β m - dacă aura nu aparţne ochuu [m]. Marcea [B] o, a căre ermen sun coefcenţ β m, cu o + b n+ n ş cooane se numeşe marce de ncdenţă a auror a ochur: ochur L L aur [] β β K β K β [] β β K β K β [ Bo+, ] M K K K K K K. (.78) [ m] β β β β m m K m K m M K K K K K K [ ] o + β o+, βo+, K βo+, K βo+, Penru grafu prezena în fgura., marcea de ncdenţă a aur ochur ese [ ] 4,. () B 6 Propreăţe marce [B]: ) fecăru graf orena G cu aure ş nodure numeroae î corespunde o marce [B]; ) număru coefcenţor β m nenu pe na m ese ega cu număru auror care aparţn ochuu [m], cu semnu + sau după cum aura ş ochu au ochu de refernţă aceaş sens, respecv sensur opuse; Fg... ) deoarece o aură nu poae aparţne a ma mu de două ochur, pe fecare cooană numa do coefcenţ sun nenu, unu pozv ş ceăa negav dacă se aeg sensure menţonae; 4) fecăre marce [B] care îndepneşe condţe ) ş ) î corespunde un graf G a och de refernţă da. Dacă se suprmă o ne a marce [B] o+, se obţne marcea de ncdenţă redusă aur ochur [B'] o,, cu o n + n ş cooane. În exempu consdera, suprmând uma ne (aegerea ochuu [4] de refernţă), rezuă: [ B' ], 6. [] (4) [] [] 5 4 6 ()
Cu marcea [B'] ssemu ecuaţor de ochur se scre marca asfe: [ B'] o, [u] []. (.79) Ecuaţe de egăură înre curenţ dn aur ş curenţ de ochur m se exprmă marca asfe: [ ] [B' ] [' (.8) o, ] o unde ['] ese marcea cooană a curenţor ccc cu o n + ermen. [ ' ] [ L m L o ]. Pe baza reaţor (.7), (.76), (.78) ş (.79) se deduc reaţe dn care rezuă [ A' ] [B' ] [' ] [] ş [B' ] [A' ] [v' ] [], [ A' ] [B' ] [B' ] [A' ] [] (.8) ş dec marcee [A'] ş [B'] sun orogonae. În connuare, în anaza reţeeor eecrce se vor uza numa marcee de ncdenţă reduse aur nodur ş aur ochur ş dn move de smpfcare a screr se va renunţa a ndcee..8. MEODE DE ANALZĂ A EŢELELO ELECCE LNAE DE CEN CONN.8.. Anaza reţeeor eecrce cu eoremee u Krchhoff Fe o reţea eecrcă nară ş nvarabă în mp, conexă ş pană, cu n nodur ş aur. Se presupun cunoscue rezsenţee rezsoareor, ensune eecromooare ş rezsenţee neroare ae generaoareor de ensune, curenţ ş conducanţee neroare ae generaoareor de curen. Ssemu compe de ordnu a ecuaţor reţee, conţne n n ecuaţ de nodur penru curenţ (,,, ) dn aure reţee ş o n + penru ensune (,,, ) a bornee auror. Ecuaţe de nodur se scru ar cee de ochur: () [m],,,,, n (nodur), (.8) m,,, o (ochur). (.8) În ambee ecuaţ sumee sun agebrce: curenţ cu sensu de refernţă de a nod au semnu +, ar căre nod au semnu ; a parcurgerea ochuu după un sens de refernţă aes arbrar, ensune se au cu semnu + sau dacă sun înâne în aceaş sens, respecv în sens opus. Anaza reţeeor eecrce cu eoremee u Krchhoff consă, fe în deermnarea înâ a curenţor prn aur, ceea ce necesă înocurea ensunor în funcţe de curenţ în ecuaţe (.8), fe înâ a ensunor ş prn urmare înocurea curenţor în funcţe de ensun în ecuaţe (.8). În connuare se preznă prncpa meoda de anază în rapor cu curenţ.
a) Meoda drecă. Se consderă o reţea nară de curen connuu, conexă ş pană, cu n nodur ş aur dn care sun aur cu rezsoare, E aur cu generaoare deae de ensune ş J aur cu generaoare de curen. Se numeroează înâ aure cu rezsoare, apo aure cu generaoare de ensune ş în fna aure cu generaoare de curen. () J s a) E p Ep Fg..4. J s Js [m] b) E p Ep În cazu genera, ecuaţe de nodur sun de forma (fg..4,a) + () p ( ) J,,,, n n, (.84) Ep ar ecuaţe de ochur (fg..4,b) s () + Js [m] s [m ] p [m] s E, m,,, o n +, (.85) p în care s-au noa: E p.e.m. a generaoruu p, J s curenu generaoruu de curen s. Mărme cunoscue sun:.e.m. E p ae generaoareor de ensune, curenţ J s a generaoareor de curen ş rezsenţee ae rezsoareor. Ecuaţe (.84), (.85) acăuesc un ssem compe de ecuaţ agebrce nare cu coefcenţ consanţ de ordnu, dn care se deermnă necunoscuee, respecv curenţ prn aure cu rezsoare, curenţ Ep prn aure p cu generaoare deae de ensune ş ensune Js a bornee generaoareor de curen. b) Meoda marceaă. Forma marceaă a ecuaţe de nodur (.8) corespunzăoare eoreme a - a Krchhof în forma opoogcă ese [ A ] [ ] [ ] n, n, (.86) în care [A n, ] ese marcea de ncdenţă redusă aur nodur cu n n ş cooane ş [ ] ese marcea cooană a curenţor cu ermen. Având în vedere modu de numeroare a E auror reţee, marcea [A n, ] se poae descompune în două submarc (fg..5): o marce LLLLLLLL formaă cu prmee J cooane corespunzăoare [ A n, ] LLLLLLLL auror cu rezsoare ş cu generaoare de ensune LLLLLLLL ş o marce cu umee J cooane corespunzăoare LLLLLLLL L LLLLLLL auror cu generaoare de curen. J J Marcea cooană a curenţor se despare, de asemenea, în două submarce: una cu prm Fg..5. J ermen, reprezenând curenţ dn aure cu rezsoare ş cu generaoare de n n 4
ensune ş a doua cu um J ermen, reprezenând curenţ generaoareor de curen. Asfe, ecuaţa (.86) se scre succesv [ An, ][ M An, ] [ ] [ J ] [ n ] [ An, ] [ ] [ An ] [ J ], J J J L J J, J J respecv, noând cu [ J n ] [ An, J ][ J J ], se obţne forma fnaă a ecuaţe marceae corespunzăoare ecuaţor de nodur scrse cu eorema a -a Krchhoff: [ A ] [ ] [ J ] n, J J n (.87) Penru deducerea forme marceae a ecuaţor de ochur (.85) se peacă de a forma marceaă (.8) a acesor ecuaţ obţnue cu eorema a -a Krchhoff în forma opoogcă: B (.88) E [ ][ ] [ ] o, o Marcea de ncdenţă redusă [B o, ] se poae descompune în două submarce (fg..6): o marce formaă cu prmee J cooane corespunzăoare auror cu rezsoare ş cu generaoare de ensune ş o marce cu umee J cooane corespunzăoare auror cu generaoare de curen. Marcea cooană a ensunor se despare ş ea în două submarce: una cu prm J ermen reprezenând ensune a bornee auror cu rezsoare ş/sau cu generaoare de ensune ş a doua cu um J ermen reprezenând ensune Js a bornee generaoareor de curen. Asfe, ecuaţa (.88) se scre succesv: [ B ][ B ] [ ] J L ( ) M [ o ] [ B o, ][ ] + [ B o, ][ ] [ o ] (.89) o, J o, J J J J J [ J ] J Penru aure cu rezsoare ş/sau cu generaoare de ensune (fg..7), ensune a borne se scru cu egea u Ohm asfe: E,,,, J. (.9) În formă marceaă, acese ecuaţ se scru: [ ] [ ][ ] [ E ] J (.9) J J J în care [ J ] ese marcea dagonaă de ordnu J, având prm ermen ega cu rezsenţee auror cu rezsoare ş um E ermen nu, corespunzăor auror cu generaoare deae de ensune (fg..8), ar marcea [E J ] ese marcea cooană a ensunor eecromooare dn aure reţee (ermen sun nu penru aure care nu conţn generaoare). Se mupcă a sânga amb ermen a ecuaţe (.9) cu marcea [B o, J ] ş rezuă: [ B ] o, [ B ] L LLLLLLL LLLLLLLL LLLLLLLL LLLLLLLL LLLLLLLL J J Fg..6. O E o, J Fg..8. J Fg..7. E O o n E 5
[ B ] [ ] [ B ] [ ] [ ] [ B ] [ E ] o, o, o, J. (.9) J J J Înocund produsu [B o, J ] [ J ] în cea de-a doua ecuaţe dn (.89), rezuă forma marcaă a ecuaţor de ochur corespunzăoare eoreme a -a Krchhoff : respecv, J [ B ][ ][ ] + [ B ] ( ) J [ J ] [ Bo, ] [ E ] o, J o, J J o, J J J [ J ] [ o] [ ][ ] + [ B ] ( ), (.9) o, o J o, J E. în care s-au noa [ ] [ B ][ ], [ E ] [ B ] [ E ] o, o o, o, o o, J J Ecuaţe (.87) ş (.9) corespunzăoare ceor două eoreme ae u Krchhoff apcae a nodure ş ochure ndependene ae reţee se po scre în forma compacă: sau, în care s-au foos noaţe: () [ K, ] J J [ An, ][ ] [ ] [ J M n, J J Jn ] [ ][ ] [( ) ] [ ]........., (.94) o, B E J M n, J J J o [ K () ][ N ] [ ], S J J J (.95) marcea Krchhoff în rapor cu curenţ (marce păraă de ordnu ), [N ] marcea necunoscueor (marce cooană cu ermen), [S ] marcea surseor (marce cooană cu ermen)..8.. Anaza reţeeor eecrce cu meoda curenţor ccc a) Meoda drecă. După cum s-a văzu, număru ecuaţor ndependene ce se obţn prn apcarea eoremeor u Krchhoff a nodure ş ochure reţee ese ega cu număru auror. În cazu reţeeor cu o srucură compexă, daoră număruu mare de ecuaţ ce rezuă, ssemu de ecuaţ poae f dfc de rezova. În acese cazur ese u să se uzeze meoda de cacu bazaă pe eorema curenţor ccc, cunoscuă ş sub denumre de meoda curenţor ndependenţ, de ochur sau de conur. Meoda perme reducerea număruu de ecuaţ a număru ochuror sau buceor ndependene (fundamenae). Meoda curenţor ccc consă în nroducerea în scop de cacu a unor curenţ fcv, numţ curenţ ccc, ndependenţ sau de conur, care ar crcua de-a ungu auror ochuror sau buceor fundamenae ae reţee. Apcând eorema a doua Krchhoff în rapor cu aceş curenţ, penru o reţea conexă ş pană cu n nodur ş aur, se obţn o n + ecuaţ agebrce, dec un număr de ecuaţ ega cu număru ochuror fundamenae ae reţee. Penru apcarea meode curenţor ccc, ese u să se ransforme ma înâ, dacă ese posb, aure cu generaoare de curen în aur echvaene cu generaoare de ensune. Se sabesc apo ochure ndependene sau fundamenae ae reţee (ochure neroare, de exempu) penru care se noează curenţ ccc ş se aeg sensure de refernţă ae acesora. Forma generaă a ssemuu de ecuaţ corespunzăor eoreme curenţor ccc penru o reţea conexă ş pană cu un număr o de ochur ndependene ese 6
în care s-au uza noaţe: m,m [m] m, [m] [ ] E [ E m] [m] + +... + + +..., oo E[] + + + + +......,oo E[]... + + + + + m m... m... m,oo E... o, + o, +... + o, +... + o,oo E curenu ccc a ochuu [],,,, o; [m] [ o ] (.96) suma rezsenţeor auror ochuu [m], numă ş rezsenţa propre a ochuu; rezsenţee se au odeauna cu semnu + în aceasă sumă; suma rezsenţeor auror comune ochuror [m] ş []; rezsenţa a fecăre aur comune se a cu semnu +, respecv dacă curenţ ccc a ceor două ochur au aceaş sens, respecv sensur opuse prn aura comună respecvă. suma agebrcă a ensunor eecromooare E ae surseor de ensune dn aure ochuu [m]; suma ese agebrcă, adcă.e.m. E se a cu semnu +, respecv dacă sensu acesea concde, respecv ese opus sensuu ochuu (curenuu ccc a ochuu). Prn rezovarea ssemuu de ecuaţ (.96) foosnd, de exempu, meoda Cramer, se deermnă curenţ ccc a ochuror ndependene: E [] + E [] o m o m + L + E[m] + L+ E[o] E[m],,,, o. (.97) unde ese deermnanuu ssemuu, m ese compemenu agebrc a ermenuu m+ m ua cu semnu corespunzăor, m ( ) m. Curenţ rea dn aure reţee se obţn pe baza prncpuu superpozţe. Asfe, curenu dnr-o aură oarecare se deermnă prn însumarea agebrcă a curenţor ccc a ochuror a care aparţne aura respecvă: m m [m] m,,,,. (.98) b) Meoda marceaă. În formă marceaă, ssemu de ecuaţ (.96) corespunzăor eoreme curenţor ccc se scre: (.99) o,o] [ ] [ ] [ ] o, o o Eo în care [ ese marcea păraă ş smercă de ordnu o, o ese marcea cooană a curenţor ccc, [ E o] ese marcea cooană a ensunor eecromooare de ochur. Presupunând că reţeaua conţne numa aur cu rezsoare ş generaoare de ensune (generaoaree de curen au fos înocue cu generaoare echvaene de ensune) ş apcând egea u Ohm generazaă auror reţee de forma cee dn fgura.8, avem: [ ] 7