Metode uerice î igieri electrică Cuvât-îite Lucrre iligvă roâă-frceză Metode uerice î igieri electrică Aplicţii î C++ şi Turo Pscl prezită o viziue proprie utorilor supr teoriei şi plicării etodelor uerice cu lgoriti şi eeple de clcul di igieri electrică Î cestă priă prte lucrării sut icluse cpitole privid rezolvre uerică ecuţiilor şi sisteelor de ecuţii liire şi eliire Metodele uerice sut, eclusiv, itertive ir soluţiile ecuţiilor si sisteelor de ecuţii liire si eliire se oţi c liite le uor şiruri covergete Clitte şi eficieţ fiecărei etode î prte este precită pri două criterii: criteriul utilizării optie eoriei clcultorului ecesră petru dte şi progre, respectiv criteriul icşorării tipului de clcul ecesr oţierii soluţiei Autorii, cdre didctice şi studeţi de l Fcultte de Igierie Electrică di Uiversitte Vlhi Târgovişte şi de l Fcultte de Igierie cu Predre î Lii Străie di Uiversitte Politehic Bucureşti, u îcerct o prezetre ituitivă, fără deostrţii, teoriei ce stă l z etodelor uerice cosiderte, cee ce uşureză îţelegere terilului Locul deostrţiilor rigurose este lut de eeple de clcule uerice, şi, respectiv, de lgoritii cre îsoţesc fiecre etodă şi de plicţiile softwre î lijele C++ şi TuroPscl, cititorul fiid stfel itrodus î lue oderă şi psiotă plicţiilor softwre Acestă priă ediţie iligvă se dreseză î specil studeţilor de l fcultăţile de profil electric şi studeţilor de l deprtetele de igierie electrică cu liă de predre frcez, dr pote fi utiliztă de orice specilist cre prcurge discipli de etode uerice Pe tot prcursul prezetării eleetele teoretice sut coplette cu eeple detlit rezolvte, cre îşi u proveieţ di doeiul igieriei electrice Speră c cestă odlitte de relizre lucrării să fie utilă tuturor celor cre o citesc Autorii 5
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique 6
Metode uerice î igieri electrică Cupris Cpitolul Metode uerice de rezolvre ecuţiilor / 9 Metode uerice de rezolvre ecuţiilor eliire cu o ecuoscută / 0 Metod isecţiei su îjuătăţirii itervlului / Metod cordei su etod părţilor proporţiole / 3 3 Metod lui Newto / 4 Metode uerice de rezolvre ecuţiilor lgerice / 6 Metode de seprre rădăciilor ecuţiilor lgerice / 7 Metod şirului lui Rolle / 7 Metod şirului lui Stur / 8 Metode de deterire rădăciilor ecuţiilor lgerice / 8 Metod Locevski Greffe / 8 Sche lui Horer / 7 3 Metod lui Birstow / 30 Cpitolul Metode uerice de rezolvre sisteelor de ecuţii liire / 33 Metode de eliire utilizte î rezolvre uerică sisteelor liire de ecuţii / 33 Metod lui Guss / 35 Metod Guss-Jord su etod tricilă forlă / 38 3 Metod lui Jcoi / 40 4 Metod Guss-Seidel / 4 Metode de rezolvre uerică sisteelor de ecuţii pri fctorizre / 4 3 Metode de rezolvre uerică sisteelor de ecuţii sietrice / 54 3 Fctorizre pri etod rădăciii pătrte (etod lui Cholesky) / 54 3 Fctorizre tricelor sietrice, epozitive defiite / 57 4 Tehici de dptre l tricele rre / 59 Chpitre 3 Méthodes uériques de résolutio des équtios / 6 3 Méthodes uériques de résolutio des équtios o liéires vec ue seule icoue / 6 3 L éthode de l dichotoie / 63 7
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique 3 L éthode de l corde ou des prties proportioelles / 65 33 L éthode de Newto / 66 3 Méthodes uériques de résolutio des équtios lgériques / 68 3 Méthodes de séprtio des rcies des équtios lgériques / 69 3 L éthode de l suite de Rolle / 69 3 L éthode de l suite de Stur / 70 3 Méthodes de déteritio des rcies des équtios lgériques / 70 3 L éthode Locevski Greffe / 70 3 L éthode de Horer / 79 33 L éthode de Birstow / 8 Chpitre 4 Méthodes uériques pour l résolutio des systees lieires d équtios / 85 4 Méthodes directes de résolutio des systèes liéires d équtios / 85 4 L éthode de Guss / 87 4 L éthode de Guss-Jord / 9 43 L éthode de Jcoi / 9 44 L éthode de Guss-Seidel / 94 4 Méthodes de résolutio des systèes d équtios pr fctoristio / 95 43 Méthodes de résolutio des systèes d équtios syétriques / 06 43 Fctoristio pr l éthode de l rcie crrée (éthode de Cholesky) / 07 43 Fctoristio des trices syétriques, o positives défiies / 0 44 Techiques dptées u trices creuses / Ae Eeple de clcul ueric / 4 Ae Algoriti î C++ şi Turo Pscl / 4 Biliogrfie / 64 8
Metode uerice î igieri electrică Cpitolul Metode uerice de rezolvre ecuţiilor Alger dispue de etode şi forule de clcul petru deterire soluţiilor ecuţiilor lgerice cu grdul cel ult ptru Tote celellte tipuri de ecuţii lgerice, cele cu grdul i re decât ptru şi cele trscedete cre fc prte di ctegori ecuţiilor eliire ecesită petru deterire soluţiilor lor etode de rezolvre uerică Metodele uerice sut, eclusiv, itertive şi soluţiile ecuţiilor eliire se oţi c liite le uor şiruri covergete Clitte şi eficieţ fiecărei etode î prte este precită pri două criterii: criteriul utilizării optie eoriei clcultorului ecesră petru dte şi progre, respectiv criteriul icşorării tipului de clcul ecesr oţierii soluţiei Priul criteriu ţie se de copleitte dtelor cu cre se lucreză (de eeplu petru u polio de grdul se itroduc coeficieţi reli) şi de uărul de liii le progrului cre rezolvă respectiv proleă Î cee ce priveşte evlure tipului de clcul ecesr clcultorului petru oţiere soluţiei, se doptă c referiţă tipul ecesr efectuării uei operţii eleetre (dure su îulţire de uere rele) şi poi se deteriă uărul cestor spţii (de eeplu petru evlure uei fucţii polioile de grdul se fc îulţiri şi + duări) O prte etodelor uerice pote fi plictă petru tote tipurile de ecuţii lgerice ir ltă prte este specifică dor rezolvării ecuţiilor lgerice polioile Î igieri electrică etodele de rezolvre uerică ecuţiilor eliire re o plicilitte diversă, cu r fi deterire puctelor de itersecţie grficelor două fucţii, deterire puctelor de fucţiore î circuitele electrice şi electroice, rezolvre ecuţiilor circuitelor electrice eliire etc 9
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique Metode uerice de rezolvre ecuţiilor eliire cu o ecuoscută Se cosideră ecuţi eliiră su trscedetă ( ) 0 f () î cre f : [, ] R este o fucţie cotiuă ir r (, ) este soluţi ectă ecuţiei Petru deterire uerică cestei soluţii se utilizeză etode itertive cre costu î costruire uui şir de uere rele 0,,, k coverget către soluţi ectă r ecuţiei Orice etodă itertivă petru deterire soluţiei r costă î găsire uei ecuţii de for ( ) r F () echivletă cu ecuţi dtă î itervlul [, ] : ( ) F( ) f 0 r (3) stfel îcât şirul de uere ( k ) k 0 k k r să iă liit r dică li, (4) ude tereii şirului se deteriă recuret î fucţie de tereul precedet, cu relţi: ( ) (5) k F k Iterţiile se opresc tuci câd distţ ditre doi terei cosecutiv i şirului este i ică decât o vlore ipusă ε < ε (6) k k F se prezită î cotiure câtev ditre etodele uerice de rezolvre ecuţiilor eliire După odul î cre este costruită fucţi de iterţie ( ) Metod isecţiei su îjuătăţirii itervlului este u ditre cele i siple etode utilizte petru rezolvre uei ecuţii eliire, cre se f de ve see diferite l cpetele zeză pe propriette fucţiei ( ) 0
itervlului [ ] Metode uerice î igieri electrică,, dcă soluţi uică r (,) Atuci: ( ) f ( ) < 0 ecuţiei ( ) 0 f eistă î itervlul f (7) şi îtr-o pri iterţie, se clculeză + 0 0 (8), Dcă 0 u este rădăciă ecuţiei, dică dcă vlore fucţiei î cest puct u este i ică decât erore ipusă ε petru deterire rădăciii juătte itervlului [ ] ( ) < ε f (9) 0, 0 0 pe cel cre coţie soluţi Evlure se fce după seul produsului vlorilor fucţie l cpetele suitervlelor, dică: tuci se evlueză ditre cele două suitervle ( ) şi (,) şi ( ) f ( 0 ) < 0 f (0) ( ) f ( ) 0 f () 0 < Dcă este stisfăcută ieglitte (0) tuci soluţi se cută î itervlul, 0, lgoritul cotiuâd cu îjuătăţire cestui ( ) + 0, şd () Dcă ieglitte (0) u este stisfăcută, tuci î od oligtoriu este stisfăcută () şi soluţi se flă î itervlul ( 0,), pri urre lgoritul v cotiu cu îjuătăţire cestui: 0 +, şd Şirul vlorilor succesive le juătăţilor de suitervle:,,, este coverget către soluţi ectă r (figur) 0
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique Fig Pri iterţie î etod îjuătăţirii itervlului Algoritul itertiv de îjuătăţire se opreşte tuci câd lugie suitervlelor oţiute î iterţi devie i ică decât erore ipusă soluţiei < ε (3) Metod îjuătăţirii itervlului este uşor de plict şi este sigur covergetă, dr ecesită u uăr re de evluări le fucţiei Metod cordei su etod părţilor proporţiole deteriă soluţi uică r ecuţiei f ( ) 0 pe u itervl (,), cu f : [ ] R cotiuă, şi ( ) f ( ) < 0, î două părţi proporţiole pe [ ] cu vlorile ( ) f, îpărţid itervlul [ ] f şi f ()
Metode uerice î igieri electrică Fig Priele iterţii î etod corzii Astfel îtr-o priă proiţie se deteriă scis corespuzătore itersecţiei ditre cord (drept) cre ueşte puctele de coordote ( 0, f ( )) şi, f cu 0: ( ( )) ( ) f ( ) ( ) f ( ) f (4) f Procesul itertiv de divizre proporţiolă itervlului cotiuă î fucţie de poziţi cordei fţă de grfic Dcă cord se flă l stâg grficului, c î figur dică dcă ( ) f ( ) < 0 tuci se îprte î cotiure suitervlul [ ] f (5), î părţi proporţiole ir soluţi proitivă î urătorul ps este: ( ) f ( ) ( ) f ( ) f (6) f Î cest cz puctul de porire l proiţiilor este puctul 0, puctul răâe fi ir deplsre proiţiilor succesive se fce de l stâg l drept Dcă cord se flă l drept grficului, dică dcă ( ) f ( ) 0 f (7) < 3
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique tuci se îprte î cotiure suitervlul [,] soluţi proitivă î urătorul ps este: ( ) f ( ) ( ) f ( ) î părţi proporţiole ir f (8) f Î cest cz puctul de porire l proiţiilor este puctul 0, puctul răâe fi ir deplsre proiţiilor succesive se fce de l drept l stâg Î fil, vlore k este soluţie ecuţiei dte dcă f ( k ) < ε, ε fiid erore ipusă Covergeţ etodei depide de legere optiă puctului de porire 0 Codiţi de covergeţă (uită şi codiţi Fourier) este '' ( ) f ( ) 0 f (9) 0 0 < şi ipue legere lui su c puct de porire l lgoritului Utilizre cestei codiţii presupue clculre celei de- dou derivte fucţiei, cee ce creşte copleitte clculului 3 Metod lui Newto rezultă î odul cel i turl ditr-u procedeu de liirizre, î cre se reţi di dezvoltre î serie Tylor fucţiei f(), f : [, ] R, cotiuă pe [, ] şi cu derivt cotiuă pe [, ], î jurul puctului 0, dor priii doi terei Astfel ecuţi eliiră iiţilă f ( ) 0 se îlocuieşte cu ecuţi liiră ' f f (0) ( ) ( ) ( ) cărei soluţie este: 0 0 0 ( 0 ) ' ( ) f 0 () f 0 Di puct de vedere geoetric (figur 3) î etod lui Newto reprezită scis puctului de itersecţie tgetei dusă l grficul fucţiei f() î puctul de coordote ( 0, f ( 0 )) cu 0 Rezultă relţi recursivă petru proiţi soluţiei l psul k+: ( k ) ' ( ) f k+ k () f k 4
Metode uerice î igieri electrică Fig3 Priele iterţii î etod Newto Covergeţ etodei lui Newto depide de legere puctului de plecre 0 Petru c lgoritul Newto să fie coverget către soluţi puctul de porire 0 să verifice codiţi: '' ( ) f ( ) 0 0 0 > r este ecesr c f (3) cee ce coduce l ecesitte deteriării derivtei de ordiul doi fucţiei Î plus, l fiecre ps l iterţiei cofor relţiei () treuie evlută derivt de ordiul uu fucţiei, cee ce ecesită u efort re de clcul Metode uerice de rezolvre ecuţiilor lgerice Se cosideră ecuţi lgeric polioilă de grdul cu coeficieţi reli su coplecşi scrisă î foră coică: i P ( ) i 0, 0; P : R R (4) i 0 Î lger clsică se rtă că este posiil să rezolvă cu ijloce eleetre dor ecuţiile cu grd 3 Petru ecuţiile l căror grd este i re decât 3 se folosesc etode uerice cre perit deterire tuturor rădăciilor fără fi evoie de o 5
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique proiţie iiţilă Î elorre lgoritilor itertivi se ţie se de regulile legte de eisteţ rădăciilor uei ecuţii lgerice Astfel, o ecuţie de grdul re îtotdeu rădăcii rele şi/su coplee, ir rădăciile rele pot ve u uit ordi de ultiplicitte Rădăciile coplee sut două câte două cople cojugte Dcă grdul l ecuţiei este ipr, eistă cel puţi o rădăciă relă Petru rezolvre uerică ecuţiilor lgerice treuiesc prcurse două etpe: Deterire celor i ici itervle [, ] î iteriorul căror se găseşte o sigură soluţie ecuţiei dte, etpă cre se ueşte seprre rădăciilor; Clculul itertiv l rădăciilor ecuţiei, cre vor fi liitele uor şiruri covergete de uere: ( k ) k 0 k ( k ) r li (5) k 0 şi cre se uesc etodele uerice de deterire rădăciilor ecuţiilor lgerice Iterţiile se opresc şi k este cosidertă drept soluţiei ecuţiei dte dcă distţ ditre doi terei cosecutivi i şirului este i ică decât o erore ipusă: < (6) k k ε su dcă vlore polioului î puctul respectiv este i ică decât o ltă vlore ipusă: ( ) < ε P (7) k Metode de seprre rădăciilor ecuţiilor lgerice Metod şirului lui Rolle este o coseciţă teoreei lui Rolle: dtă fiid ecuţi lgerică P ( ) 0, P : R R, P cotiuă şi derivilă pe ' R, ître două rădăcii rele şi cosecutive le ecuţiei P ( ) 0 eistă cel ult o rădăciă ecuţiei cosiderte Astfel, i îtâi se foreză şirul crescător l rădăciilor rele le ecuţiei ' 0, < < P şi, poi, se clculeză şirul lui Rolle (şirul vlorilor fucţiei ( ) ± ): P( ), P( ), P( ), P( ), P( ) ( ), ( ),,(, ), P î puctele dte de rădăciile derivtei, l cre se dugă liitele l Î fiecre ditre itervlele, + eistă o rădăciă ecuţiei dte, dcă şi ui dcă l cpetele itervlului cosidert, fucţi P() i vlori de see cotrre Metod şirului lui Rolle pote fi utiliztă eficiet dor petru ecuţii de grd cel ult ' 4, deorece deterire rădăciilor ecuţiei P ( ) 0 devie dificilă de rezolvt 6
Metode uerice î igieri electrică Metod şirului lui Stur deteriă uărul de rădăcii rele ditr-u itervl şi seprre cestor petru ecuţi lgerică P ( ) 0, cu P : R R Fie, R cotiuă şi derivilă pe (, ) Se foreză şirul lui Stur socit fucţiei P ( ), c fiid polioele p0( ), p( ), p( ) cotiue pe (,) şi cre stisfc ur[torele ptru codiţii: ) p P 0 ( ) ( ) ' ) p( ) P ( ) ) pi ( ) pi ( ) qi ( ) pi ( ), i, (dică, polioul ( ) restul cu se schit l îpărţirii polioului p i ( ) l p i ( ) q i ( ) fiid câtul cestei îpărţiri) ) p ( ) 0, ( ) [, ] 7 p i este, Metod şirului lui Stur este o coseciţă urătorei teoree: dcă fucţi P este derivilă pe (,) şi cu derivt cotiuă, polioilă ( ) P ( ) 0, P ( ) 0 tuci uărul rădăciilor rele le ecuţiei ( ) 0 şi dite u şir Stur socit: p0( ), p( ),, p ( ), P î itervlul (,) este egl cu difereţ ditre uerele schiărilor de se le şirurilor de uere p si p, i 0 ( ) ( ) i i, Pri urre teore perite tât deterire uărului rădăciilor rele îtru itervl dr şi seprre cestor pri icşorre lugiii suitervlelor coţiute î itervlul dt Metode de deterire rădăciilor ecuţiilor lgerice Metod Locevski-Greffe deteriă rădăciile rele şi coplee le ecuţiei polioile P ( ) 0 Polioul P ( ) se pote epri cu două relţii echivlete: P i 0 j 0 i, i 0 j i ( ) ( ) 0, 0, R, i 0 (8) ude j, j, sut rădăciile rele su cople cojugte le polioului cosidert, cre vor verific relţiile lui Vièt Astfel, pri relţie lui Vièt este + + + (9) 0
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique Dcă u ditre rădăcii, să presupue, este ult i re î odul decât tote celellte >> j, j, (30) tuci se pote ccept urătore proiţie, c rezultt l relţiei (9) (3) 0 Î cest cz se spue că rădăci este prepoderetă Este evidet că î relitte u vo pute ccept presupuere că u polio re o rădăciă prepoderetă Î schi, se pote fir îtotdeu c u ditre rădăcii, fie cest tot, este i re î odul decât tote celellte > j, j, Dcă vo ridic l o putere suficiet de re cestă ieglitte, tuci rădăci v devei prepoderetă, dică j >> (3) şi se v pute utiliz cu suficiet de uă proiţie relţi (3) Algoritul Locevski- Greffe stilişte o procedură de oţiere relţiei (3), pri ridicre succesivă l pătrt rădăciilor ecuţiei dte, dică p *, p N, cee ce coduce l găsire rădăciii prepoderete Procedur de clcul îcepe cu oservţi că dcă î epresi (8) P se schiă ecuoscut cu se oţie: polioului ( ) P ( ) ( ) 0 ( + j ) Se efectueză produsul (33) j ( ) P ( ) P ( ) ( ) 0 (34) j şi se oţie u polio de grdul î vriilă, vâd rădăcii pe,, Se repetă cest procedeu de p ori se oţie u ou polio de grdul î vriilă j p 8
Q Metode uerice î igieri electrică i ( ) ( ) ( ) A 0 (35) j j i 0 ude p,, Noii coeficieţi i i A oţiuţi î fiecre etpă de clcul p, rezultă i recursiv pri îulţire directă polioelor P ( ) şi P ( ) fucţie de coeficieţii iiţili i Î pri etpă de clcul rezultă:, dică î () () ( ) A A,, A (36) 0 0 ; 0 + ( p+) Dcă se oteză cu A i vlorile cestor coeficieţi oţiuţi î etp p+, tuci pri procedeul de idetificre coeficieţilor prezett terior se oţie relţi recursivă k ( ) + ( ) A ( p+ ) Ai Ai A, i 0, ik i+ k k 0 (37) ude se covie c toţi tereii cu idicele iferior i + k > şi, respectiv, i k < 0 să fie cosiderţi uli Petru cele trei czuri posiile de eisteţă rădăciilor polioului iiţil P ( ), idetificte cu jutorul seului şi vlorilor oilor coeficieţi A i î diverse etpe de ridicre succesivă l pătrt, se v prezet plicre etodei Locevski- Greffe ) Czul rădăciilor rele şi disticte Deci tote rădăciile j, j, le polioului P ( ) sut rele şi disticte tuci ele se pot ordo descrescător după odule şi idici î for: > > > (38) Relţiile lui Vièt petru polioul Q ( ) oţiut î etp p de clcul sut: A + + + A0 (39) A + 3 + + A (40) M 9 0
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique A (4) A 0 î cre tereii di drept sut îtotdeu pozitiv, fiid pătrte perfecte p Presupuâd că î etp p rădăci deveit prepoderetă, tuci tereii,, şd vor devei prepodereţi î relţiile (39), (40), Pri urre, se pot utiliz cu suficiet de uă proiţie relţiile: A (4) A0 A (43) A0 M A (44) A 0 di cre se oţi, succesiv îcepâd cu pri rădăciă găsită fi prepodretă odulele rădăciilor: A j ( ), j p A j ±, j (45) Deterire seului rădăciii se fce pri itroducere celor două vlori dte de relţi (45) şi verificre cestor î ecuţi iiţilă P ( ) 0, cee ce suplieteză efortul de clcul Este ecesr u criteriu cre să oprescă lgoritul de ridicre succesivă l pătrt, l o uită etpă p î cre se relizeză prepodereţ celei i ri rădăcii î odul Petru cest, î fiecre etpă de clcul se clculeză rportele: ( ) ( ) A p j rj ( ), j, (46) p A j 0
Metode uerice î igieri electrică Dcă seprre rădăciii prepoderete s-r fi produs î etp p, dică p, tuci cofor relţiei (4) p A (47) A şi cu tât i ult î etp urătore 0 A (48) A p 0 Ţiâd se de relţi de recureţă (37) şi de relţiile (47), (48), se clculeză rportul r (49) Dcă se repetă procedur de clcul cestor rportte petru toţi ceillţi coeficieţi î fiecre etpă de clcul, tuci criteriul de oprire l lgoritului este: dcă tote rportele r j, j, tid către tuci s- produs seprre rădăciilor polioului ) Czul rădăciilor rele şi ultiple î odul Dcă se cosideră că ce i re rădăciă î odul polioului P ( ) re ordiul de ultiplicitte M, tuci ordie descrescătore rădăciilor polioului este: > + > > M M (50) Pri relţie lui Vièt v ve u tere prepoderet: A + + + M + M + + + M (5) A ir î M- relţi lui Vièt v ve c tere prepoderet: 0 M + M ( ) M AM A M 0 M + + + M (5)
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique Clculul rădăciii M-ultiple î odul se fce utilizâd relţi (5) pri cre se oţie o proiţie de clcul i uă vâd î vedere epoetul i re: AM M (53) A ± 0 ir deterire seului se fce pri verificre ecuţiei iiţile ( ) 0 P Criteriul de seprre se deteriă seăător cu cel di czul rădăciilor rele şi disticte Dcă seprre rădăciilor prepoderete, M-ultiple î odul, s-r fi relizt î iterţi p-, tuci cofor relţiei (5) r treui c p A (54) M A 0 şi, cu tât i ult, î iterţi urătore p este vlilă proiţi p A (55) M A 0 Di relţiile (37), (54) şi (55) rezultă că rportul r tide către M r p M (56) cee ce v costitui şi criteriul de seprre rădăciilor ultiple î odul: dcă u rport rj tide îtr-o etpă orecre p către u uăr îtreg M, tuci s- produs seprre rădăciii prepoderete M- ultiple î odul Î czul î cre rădăci M- ultiplă î odul u este şi ce i re î odul, dică şirul descrescător l rădăciilor ecuţiei P ( ) 0 se costituie î: > > > > k k+ k+ M > k+ M > (57) tuci î relţiile teriore (53) (56) se plică o deplsre spre drept cu k idicilor iferiori Astfel, clculul rădăciii M- ultipli î odul se fce cu relţi: k Ak + M ± M (58) A k ir criteriul de seprre se plică supr rportului
Metode uerice î igieri electrică ( ) k M (59) r p cre dcă tide către uărul îtreg M rtă că s- seprt rădăci M- ultiplă c) Czul rădăciilor coplee Se presupue că rădăciile coplee şi P u şi cel i re odul dică: cojugte şi le ecuţiei ( ) 0 > 3 > > (60) Rădăciile şi cople cojugte se scriu c jθ ρ e jθ, ρ e (6) ude ρ este odulul rădăciilor ir θ rg rg este rguetul cestor Pri relţie lui Vièt petru psul p l iterţiilor devie A ρ cos θ + 3 + + (6) A dr tereul ρ cos θ u pote fi cosidert prepoderet di cuz fctorului cos θ cu se oscilt Ce de dou relţi lui Vièt este o A + 3 + + ρ (63) A cee ce coduce l găsire tereului prepoderet ρ şi l deterire odului rădăciilor coplee şi cojugte î od seăător uei rădăcii rele - ultiple î odul A ρ (64) A 0 seul fiid evidet Deterire criteriului de seprre se fce stfel: dcă seprre s-r fi relizt î etp p-, tuci r treui c 0 3
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique ρ p ρ A A 0 (65) şi cu tât i ult î iterţi urătore ( ) A p p ρ ρ ( p ) (66) A 0 C tre rportul r treuie să tidă către r, (67) ir rportul ( ) A r (68) A 0 re se oscilt dtorită schiărilor de se le tereului ρ cos θ Pri urre, prezeţ rădăciilor coplee şi cojugte v fi idetifictă pri priţi uui rport cu see oscilte, ir seprre odulului uei perechi de stfel de rădăcii se produce tuci câd rportul iedit urător celui oscilt tide către uu Deterire rguetului rădăciilor coplee şi cojugte se fce utilizâd relţiile lui Vièt petru ecuţi iiţilă ( ) 0 P Sche lui Horer foloseşte propriette uui polio de fi diviziil cu α, dcă α este o rădăciă siplă polioului Î cest ses, polioul de grdul, P () se pote proi î for: j j ( ) j j 0 j 0 P ( ) α + (69) ude oii coeficieţi j, j 0,, se deteriă recursiv pri idetificre tereilor cu ceeşi putere lui 0 j 0, k k + α k, k,, (70) 4
Metode uerice î igieri electrică relţii ce defiesc sche Horer Aceste relţii perit deterire vlorii polioului î α, dic P (α ), pri,, operţii de îulţire şi,,- operţii de dure, cee ce rezultă chir di (69) câd petru α P ( α), Sche lui Horer pote fi dpttă şi petru evlure derivtelor uui polio Folosid oservţi că P (α ), se pote cosider petru fiecre proiţie rădăciii α că P ( α) ( α), şi di relţiile recursive (70), pri derivre rezultă: d k dk k + α, k dα dα,, (7) Se oţi petru oii coeficieţi i derivtei polioului, otţi cu dk ck, k,, (7) dα urătorele relţii recursive c0 0, ck k + α ck, k,, - (73) ir vlore derivtei polioului î ( ) c α este P α (74) Dcă se cosideră că polioul re î α o rădăciă siplă, tuci dtă fiid proiţi iiţilă α0 rădăciii siple (oţiută spre eeplu cu etod Locevski Greffe), procedeul Newto-Rphso de creştere preciziei proiţiei iiţile se epriă î fiecre etpă de clcul α ( α) α (75) c ( α ) + ude, c - sut clculţi folosid (7) şi (73) Algoritul se îcheie dcă vlore polioului este i ică decât o erore ipusă ε Dcă α este o rădăciă ultiplă, tuci derivt polioului î α v fi ulă ' P ( α) 0, ir şi c - vor tide spre 0 siult Î cest cz covergeţ procedeului Newto-Rphso dt de relţi (74) se îrăutăţeşte Petru îuătăţire covergeţei se utilizeză o odificre siplă, şi ue se plică procedeul Newto-Rphso fucţiei f ) [ P M ( )] (, ude M este 5
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique ordiul de ultiplicitte l rădăciii α Deorece Newto-Rphso se epriă M M ' P ' f ( ) [ ( M )] iterţi α ( α) α M (76) c ( α ) + cee ce este siilr cu lgoritul (75) Deterire lui M se fce pri evlure derivtelor polioului P (), ir pri derivtă ce este eulă v furiz ultiplicitte rădăciii Petru evlure derivtelor se foloseşte sche lui Horer copletă, dică deterire tuturor derivtelor lui P () î α este echivletă cu dezvoltre î serie Tylor polioului P () î jurul puctului α 0 + C( α) + C( α) + + C ( α P ( ) C ) (77) ude s- ott cu C k ( k) P ( α) (78) k! Di relţiile (69) şi (70) se oţi coeficieţii polioului ( ) ( ) ( ) P o P P α ( ) + C (79) ir C ( ) (80) 0 P α Pri urre coeficieţii polioului P ( ) sut chir 0,, - dţi de relţi (69) Î cotiure celellte derivte le polioului se evlueză log Astfel se i plică o dtă sche lui Horer supr polioului P ( ) şi se vor oţie coeficieţii lui P ( ) di fctorizre: P ( ) ( α ) P ( ) + C (8) 6
Metode uerice î igieri electrică 3 Metod lui Birstow perite deterire rădăciilor rele şi cople cojugte le ecuţiei P ( ) 0, pri clculul itertiv l uui divizor de ordiul doi l polioului cosidert P se pote scrie Polioul ( ) P i ( ) ( + p + q) + R + S i i o j j j (8) ude + p + q este u trio orecre de ordiul doi ir R+S este restul îpărţirii lui P ( ) l + p + q Dcă etide otţiile şi petru coeficieţii R şi S, dică otă R şi S + p, tuci di idetificre tereilor cu celşi puteri le lui, v rezult relţi de recureţă petru oii coeficieţi k k pk qk, k 0, (83) ude vo cosider 0 Evidet că dcă + p + q treuie c restul să fie ul, dică R S ( p, q) 0 ( p, q) 0 divide pe P ( ) (84) ude R şi S depid de p şi q Sisteul eliir (84) este echivlet cu: ( p, q) 0 ( p, q) 0 (85) Fiecre ecuţie sisteului (85) este eliiră şi petru rezolvre se vor p, q şi ( p, q) î jurul proiţiei dezvolt î serie Tylor fucţiile ( ) curete ( p, q ) Dcă se păstreză ui tereii liiri se oţie sisteul: p ( p, q) ( p, q ) + ( p p ) + ( q q ) 0 7 q p p q q ( p, q) ( p, q ) + ( p p ) + ( q q ) 0 p q p p q q (86)
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique 8 Clculul derivtelor prţile se pote fce folosid relţi de recureţă (83) q q q p q p q p p p k k k k k k k k (87) Idee igeiosă etodei costă î fptul că derivtele prţile ecesre iterţiei urătore se pot clcul cu jutorul uor forule recursive de tipul relţiei (83) Astfel dcă otă cu p c k k şi q d k k, rezultă că relţiile (87) se pot scrie î for: k qd pd d qc pc c k k k k k k k k 0,, (88) ude se cosideră 0 d d c c Sisteul liirizt ui după pri relţie (88) devie: ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + c q q c p p c q q c p p (89) Î od log se oţie sisteul de liirizt şi dcă se foloseşte ce de- dou relţie (88) Mtrice sisteului c c c c J se ueşte şi trice Jcoiă şi este esigulră dcă det 0 J Î cest cz se clculeză soluţi sisteului (89) c c c c c p p p δ + (90) c c c c c q q q + δ (9) ude det J c c c Îtregul proces de clcul se pote relu petru polioul de grdul -
P ( ) j Metode uerice î igieri electrică j j (9) ude coeficieţii cestui polio sut toci ultiele vlori clculte cu jutorul relţiei (83) Algoritul cotiuă pâă l fctorizre polioului P ( ) î produse de polioe de grd cel ult doi şi se oţi perechi de soluţii de for:, p ± p 4q (93) p 0,q 0 cest se pote oţie pritr-u procedeu de loclizre rădăciilor, cu r fi de eeplu etod Locevski-Greffe Asupr covergeţei etodei Birstow, di puct de vedere prctic se pote prezet u cz de ecovergeţă: dcă P ( ) re o sigură rădăciă relă şi r + rp + q 0, tuci etod Birstow u coverge petru Î cee ce priveşte legere proiţiei iiţile ( ) p vlorile iiţile ( ) 0,q 0 0 0 9
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique Cpitolul Metode uerice de rezolvre sisteelor de ecuţii liire Rezolvre uerică sisteelor liire de ecuţii reprezită u doeiu de re iteres teoretic şi plictiv, cre eliiă dificultăţile regulii de Crer i les câd uărul ecuţiilor sisteului este re Metodele de rezolvre sisteelor liire de ecuţii sut de două tipuri: ) etode ecte (etode directe) sut cele l cre soluţi ectă sisteului se oţie pritr-u uăr fiit şi diite cuoscut de operţii ritetice; ) etode proitive (itertive) cre sut crcterizte pri cee că soluţi rezultă î ur uui proces ps cu ps, itertiv, c liită uui şir coverget şi cre poreşte de l o proiţie iiţilă Î cele ce ureză se v prezet o prte etodelor directe de rezolvre sisteelor de ecuţii liire Î igieri electrică prole rezolvării uerice sisteelor liire de ecuţii este forte des îtâlit, c de eeplu î iterpolre cu fucţiile splie cuice crcteristicilor eleetelor de circuit, l rezolvre sisteelor de ecuţii le circuitelor electrice şi electroice, l discretizre ecuţiilor difereţile eliire cu codiţii l liită utilizte î liz câpului electrogetic etc Metode de eliire utilizte î rezolvre uerică sisteelor liire de ecuţii Fie fucţi f : R şi f ( ) 0 u siste de ecuţii Dcă tereii ecuţiilor sisteului sut de grdul îtâi sisteul este liir ir dcă eistă ecuţii ce coţie cel puţi u tere de grd i re c uu sisteul este eliir R 30
Metode uerice î igieri electrică 3 U siste liir cu ecuoscute pote fi scris î foră coică dezvolttă + + + + + + ` () su î foră tricelă restrâsă B AX () ude A este trice pătrtă sisteului ( coeficieţilor) de diesiui A (3) X este vectorul coloă l ecuoscutelor X (4) şi B este vectorul coloă l tereilor lieri B (5) Metod lui Guss rezolvă sisteele de ecuţii liire cre u trice sisteului pătrtă şi esigulră ( ) det 0 A, pritr-u lgorit de eliire succesivă ecuoscutelor Asfel, dcă se îulţeşte pri ecuţie
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique sisteului (), pe râd cu fctorii i, petru i, şi poi se duă l ecuţi cu uărul i, se v elii ecuoscut di fiecre ecuţie, evidet cu ecepţi priei ecuţii Se oţie sisteul echivlet: () () () () () () (6) ude s-u ott oii coeficieţi oţiuţi î cestă priă etpă de clcul cu idice superior () De seee este evidet că î pri ecuţie sisteului coeficieţii u se odifică Algoritul se cotiuă pri îulţire celei de- dou ecuţii i sisteului (6) cu, petru i 3, şi poi duâdu-o l fiecre ecuţie i sisteului se v elii ecuoscut Se oţie sisteul echivlet: + + + () () () + + ( ) ( ) ( ) + + 33 ( ) ( ) + + ( ) 3 3 3 3 3 (7) Procedeul de eliire ecuoscutelor cotiuă pâă câd se duce sisteul l for: + + () () () + + ( ) ( ) (8) cee ce este echivlet cu reducere tricei A l o trice superior triughiulră Î cest cz ecuţi tricelă sisteului devie 3
0 0 0 Metode uerice î igieri electrică () () ( i) ( i) i, j i, ( ) () ( ) (9) ude idicii superiori idică etp î cre fost oţiut respectivul eleet Acestă etpă de ducere tricii A l for triughiulră se ueşte eliire su trigulrizre ir fiecre di eleetele kk, cu k, flte pe digol priciplă se ueşte pivot Este evidet că î cursul lgoritului petru pute oper, treuie c toţi pivoţii să fie euli Mi ult, petru reducere erorilor de rotujire se recodă c vlore pivotului, î odul să fie cât i re posiilă Petru rezolvre cestor două ceriţe se utilizeză procedur de pivotre, dică de perutre (schire) liiilor (su liiilor şi coloelor) Pivotre, efectută îtr-o uită etpă de clcul u odifică zerourile dej oţiute î trice A Mi ulte eplicţii î cee ce priveşte procedurile de pivotre şi de legere pivotului se du l cpitolul, prgrful iii Necuoscutele se deteriă după - etpe de eliire şi di (8) rezultă, pe râd, îcepâd cu ulti i ( ) ( ) ( ) ( ), ( i) ( i) i j i+ ( i) ii i, j j j, j j (0) Acestă etpă de deterire ecuoscutelor se ueşte retrosustituţie Este iterest să se lizeze copleitte etodei Guss Astfel, î cee ce priveşte efortul de clcul, trecere de l psul k l psul k+ l lgoritului presupue efecture : ( k)( k +) îulţiri, ( k)( k +) duări şi ( k) îpărţiri 33
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique Pri urre, l sfârşitul etpelor de clcul se vor efectu î totl: i i ( )( ) ( ) i i + ( )( ) ( ) i + 3 îulţiri duări 3 ( ) îpărţiri ( ) i operţii petru trigulrizre tricei A, ir petru retrosustituire se vor efectu: ( ) îulţiri ( i) i ( ) duări ( i) i Aduâd tipurile de operţii efectute î totl î cele două etpe se oţie petru etod Guss u totl de: ( )( + 5) 6 îulţiri, ( )( + 5) 6 34 duări şi ( +) îpărţiri Cosiderâd că tipul ecesr clcultorului petru efectu o îulţire su o îpărţire este ult i re decât cel cosut petru o dure, tuci se pote presupue că efortul de clcul ecesr clcultorului î etod Guss este proporţiol ui cu uărul de îulţiri şi îpărţiri, dică: ( + 6 ) ϑ G () 6 Acest uăr este forte ic, îcepâd cu 3, fţă de uărul de operţii cerute de regul lui Crer (cu deteriţii clculţi după iori): θ! () C Adică ϑ G << ϑc (3) Î cee ce priveşte ecesrul de eorie utilizt î etod Guss, petru eorre tricei A şi vectorilor B şi X ecesre: + + ( + ) locţii de eorie, fiecre locţie fiid rezervtă uui uăr rel Locţii egle de eorie sut ecesre şi î regul lui Crer
Metode uerice î igieri electrică Metod Guss-Jord su etod tricilă forlă este siilră etodei precedete, cu deoseire că trice A sisteului A este dusă l o trice digolă (cu eleete eule ui pe digol priciplă) Producere de zerouri desupr şi dedesuturi digolei priciple se fce pri trsforări eleetre plicte ecuţiei tricele iiţile () Astfel oii coeficieţi i tricei A sut: î pri etpă de clcul: ( ) ij ij (4) ir î etp k: ( k ) ( ) ( ) k k i, k ( k ) ij ij ( ), k i k j k (5) k k, k ( k ) ( k ) k, j ( k ) ( k ) i, j ij k, j j k j < k Noii coeficieţi i tricei B sut: ( ) î pri etpă de clcul: i i (6) ir î etp k: ( k ) ( k ) i ( k ) ( k ) k i k ( k ) i, k ( k ) k, k i k k, (7) Deterire ecuoscutelor u se i fce pri retrosustituire ci direct, pritr-o sigură îpărţire Nuărul de operţii î etod Guss-Jord este cu circ 50% i re fţă de etod Guss, deorece î fiecre etpă k se clculeză - ultiplictori: 3 3 ϑ GJ [ ( ) + ( )( + k) ] + (8) k Di cuz uărului ărit de operţii, etod Guss-Jord se utilizeză i les l clculul ueric l tricei iverse, cee ce presupue ducere tricei A l o trice uitte (eleetele eule de pe digol priciplă să fie egle cu ) 35
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique 3 Metod lui Jcoi Sisteul de ecuţii:, +, + +,, +, + +,, +, + +, (9) se rescrie î sesul epriării fiecărei ecuoscute,, î fucţie de tote celellte şi se oţie:,, 0,,,,,,,,,, 0,,, 0 (0) Dcă se lege c proire iiţilă o soluţie (,,, ) sisteului, tuci soluţiile (0) vor reprezet forulele de recureţă petru clculul itertiv l tuturor soluţiilor sisteului Copct ceste relţii se pot pue petru eprire ecuoscutei i î iterţi k (0) (0) (0) ( k ) i i ii i ii ( k ) i ii ( k ) i, i ii ( k ) i i, i+ ii ( k ) i+ i ii ( k ) () Dcă şirurile iterţiilor succesive petru deterire ecuoscutei ( 0) (0) ( k) ( i, i,, i ), ude i,, sut covergete petru k, tuci liitele şirului dt de () reprezită chir soluţiile sisteului cosidert Petru oţiere codiţiei de covergeţă şirurilor () se epriă, l îceput, ecuţi tricelă socită sisteului (0) i () (0) X CX + D () 36
Metode uerice î igieri electrică ude X,,, 0,,,,, 0 C,,, D,, 0,, (3) Cotiuâd procedur itertivă se oţi succesiv ecuţiile tricele: () () (0) X CX + D C X + CD ( k) k (0) k k X C X + ( C + C + + C + I) D (4) ude I este trice uitte Seri tricelă geoetrică k k S C + C + + C + I (5) este covergetă tuci câd or su tote vlorile proprii le tricei C sut suuitre Codiţi c tote vlorile proprii le tricei s fie suuitre este c i, j qi, i,, i, i j j i (6) ir relţi (6) este ecesr fi îdepliită petru c etod Jcoi să fie plictă Î codiţi (6) su seriei este: ( I C) S (7) cee ce iplică li k C k- 0, X (I - C) - D, X CX + D ude X este vectorul tuturor soluţiilor ecuţiei () 37
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique 4 Metod Guss-Seidel diferă de etod lui Jcoi pri fptul că l fiecre iterţie se utilizeză vlorile clculte l psul terior petru vriilele le căror vlori u sut cuoscute l psul curet şi vlorile de l psul curet petru vriilele clculte Î cest cz relţi () se scrie î for: ( k) i i i, i i i, j j i, i ( k) i, j j j i+ i, i ( k ) j petru i,,, k,, (8) Î rest, etod Guss-Seidel este siilră cu etod Jcoi Petru celşi grd de precizie vitez de covergeţă etodei Guss-Seidel este de două ori i re decât vitez de covergeţă etodei lui Jcoi Fie sisteul Metode de rezolvre uerică sisteelor de ecuţii pri fctorizre [A][X] [Y] (9) ude [X] este vectorul de N ecuoscute, [Y] este vectorul de terei lieri, şi [A] este trice pătrtică (de diesiue NN) coeficieţilor; Fctorizre costă î reprezetre tricei coeficieţilor [A] pri produsul de două trici [ A] [ L] [ U] (30) ude [L]este o trice iferioră-stâg ( Lower - î egleză), i cărei terei o uli se găsesc eclusiv su digol priciplă şi pe cest, ir [U] este o trice superioră-drept ( Upper - î egleză), i cărei terei o uli se găsesc eclusiv su digol priciplă Tereii de pe digol priciplă lui [U] sut [ L] [ U] (3) 38
După fctorizre, sisteul devie: Metode uerice î igieri electrică [L][U][X][Y] (3) Pute itroduce u vector uilir: [U][X][Z] (33) Astfel, sisteul se descopue î două etpe: Etp prcurs direct : petru clcul [Z], soluţie sisteul: [L][Z][Y] (34) Etp prcurs ivers : petru clcul [X], soluţie sisteului: [U][X][Z] (35) L pri vedere, cele două etpe pr să coplice procedur Î relitte, vo costt că u este devărt i) Pri etpă fctorizre tricei coeficieţilor sisteului Eistă i ulte vrite de fctorizre Vo studi priciplele două etode: fctorizre lui Crout şi ce lui Doolittle Fctorizre lui Crout Să îcepe pritr-u eeplu Fie o trice de ărie 44 şi fctorizre s LU: A A A A L 0 0 0 U U U 3 4 3 4 A A A3 A4 L L 0 0 0 U3 U 4 * A3 A3 A33 A 34 L3 L3 L33 0 0 0 U 34 A4 A4 A43 A 44 L4 L4 L43 L 44 0 0 0 Produsul celor doi fctori L şi U e dă: (36) ( A) L LU LU3 LU4 L LU + L LU + LU LU + LU 3 3 4 4 L3 L3U + L3 L3U3 + L3U3 + L33 L3U4 + L3U4 + L33U34 L L U + L L U + L U + L L U + L U + L U + L 4 4 4 4 3 4 3 43 4 4 4 4 43 34 44 (37) Pri coprţie cu trice de origie [A] costtă că: ) Pri coloă lui L este idetică cu ceeşi coloă lui A, deci icio prelucrre u este ecesră: 39
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique L i A i petru i l N ) Pri liie lui U, î fră de priul eleet, cre este, se oţie divizâd eleetele lui A pri eleetul de pe digol priciplă L U j A j / L petru j l N c) Cotiuă cu dou coloă lui L Eleetele L i A i şi U cre figureză î epresie, sut cuoscute Î coseciţă: L i A i L i U, petru i l N d) Cotiuă cu dou liie lui U Eleetele L i A i şi U cre figureză î epresie, sut cuoscute Î coseciţă: U j (A j L U j )/L, petru j l N e) Algoritul cotiuă l fel, lterâd coloele lui L şi liiile lui U Astfel, l etp (petru l N), oţie: k L A L U i i ij j j k U ( A L U )/ L ;, N j j i ij i Pute ilustr cest pri figur urătore: ; (38) 4 3 Fig Succesiue operţiilor î fctorizre Crout 40
Metode uerice î igieri electrică Î pricipiu, lgoritul este urătorul ( se vede de seee şi digr di figur, cu referiţele l diverşii pşi di cod): //PROGRAM Fctorizre Crout //Pri coloă lui L (etp ): Petru i l N L(i,)A(i,) //i // Pri liie lui U (etp ): Petru j l N U(,j)A(,j)/L(,) //j //Liiile şi coloele urătore (etp 3): Petru l N //Colo lui L (étpe 4): Petru i l N //L(i,)A(i,)-<v,v > L(i,)A(i,)-Σ jl - [L(i,j)U(j,)] //i Dcă jn, tuci SFÂRŞIT //Lii lui U (etp 5): Petru j+ l N //U(,j)[A(,j)-<v 3,v 4 >]/L(,) U(,j)(A(,j)-Σ i l - [L(,i)U(i,j)])/L(,) //j // ude <v, v > este l produsul sclr ître vectorii v et v 3 V j V j i V 5 i i j V 4 L(i U( Fig Ilustrre etodei de fctorizre Crout 4
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique Fctorizre lui Doolittle Acestă vrită câtev vtje î coprţie cu etod lui Crout, cee ce o fce i uă î czul tricelor creuses, despre cre vo vori i târziu Să luă, petru oet, eeplul precedet (relţiile 37 şi 38), dr urâd o procedură diferită ) Deteriă i îtâi L A, poi pri liie lui U: U j A j /L, petru j l N ) Cotiuă cu dou liie lui L şi lui U Astfel: L A ; L A L U U j (A j L U j )/ L petru j3 l N c) Algoritul cotiuă l fel, prelucrâd succesiv liiile celor două trice, i îtâi lui L, poi lui U Astfel, l etp (petru l N), oţie: j L A L U ; j, j j i ij i k U ( A L U )/ L ; j +, N j j i ij i (39) 3 4 Fig 3 Succesiue operţiilor î fctorizre Doolittle Acestă etodă este i ie dpttă l prelucrre sisteelor ri Î prticulr, î czul fctorizării tricelor creuses, prcurgere pe liii pote fi i perfortă, după cu vo vede i târziu Î pricipiu, lgoritul este urătorul ( se vede de seee digr di figur 4, cu referiţele l diverşii pşi di cod): 4
Metode uerice î igieri electrică //PROGRAM Fctorizre Doolittle //Prcurgere pe liii (etp ): Petru l N //Lii lui L (etp ): Petru j l //L(,j)A(,j)-<v,v > L(,j)A(,j)-Σ ià j- [L(,i)U(i,j)] //j //Lii lui U (etp 3): Petru j+ l N //U(,j)[A(,j)-<v 3,v 4 >]/L(,) U(,j)(A(,j)-Σ i à - [L(,i)U(i,j)])/L(,) //j // Este u vtj dcă tricele sut păstrte î eorie pe liii Acest fpt pote fi util tuci câd folosi tehici dptte tricelor creuses V i i V i 3 V V L( U( j j j Fig 4 Ilustrre etodei de fctorizre lui Doolittle Pute costt că, petru cele două etode de fctorizre precedete: Nuărul de clcule seifictive (îulţiri şi îpărţiri) este de ordiul de ărie O(N 3 /3), c şi petru etod lui Guss Tlourile L şi U pot îpărţi eori cu tloul de origie A Îtr-devăr, î clcule, eleetele fctorilor [L] şi [U] îlocuiesc treptt şi ăsur clculelor cele le tricei de origie [A] 43
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique Pute clcul uşor deteritul tricei [A] Îtr-devăr, vlore s este produsul tereilor digolei lui [L] (petru că tereii digolei lui U sut uitri): ( ) Det A N L (40) i ii Î liii ri, fctorizre coţie trei cicluri iricte: U ciclu eterior, fie urâd digol tricei (etod lui Crout), fie liiile (etod lui Doolittle) Acest ciclu se eecută o sigură dtă şi el re N pşi U l doile tip de ciclu, î iteriorul priului Acest se desfăşoră fie î lterţă, pe părţile îcă eprelucrte le coloelor lui L şi pe liiile lui U (etod lui Crout), fie pe lii cre se flă î curs de prelucrre (etod lui Doolittle) Lugie edie uui stfel de ciclu este de N eleete (ître N şi 0 petru etod lui Crout, N petru etod lui Doolittle) U ciclu iter, reprezett pri produsele sclre ître doi vectori, pus î evideţă î progrele şi pri <v,v > Aceste cicluri sut eecutte cel i dese de N ori Î coseciţă, ei sut cei i criticţi î terei de perforţă, şi ei sut cei cre r treui s fie optiizţi î priul râd Astfel, pute, l liit, să le scrie î lij de slre, chir dcă cestă ordre pote pue prolee de progrre şi de portilitte ii ) Etp dou deterire soluţiei sisteului După cu s- deostrt i sus, cestă dou prte rezolvării sisteului este reliztă pri etod dulului prcurs, cre se eecută, l râdul său î două etpe: Prcurs direct Să rezolvă sisteul uilir: L Z Y L Z Y [ L][ Z] [ Y] [ Z] NN N N (4) Eleetele vectorului [Z] sut clculte succesiv î sesul idict de săgetă Acestă etpă cere O(N /) operţii Î pricipiu, lgoritul este urătorul: //PROGRAM Prcurs direct //Priul eleet l lui Z: Z()Y()/L(,) //Eleetele urătore: Petru l N Z()Y()- Σ jà - [L(,j)Z(j)]/L(,) 44
Metode uerice î igieri electrică Prcursul direct pote fi eecutt î celşi tip c şi fctorizre Prcursul ivers Să rezolvă u lt siste, uilir: X Z X N Z N [ U][ X] [ Z] [ X] (4) Eleetele vectorului [X] sut clculte, succesiv î sesul idict de săgetă Acestă etpă cere O(N /) operţii Î pricipiu, lgoritul este urătorul: //PROGRAM Prcurs ivers //Ultiul eleet l lui X: X(N)Z(N) //Eleetele urătore Petru N- l cu psul - X()Z()- Σ j+ à N [U(j,)X(j)] Oservţii: Costtă că prte ce i costisitore î terei de tip de clcul este ce fctorizării, cu u uăr de clcule seifictive de ordiul O(N 3 /3) Dulul prcurs cre ureză cere, î totl, î jur de O(N ) clcule Metod de fctorizre devie şi i perfortă câd u siste treuie să fie rezolvt petru i ulţi terei lieri Îtr-devăr, îtr-o stfel de situţie, este suficietă o sigură fctorizre tricei de coeficieţi iii) Prolee uerice După cu pute costt, câd fctoriză, pri oricre ditre etode, eistă o operţie de diviziue eleetelor uei liii pri eleetele digolei de l trice L, sitută pe lii î curs de prelucrre Nui cest tere pivot Prole survie tuci câd îtâli u pivot ul (L kk 0 petru o uită vlore lui k) Soluţi costă î doptre uui pivot coveil, oligtoriu o ul Î plus, rguete uerice rtă că este vtjos să se legă u pivot cât i re cu putiţă, cz î cre erorile sut i ici Pivotul pote fi les ditre tereii tricei cre îcă u u fost prelucrţi î tipul fctorizării, deci ditre cei situţi desupr şi l drept tereului î cuză 45
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique Acest fpt este echivlet cu o perutre ecuţiilor (deci liiilor), su cu o perutre coloelor (deci o reuerotre ecuoscutelor) Î prctică, perutre (liiilor su coloelor) este dor virtulă De fpt, eleetele îşi păstreză locurile, dr sut cceste pe cle idirectă, pri iteredirul uui vector de perutre Î czul pivotării prţile, dor liiile sut perutte Pivotul cre treuie să îlocuiscă u eleet A(,) ul este les ditre cdidţii situţi pe ceeşi coloă, şi pe u ditre liiile cre îi ureză: A(, ) 0 pivot Ai (, ) i ( +, N) ( 43) p U vector PL de ărie N coţie idicii celor N liii le tricei A L îceput, coţiutul său este: p PL(i)i, i,n (44) Perutre două liii i şi i se trduce pri: PL(i )i, PL(i )i (45) Accesul l eleetele tricei A se fce î relitte, î cestă situţie, î odul urător: A(, i j) A( PL(), i j) (46) Î czul pivotării totle, sut perutte î celşi tip şi liiile şi coloele Pivotul cre treuie să îlocuiscă u eleet L(k,k) ul este les ditre cdidţii situţi pe u ditre liiile şi coloele cre ureză: A(, ) 0 pivot Ai (, j) i ( +, N), j ( +, N) (47) p p p p Î coseciţă, folosi doi vectori de perutre, uul (PL) petru liii (deci petru ecuţii), celăllt (PC) petru coloe (deci petru ecuoscute) L îceput, ei coţi: PL(i)i ; i,n (48) PC(j)j ; j,n (49) Perutre două liii i şi i şi două coloe j şi j se trduce pri: PL(i )i, PL(i )i (50) 46
Metode uerice î igieri electrică PC(j )j, PC(j )j (5) Accesul l eleetele tricei A se fce, î cestă situţie, î odul idirect urător: A(, i j) A( PL(), i PC( j)) (5) 3 Metode de rezolvre uerică sisteelor de ecuţii sietrice O trice sietrică [A] este cee petru cre: ij ji T ( ) ( ) A A A A (53) Astfel de trice se găsesc, de eeplu, î sisteele de ecuţii dte de etodele uerice de odelre câpurilor Sietri tricei r pute fi eplottă, petru siplific prelucrările, şi petru le fce i perforte 3 Fctorizre pri etod rădăciii pătrte (etod lui Cholesky) Acestă etodă este utiliztă dor dcă trice sietrică este de seee pozitivă defiită Este, î pricipiu, czul ecuţiilor dte de etodele difereţelor fiite su le eleetelor fiite, petru rezolvre uerică sisteelor de ecuţii cu derivte prţile Fctorizre uei stfel de trice pote ve for: T [ A] [ U] [ U] (54) ude [U] este o trice superioră-drept ( Upper, î egleză), i cărei terei o uli se găsesc dor desupr digolei priciple Tereii digoli i lui [U] u i sut De eeplu, fie czul uei trice sietrice de ordi 4: A A A3 A4 U 0 0 0 U U U3 U 4 A A A A U U 0 0 0 U U U * A A A A U U U 0 0 0 U U 3 4 3 4 3 3 33 34 3 3 33 33 34 A4 A4 A34 A 44 U4 U4 U34 U 44 0 0 0 U 44 (55) 47
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique Algoritul este urătorul: ) Deteriă i îtâi U A, poi pri liie lui U: U j A j /L, petru j l N ) Algoritul cotiuă î cest fel, prelucrâd succesiv celellte liii le tricei U Astfel, l etp (petru l N), oţie: i i U A U A < v, v > ;, N U ( U U U )/ U ( U < v, v > )/ U ; j +, N j j i ij j i (56) C şi i sus, <v,v > este produsul sclr doi vectori figurţi pe digr urătore Treuie totuşi să ţie cot de sietri tricei (de eeplu, vectorii v et v T cre sut echivleţi) i V i V V U( U( j j 3 Fig 5 Ilustrre etodei de fctorizre rădăciii pătrte (Cholesky) Î pricipiu, lgoritul este urătorul ( se vede de seee digr di figur 5, cu referiţele l diverşii pşi di cod): 48
Metode uerice î igieri electrică //PROGRAM Fctorizre Cholesky //Pri liie lui U (etp ): U(,)sqrt(A(,)) Petru j l N U(,j)A(,j)/U(,) //j //Liiile urtore (etp ): Petru l N //U(,)sqrt[A(,)-<v,v >] U(,)sqrt[A(,)-Σ i à - (u i )] //Lige de U (etp 3): Petru j+ l N //U(,j)[A(,j)-<v,v >]/U(,) U(,j)(A(,j)-Σ i à - [U(i,)U(i,j)])/U(,) //j // Moetul critic este cel l clculului rădăciii pătrte, petru eleetele digolei Dcă trice este cu devărt pozitivă defiită, cest clcul este posiil Di cotră, dcă trice u este pozitivă defiită, lgoritul se locheză Î stfel de situţii, treuie les lgoritul cre v fi prezett i deprte, cre este utilizil de seee petru tricele sietrice, dr e pozitive defiite Este evidet că pivotre riscă să distrugă sietri tricei Î coseciţă, este de evitt Totuşi, pute deostr că, dcă trice A este sietrică şi pozitivă defiită, toţi pivoţii vor fi pozitivi (î ş fel îcât lgoritul să potă fi costruit), deci pivotre u este ecesră di cest puct de vedere Î ciud cestui lucru, răâe prole de şti dcă pivoţii sut suficiet de ri, stfel îcât erorile de rotujire să u fie pre ri Răspusul este, di ou, fvoril cestei etode Î coseciţă, pute cosider că perutările u sut ecesre î etod lui Cholesky, chir dcă erorile de rotujire u sut totl ecluse 3 Fctorizre tricelor sietrice, epozitive defiite Dcă trice coeficieţilor [U] u este pozitivă defiită, lgoritul precedet u i este utilizil, petru că l u oet dt o rădăciă pătrtă cre este prezetă î clculul eleetului situt pe digol priciplă, u i este posiil Îsă, eistă o etodă cpilă de ocoli cest icoveiet E costă î reprezetre tricei sietrice pri produsul trei trice: T [ A] [ L][ D][ U ] [ U ] [ D][ U ], cu L U ] T [ ] [ (57) 49
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique ude [D] este o trice digolă, i cărei terei sut D ±, şi [U] este o trice triughiulră superioră, cu terei digolei diferiţi de : U ± U ± ± U ± ± UNN [ U] U [ D] (58) U tere digol l tricei coeficieţilor [A] este, după regulile de îulţire tricelor: i ik k i k ik i k i k A L D U U U D ;, N (59) Dr, di oet ce trice D este digolă, răâ dor tereii cre u ik, şi oţie: i ii i i + ii i i i A U D U D U D ; ( D D ) (60) Astfel, pute deteri cei doi terei digoli ecuoscuţi: D A U D sg i i ± i i i i U A U D ;, N (6) Î czul prticulr l priului tere (), suele sut ule Î coseciţă: ( A ) D sg ± U A (6) Tereii o digoli pe lii () tricei coeficieţilor sut, l râdul lor: 50
Metode uerice î igieri electrică j i ik k i k ik i k i k A L D U U U D ; j +, N (63) C şi îite, trice [D] este digolă, deci răâ dor tereii cu ik, şi oţie: A U U D U U D + U U D (64) j i ij i i ij i j i i Astfel, pute deteri: Uj Aj UiUijDi / ( UD ) ; j +, N (65) i Petru pri liie (), suele sut ule, şi oţie: ( j) ( ) U A / U D ; j, N (66) j Î coseciţă, lgoritul este urătorul: //PROGRAM Fctorizre Cholesky //trice o pozitive defiite //Pri liie lui U (etp ): D()sg(A(,)) U(,)sqrt(s(A(,))) Petru j l N U(,j)A(,j)/(U(,)D()) //j //Liiile urătore (etp ): Petru l N D()sg[A(,)-Σ i à - (u(i,) D(i))] U(,)sqrt(s(A(,)-Σ i à - (u(i,) D(i)))) //Lii lui U (etp 3): Petru j+ l N U(,j)(A(,j)- - Σ i à - [U(i,)U(i,j)D(i)])/(U(,)D()) //j // 5
Methodes de clcul uerique e igeierie electrique 4 Tehici de dptre l tricele rre O trice rră coţie puţii terei o uli Pute să o crcteriză pritr-u grd de uplere, defiit c rport ître uărul de terei o uli şi uărul totl de terei (deci N, petru o trice pătrtică cu N liii şi coloe) Adese, i les petru tricele ri, cest grd pote fi de câtev procete Astfel de trice pot păre î prolee de odelre uerică câpului (pri etod difereţelor fiite su eleetelor fiite), c şi î czul siulării uerice reţelelor electrice ri Î czul cel i fvoril, tricele sut sietrice şi pozitive defiite Îsă, situţii ude ieşi di cest cdru sut îtâlite î proleele curete Este clr că: Tehicile curete de stocj l tricelor (tlouri) sut puţi dptte, petru că risipi eori Metodele curete de fctorizre şi de rezolvre sisteelor de ecuţii sut puţi dptte, petru că ele iplică u uăr re de clcule iutile Pute esti că î czul sisteelor de ecuţii ri căror trice coeficieţilor este creuse, utilizre tehicilor dptte l tricele creuses este greu de ocolit Nuărul de operţii şi tipul de clcul r pute fi reduse drstic Î prctică, petru sisteele ri, utilizre tehicilor tricelor creuses pote coduce l u uăr de operţii prope proporţiol cu N (~O(N)) i degră decât cu N 3 Bieîţeles, preţul de plătit costă îtr-o ipleetre i copleă, dr eistă dej istruete ifortice decvte O proleă cre se pue este cee uplerilor De fpt, odtă cu fctorizre pot păre eleete oi Tehic de stocre utiliztă treuie să perită iserre cu uşuriţă oilor terei î locurile potrivite Î coseciţă, grdul de uplere l tricei î curs de fctorizre creşte Tehici specile u fost dezvoltte, petru reduce uărul de upleri 5