pitolul uvite-cheie serii de puteri, puct regult, puct sigulr, ecuţie idicilă osideră o ecuţie difereţilă de ordi k ( k ) L(,,,,..., ) () Se pote căut soluţi sub for uei serii de puteri î jurul puctului : ( ) ( ) osideră că seri se pote deriv tere cu tere. Pri îlocuire dezvoltării () î ecuţi () obţie o ecuţie petru şi relţi de recureţă petru coeficieţii. âţiv coeficieţi vor răâe edeteriţi, vâd î vedere că soluţi ecuţiei () depide de k costte. Dcă se pote clcul su seriei (), tuci se pote fl soluţi litică ecuţiei (). Î cest cpitol e vo ocup de rezolvre ecuţiilor difereţile liire oogee cu coeficieţi vribili de ordiul l doile de for: p q () For seriei de puteri () depide de tur puctului, dică de coportre fucţiilor p şi q î jurul puctului. Presupue că p şi q pot fi dezvoltte î jurul lui stfel : p q α ( ) p ( ) β ( ) q ( ) Puctul se ueşte puct regult l ecuţiei () dcă α şi β şi puct sigulr î cz cotrr.u puct sigulr pote fi : sigulr regult dcă α şi β, sigulr eregult, î rest. Î cele ce ureză vo cosider că (chir dcă puctul u e origie, pute fce o schibre de vribilă: z petru IR su z petru ). Dezvoltre soluţiei petru Vo cosider urătorele czuri : i) origie puct regult ii) origie puct sigulr regult iii) origie puct sigulr eregult i) Dcă origie este puct regult petru ecuţi (), tuci tote soluţiile liir idepedete le ecuţiei vor ve dezvoltări covergete î serie Tlor de for: () Eeplul. Să se itegreze ecuţi pri etod seriilor de puteri,, ()
Derivă dezvoltre () de două ori : şi itroduce î ecuţie : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Notă î pri suă, î dou şi î ultiele două. Vo ve : [ ] Eglă cu zero coeficietul lui şi tereul liber: ( )( ) ( )( ) Atuci R,!,,etc. Deci :!...!!! ; ( e ) Două soluţii liir idepedete le ecuţiei sut şi e geerlă este. e, deci soluţi Observţie. Pri etod seriilor de puteri obţiut de fpt soluţi litică ecuţiei. ii) Dcă origie este puct sigulr regult l ecuţiei (), cel puţi o soluţie este de tip Frobeius : (5) ude se ueşte idice. Se îlocuieşte dezvoltre (5) î ecuţi () şi se obţie o ecuţie lgebrică petru uită ecuţie idicilă. Soluţiile ecuţiei () depid de cele două rădăcii, le ecuţiei idicile. Aproire soluţiei este o suă prţilă seriei ir erore este S O( ). ~ S Pot păre urătorele czuri : ) şi Z. Î cest cz ecuţi () re două soluţii liir idepedete de for (5). b) Dcă şi Z pot păre două czuri : uul su i ulţi coeficieţi di dezvoltre (5) sut ifiit petru uul su i ulţi coeficieţi di dezvoltre (5) sut edeteriţi petru c) Dcă tuci două soluţii liir idepedete sut: k k k
, li (,) ude (,) este dezvoltre (5) î cre coeficieţii s-u îlocuit î fucţie de şi. O ltă etodă petru deterire lui este să-l căută de for l b Eeplul. Să se rezolve ecuţi Bessel: ( ), (, ), IR Ave p q, deci α,β. Dcă îlocui ( ) ve: şi ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), [ ] { [ ] },, Petru c luă,. Dcă, di dou ecuţie se obţie, ir di trei : ( )( )...( ),, ( )( )! Atuci ( )( )...( ) Dcă lege! îtâi şi ordi : o soluţie ecuţiei v fi fucţi Bessel de speţ Γ ( ) ( )!Γ ir seri este covergetă pe IR. Dcă Petru dcă Z rezultă ecuţiei v fi, ude Γ este fucţi G Z tuci fucţi Bessel se rescrie!γ dete, deci soluţi geerlă se scrie! ( )! ( )( )...( ) ( ). Atuci o ltă soluţie!. ele două soluţii sut liir idepe-
dcă Z tuci, deci cele două fucţii u sut idepedete. Petru obţie o soluţie liir idepedetă fţă de luă..., Dcă Z k tuci uul ditre uitori v fi, şi ue k. Luă k şi,. Eeplul. Să se rezolve ecuţi pri etod seriilor de puteri petru. 5,, 5 p α q β Deci este puct sigulr regult. Itroduce dezvoltre (5) î ecuţie: 5 [ ] [ ] { } 5 5 Obţie ecuţi idicilă 6, deci şi, ; Deci...,...!!, osideră!, seri fiid covergetă pe IR. li... l li... 8... 8 l 5,, Soluţi geerlă este. iii) Dcǎ origie este puct sigulr eregult, se cutǎ soluţi de for
e λ v (6) ude λ IR şi Q se deteriǎ îlocuid î ecuţie, dupǎ cre se obţie o ed. de ordiul l doile petru v v, petru cre cǎutǎ o dezvoltre î serie de puteri de tipul : ( ) v (7) Eeplul. Să se rezolve ecuţi pri etod seriilor de puteri petru. Ave : p ( ) ( ), (,) ( ) ( ) ( ) (...) ( ) ( ) q Deci α, β şi origie este u puct sigulr eregult. ăută i îtâi o dezvoltre de for Îlocui λ v λ,, î ecuţie şi îpărţi cu e : ~e, > 6 ( ) λ( ) λ λ λ Dcă tuci >> >> >> >> >> 6 >> deci tereii doiţi sut O Eglă cu zero coeficietul tereului doit şi obţie : λ λ λ ± Fce schibre de fucţie : Ecuţi petru v este: şi. Luă λ e v ( ) v ( λ λ) v ( λ ) v ăută dezvoltre soluţiei de tip Frobeius: v ( ) ( )( ) ( λ λ ) λ ( )( ) ( )( ) λ ( ) ( ) λ ( ) λ Tereul doit este: 5
λ Deorece λ,. Atuci ecuţi se reduce l λ ( λ λ ) ( 6λ 8 ) ( 8λ λ ) λ ( 5) λ( ) 5 5 Eglă coeficieţii cu zero şi obţie λ!. Atuci v v λ ( ) e. Deci e λ v e λ. Luă şi Atuci e e e ( λ)! e Bibliogrfie. Spâulescu, I., Olriu, V., Itroducere î fizic tetică, Ed. Victor, Bucureşti,. Hoetcovschi, D., Eleete de liză siptotică, Mtetici clsice şi odere, Ed. Tehică, Bucureşti, 8. Trdfir Măgureu, M., Itroducere î teori proiţiei siptotice, Ed. Pritech, Bucureşti, 6